Giải Toán 10: Bài 2. Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ

Giải Bài Tập

Giải Bài Tập, Sách Giải, Giải Toán, Vật Lý, Hóa Học, Sinh Học, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Lịch Sử, Địa Lý

  • Home
  • Lớp 1,2,3
    • Lớp 1
    • Giải Toán Lớp 1
    • Tiếng Việt Lớp 1
    • Lớp 2
    • Giải Toán Lớp 2
    • Tiếng Việt Lớp 2
    • Văn Mẫu Lớp 2
    • Lớp 3
    • Giải Toán Lớp 3
    • Tiếng Việt Lớp 3
    • Văn Mẫu Lớp 3
    • Giải Tiếng Anh Lớp 3
  • Lớp 4
    • Giải Toán Lớp 4
    • Tiếng Việt Lớp 4
    • Văn Mẫu Lớp 4
    • Giải Tiếng Anh Lớp 4
  • Lớp 5
    • Giải Toán Lớp 5
    • Tiếng Việt Lớp 5
    • Văn Mẫu Lớp 5
    • Giải Tiếng Anh Lớp 5
  • Lớp 6
    • Soạn Văn 6
    • Giải Toán Lớp 6
    • Giải Vật Lý 6
    • Giải Sinh Học 6
    • Giải Tiếng Anh Lớp 6
    • Giải Lịch Sử 6
    • Giải Địa Lý Lớp 6
    • Giải GDCD Lớp 6
  • Lớp 7
    • Soạn Văn 7
    • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
    • Giải Vật Lý 7
    • Giải Sinh Học 7
    • Giải Tiếng Anh Lớp 7
    • Giải Lịch Sử 7
    • Giải Địa Lý Lớp 7
    • Giải GDCD Lớp 7
  • Lớp 8
    • Soạn Văn 8
    • Giải Bài Tập Toán 8
    • Giải Vật Lý 8
    • Giải Bài Tập Hóa 8
    • Giải Sinh Học 8
    • Giải Tiếng Anh Lớp 8
    • Giải Lịch Sử 8
    • Giải Địa Lý Lớp 8
  • Lớp 9
    • Soạn Văn 9
    • Giải Bài Tập Toán 9
    • Giải Vật Lý 9
    • Giải Bài Tập Hóa 9
    • Giải Sinh Học 9
    • Giải Tiếng Anh Lớp 9
    • Giải Lịch Sử 9
    • Giải Địa Lý Lớp 9
  • Lớp 10
    • Soạn Văn 10
    • Giải Bài Tập Toán 10
    • Giải Vật Lý 10
    • Giải Bài Tập Hóa 10
    • Giải Sinh Học 10
    • Giải Tiếng Anh Lớp 10
    • Giải Lịch Sử 10
    • Giải Địa Lý Lớp 10
  • Lớp 11
    • Soạn Văn 11
    • Giải Bài Tập Toán 11
    • Giải Vật Lý 11
    • Giải Bài Tập Hóa 11
    • Giải Sinh Học 11
    • Giải Tiếng Anh Lớp 11
    • Giải Lịch Sử 11
    • Giải Địa Lý Lớp 11
  • Lớp 12
    • Soạn Văn 12
    • Giải Bài Tập Toán 12
    • Giải Vật Lý 12
    • Giải Bài Tập Hóa 12
    • Giải Sinh Học 12
    • Giải Tiếng Anh Lớp 12
    • Giải Lịch Sử 12
    • Giải Địa Lý Lớp 12
Trang ChủLớp 10Giải Bài Tập Toán 10Giải Toán 10 Hình HọcBài 2. Tích vô hướng của hai vectơ Giải Toán 10: Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ
  • Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ trang 1
  • Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ trang 2
  • Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ trang 3
  • Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ trang 4
  • Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ trang 5
  • Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ trang 6
  • Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ trang 7
  • Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ trang 8
§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỊNH NGHĨA Cho hai vectơ a và b khác vectơ õ. Tích vô hướng của ã và b là một số, kí hiệu là a . b, được xác định bởi công thức sau: a • b “ I) • cos( 3,1)) Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta qui ước a . b =0. Chú ý Với ã và b khác vectơ ỏ ta có a.b = 0 a lb Khi ã = b tích vô hướng a .a được kí hiệu là ã và sô" này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a . Ta có: ã' - a. |ã| cos0° = |ă| CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: Với ba vectơ a , b , c bất kì và mọi số k ta có: ã . b = b. ã (tính chất giao hoán) a.(b+ c) = a.b + a.c (tính chất phân phối) (kă).b = k.(ã.b) = ã.(kb) -2 -2 - a >0, a - 0 a = 0 Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: (a + b)2=a2+2a.b + b‘ (ă - b )2 - a2 - 2 ã . b + b' (ã + b)(a - b) = a' - b2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÕ HƯỚNG Trên mặt phẳng tọa độ (O; ĩ, J), cho hai vectơ a = (Up a2), b = (bp b9) Khi đó tích vô hướng ă • b là: ã • b = sẠ + a2b2 ỨNG DỤNG Độ dài của vectơ Độ dài của vectơ ã = (ab aọ) được tính theo công thức: jaj = yỊa-ị + aị Góc giữa hai vectơ Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (ax; a9) và b - (bp b2) đều khác Q thì ta có: cos(a,b) = 7-j a.b atbj + a2b9 _ = 1 1 bl ựapH- áị ,ựbf + b* Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điêm A(xa; yA) và B(xb; yB) được tính theo công thức: AB = ự(xB - XA )2 + (yB - yA )2 B. GIÃI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1 Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng ĂB.ÃC, AC.CB Giải AB.AC = Ịab|.|ac|.cos90" Vậy ÃẼ.ÃC = 0 AC.CB = |AC|.Icb|.cos135° BÀI 2 Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng ÕÃ.ÕB trong hai trường hợp: Điếm o nằm ngoài đoạn AB. Điếm o nằm trong đoạn AB. Giải Khi o nằm ngoài đoạn AB thì hai vectơ o A B OA, OB cùng hướng và góc (OẤ, OB) = 0. COS(ÕẦ, ÕB) = 1 nên ÕÃ.ÕB = a.b A o B Khi o nằm trong đoạn AB thì OẤ và OB là hai vectơ ngược hướng và góc (OA, OB) - 180° cos(OẤ, ỠB) = -1 nên ÕÃ.ÕB = -a.b BAI 3 Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là haí điếm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I. Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA . Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI.AM + BI.BN theo R. Giải Ta có: AI.AM = Jai| .Jam| ,cosO° = AI.AM (1) AI.AB = |Al| .|abJ cosIAB = AI.AB.cosIAB = AI.AM (2) (Do tam giác AMB vuông tại M => AM = I AB.cosĨAB) Từ (1) và (2) suy ra ÃĨ.ÃM = ÃĨ.ÃB Hoàn toàn chứng minh tương tự ta cũng được BI.BN - BĨ.BÃ Ta có: AI.AM + BI.BN = AI.AB + BI.BA (Theo câu a) = ÃB(ÃĨ - BĨ) - ÃB.ÃB = AB2 = (2R)2 = 4R2 BÀI 4 Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(l; 3), B(4; 2). Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB. Tính chu vi tam giác OAB. Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB. Giải a) Gọi D(x; 0) ta có; AD(1 - x; 3), DB(4 - x; 2) Để DA = DB « |ÕÃ| = IDS! 7(1 - x)2 + 32 = 7(4 - x)2 + 22 (1 - x)2 + 9 = (4 - x)2 + 4 ..5 6x = 10 X = — O Vậy d[|; o) ÃB = (3; -D=> AB = M = + 1" = ÕÃ(1; 3) => OA = M = 7l2 + 32 = 7ĨÕ OB (4; 2) => OB = ỊõẼ| = yj4~ + 22 = 720 Vậy chu vi tam giác bằng OA + OB + oc = 7ĨÕ + 7ĨÕ + 720 Ta có: ÕÃ.ĂB = 1-3 + 3.(—1) => OA 1 AB => Diện tích tam giác OAB = ^.OA.AB = Ẹ-7ĨÕ.7ĨÕ - 5 (đvdt) Zj Zj BÀI 5 Trên mặt phắng Oxy hãy tính góc tạo bởi hai vectơ a và b trong các trường hợp sau: a) ã = (2; -3), b = (6; 4) b) ã = (3; 2), b = (5; -1) ã = (-2;-273), b = (3; 73 ) Giải a) ă.b = 2.6 - 3.4 = 0 => ã ± b ^> (a, b) = 90° ă.b 3.5 + 2(-l) 13 1 b) Ta có cos( a , b) " |ã|. b ' 732 + 22.7õ2 + l2 ’ 726.713 72 => (ã, b) = 45° — — ă.b -2.3 + 273.73 -12 Í3 -73 c) Ta eó: cost a , b; ẵ|.b ’ 74 + 12.79 + 3 477 V4 2 => (ã, b; ) = 150° BÀI 6 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bôn điểm: A(7; -3) B(8; 4) C(l; 5) D(0; -2) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông. Giải Ta có ÃẼ = (1; 7) DC = (1; 7) AB = DC => ABCD là hình bình hành. (1) Ta lại có AB2 = 50 => AB = 5^2 AD2 = 50 => AD - 5Ự2 AD = AB, kết hợp với (1) suy ra: ABCD là hình thoi. (2) Mật khác AB - (1; 7) AD = (-7; 1) .1.7 + (-7).l = 0 => ÃB 1 ÃD Kết hợp (2) và (3) suy ra ABCD là hình vuông. BÀI 7 Trên mặt phẵng tọa độ Oxy cho điếm A(-2; 1). Gọi B là điếm đôi xứng của điểm A qua gốc tọa độ o. Tìm tọa độ các điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c. Giải B là điểm đối xứng với A qua gốc tọa độ o nên suy ra điếm B(2; -1). Gọi tọa độ C(x; 2) ta có: CÃ = (-2 - x; -1) , CB = (2 - x; -3) Để tam giác ABC vuông tại c thì: CÃ • CB = 0 (-2 - x).(2 - x) + (—1X—3) = 0 x = ±1 Vậy điếm C(l; 2) và C(-l; 2). c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BÀI 1 Chứng minh các công thức (với hai vectơ ã và b bất kì): ă.b = — ^|ã + b|”-|ăj -|b| j a . b = -| (|ã|2 + |b|2 - |ă - b|' j a.b = ỉ(|ã + bj2-|a-b|2) BÀI 2 Tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b. Tính các tích vô hướng AB.BC > ÃB.ĂC Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC. BÀI 3 Cho tam giác ABC, AB = c, BC = a, CA = b. Gọi M là điểm sao cho BM = k.BC . Tính độ dài đoạn thẳng AM. Xét trường hợp đặc biệt khi k = —. BÀI 4 Chứng minh với bốn điểm A, B, c, D bất kì, ta có: DA.BC + DB.CA + DC.AB = 0 (*) BÀI 5 Cho tam giác ABC. Biết AB = c, BC = a, CA = b. Hãy tính ÃB.ÃC theo a, b, c. BÀI 6 Cho hình chữ nhật ABCD, m là điểm tùy ý. Chứng minh rằng: 1- MÃ + MC = MB + MD 2. MA.MC = MB.MD MA2 + MC2 = MB2 + MD2 BÀi 7 Cho tam giác vuông cân ABC tại A. Tính góc nhọn giữa các trung tuyến kẻ từ các đỉnh B, c. BÀI 8 Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: AC 1 BD o AB2 + CD2 = AD2 + CB2 BÀI 9 Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh: GA2 + GB2 + GC2 = j(a2 + b2 + c2) MA2 + MB2 + MC2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3MG2 BÀI 10 Cho đa giác ApAg,An và điếm M di động trên mặt phẳng. Tìm giá trị nhỏ nhất của: s = AMj + AM| + ... + AM2 BÀI 11 Cho tam giác ABC có trọng tâm G nội tiếp đường tròn (0; R). Chứng minh rằng: 0G2 = R2 - j(a2 + b2 + c2) BÀI 12 Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng: BM 1 CN o b2 + c2 = 5a2 Ở đây BC = a, AC = b, AB = c. BAI 13 Cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích những điểm M thỏa điều kiện: MA 2(b2+c2)-a2 = ' 4 2 2(a2 + c2) - b2 ' 2 2(a2 + b2)-c2 m, = — c 4 + MB2 = 3MA.MB

Các bài học tiếp theo

  • Bài 3. Các hệ thức trong tam giác và giải tam giác
  • Ôn tập chương II
  • Bài 1. Đường thẳng
  • Bài 2. Đường tròn
  • Bài 3. Elip
  • Ôn tập chương III
  • Bài ôn tập cuối năm
  • Bài tập tổng hợp bổ sung

Các bài học trước

  • Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc
  • Ôn tập chương I
  • Bài 4. Hệ trục tọa độ
  • Bài 3. Tích một số với một vectơ
  • Bài 2. Tổng và hiệu hai vectơ
  • Bài 1. Các định nghĩa

Tham Khảo Thêm

  • Giải Bài Tập Toán 10 Đại Số
  • Giải Bài Tập Toán 10 Hình Học
  • Giải Toán 10 Đại Số
  • Giải Toán 10 Hình Học(Đang xem)
  • Giải Bài Tập Hình Học 10
  • Sách Giáo Khoa - Đại Số 10
  • Sách Giáo Khoa - Hình Học 10

Giải Toán 10 Hình Học

  • CHƯƠNG I. VECTƠ
  • Bài 1. Các định nghĩa
  • Bài 2. Tổng và hiệu hai vectơ
  • Bài 3. Tích một số với một vectơ
  • Bài 4. Hệ trục tọa độ
  • Ôn tập chương I
  • CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
  • Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc
  • Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ(Đang xem)
  • Bài 3. Các hệ thức trong tam giác và giải tam giác
  • Ôn tập chương II
  • CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
  • Bài 1. Đường thẳng
  • Bài 2. Đường tròn
  • Bài 3. Elip
  • Ôn tập chương III
  • Bài ôn tập cuối năm
  • Bài tập tổng hợp bổ sung

Từ khóa » Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Lớp 10 Bài Tập