Phương Pháp Euler Cải Tiến (công Thưc RK2) | Toán Học

Trang chủ » Euler Cải Tiến » Phương Pháp Euler Cải Tiến (công Thưc RK2) | Toán Học

Có thể bạn quan tâm

Bài toán Cauchy

\left\{ \begin{array}{l} y' = f(x,y)(1)\\ y({x_o}) = {y_o}(2) \end{array} \right.

Ví dụ 8: Tính nghiệm gần đúng của bài toán sau đây nhờ phương pháp Euler cải tiến trên đoạn {\rm{[0;}}\frac{1}{2}{\rm{]}} với h = 0.1

\left\{ \begin{array}{l} y' = \frac{{xy}}{2}\\ y(0) = 1 \end{array} \right.

Lời giải: Áp dụng liên tiếp công thức sau:

{x_i} = {x_o} + ih,(i = 0,1,...)

\left\{ \begin{array}{l} \overline {{y_i}} = {y_i}h.f({x_i},{y_i})\\ {y_{i + 1}} = {y_i} + \frac{1}{2}h{\rm{[}}f({x_i},{y_i}) + f({x_{i + 1}},\overline {{y_i}} ){\rm{]}} \end{array} \right.

f(x,y) = \frac{{xy}}{2}

bang

h = 0,1

{x_o} = 0

{x_1} = {x_o} + h = 0 + 0,1 = 0,1

{x_2} = {x_o} + 2h = 0 + 2.0,1 = 0,2

{x_3} = {x_o} + 3h = 0 + 3.0,1 = 0,3

{x_4} = {x_o} + 4h = 0 + 4.0,1 = 0,4

{x_5} = {x_o} + 5h = 0 + 5.0,1 = 0,5

{y_o} = 1

{y_1} = {y_o} + \Delta {f_o} = 1 + 0,0025 = 1,0025

{y_2} = {y_1} + \Delta {f_1} = 1,0025 + 0,0076 = 1,0101

{y_3} = {y_2} + \Delta {f_2} = 1,0101 + 0,0127 = 1,0228

{y_4} = {y_3} + \Delta {f_3} = 1,0228 + 0,0181 = 1,0409

{y_5} = {y_4} + \Delta {f_4} = 1,0409 + 0,0237 = 1,0646

hf({x_o},{y_o}) = 0,1.0 = 0

hf({x_1},{y_1}) = 0,1.\frac{{{x_1}{y_1}}}{2} = 0,1.\frac{{0,1.1,0025}}{2} = 0,0050

hf({x_2},{y_2}) = 0,1.\frac{{{x_2}{y_2}}}{2} = 0,1.\frac{{0,2.1,0101}}{2} = 0,0101

hf({x_3},{y_3}) = 0,1.\frac{{{x_3}{y_3}}}{2} = 0,1.\frac{{0,3.1,0228}}{2} = 0,0153

hf({x_4},{y_4}) = 0,1.\frac{{{x_4}{y_4}}}{2} = 0,1.\frac{{0,4.1,0409}}{2} = 0,0208

\overline {{y_o}}={y_o}+h.f({x_o},{y_o})=1+0=1

\overline {{y_1}}={y_1} + h.f({x_1},{y_1})=1,0025+0,0050=1,0075

\overline {{y_2}}={y_2}+h.f({x_2},{y_2})=1,0101+0,0101=1,0202

\overline {{y_4}}={y_4}+h.f({x_4},{y_4}) = 1,0409+0,0208=1,0617

hf({x_1},\overline {{y_o}} ) = 0,1.\frac{{{x_1}\overline {{y_o}} }}{2} = 0,1.\frac{{0,1.1}}{2} = 0,005

hf({x_2},\overline {{y_1}} ) = 0,1.\frac{{{x_2}\overline {{y_1}} }}{2} = 0,1.\frac{{0,2.1,0075}}{2} = 0,0101

hf({x_3},\overline {{y_2}} ) = 0,1.\frac{{{x_3}\overline {{y_2}} }}{2} = 0,1.\frac{{0,3.1,0202}}{2} = 0,0153

hf({x_4},\overline {{y_3}} ) = 0,1.\frac{{{x_4}\overline {{y_3}} }}{2} = 0,1.\frac{{0,4.1,0381}}{2} = 0,0208

hf({x_5},\overline {{y_4}} ) = 0,1.\frac{{{x_4}\overline {{y_3}} }}{2} = 0,1.\frac{{0,5.1,0617}}{2} = 0,0265

\Delta {f_i} = \frac{1}{2}h{\rm{[}}f({x_i},{y_i}) + f({x_{i + 1}},\overline {{y_i}} ){\rm{] = }}\frac{1}{2}(0 + 0,005) = 0,0025

\Delta {f_i} = \frac{1}{2}h{\rm{[}}f({x_i},{y_i}) + f({x_{i + 1}},\overline {{y_i}} ){\rm{] = }}\frac{1}{2}(0,0050 + 0,0101) = 0,0076

\Delta {f_i} = \frac{1}{2}h{\rm{[}}f({x_i},{y_i}) + f({x_{i + 1}},\overline {{y_i}} ){\rm{] = }}\frac{1}{2}(0,0153 + 0,0208) = 0,0181

\Delta {f_i} = \frac{1}{2}h{\rm{[}}f({x_i},{y_i}) + f({x_{i + 1}},\overline {{y_i}} ){\rm{] = }}\frac{1}{2}(0,0208 + 0,0265) = 0,0237

y({x_i}) = {e^{\frac{{{x^2}}}{4}}} = {e^{\frac{{{0^2}}}{4}}} = 1

y({x_i}) = {e^{\frac{{{x^2}}}{4}}} = {e^{\frac{{{{(0,1)}^2}}}{4}}} = 1,0025

y({x_i}) = {e^{\frac{{{x^2}}}{4}}} = {e^{\frac{{{{(0,2)}^2}}}{4}}} = 1,0100

y({x_i}) = {e^{\frac{{{x^2}}}{4}}} = {e^{\frac{{{{(0,3)}^2}}}{4}}} = 1,0227

y({x_i}) = {e^{\frac{{{x^2}}}{4}}} = {e^{\frac{{{{(0,4)}^2}}}{4}}} = 1,0408

y({x_i}) = {e^{\frac{{{x^2}}}{4}}} = {e^{\frac{{{{(0,5)}^2}}}{4}}} = 1,0645

Chia sẻ:

  • Twitter
  • Facebook
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Euler Cải Tiến