GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG ... - 123doc

Chúng ta thực chất đã làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác trong các chủ đề:1. - Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm số lượng giác - Phương[r]

(1)

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Chúng ta thực chất làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác chủ đề:

- Phương trình bậc hai bậc cao hàm số lượng giác - Phương trình đẳng cấp bậc hai bậc cao sin cos - Phương trình đối xứng

Trong toàn xét thêm trường hợp khác, bao gồm:

1 Mọi phương trình lượng giác thực việc đại số hóa thông qua hàm tan, cụ thể đặt tan

t x thì:

2

2 2

1 cot

2

sin ; cos ; tan

1 1

x t

t t t

x x x

t t t





  

  

2 Đặt sin t

x



cos t

x

 , điều kiện t 1 Đặt tasinx b cosx, điều kiện t a2b2 Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sin 4xtanx

Giải

ĐK: cos  

2

x   x  k kZ

Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Đặt ttanx, suy phương trình có dạng:

   

 

 

2

2

2

2

4

2

2

2sin cos tan 1

1

0 tan

6

3 12 tan 12

tan

tan 12

t t

x x x t t t t t

t t

t x

t t t

t x

x x k

k Z

x k

x

  



      

 

 

 

     

    

 



  

     

   



(2)

 

 

 

2

sin

sin 2sin cos cos sin cos

4sin cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin

sin sin

1 3

cos cos cos

2

2 2

x

x x x x x

x

x x x x x x x x

x x x

x x

x x

x k x k

k Z

x k x k

                                                    

Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình cotxtanx2 tan 2x Giải

ĐK:

sin

sin

cos sin 4

cos

cos x

x k

x x x k x

x x                      

Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Đặt t tanx cotx

t

   tan 2 2

1 t x t  

Khi phương trình có dạng:

 

 

2 2

2

2

4 2

2 2 1 2 3 4

1

1

6 1

1 2 1

1 2 1

tan tan tan tan

tan tan

tan tan

t

t t t t t

t t

t t t t

t t t t t

t t t t t

x x k

x x k

x k x x k x                                                                                    

k Z

      

Vậy phương trình có họ nghiệm

(3)

 

 

cos sin sin cot tan tan tan

sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin

cos cos sin sin cos 4

2

x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x x

x x x x x

k

x  k x   k Z

     

  

    

      

Vậy phương trình có họ nghiệm

Ví dụ 3: Cho phƣơng trình  

4 tan

cos m x

x

  

a) Giải phƣơng trình với m 1

b) Tìm m để phƣơng trình có nghiệm thuộc ; 2

 

 

 

  Giải

ĐK: cos  

2

x   x  k kZ

Viết lại phương trình dạng:

2

1 4

4

cos cos cos cos

m m

x x x x

        

 

 

Đặt  2 cos

t t

x

  , phương trình có dạng:

   

2

f t  t mt 

a) Với m 1, ta được: t2    2t t 1 ktm Vậy với m 1 phương trình vơ nghiệm

b) Phương trình (1) có nghiệm thuộc ; 2

 

 

 

 

 Phương trình (2) có nghiệm t2 TH1: (2) có nghiệm t1 2 t2

(4)

   

2

2

4

1

'

4

2

2

2 af

m m

m m

af

m S

 

   



 

    

 

       



 





 

  

  

 

Vậy với

m  phương trình cho có nghiệm thuộc ; 2

 

 

 

 

Ví dụ 4: Cho phƣơng trình      

4

4

1 tan tan tan

cos m

m x m x x

x

    

a) Giải phƣơng trình với 37 m 

b) Tìm m để phƣơng trình có nghiệm khác k kZ Giải

ĐK: cos  

2

x   x  k kZ

Viết lại phương trình dạng:

  4  2  2  2 2

1 tan tan tan tan

m x m  x x m  x  Chia vế phương trình cho 1 tan 2x2 0 , ta được:

  2 2

tan tan

1

1 tan tan

x x

m m m

x x

 

     

 

 

Đặt  

2

tan

0

1 tan x

t t

x

  

 , phương trình có dạng:

   

1

m t  mt m

a) Với 37

m  ta được:

 

 

2

2

3

tan

4 28 27 36

12 tan

7

tan tan

3 t

x

t t

x

t ktm

x x x  k k Z

  

     

 

  

         

(5)

b) Xét hai trường hợp

TH1: Nếu m    1 m ta được:

   

2

3

t t ktm

      Phương trình vơ nghiệm

TH2: Nếu m    1 m

Phương trình (1) có nghiệm  2 có nghiệm t 0;1

   

   

       

0

0

2 co1 0;1 0 0 1

2

2 co 0;1 1 1

0

2 f f

nghiem af

m

nghiem af

S

 

    

  

  

 

     



  





   



Vậy với

m  thỏa mãn điều kiện toán BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải phƣơng trình:

a) 3sin 2 x2 tanx c) tanxtan 2x b) 3tan x2sin 2x d) sin 2x2 tanx3 Bài 2: Giải phƣơng trình:

a) cos tan x

x  b) cos tan

2 x x

 

Bài 3: Giải phƣơng trình: a) 1 tan x1 sin 2 x 1 tanx b) 4sin2 x3 tan2x1

c) 3sin cos 4cot x

x x  

d) cosxsinxcos sinx xcos cos 2x x Bài 4: Cho phƣơng trình

cot

sin m

x m

x

   

a) Giải phương trình với m1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ; 6

 

 

 

(6)

Bài 5: Cho phƣơng trình  

4

4

4 tan tan tan

cos

x m x x

x

   

a) Giải phương trình với m 5 b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 6: Cho phƣơng trình:   2

1 tan

cos

a x a

x

    

a) Giải phương trình a

b) Xác định a để phương trình có nhiều nghiệm khoảng 0;



 

 

 

Bài 7: Cho phƣơng trình 2

4

cos cos

cos x x m cosx x

 

     

 

a) Giải phương trình với m 

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0;



 

 

  Bài 8: Cho phƣơng trình 3cos 4sin

3cos 4sin

x x m

x x

  

 

a) Giải phương trình với m6