Phương Pháp đặt ẩn Phụ. | Tăng Giáp

• Home
• Forums New posts Search forums
• Lớp 12 Vật Lí 12
• What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
• Members Current visitors New profile posts Search profile posts

Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm

Tìm kiếm

Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề Note By: Search Tìm nâng cao…

• New posts
• Search forums

Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS

Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.

Note: This feature may not be available in some browsers.

• Home
• Forums
• Lớp 11
• Toán học 11
• Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC
• Bài 02. PT đối xứng với sin, cos, tan, cot

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Phương pháp đặt ẩn phụ.

• Thread starter Thread starter Doremon
• Ngày gửi Ngày gửi 10/12/14

Doremon

Moderator

Thành viên BQT Phương pháp giải Có 2 loại đặt ẩn phụ: (1) Đặt ẩn phụ , đưa phương trình đã cho về phương trình mới dễ giải hơn. (2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số. Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau: +) Đổi biến dưới hàm lượng giác +) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ 1. Đổi biến dưới hàm lượng giác Phương pháp: Khi các biểu thức dưới hàm lượng giác có mối liên hệ đặc biệt: bù nhau, hơn kém nhau kπ/2, biểu thức này gấp hai, ba lần biểu thức kia thường giải bằng phương pháp đổi biến Ví dụ 1: Giải phương trình $\cos \frac{{4x}}{3} = {\cos ^2}x$ (1) Giải​Ta có $ \Leftrightarrow \cos \frac{{4x}}{3} = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}$ Đặt $t = \frac{{2x}}{3} \Rightarrow x = \frac{{3t}}{2}$. Lúc đó ta có $\cos 2t = \frac{{1 + \cos 3t}}{2}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\cos 2t\,\, = \,1 + 4\,{\cos ^3}t - 3\cos t \Leftrightarrow 2(2{\cos ^2}t\, - 1)\, = \,1 + 4\,{\cos ^3}t - 3\cos t\\ \Leftrightarrow 4\,{\cos ^2}t - 2 - 4{\cos ^3}t\,\, + \,\,3\,\cos t - 1 = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\cos t - 1)(\,{\cos ^3}t - 3) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos t = 1\\\cos t = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = k2\pi \\t = \pm \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(k \in Z)\,\,\,\,\,(*) \end{array}$ Thế trở lại ẩn x ta có (*)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2x}}{3} = k2\pi \\\frac{{2x}}{3} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k3\pi \\x = \pm \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(k \in Z)$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin (\frac{{3\pi }}{{10}} - \frac{x}{2})\,\, = \,\,\frac{1}{2}\sin \,(\frac{\pi }{{10}} + \frac{{3x}}{2})$ (1) Ta nhận thấy $\sin \,(\frac{\pi }{{10}} + \frac{{3x}}{2})$ có thể biểu diễn $\sin \left[ {\pi - (\frac{\pi }{{10}} - \frac{{3x}}{2})} \right]\,\, = \,\,\sin 3(\frac{{3\pi }}{{10}} - \frac{x}{2})$ Như vậy phương trình đã được đưa về phương trình chứa các hàm lượng giác chỉ chứa 1 cung. Từ đây ta sử công thức nhân ba để biến đổi Giải​Ta có: $\sin (\frac{\pi }{{10}} + \frac{{3x}}{2}) = \sin \left( {\pi - \frac{\pi }{{10}} - \frac{{3x}}{2}} \right)\, = \,\,\sin 3(\frac{{3\pi }}{{10}} - \frac{x}{2})$ Đặt $t = (\frac{{3\pi }}{{10}} - \frac{x}{2})\,\,\, \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{5} - 2t$ phương trình (2) sẽ trở thành $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin t(4{\sin ^2}t - 1)\, = 0 \Leftrightarrow \,\,\sin t.(2\cos 2t - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin t = 0\\\cos 2t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = k\pi \\2t = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t = k2\pi \\2t = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi\end{array} \right. \end{array}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3\pi }}{5} - 2t = \frac{{3\pi }}{5} - k2\pi \\ \frac{{3\pi }}{5} - 2t = \frac{{3\pi }}{5} \pm \frac{\pi }{3} - k2\pi \end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{3\pi }}{5} - k2\pi \\ x = \frac{{4\pi }}{5} - k2\pi \\ x = \frac{{14\pi }}{5} - k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,(k \in Z)$ Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

Doremon

Moderator

Thành viên BQT 2. Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ. Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây + Phương trình trùng phương $a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\,\,(a \ne 0)$ Đặt t = x$^2$ với t ≥ 0 +Phương trình bậc bốn ${(x + a)^4} + {(x + b)^4} = c$ Đặt $t = x + \frac{{a + b}}{2}$ + Phương trình bậc bốn: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k với a + b = c + d Đặt t = (x + a)(x + b) + Phương trình bậc bốn đối xứng $a{x^4} + b{x^3} \pm c{x^2} \pm bx + a = 0$ Chia cả hai vế cho x$^2$ (với x ≠ 0) Đặt $t = x \pm \frac{1}{x}$ Ví dụ Minh Hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình ${\tan ^2}x - 3\tan x - 9\cot x + 9{\cot ^2}x + 2 = 0$ (1) Giải​Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \,x \ne k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,k \in Z$ Ta có: (1) $ \Leftrightarrow ({\tan ^2}x + \frac{9}{{{{\tan }^2}x}}) - 3(\tan x + \frac{3}{{\tan x}}) + 2 = 0$ Đặt $t = \tan x + \frac{3}{{\tan x}}\,\,\,\,\,\,\,\left| t \right| \ge 2\sqrt 3 $ (*) Do đó ${t^2} = {\tan ^2}x + \frac{9}{{{{\tan }^2}x}} + 6\,\, \Leftrightarrow {t^2} - 6 = {\tan ^2}x + \frac{9}{{{{\tan }^2}x}}$ Phương trình (1) trở thành ${t^2} - 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 4\end{array} \right.$ (2) Do (*) nên ta có (2) ↔ t = 4. Lúc đó ta có $\tan x + \frac{3}{{\tan x}}\, = 4 \Leftrightarrow \,\,{\tan ^2}x - 4\tan x\, + 3 = 0\,\,$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = 3 = \tan \alpha\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \alpha + k\pi\end{array} \right.\,\,\,\,\,(k \in Z)$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Chú ý: Một số phương trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ cả ẩn cũ và ẩn mới cung tồn tại trong phương trình. Bộ phận cũ còn lại ấy được xem là tham số của phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình $(\sin x + 3){\sin ^4}\frac{x}{2} - (\sin x + 3){\sin ^2}\frac{x}{2} + 1 = 0$ (1) Giải​Cách 1: Đặt ${\sin ^2}\frac{x}{2} = t\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 1$ phương trình (1) trở thành $\left( {\sin x + 3} \right){t^2} - (\sin x + 3)t + 1 = 0\,\,\,\,(*)$ Do sin(x) + 3 > 0 nên phương trình (*) là phương trình bậc hai đối với $\begin{array}{l}\Delta = {(\sin + 3)^2} - 4(\sin x + 3)\\\Delta = (\sin x - 1)(\sin x + 3)\end{array}$ Do $\left| {\sin x} \right| \le 1 \Rightarrow \Delta \le 0\,\,\forall R$ Do vậy (*) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \, = \,0\\t\, = \, - \frac{b}{{2a}}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \,x\, = \,1\\{\sin ^2}\frac{x}{2}\, = \,\frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \,x\, = \,1\\\frac{{1 - \cos \,2x}}{2}\, = \,\frac{1}{2}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,$ (với k ∈ Z) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm Cách 2: (2) $ \Leftrightarrow (\sin x + 3){\sin ^2}\frac{x}{2}({\sin ^2}\frac{x}{2} - 1) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 1 - (\sin x + 3){\sin ^2}\frac{x}{2}{\cos ^2}\frac{x}{2} = 0$ $\begin{array}{l}\Leftrightarrow 4 - (\sin x + 3){\sin ^2}x = 0\\\Leftrightarrow {\sin ^3}x + 3{\sin ^2}x - 4 = 0 \Leftrightarrow (\sin x - 1){(\sin x + 2)^2} = 0\\\Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,(k \in Z)\end{array}$ Vậy phương trình có một họ nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình $\cos x + \sqrt {2 + \cos x} = 2\,\,\,\,\,\,(1)$ Giải​Đặt $u = \sqrt {2 + \cos x} $ điều kiện $1 \le u \le \sqrt 3 $ khi đó ta có u$^2$ = 2 + cos(x) (*) . Từ (*) và (1) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}{u^2} = 2 + \cos x\\{\cos ^2}x = 2 - u\end{array} \right.$ Ta có u$^2$ = cos$^2$(x) + u + cos(x) ↔ cos$^2$(x) - u$^2$ + u + cos(x) = 0 ↔ [cos(x) - u].[cos(x) + u] + cos(x) + u = 0 ↔ [cos(x) + u][ cos(x) – u + 1] = 0 ↔ $\left[ \begin{array}{l}\cos x = - u\\\cos x = u - 1\end{array} \right.$ - Với u = - cos(x) thế vào (*) ta được ${\cos ^2}x - \cos x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = 2\,\,\,\,\,\,\,(vn)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,(k \in Z)$ -Với u = cos(x) + 1 thế vào (*) ta được $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}x + \cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,(vn)\\\cos x = \frac{{\sqrt {5 - 1} }}{2} = \cos \alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\,\,(k \in Z)\end{array}$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm . Ví dụ 4: Giải phương trình ${16^{{{\sin }^2}x}} + {16^{{{\cos }^2}x}} = 10$ Giải​Cách 1: Viết lại phương trình ${16^{{{\sin }^2}x}} + {16^{1 - {{\sin }^2}x}} = 10 \Leftrightarrow {16^{{{\sin }^2}x}} + \frac{{16}}{{{{16}^{{{\sin }^2}x}}}} = 10$ Đặt $t = {16^{{{\sin }^2}x}}$, điều kiện 1 ≤ t ≤ 16 vì $0 \le {\sin ^2}x \le 1$ nên ${16^o} \le {16^{{{\sin }^2}x}} \le {16^1}$ Khi đó phương trình có dạng $t + \frac{{16}}{t} = 10 \Leftrightarrow {t^2} - 10t + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{16^{{{\sin }^2}x}} = 8\\{16^{{{\sin }^2}x}} = 2\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{4{{\sin }^2}x}} = {2^3}\\{2^{4{{\sin }^2}x}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{3}{4}\\{\sin ^2}x = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = - \frac{1}{2}\\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = \frac{1}{4}$ $ \Leftrightarrow \cos 4x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {16^{{{\sin }^2}x}}\\v = {16^{{{\cos }^2}x}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \le u,\,\,v \le 16$ Khi đó: $u\,v = {16^{{{\sin }^2}x}}{16^{{{\cos }^2}x}} = {16^{{{\sin }^2}x + }}^{{{\cos }^2}x} = 16$ Phương trình tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}u + v = 10\\uv = 16\end{array} \right.$ Khi đó u, v là nghiệm của phương trình: ${t^2} - 10t + 16 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 8\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\ v = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 8\\v = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}{16^{{{\sin }^2}x}} = 2\\{16^{{{\cos }^2}x}} = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{16^{{{\sin }^2}x}} = 8\\{16^{{{\cos }^2}x}} = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{1}{4}\\{\cos ^2}x = \frac{3}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{3}{4}\\{\cos ^2}x = \frac{1}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{1}{4}\\{\sin ^2}x = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \cos 4x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,(\,k \in Z)$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm . Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 5: Giải phương trình $2 + \sin x\cos x + \left| {\sin x + \cos x} \right| = \frac{6}{{\sin 2x + 2\left| {\sin x + \cos x} \right|}}$ (1) Giải​Đặt t = sin(x).cos(x) + | sin(x) + cos(x)|, suy ra 2t = sin(2x) + 2| sin(x) + cos(x)| Phương trình (1) trở thành $2 + t = \frac{6}{t} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 3 \end{array} \right.$ -Với t = 1 ta có: sin(x).cos(x) + | sin(x) + cos(x)| = 1↔ 1 - sin(x).cos(x) = | sin(x) + cos(x)| (a) Do 1 - sin(x).cos(x) > 0nên (a) $ \Leftrightarrow {(\sin x + \cos x\,)^2} = {(1 - \sin x\cos x)^2}$ $\begin{array}{l}\Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = 1 - 2\sin x\cos x + {(\sin x\cos x)^2}\\\Leftrightarrow \sin x\cos x(\sin x\cos x - 4) = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,(k \in Z) \end{array}$ -Với t = - 3 ta có sin(x).cos(x) + | sin(x) + cos(x)| = - 3 ↔ | sin(x) + cos(x)| = - 3 - sin(x).cos(x) (b) Ta nhận thấy - 3 - sin(x).cos(x) < - 2 < 0 < | sin(x) + cos(x)|, suy ra phương trình (b) vô nghiệm. Vậy phương trình có một họ nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình $\frac{9}{{{{81}^{{{\sin }^2}x}}}} + 2(\cos 2x - 2)\frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}} + 4{\cos ^2}x - 3 = 0$ (1) Giải​Đặt $\frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}} = t > 0\,\,\,\,\,\,\,t = \frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}} = {3^{1 - 2{{\sin }^2}x}} = {3^{\cos 2x}}$ $ \Rightarrow \frac{9}{{{{81}^{{{\sin }^2}x}}}} = {9^{1 - 2{{\sin }^2}x}} = {9^{\cos 2x}} = {({3^{\cos 2x}})^2} = {t^2}$ Phương trình (1) trở thành ${t^2} + 2(\cos 2x - 2)t + 4{\cos ^2}x - 3 = 0$ ↔${t^2} + 2(\cos 2x - 2)t + 2\cos 2x - 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 5 - 2\cos 2x\end{array} \right.$ -Với t = - 1 < 0 loại -Với t = 5 – 2cos(2x) ta có ${3^{\cos 2x}} = 5 - 2\cos 2x$↔${3^{\cos 2x}} + 2\cos 2x = 5\,\,\,$ (*) Đặt y = cos(2x); |y| > 1 phương trình (*) trở thành 3$^y$ + 2y = 5 Đặt f(x) = 3$^y$ + 2y. Rõ ràng f(y) là hàm đồng biến trên R. Mặt khác ta có f(1) = 5 suy ra y = 1 là nghiệmduy nhất của phương trình (*) Với y = 1 ta có cos(2x) = 1 ↔ 2x = k2π ↔ x = kπ ( với k ∈ Z) Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm Nhận xét: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được vận dụng khá linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức đã cho về một số dạng phương trình lượng giác mà ta đã biết cách giải .Với ẩn phụ đã đặt ta nhất thiết phải tìm điều kiện của nó và lưu ý ta phải thử lại xem các nghiệm có thoả mãn điều kiện của phương trình hay không You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

Trending content

• Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
  • Tăng Giáp
  • 8/12/18
  Trả lời: 0
• H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
  • Huy Hoàng
  • 22/2/16
  Trả lời: 179
• Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
  • Minh Toán
  • 10/11/17
  Trả lời: 148
• V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 98
• Thread 'Giải phương trình logarit'
  • Doremon
  • 2/12/14
  Trả lời: 96
• H Thread 'Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích'
  • Huy Hoàng
  • 20/2/16
  Trả lời: 170
• Thread 'SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ'
  • Doremon
  • 4/12/14
  Trả lời: 165
• Thread 'Mặt trụ tròn xoay'
  • Doremon
  • 24/1/15
  Trả lời: 97
• V Thread 'Bài 3. Chuyển động thẳng biến đổi đều'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 172
• H Thread 'Chuyên đề mặt nón tròn xoay'
  • Huy Hoàng
  • 22/1/15
  Trả lời: 102

Latest posts

• Sóng dừng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Giao Thoa Sóng Cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Sóng điện từ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Bài 22: Sóng điện từ
• Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Mô tả sóng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Bài 5. Điện thế
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Bài 6. Tụ Điện
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
  • Latest: Tăng Giáp
  • 22/11/25
  Bài 01. Phương trình

Members online

No members online now. Total: 7 (members: 0, guests: 7)

Share this page

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

• Home
• Forums
• Lớp 11
• Toán học 11
• Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC
• Bài 02. PT đối xứng với sin, cos, tan, cot

Back Top