Giai Thừa – Wikipedia Tiếng Việt

Trong toán học, giai thừa (Tiếng Anh: factorial) là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", ký hiệu n ! {\displaystyle n!} là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên.

n ! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n {\displaystyle n!=1\times 2\times 3\times \dots \times n}

Ví dụ: 7 ! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040 {\displaystyle 7!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7=5040}

5 ! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 {\displaystyle 5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120}

Đặc biệt, với n = 0 {\displaystyle n=0} , người ta quy ước 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} , đúng theo quy ước của một tích rỗng.[1] Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808. Giai thừa được phổ biến trong nhiều mảng khác nhau của toán học, chủ yếu là mảng tổ hợp, vì đây là số cách khác nhau để xáo trộn một nhóm n {\displaystyle n} đối tượng nào đó.

Định nghĩa đệ quy

[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau

1. 0 ! = 1 ! = 1 {\displaystyle 0!=1!=1}
2. ( n + 1 ) ! = n ! × ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)!=n!\times (n+1)} với n > 0 {\displaystyle n>0}

Một số tính chất và công thức của giai thừa

[sửa | sửa mã nguồn]

Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn lũy thừa của 10 ( 10 n {\displaystyle 10^{n}} ) bậc n và hàm mũ hai tầng ( a b c {\displaystyle a^{b^{c}}} ) có cùng cơ số và mũ.

1. n ! = n ( n − 1 ) ! . {\displaystyle n!=n(n-1)!.}
2. log a ⁡ ( n ! ) = ∑ x = 1 n log a ⁡ ( x ) . {\displaystyle \log _{a}{(n!)}=\sum _{x=1}^{n}\log _{a}(x).}
3. ∫ 1 n log ⁡ x d x ≤ ∑ x = 1 n log ⁡ x ≤ ∫ 0 n log ⁡ ( x + 1 ) d x {\displaystyle \int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log(x+1)\,dx}
4. n log ⁡ ( n e ) + 1 ≤ log ⁡ n ! ≤ ( n + 1 ) log ⁡ ( n + 1 e ) + 1. {\displaystyle n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq (n+1)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1.}
5. e ( n e ) n ≤ n ! ≤ e ( n + 1 e ) n + 1 . {\displaystyle e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}.}
6. n ! ≈ 2 π n ( n e ) n . {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.} (Công thức Stirling).
7. n ! > 2 π n ( n e ) n . {\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}
8. n ! ≈ 2 π ( n + 1 3 ) 1 3 ( n + 1 3 e ) ( n + 1 3 ) ( ∀ n ∈ R , n ≥ − 1 3 ) {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi \left(n+{\frac {1}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}}}\left({\frac {n+{\frac {1}{3}}}{e}}\right)^{\left(n+{\frac {1}{3}}\right)}\qquad \left(\forall n\in \mathbb {R} ,n\geq -{\frac {1}{3}}\right)} Đây là dạng nâng cao của công thức Stirling, cũng là ước lượng với độ chính xác cao nhất (sai số lớn nhất < 4 % {\displaystyle <4\%} , khi n càng lớn thì sai số càng nhỏ).
9. ln ⁡ ( n ! ) ≈ n ln ⁡ ( n ) − n + ln ⁡ ( n ( 1 + 4 n ( 1 + 2 n ) ) ) 6 + ln ⁡ ( π ) 2 . {\displaystyle \ln(n!)\approx n\ln(n)-n+{\frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\ln(\pi )}{2}}.}

Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan.

Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa

[sửa | sửa mã nguồn]

• Công thức tính số tổ hợp:

C n k = n ! k ! ( n − k ) ! ( 0 < k ≤ n ) {\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}(0<k\leq n)}

• Công thức tính số chỉnh hợp:

A n k = n ! ( n − k ) ! ( 0 < k ≤ n ) {\displaystyle A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}(0<k\leq n)}

Mở rộng cho tập số rộng hơn

[sửa | sửa mã nguồn]

Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.

Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?

Công thức Gamma

[sửa | sửa mã nguồn]

Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Thụy Sĩ, Leonhard Euler đề ra. Hàm số này có dạng sau:

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t}

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:

Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,.}

Khi đó ta có:

z ! = Γ ( z + 1 ) . {\displaystyle z!=\Gamma (z+1).\,}

Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành:

Γ ( z )   = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( n + k ) {\displaystyle \Gamma (z)\ =\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(n+k)}}}

Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:

Γ ( z )   Γ ( 1 − z )   = π sin ⁡ ( π z ) {\displaystyle \Gamma (z)\ \Gamma (1-z)\ ={\frac {\pi }{\sin({\pi }z)}}}

Thay z = 1/2 ta thu được:

Γ ( 1 2 )   = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\ ={\sqrt {\pi }}}

Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:

Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 m 1 / 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz)\,.}

Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh:

Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = π ⋅ [ ( n − 1 2 n ) n ! ] {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]} Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π / [ ( − 1 2 n ) n ! ] {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}

Giai thừa với số thực

[sửa | sửa mã nguồn]

Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:

z ! = Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) . {\displaystyle z!=\Pi (z)=\Gamma (z+1)\,.}

Như vậy:

( − 0 , 5 ) ! = Π ( − 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) . {\displaystyle (-0,5)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,.} ( n − 0 , 5 ) ! = Π ( n − 1 2 ) = Γ ( n + 1 2 ) . {\displaystyle (n-0,5)!=\Pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.} ( − n − 0 , 5 ) ! = Π ( − n − 1 2 ) = Γ ( − n + 1 2 ) . {\displaystyle (-n-0,5)!=\Pi \left(-n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(-n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}

Ví dụ:

• Γ ( 4.5 ) = 3.5 ! = Π ( 3.5 ) = 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 π = 8 ! 4 4 4 ! π = 105 16 π ≈ 11.63. {\displaystyle \Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63.}
• Γ ( − 2.5 ) = ( − 3.5 ) ! = Π ( − 3.5 ) = 2 − 1 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 − 5 π = ( − 4 ) 3 3 ! 6 ! π = − 8 15 π ≈ − 0.9453. {\displaystyle \Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453.}

Giai thừa với số phức

[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:

Γ ( z ) = ∑ k = 0 ∞ Γ ( k ) ( 1 ) k ! z k − 1 , {\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ^{(k)}(1)}{k!}}z^{k-1}\,,}

với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:

n {\displaystyle n}	g n {\displaystyle g_{n}}	Xấp xỉ
0	1 {\displaystyle 1}	1 {\displaystyle 1}
1	− γ {\displaystyle -\gamma }	− 0.5772156649 {\displaystyle -0.5772156649}
2	π 2 12 + γ 2 2 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{12}}+{\frac {\gamma ^{2}}{2}}}	0.9890559955 {\displaystyle 0.9890559955}
3	− ζ ( 3 ) 3 − π 2 γ 12 − γ 3 6 {\displaystyle -{\frac {\zeta (3)}{3}}-{\frac {\pi ^{2}\gamma }{12}}-{\frac {\gamma ^{3}}{6}}}	− 0.9074790760 {\displaystyle -0.9074790760}

Ở đây γ {\displaystyle \gamma } là hằng số Euler - Mascheroni còn ζ {\displaystyle \zeta } là hàm zeta Riemann.

• .
• Đồ thị hàm Z = Re(z!).
• Đồ thị hàm Z = Im(z!).

Ngoài ra, còn có thể sử dựng ước lượng gần đúng theo dạng nâng cao của công thức Stirling với một số bổ sung kèm với đó.

Cụ thể:

z ! = Γ ( z + 1 ) ≈ g ( z ) = { 1 1 + π arctan ⁡ ( 3 2 z ) 100 z 2 π ( z + 1 3 ) 1 3 ( z + 1 3 e ) ( z + 1 3 ) , ∀ z ∈ C , ℜ ( z ) > 0. π z sin ⁡ ( π z ) . g ( − z ) , otherwise {\displaystyle z!=\Gamma (z+1)\approx g(z)={\begin{cases}{\frac {1}{1+{\frac {{\sqrt {\pi }}\arctan \left({\frac {3}{2}}z\right)}{100z}}}}{\sqrt {2\pi \left(z+{\frac {1}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}}}\left({\frac {z+{\frac {1}{3}}}{e}}\right)^{\left(z+{\frac {1}{3}}\right)},&\forall z\in \mathbb {C} ,\Re (z)>0.\\{\frac {\pi z}{\sin(\pi z).g(-z)}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

Các khái niệm tương tự

[sửa | sửa mã nguồn]

Giai thừa nguyên tố (primorial)

[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Giai thừa nguyên tố

Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2 · 3 · 5 · 7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial. Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).

Giai thừa kép

[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.

n ! ! = { 1 ,   khi  n <= 1 ; n ( n − 2 ) ! ! khi  n ≥ 2. {\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{khi }}n<=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{khi }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}

Ví dụ:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!!	1	1	2	3	8	15	48	105	384	945	3840

Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:

( n − 2 ) ! ! = n ! ! n {\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là

1, -1, 1/3, -1/15...

Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.

Một vài đẳng thức với giai thừa kép:

n ! = n ! ! ( n − 1 ) ! ! {\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,} ( 2 n ) ! ! = 2 n n ! {\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,} ( 2 n + 1 ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! 2 n n ! {\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}

Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.

Giai thừa bội

[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!)....

Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!(k), được định nghĩa đệ quy như sau

n ! ( k ) = { 1 ,   khi  0 ≤ n < k ; n ( n − k ) ! ( k ) , khi  n ≥ k .     {\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{khi }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{khi }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}

Siêu giai thừa (superfactorial)

[sửa | sửa mã nguồn]

Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

s f ( 4 ) = 1 ! × 2 ! × 3 ! × 4 ! = 288 {\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,}

Tổng quát

s f ( n ) = ∏ k = 1 n k ! = ∏ k = 1 n k n − k + 1 = 1 n ⋅ 2 n − 1 ⋅ 3 n − 2 ⋯ ( n − 1 ) 2 ⋅ n 1 . {\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,... (dãy số A000178 trong bảng OEIS)

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,...

và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là

m f ( n , m ) = m f ( n − 1 , m ) m f ( n , m − 1 ) = ∏ k = 1 n k ( n − k + m − 1 n − k ) {\displaystyle \mathrm {mf} (n,m)=\mathrm {mf} (n-1,m)\mathrm {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k}}

trong đó m f ( n , 0 ) = n {\displaystyle \mathrm {mf} (n,0)=n} for n > 0 {\displaystyle n>0} and m f ( 0 , m ) = 1 {\displaystyle \mathrm {mf} (0,m)=1} .

Giai thừa trên

[sửa | sửa mã nguồn] x n ¯ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) = ( x + n − 1 ) ! ( x − 1 ) ! {\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. tr. 111. ISBN 0-201-14236-8.

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]

• Factorial (mathematics) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• GIAI THỪA của một số tự nhiên n tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Factorial”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., "Factorial" từ MathWorld.
• Factorial tại trang PlanetMath.org.
• Tính toán của giai thừa

x t s Các dãy và chuỗi
Dãy số nguyên	Đơn giản Cấp số cộng Cấp số nhân Cấp số điều hòa Số chính phương Số lập phương Giai thừa Lũy thừa của 2 Lũy thừa của 3 Lũy thừa của 10 Nâng cao Complete sequence Dãy Fibonacci Số hình học Số đa giác Số lục giác Số ngũ giác Số tam giác Số thất giác Số Lucas Số Pell
Tính chấtcủa các dãy	Dãy Cauchy Hàm số đơn điệu Dãy tuần hoàn
Tính chấtcủa các chuỗi	Chuỗi hội tụ Chuỗi phân kỳ Hội tụ điều kiện Hội tụ đồng nhất Hội tụ tuyệt đối Chuỗi thay phiên Chuỗi lồng nhau
Các chuỗi cụ thể	Hội tụ 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (hàm zeta Riemann) Phân kỳ 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Chuỗi Grandi) 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (chuỗi điều hòa) 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (giai thừa xen kẽ) 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (nghịch đảo của các số nguyên tố)
Các loại chuỗi	Chuỗi Dirichlet Chuỗi Fourier Chuỗi Laurent Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa thông thường Chuỗi lượng giác Chuỗi Puiseux Chuỗi Taylor Chuỗi sinh
Chuỗi siêu bội	Chuỗi siêu bội của một ma trận Chuỗi siêu bội Lauricella Chuỗi siêu bội Modular Chuỗi siêu bội Theta Chuỗi siêu bội tổng quan Phương trình vi phân của Riemann
Thể loại

Tiêu đề chuẩn	GND: 4153607-1