Phương Pháp đặt ẩn Phụ. | Tăng Giáp

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC > Bài 02. PT đối xứng với sin, cos, tan, cot > Phương pháp đặt ẩn phụ.

Thảo luận trong 'Bài 02. PT đối xứng với sin, cos, tan, cot' bắt đầu bởi Doremon, 10/12/14.

1. 

   Doremon Moderator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 29/9/14 Bài viết: 1,299 Đã được thích: 210 Điểm thành tích: 63 Giới tính: Nam

   Phương pháp giải Có 2 loại đặt ẩn phụ: (1) Đặt ẩn phụ , đưa phương trình đã cho về phương trình mới dễ giải hơn. (2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số. Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau: +) Đổi biến dưới hàm lượng giác +) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ 1. Đổi biến dưới hàm lượng giác Phương pháp: Khi các biểu thức dưới hàm lượng giác có mối liên hệ đặc biệt: bù nhau, hơn kém nhau kπ/2, biểu thức này gấp hai, ba lần biểu thức kia thường giải bằng phương pháp đổi biến Ví dụ 1: Giải phương trình $\cos \frac{{4x}}{3} = {\cos ^2}x$ (1) Giải​Ta có $ \Leftrightarrow \cos \frac{{4x}}{3} = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}$ Đặt $t = \frac{{2x}}{3} \Rightarrow x = \frac{{3t}}{2}$. Lúc đó ta có $\cos 2t = \frac{{1 + \cos 3t}}{2}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\cos 2t\,\, = \,1 + 4\,{\cos ^3}t - 3\cos t \Leftrightarrow 2(2{\cos ^2}t\, - 1)\, = \,1 + 4\,{\cos ^3}t - 3\cos t\\ \Leftrightarrow 4\,{\cos ^2}t - 2 - 4{\cos ^3}t\,\, + \,\,3\,\cos t - 1 = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\cos t - 1)(\,{\cos ^3}t - 3) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos t = 1\\\cos t = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = k2\pi \\t = \pm \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(k \in Z)\,\,\,\,\,(*) \end{array}$ Thế trở lại ẩn x ta có (*)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2x}}{3} = k2\pi \\\frac{{2x}}{3} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k3\pi \\x = \pm \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(k \in Z)$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin (\frac{{3\pi }}{{10}} - \frac{x}{2})\,\, = \,\,\frac{1}{2}\sin \,(\frac{\pi }{{10}} + \frac{{3x}}{2})$ (1) Ta nhận thấy $\sin \,(\frac{\pi }{{10}} + \frac{{3x}}{2})$ có thể biểu diễn $\sin \left[ {\pi - (\frac{\pi }{{10}} - \frac{{3x}}{2})} \right]\,\, = \,\,\sin 3(\frac{{3\pi }}{{10}} - \frac{x}{2})$ Như vậy phương trình đã được đưa về phương trình chứa các hàm lượng giác chỉ chứa 1 cung. Từ đây ta sử công thức nhân ba để biến đổi Giải​Ta có: $\sin (\frac{\pi }{{10}} + \frac{{3x}}{2}) = \sin \left( {\pi - \frac{\pi }{{10}} - \frac{{3x}}{2}} \right)\, = \,\,\sin 3(\frac{{3\pi }}{{10}} - \frac{x}{2})$ Đặt $t = (\frac{{3\pi }}{{10}} - \frac{x}{2})\,\,\, \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{5} - 2t$ phương trình (2) sẽ trở thành $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin t(4{\sin ^2}t - 1)\, = 0 \Leftrightarrow \,\,\sin t.(2\cos 2t - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin t = 0\\\cos 2t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = k\pi \\2t = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t = k2\pi \\2t = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi\end{array} \right. \end{array}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3\pi }}{5} - 2t = \frac{{3\pi }}{5} - k2\pi \\ \frac{{3\pi }}{5} - 2t = \frac{{3\pi }}{5} \pm \frac{\pi }{3} - k2\pi \end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{3\pi }}{5} - k2\pi \\ x = \frac{{4\pi }}{5} - k2\pi \\ x = \frac{{14\pi }}{5} - k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,(k \in Z)$ Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

   Bài viết mới nhất

   • Phương pháp đặt ẩn phụ.10/12/2014
   • Phương pháp biến đổi tương đương10/12/2014
   • Loại nghiệm không thích hợp của phương trình lượng giác10/12/2014
   • PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng tan(x) và cot(x) (buổi 2)10/12/2014
   • Phương trình đối xứng đối với sin(x) và cos(x).09/12/2014
   Doremon, 10/12/14 #1
2. 

   Doremon Moderator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 29/9/14 Bài viết: 1,299 Đã được thích: 210 Điểm thành tích: 63 Giới tính: Nam

   2. Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ. Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây + Phương trình trùng phương $a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\,\,(a \ne 0)$ Đặt t = x$^2$ với t ≥ 0 +Phương trình bậc bốn ${(x + a)^4} + {(x + b)^4} = c$ Đặt $t = x + \frac{{a + b}}{2}$ + Phương trình bậc bốn: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k với a + b = c + d Đặt t = (x + a)(x + b) + Phương trình bậc bốn đối xứng $a{x^4} + b{x^3} \pm c{x^2} \pm bx + a = 0$ Chia cả hai vế cho x$^2$ (với x ≠ 0) Đặt $t = x \pm \frac{1}{x}$ Ví dụ Minh Hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình ${\tan ^2}x - 3\tan x - 9\cot x + 9{\cot ^2}x + 2 = 0$ (1) Giải​Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \,x \ne k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,k \in Z$ Ta có: (1) $ \Leftrightarrow ({\tan ^2}x + \frac{9}{{{{\tan }^2}x}}) - 3(\tan x + \frac{3}{{\tan x}}) + 2 = 0$ Đặt $t = \tan x + \frac{3}{{\tan x}}\,\,\,\,\,\,\,\left| t \right| \ge 2\sqrt 3 $ (*) Do đó ${t^2} = {\tan ^2}x + \frac{9}{{{{\tan }^2}x}} + 6\,\, \Leftrightarrow {t^2} - 6 = {\tan ^2}x + \frac{9}{{{{\tan }^2}x}}$ Phương trình (1) trở thành ${t^2} - 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 4\end{array} \right.$ (2) Do (*) nên ta có (2) ↔ t = 4. Lúc đó ta có $\tan x + \frac{3}{{\tan x}}\, = 4 \Leftrightarrow \,\,{\tan ^2}x - 4\tan x\, + 3 = 0\,\,$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = 3 = \tan \alpha\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \alpha + k\pi\end{array} \right.\,\,\,\,\,(k \in Z)$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Chú ý: Một số phương trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ cả ẩn cũ và ẩn mới cung tồn tại trong phương trình. Bộ phận cũ còn lại ấy được xem là tham số của phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình $(\sin x + 3){\sin ^4}\frac{x}{2} - (\sin x + 3){\sin ^2}\frac{x}{2} + 1 = 0$ (1) Giải​Cách 1: Đặt ${\sin ^2}\frac{x}{2} = t\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 1$ phương trình (1) trở thành $\left( {\sin x + 3} \right){t^2} - (\sin x + 3)t + 1 = 0\,\,\,\,(*)$ Do sin(x) + 3 > 0 nên phương trình (*) là phương trình bậc hai đối với $\begin{array}{l}\Delta = {(\sin + 3)^2} - 4(\sin x + 3)\\\Delta = (\sin x - 1)(\sin x + 3)\end{array}$ Do $\left| {\sin x} \right| \le 1 \Rightarrow \Delta \le 0\,\,\forall R$ Do vậy (*) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \, = \,0\\t\, = \, - \frac{b}{{2a}}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \,x\, = \,1\\{\sin ^2}\frac{x}{2}\, = \,\frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \,x\, = \,1\\\frac{{1 - \cos \,2x}}{2}\, = \,\frac{1}{2}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,$ (với k ∈ Z) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm Cách 2: (2) $ \Leftrightarrow (\sin x + 3){\sin ^2}\frac{x}{2}({\sin ^2}\frac{x}{2} - 1) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 1 - (\sin x + 3){\sin ^2}\frac{x}{2}{\cos ^2}\frac{x}{2} = 0$ $\begin{array}{l}\Leftrightarrow 4 - (\sin x + 3){\sin ^2}x = 0\\\Leftrightarrow {\sin ^3}x + 3{\sin ^2}x - 4 = 0 \Leftrightarrow (\sin x - 1){(\sin x + 2)^2} = 0\\\Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,(k \in Z)\end{array}$ Vậy phương trình có một họ nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình $\cos x + \sqrt {2 + \cos x} = 2\,\,\,\,\,\,(1)$ Giải​Đặt $u = \sqrt {2 + \cos x} $ điều kiện $1 \le u \le \sqrt 3 $ khi đó ta có u$^2$ = 2 + cos(x) (*) . Từ (*) và (1) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}{u^2} = 2 + \cos x\\{\cos ^2}x = 2 - u\end{array} \right.$ Ta có u$^2$ = cos$^2$(x) + u + cos(x) ↔ cos$^2$(x) - u$^2$ + u + cos(x) = 0 ↔ [cos(x) - u].[cos(x) + u] + cos(x) + u = 0 ↔ [cos(x) + u][ cos(x) – u + 1] = 0 ↔ $\left[ \begin{array}{l}\cos x = - u\\\cos x = u - 1\end{array} \right.$ - Với u = - cos(x) thế vào (*) ta được ${\cos ^2}x - \cos x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = 2\,\,\,\,\,\,\,(vn)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,(k \in Z)$ -Với u = cos(x) + 1 thế vào (*) ta được $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}x + \cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,(vn)\\\cos x = \frac{{\sqrt {5 - 1} }}{2} = \cos \alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\,\,(k \in Z)\end{array}$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm . Ví dụ 4: Giải phương trình ${16^{{{\sin }^2}x}} + {16^{{{\cos }^2}x}} = 10$ Giải​Cách 1: Viết lại phương trình ${16^{{{\sin }^2}x}} + {16^{1 - {{\sin }^2}x}} = 10 \Leftrightarrow {16^{{{\sin }^2}x}} + \frac{{16}}{{{{16}^{{{\sin }^2}x}}}} = 10$ Đặt $t = {16^{{{\sin }^2}x}}$, điều kiện 1 ≤ t ≤ 16 vì $0 \le {\sin ^2}x \le 1$ nên ${16^o} \le {16^{{{\sin }^2}x}} \le {16^1}$ Khi đó phương trình có dạng $t + \frac{{16}}{t} = 10 \Leftrightarrow {t^2} - 10t + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{16^{{{\sin }^2}x}} = 8\\{16^{{{\sin }^2}x}} = 2\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{4{{\sin }^2}x}} = {2^3}\\{2^{4{{\sin }^2}x}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{3}{4}\\{\sin ^2}x = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = - \frac{1}{2}\\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = \frac{1}{4}$ $ \Leftrightarrow \cos 4x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {16^{{{\sin }^2}x}}\\v = {16^{{{\cos }^2}x}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \le u,\,\,v \le 16$ Khi đó: $u\,v = {16^{{{\sin }^2}x}}{16^{{{\cos }^2}x}} = {16^{{{\sin }^2}x + }}^{{{\cos }^2}x} = 16$ Phương trình tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}u + v = 10\\uv = 16\end{array} \right.$ Khi đó u, v là nghiệm của phương trình: ${t^2} - 10t + 16 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 8\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\ v = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 8\\v = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}{16^{{{\sin }^2}x}} = 2\\{16^{{{\cos }^2}x}} = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{16^{{{\sin }^2}x}} = 8\\{16^{{{\cos }^2}x}} = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{1}{4}\\{\cos ^2}x = \frac{3}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{3}{4}\\{\cos ^2}x = \frac{1}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{1}{4}\\{\sin ^2}x = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \cos 4x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,(\,k \in Z)$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm . Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 5: Giải phương trình $2 + \sin x\cos x + \left| {\sin x + \cos x} \right| = \frac{6}{{\sin 2x + 2\left| {\sin x + \cos x} \right|}}$ (1) Giải​Đặt t = sin(x).cos(x) + | sin(x) + cos(x)|, suy ra 2t = sin(2x) + 2| sin(x) + cos(x)| Phương trình (1) trở thành $2 + t = \frac{6}{t} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 3 \end{array} \right.$ -Với t = 1 ta có: sin(x).cos(x) + | sin(x) + cos(x)| = 1↔ 1 - sin(x).cos(x) = | sin(x) + cos(x)| (a) Do 1 - sin(x).cos(x) > 0nên (a) $ \Leftrightarrow {(\sin x + \cos x\,)^2} = {(1 - \sin x\cos x)^2}$ $\begin{array}{l}\Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = 1 - 2\sin x\cos x + {(\sin x\cos x)^2}\\\Leftrightarrow \sin x\cos x(\sin x\cos x - 4) = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,(k \in Z) \end{array}$ -Với t = - 3 ta có sin(x).cos(x) + | sin(x) + cos(x)| = - 3 ↔ | sin(x) + cos(x)| = - 3 - sin(x).cos(x) (b) Ta nhận thấy - 3 - sin(x).cos(x) < - 2 < 0 < | sin(x) + cos(x)|, suy ra phương trình (b) vô nghiệm. Vậy phương trình có một họ nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình $\frac{9}{{{{81}^{{{\sin }^2}x}}}} + 2(\cos 2x - 2)\frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}} + 4{\cos ^2}x - 3 = 0$ (1) Giải​Đặt $\frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}} = t > 0\,\,\,\,\,\,\,t = \frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}} = {3^{1 - 2{{\sin }^2}x}} = {3^{\cos 2x}}$ $ \Rightarrow \frac{9}{{{{81}^{{{\sin }^2}x}}}} = {9^{1 - 2{{\sin }^2}x}} = {9^{\cos 2x}} = {({3^{\cos 2x}})^2} = {t^2}$ Phương trình (1) trở thành ${t^2} + 2(\cos 2x - 2)t + 4{\cos ^2}x - 3 = 0$ ↔${t^2} + 2(\cos 2x - 2)t + 2\cos 2x - 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 5 - 2\cos 2x\end{array} \right.$ -Với t = - 1 < 0 loại -Với t = 5 – 2cos(2x) ta có ${3^{\cos 2x}} = 5 - 2\cos 2x$↔${3^{\cos 2x}} + 2\cos 2x = 5\,\,\,$ (*) Đặt y = cos(2x); |y| > 1 phương trình (*) trở thành 3$^y$ + 2y = 5 Đặt f(x) = 3$^y$ + 2y. Rõ ràng f(y) là hàm đồng biến trên R. Mặt khác ta có f(1) = 5 suy ra y = 1 là nghiệmduy nhất của phương trình (*) Với y = 1 ta có cos(2x) = 1 ↔ 2x = k2π ↔ x = kπ ( với k ∈ Z) Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm Nhận xét: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được vận dụng khá linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức đã cho về một số dạng phương trình lượng giác mà ta đã biết cách giải .Với ẩn phụ đã đặt ta nhất thiết phải tìm điều kiện của nó và lưu ý ta phải thử lại xem các nghiệm có thoả mãn điều kiện của phương trình hay không

   Doremon, 10/12/14 #2

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,071 Bài viết: 12,735 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: duychien.saigonapp

Chủ đề mới nhất

• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài kí Ai đã đặt... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích truyện Vợ chồng... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài thơ tây tiến... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC > Bài 02. PT đối xứng với sin, cos, tan, cot >