Xemtailieu Tải về Phương pháp euler giải phương trình vi phân và phương trình vi phân đại số
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ QUẾ PHƯƠNG PHÁP EULER GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Tạ Duy Phượng (Viện Toán học), người Thầy đã hướng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn này. Trong suốt thời gian qua Thầy đã không quản ngại khó khăn và nhiệt tình chỉ dạy, giúp đỡ để em có thể hoàn thành Luận văn này. Xin cảm ơn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học nơi tác giả đã hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thầy cô. Và tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, thông cảm, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi hoàn thành Luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Quế Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong Luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Quế Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Phương pháp Euler và Euler cải biên giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Phép nội suy và bài toán cầu phương cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Phép nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Qui tắc cầu phương cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một. . . . . . . 12 1.3. Phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Định lí tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Phương pháp đường gấp khúc Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3. Phương pháp xấp xỉ tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Phương pháp Euler cải tiến (Phương pháp Heun) . . . . . . . . . 21 1.5. Giải số phương trình vi phân thường bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6. Phương pháp Euler cho hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7. Ổn định và sai số của phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.7.1. Bậc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.7.2. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7.3. Tính hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7.4. Ước lượng sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Chương 2. Phương pháp số giải phương trình vi phân đại số 49 2.1. Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1.2. Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 2.1.3. Phương trình vi phân đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2. Một số đặc thù của phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . 52 2.3. Phương pháp Euler giải phương trình vi phân đại số . . . . . . 60 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Những phương trình vi phân giải được bằng cầu phương (tìm được công thức nghiệm hiển) là rất ít. Vì vậy phương trình vi phân được phát triển theo hai hướng: Lí thuyết định tính nghiên cứu tính chất nghiệm theo các dữ liệu đầu vào (vế phải của phương trình, điều kiện ban đầu, điều kiện biên, tham số,. . . ) và Giải số phương trình vi phân (tìm nghiệm xấp xỉ). Phương pháp đường gấp khúc Euler là một trong những phương pháp cổ điển (classical methods) giải số phương trình vi phân. Do độ hội tụ thấp nên phương pháp Euler ít được áp dụng hơn so với phương pháp RungeKutta. Tuy nhiên, gần đây, S. Smale (1981) đã phát hiện ra mối quan hệ hữu cơ giữa phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến với phương pháp Euler giải hệ phương trình vi phân. Điều này gợi sự quan tâm mới đối với phương pháp Euler. Có nhiều cách giải thích phương pháp Euler (tiếp tuyến của đường cong nghiệm, xấp xỉ đạo hàm, khai triển Taylor,. . . ). Trong [1] đã giải thích phương pháp Euler như là trường hợp riêng của bài toán xấp xỉ tích phân. Cách tiếp cận này cho phép hiểu thống nhất phương pháp Euler và các cải biên của nó trong bức tranh chung của các phương pháp giải hệ phương trình vi phân thường. Do nhu cầu của các bài toán kĩ thuật, công nghệ và kinh tế (hệ rôbôt, hệ hóa học hoặc vật lí phức tạp, hệ điều khiển và kinh tế,. . . ), bắt đầu từ 1 2 những năm 1980 trở lại đây, lí thuyết phương trình vi phân đại số được quan tâm mạnh mẽ. Phương pháp Euler cũng đã được sử dụng và cải biên để giải các hệ phương trình vi phân đại số. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn có mục đích trình bày tổng quan phương pháp Euler và các cải tiến của nó giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số. Ngoài ra, Luận văn cũng trình bày thực hành tính toán một số ví dụ giải phương trình, hệ phương trình vi phân bằng phương pháp Euler trên Maple 16 và trên máy tính điện tử khoa học. Luận văn gồm hai chương. Chương 1 Trình bày tổng quan về phương pháp Euler, Euler cải tiến giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường. Các phương pháp này được so sánh và minh họa qua thực hành tính toán trên máy tính Vinacal 570ES PLUS và trên chương trình Maple. Có thể coi các quy trình và chương trình trong Luận văn là các chương trình mẫu để giải bất kì phương trình vi phân thường nào. Điều này đã được chúng tôi thực hiện trên rất nhiều phương trình cụ thể. Chương 2 Trình bày phương pháp Euler giải phương trình vi phân ẩn F (t, x, x0 ) = 0 hoặc phương trình vi phân đại số dạng x0 = f (t, x, y), 0 = g(t, x, y). 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có hai nhiệm vụ: 1) Nghiên cứu phương pháp Euler giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số. 2) Thực hành tính toán trên máy giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường bằng phương pháp Euler. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phương pháp số giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số. 5. Đóng góp của luận văn Hy vọng Luận văn là một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về phương pháp Euler giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số. 6. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích số, giải tích hàm, giải tích phức, . . . để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo và các sách mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới. Chương 1 Phương pháp Euler và Euler cải biên giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường 1.1. Phép nội suy và bài toán cầu phương cơ bản 1.1.1. Phép nội suy Trong các bài toán thực tế, ta thường chỉ đo được giá trị của hàm số y = f (t) tại một số điểm ti , i = 1, . . . , n của t trong khoảng [a, b] nào đó. Thí dụ, dân số của nước ta có thể biết được theo điều tra dân số vào các năm 1960, 1980, 1995, 2009. Không có một biểu thức toán học chính xác nào cho phép tính số dân trong các năm đó. Do đó ta cũng không thể tính số dân của các năm khác (thí dụ, 2000, 2010, 2020,. . .) một cách giải tích. Tuy nhiên, sử dụng phép nội suy, ta có thể tính được (xấp xỉ) số dân trong năm bất kì nào đó. Có thể, công thức toán học của hàm số y = f (t) là đã biết, nhưng khá cồng kềnh, không thuận tiện (tốn thời gian và bộ nhớ) khi tính toán giá trị (chính xác) của nó tại các điểm cụ thể. Dùng phép nội suy ta có thể dễ dàng tính được giá trị (gần đúng) của hàm y = f (t) tại bất kỳ điểm nào trong đoạn [a, b]. Hơn nữa, phép nội suy còn cho phép ta tính gần đúng đạo hàm, tích phân,. . . của hàm số y = f (t) trên đoạn [a, b]. Bài toán nội suy tổng quát được phát biểu như sau. 4 5 Giả sử không biết công thức giải tích của hàm số y = f (t) nhưng biết bảng giá trị của y chỉ tại các điểm ti , i = 1, . . . , n, tức là ta chỉ biết các giá trị yi = f (ti ), i = 1, . . . , n. Ngoài ra ta không có thông tin gì thêm về hàm y = f (t). Bài toán đặt ra là: Tìm giá trị của y(= f (t)) tại vị trí t̄ nào đó. Giá trị của y tại t̄ không có trong bảng nội suy cho trước (t̄ 6= ti , i = 1, . . . , n.). Có nhiều phương pháp để xác định giá trị của y tại t̄. Các phương pháp này đều có chung một cách giải, đó là: “Tìm một hàm theo các giá trị trong bảng nội suy xấp xỉ hàm f (t)”. Hàm xấp xỉ thường được chọn sao cho đơn giản và dễ tính toán. Hàm xấp xỉ có thể là đa thức, hàm mũ, hàm lượng giác, chuỗi Taylor, chuỗi Fourie,. . . . Khi hàm xấp xỉ ϕ(t) là một đa thức đại số thì phép nội suy tương ứng được gọi là nội suy bằng đa thức đại số. Dưới đây ta sẽ xem xét phép nội suy bằng đa thức đại số. Nội suy bằng đa thức đại số Đa thức đại số là những hàm khá thuận tiện trong sử dụng (bất biến đối với phép cộng, nhân, lấy tích phân và đạo hàm, . . . , tức là sau các phép toán trên áp dụng vào đa thức ta được kết quả vẫn là đa thức). Hơn nữa, các hàm liên tục đều xấp xỉ được (địa phương) bằng đa thức. Thật vậy, ta có Định lý 1.1.1. Giả sử hàm f (t) liên tục trên đoạn [a, b]. Khi ấy với mỗi > 0 cho trước tồn tại một đa thức P (t) sao cho |f (t) − P (t)| < với mọi t ∈ (a, b). Định lí nói rằng, đa thức nội suy P (t) nằm trong -ống có trục là 6 đường cong f (t). Bài toán nội suy một hàm số bằng đa thức được phát biểu như sau: Cho các mốc nội suy a ≤ t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn ≤ b. Hãy tìm đa thức bậc n, P (t) = a0 tn + ... + an−1 t + an sao cho P (ti ) = yi := f (ti ), i = 0, 1, 2, . . . , n. Ý nghĩa hình học của phép nội suy đa thức là: Xây dựng đường cong đa thức y = P (t) đi qua n điểm (ti , yi ), i = 0, 1, 2, . . . , n. đã cho. Như vậy, các hệ số ai của đa thức cần tìm phải thoả mãn hệ phương trình đại số tuyến tính tm a0 + tm−1 a1 + .... + an−1 t0 + an = y0 , 0 0 tm a0 + tm−1 a1 + .... + an−1 t1 + an = y1 , 1 1 (1.1.1) ··· tm a0 + tm−1 a1 + .... + an−1 tn + an = yn . n n Nếu m < n (m > n) thì hệ (1.1.1) nói chung vô nghiệm (vô định). Khi m = n hệ (1.1.1) có định thức Vandermond khác 0: n 2 t0 ... t0 t0 1 n 2 Y t1 ... t1 t1 1 = (ti − tj ) 6= 0, ∆ = ... ... ... ... 1 0≤i,j≤n n 2 tn ... tn tn 1 nên hệ có duy nhất nghiệm ai , i = 0, 1, . . . , n. Các hệ số ai có thể tính được theo công thức nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính. Đa thức nội suy Lagrange Đa thức nội suy Lagrange cho phép giải quyết bài toán nội suy mà không cần giải hệ phương trình (1.1.1). Trước tiên ta tìm đa thức Pi (t) bậc n 7 (được gọi là hàm Lagrange) thỏa mãn Pi (tj ) = δij (i, j = 0, . . . , n), 1, nếu i = j trong đó δij = là kí hiệu Kroneker. Vì tj , i 6= j là nghiệm 0, nếu i 6= j của phương trình đa thức Pi (t) = 0 nên Pi (t) có dạng Pi (t) = Ai (t − t0 ) · · · (t − ti−1 )(t − ti+1 ) · · · (t − tn ) = Ai n Y (t − tj ). j=1 j6=i Do Pi (ti ) = 1 nên 1 = Pi (ti ) = Ai (ti − t0 )...(ti − ti−1 )(ti − ti+1 ) . . . (ti − tn ). Vậy Ai = 1 . (ti − t0 ) . . . (ti − ti−1 )(ti − ti+1 ) . . . (ti − tn ) Do đó n Y (t − t0 ) . . . (t − ti−1 )(t − ti+1 )...(t − tn ) (t − tj ) Pi (t) = = . (ti − t0 ) . . . (ti − ti−1 )(ti − ti+1 ) . . . (ti − tn ) j=0 (ti − tj ) j6=i Đặt P (t) = n P yi Pi (t) thì P (tj ) = i=0 n P yi Pi (tj ) = yj (j = 0, . . . , n). i=0 Do hệ (1.1.1) có duy nhất nghiệm nên P (t) = n X i=0 n Y n X (t − tj ) yi Pi (t) = yi (t − t ) i j i=0 j=0 (1.1.2) j6=i là đa thức nội suy duy nhất cần tìm (trùng với đa thức tìm được bằng cách giải phương trình đại số (1.1.1)). Đa thức này được gọi là đa thức nội suy (interpolating polynomial) Lagrange. 8 1.1.2. Qui tắc cầu phương cơ bản Nội dung cơ bản của quy tắc cầu phương là: Để tính tích phân Rb f (t)dt a ta thay f (t) bởi một đa thức nội suy P (t). Tích phân của hàm f (t) được xấp xỉ bởi tích phân của hàm đa thức P (t) (tính được chính xác). Giả sử ta có n + 1 điểm nội suy khác nhau t0 , t1 , . . . , tn trong khoảng [a, b]. Đa thức nội suy Lagrange bậc nhỏ hơn n + 1 có dạng : P (t) = n X f (tj )Pj (t), j=0 trong đó Pj (t) = s Y i=1,i6=j (t − ti ) , nếu n ≥ 1 và P (t) = f (t0 ) nếu n = 0. (tj − ti ) Khi ấy Zb f (t)dt ≈ n X ωj f (tj ). j=0 a Các trọng số ωj được tính theo công thức ωj = Rb Pj (t)dt. a Nếu n = 0 thì đa thức nội suy P (t) ≡ f (t0 ) và ta có: Zb f (t)dt ≈ (b − a)f (t0 ). a Ta xét một số trường hợp đặc biệt. • Nếu chọn n = 0 và t0 = a thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABCD: Zb f (t)dt ≈ (b − a)f (a). a (1.1.3) 9 • Nếu chọn n = 0 và t0 = b thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABEF: Zb f (t)dt ≈ (b − a)f (b). (1.1.4) a • Nếu chọn n = 0 và t0 = a+b 2 thì ta có công thức xấp xỉ tích phân 10 bởi diện tích hình chữ nhật ABMN: Zb f (t)dt ≈ (b − a)f ( a+b ). 2 (1.1.5) a • Nếu chọn n = 1 và t0 = a, t1 = b thì P1 (t) = t−b (a−b) và P2 (t) = t−a (b−a) . Suy ra Zb ω1 = Zb P1 (t)dt = a a Zb Zb b b−a 1 (t − b)2 t−b dt = = (a − b) (a − b) 2 2 a và P2 (t)dt = ω2 = a a 2 b 1 (t − a) t−a b−a dt = . = (b − a) (b − a) 2 2 a Chứng tỏ Zb f (t)dt ≈ b−a [f (a) + f (b)]. 2 a Như vậy nếu n = 1 và thì t0 = a, t1 = b ta có bởi công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình thang ABED Zb f (t)dt ≈ a b−a [f (a) + f (b)]. 2 (1.1.6) 11 • Nếu chọn n = 2 và t0 = a, t1 = P1 (t) = (t − (a − = = b thì, đặt h = b − a, ta có: a+b 2 (t − )(t − b), 2 h 2 (t − a)(t − b) −4 = (t − a)(t − b), a+b 2 h ( a+b − a)( − b) 2 2 P2 (t) = P3 (t) = a+b 2 )(t − b) a+b 2 )(a − b) a+b 2 , t2 (t − a)(t − (b − a)(b − a+b 2 ) a+b 2 ) = 2 a+b (t − a)(t − ). 2 h 2 Suy ra: Zb ω1 = P1 (t)dt = a = 2 h2 (t − a Zb a a+b 2 )(t − b)dt = 2 2 h Zb (t − b − a−b )(t − b)dt 2 a b a−b 2 (t − b) a − b (t − b) 2 [(t − b) − ( )(t − b)]dt = 2 [ −( ) ] 2 h 3 2 2 3 2 a 3 = 2 h2 Zb 2 (b − a) h = . h2 12 6 12 và Zb Zb −4 ω2 = (t − a)(t − b)dt = 2 h a a b 3 2 4h (t − a) −4 (t − a) + (a − b)] = . = 2 [ h 3 2 6 −4 P2 (t)dt = 2 h Zb (t − a)(t − a + (a − b))dt a a Do tính chất đối xứng (hoặc tính trực tiếp), ta có ω3 = ω1 = h6 . Từ các tính toán trên ta đi đến công thức Simpson: Zb f (t)dt ≈ a+b h [f (a) + 4f ( ) + f (b)]. 6 2 (1.1.7) a 1.2. Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một Xét hệ phương trình vi phân x0 = f (t, x), t ∈ (a, b) , x ∈ Rn , (1.2.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ∈ (a, b) . (1.2.2) Nghiệm của phương trình vi phân (1.2.1)-(1.2.2) trên khoảng (a, b) là một hàm vectơ có các thành phần khả vi liên tục thỏa mãn phương trình (1.2.1) với mọi t ∈ (a, b) và điều kiện ban đầu (1.2.2). Ta thấy phương trình (1.2.1)-(1.2.2) tương đương với phương trình tích phân Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds, (1.2.3) t0 theo nghĩa mọi nghiệm của phương trình (1.2.1)-(1.2.2) cũng là nghiệm khả vi liên tục của phương trình (1.2.3) và ngược lại. Ta có các định lí 13 sau về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân (1.2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.2.2). Để cho gọn ta phát biểu các định lí cho một phương trình, tức là x ∈ R. Định lý 1.2.1. (Picard-Lindelöf) Giả sử: 1. f (t, x) là một hàm liên tục theo cả hai biến trong miền chữ nhật đóng, giới nội D, D = {(t, x) ∈ R × R| t0 − a ≤ t ≤ t0 + a; x0 − b ≤ x ≤ x0 + b} . Do D là một miền đóng, giới nội nên từ giả thiết này suy ra tồn tại một số dương M sao cho |f (t, x)| ≤ M với mọi (t, x) ∈ D. 2. Hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x trong D đều theo t, tức là, tồn tại một hằng số dương L sao cho |f (t, x2 ) − f (t, x1 )| ≤ L |x2 − x1 | với mọi (t, x1 ) ∈ D, (t, x2 ) ∈ D. Khi ấy tồn tại duy nhất một nghiệm x(t) của phương trình (1.2.1) trong khoảng t0 − H ≤ t ≤ t0 + H, trong đó H = min(a, Mb ), thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.2.2). Chứng minh. Xem, thí dụ, [1]. ∂f (t, x) Nhận xét 1.2.1. Nếu hàm f (t, x) và là liên tục trên hình chữ ∂x ∂f (t, x) ≤ L với mọi (t, x) ∈ D. Hơn nữa, theo Định lí nhật D thì ∂x giá trị trung bình, với mỗi cặp (t, x1 ) ∈ D và (t, x2 ) ∈ D tồn tại điểm (t, x∗ ) ∈ D sao cho ∂f (t, x∗ ) |x1 − x2 | ≤ L |x1 − x2 | . |f (t, x1 ) − f (t, x2 )| = ∂x Chứng tỏ f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên D. 14 Nhận xét 1.2.2. Định lí Picard-Lindelöf có tính chất địa phương (tồn tại nghiệm trong một lân cận của t0 là khoảng [t0 − H, t0 + H]). Với một số lớp hàm f (t, x), ta có thể chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của phương trình (1.2.1). Thí dụ xét phương trình vi phân tuyến tính cấp một x0 = P (t)x + Q(t), trong đó P (t) và Q(t) là những hàm liên tục trên [a, b]. Ta có f (t, x) = P (t)x + Q(t). Đặt L = max P (t). Khi ấy t∈[a,b] |f (t, x1 ) − f (t, x2 )| = |P (t)(x1 − x2 )| ≤ L |x1 − x2 | với mọi t ∈ [a, b] và mọi −∞ < x1 , x2 < +∞. Chứng tỏ f (t, x) = P (t)x + Q(t) thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên dải chữ nhật vô tận [a, b]×(−∞, +∞). Sự tồn tại nghiệm toàn cục của phương trình x0 = P (t)x + Q(t) trên toàn khoảng (a, b) là hệ quả của Định lí sau. Định lý 1.2.2. Giả sử f (t, x) là hàm liên tục theo hai biến và thỏa mãn điều kiện Lipschitz |f (t, x1 ) − f (t, x2 )| ≤ L |t1 − t2 | trên miền chữ nhật vô tận [a, b] × (−∞, +∞) và (t0 , x0 ) là một điểm trong miền đó. Khi ấy bài toán giá trị ban đầu (1.2.1)-(1.2.2) có nghiệm duy nhất trên khoảng (a, b). Chứng minh. Xem, thí dụ, [1]. 15 1.3. Phương pháp Euler 1.3.1. Định lí tồn tại nghiệm Xét phương trình vi phân x0 = f (t, x), t ∈ (a, b), x ∈ R, (1.3.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ∈ (a, b) . (1.3.2) Khi f (t, x) là liên tục nhưng không là Lipschitz, nghiệm của bài toán Cauchy vẫn tồn tại nhưng không duy nhất. dx √ Ví dụ 1.3.1. Xét bài toán Cauchy = 3 x, dt x(0) = 0. Bài toán này có vô số nghiệm: ngoài nghiệm x(t) ≡ 0 còn có một họ nghiệm khi t ≤ c; 0 32 x(t) = trong đó c ≥ 0 bất kì. 2(t − c) khi t ≥ c 3 √ Nhận xét rằng f (t, x) = 3 x không phải là hàm Lipschitz theo x trong lân cận điểm (0, 0). Ví dụ 1.3.2. Xét bài toán Cauchy √ dx = (sin 2t) 3 x, dt Bài toán này có ba nghiệm x(0) = 0. √ 2 2 3 x(t) ≡ 0; x(t)= ± √ sin t 3 3 √ Hàm số f (t, x) = (sin 2t). 3 x không phải là Lipschitz theo x trong lân cận điểm (0, 0). Ta có Tải về bản full