GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG ... - 123doc

Chúng ta thực chất đã làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác trong các chủ đề:1. - Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm số lượng giác - Phương[r]

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Chúng ta thực chất đã làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác trong các chủ đề:

- Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm số lượng giác

- Phương trình đẳng cấp bậc hai và bậc cao đối với sin và cos

- Phương trình đối xứng

Trong bài toàn này chúng ta xét thêm các trường hợp khác, bao gồm:

1 Mọi phương trình lượng giác đều có thể thực hiện việc đại số hóa thông qua hàm tan, cụ thể là đặt

tan

t x thì:

2

1 cot

sin 2 ; cos 2 ; tan 2

x

t





2 Đặt 1

sin

t

x

cos

t

x

 , điều kiện t 1

3 Đặt tasinx b cosx, điều kiện 2 2

t a b

Ví dụ 1: Giải phương trình sin 4xtanx

Giải

2

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt ttanx, suy ra phương trình có dạng:

2

2

tan 0

t t

t t t

k Z

x



 





Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Cách 2: Sử dụng phương pháp phân tích

Biến đổi phương trình về dạng:

 

2

sin

sin 4 2sin 2 cos 2 cos sin

cos

4sin cos cos 2 cos sin 4 cos cos 2 1 sin 0

2 1 cos 2 cos 2 1 sin 0

x

x

k Z



Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình cotxtanx2 tan 2x

Giải

ĐK:

sin 0

sin 2 0

cos 2 0

x

x x

















Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt t tanx cotx 1

t

1

t x t



Khi đó phương trình có dạng:

2

2

3 3

4 4

1

tan 1 2 tan

tan 1 2 tan

t

x

x

















k Z











Vậy phương trình có 4 họ nghiệm

Cách 2: Sử dụng phương pháp luận hệ số để phân tích

Biến đổi phương trình về dạng:

 

cos sin 2 sin 3 cot tan 2 tan tan 2

sin cos 2 cos sin 2 cos 2 cos sin 2 sin cos sin 3 sin

cos 3 cos sin 3 sin 0 cos 4 0

4

k

x  k x   k Z

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

cos

m x

x

a) Giải phương trình với m 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ;

2 2

 

 

Giải

2

Viết lại phương trình dưới dạng:

2 cos

x

  , khi đó phương trình có dạng:

f t  t mt 

a) Với m 1, ta được: 2  

t     t t ktm Vậy với m 1 phương trình vô nghiệm

b) Phương trình (1) có nghiệm thuộc ;

2 2

 

 Phương trình (2) có nghiệm t2

TH1: (2) có nghiệm t1 2 t2

TH2: (2) có nghiệm 2 t t

 

 

2

1 0

2 2

2

af

m m

m m

af

m S







 





 







Vậy với 5

3

m  thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc ;

2 2

 

4

4

cos

m

x

a) Giải phương trình với 9

37

m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm khác k kZ

Giải

2

Viết lại phương trình dưới dạng:

m x m  x x m  x 

Chia cả 2 vế của phương trình cho  2 2

1 tan x 0 , ta được:

Đặt tan2 2  

1 tan

x

x

 , khi đó phương trình có dạng:

m t  mt m

a) Với 9

37

m  ta được:

 

2 2

2 2

3

4

28 27 36 0

7

3

t

x

x

 



 



Vậy phương trình có hai họ nghiệm

b) Xét hai trường hợp

TH1: Nếu m    1 0 m 1 ta được:

3

TH2: Nếu m    1 0 m 1

Phương trình (1) có nghiệm  2 có nghiệm t 0;1

   

 

 

0

2

2

f f

m

S







 



















  





Vậy với 1

2

m  thỏa mãn điều kiện bài toán

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải các phương trình:

a) 1 3sin 2 x2 tanx c) 6 tanxtan 2x b) 1 3tan x2sin 2x d) sin 2x2 tanx3

Bài 2: Giải các phương trình:

a) cos tan 1

2

x

2

x x

Bài 3: Giải các phương trình:

a) 1 tan x1 sin 2 x 1 tanx

b) 4sin2 x3 tan2x1

c) 3sin cos 4cot 1 0

2

x

x x  

d) cosxsinxcos sinx xcos cos 2x x

Bài 4: Cho phương trình 2

sin

m

x

a) Giải phương trình với m1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ;

6 6

 

 

Bài 5: Cho phương trình 2  2 

4

4

cos

x

a) Giải phương trình với m 5

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 6: Cho phương trình:   2 2

cos

x

a) Giải phương trình khi 1

2

a

b) Xác định a để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng 0;

2



Bài 7: Cho phương trình 2

2

cos x x m cosx x

a) Giải phương trình với 2

3

m 

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0;

2



 

Bài 8: Cho phương trình 3cos 4sin 6

3cos 4sin 1

a) Giải phương trình với m6

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0;