- Home
- Lớp 1,2,3
- Lớp 1
- Giải Toán Lớp 1
- Tiếng Việt Lớp 1
- Lớp 2
- Giải Toán Lớp 2
- Tiếng Việt Lớp 2
- Văn Mẫu Lớp 2
- Lớp 3
- Giải Toán Lớp 3
- Tiếng Việt Lớp 3
- Văn Mẫu Lớp 3
- Giải Tiếng Anh Lớp 3
- Lớp 4
- Giải Toán Lớp 4
- Tiếng Việt Lớp 4
- Văn Mẫu Lớp 4
- Giải Tiếng Anh Lớp 4
- Lớp 5
- Giải Toán Lớp 5
- Tiếng Việt Lớp 5
- Văn Mẫu Lớp 5
- Giải Tiếng Anh Lớp 5
- Lớp 6
- Soạn Văn 6
- Giải Toán Lớp 6
- Giải Vật Lý 6
- Giải Sinh Học 6
- Giải Tiếng Anh Lớp 6
- Giải Lịch Sử 6
- Giải Địa Lý Lớp 6
- Giải GDCD Lớp 6
- Lớp 7
- Soạn Văn 7
- Giải Bài Tập Toán Lớp 7
- Giải Vật Lý 7
- Giải Sinh Học 7
- Giải Tiếng Anh Lớp 7
- Giải Lịch Sử 7
- Giải Địa Lý Lớp 7
- Giải GDCD Lớp 7
- Lớp 8
- Soạn Văn 8
- Giải Bài Tập Toán 8
- Giải Vật Lý 8
- Giải Bài Tập Hóa 8
- Giải Sinh Học 8
- Giải Tiếng Anh Lớp 8
- Giải Lịch Sử 8
- Giải Địa Lý Lớp 8
- Lớp 9
- Soạn Văn 9
- Giải Bài Tập Toán 9
- Giải Vật Lý 9
- Giải Bài Tập Hóa 9
- Giải Sinh Học 9
- Giải Tiếng Anh Lớp 9
- Giải Lịch Sử 9
- Giải Địa Lý Lớp 9
- Lớp 10
- Soạn Văn 10
- Giải Bài Tập Toán 10
- Giải Vật Lý 10
- Giải Bài Tập Hóa 10
- Giải Sinh Học 10
- Giải Tiếng Anh Lớp 10
- Giải Lịch Sử 10
- Giải Địa Lý Lớp 10
- Lớp 11
- Soạn Văn 11
- Giải Bài Tập Toán 11
- Giải Vật Lý 11
- Giải Bài Tập Hóa 11
- Giải Sinh Học 11
- Giải Tiếng Anh Lớp 11
- Giải Lịch Sử 11
- Giải Địa Lý Lớp 11
- Lớp 12
- Soạn Văn 12
- Giải Bài Tập Toán 12
- Giải Vật Lý 12
- Giải Bài Tập Hóa 12
- Giải Sinh Học 12
- Giải Tiếng Anh Lớp 12
- Giải Lịch Sử 12
- Giải Địa Lý Lớp 12
Trang Chủ ›
Lớp 10›
Giải Bài Tập Toán 10›
Giải Toán 10 Hình Học›
Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ Giải Toán 10: Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ
§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỊNH NGHĨA Cho hai vectơ a và b khác vectơ õ. Tích vô hướng của ã và b là một số, kí hiệu là a . b, được xác định bởi công thức sau: a • b “ I) • cos( 3,1)) Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta qui ước a . b =0. Chú ý Với ã và b khác vectơ ỏ ta có a.b = 0 a lb Khi ã = b tích vô hướng a .a được kí hiệu là ã và sô" này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a . Ta có: ã' - a. |ã| cos0° = |ă| CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: Với ba vectơ a , b , c bất kì và mọi số k ta có: ã . b = b. ã (tính chất giao hoán) a.(b+ c) = a.b + a.c (tính chất phân phối) (kă).b = k.(ã.b) = ã.(kb) -2 -2 - a >0, a - 0 a = 0 Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: (a + b)2=a2+2a.b + b‘ (ă - b )2 - a2 - 2 ã . b + b' (ã + b)(a - b) = a' - b2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÕ HƯỚNG Trên mặt phẳng tọa độ (O; ĩ, J), cho hai vectơ a = (Up a2), b = (bp b9) Khi đó tích vô hướng ă • b là: ã • b = sẠ + a2b2 ỨNG DỤNG Độ dài của vectơ Độ dài của vectơ ã = (ab aọ) được tính theo công thức: jaj = yỊa-ị + aị Góc giữa hai vectơ Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (ax; a9) và b - (bp b2) đều khác Q thì ta có: cos(a,b) = 7-j a.b atbj + a2b9 _ = 1 1 bl ựapH- áị ,ựbf + b* Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điêm A(xa; yA) và B(xb; yB) được tính theo công thức: AB = ự(xB - XA )2 + (yB - yA )2 B. GIÃI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1 Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng ĂB.ÃC, AC.CB Giải AB.AC = Ịab|.|ac|.cos90" Vậy ÃẼ.ÃC = 0 AC.CB = |AC|.Icb|.cos135° BÀI 2 Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng ÕÃ.ÕB trong hai trường hợp: Điếm o nằm ngoài đoạn AB. Điếm o nằm trong đoạn AB. Giải Khi o nằm ngoài đoạn AB thì hai vectơ o A B OA, OB cùng hướng và góc (OẤ, OB) = 0. COS(ÕẦ, ÕB) = 1 nên ÕÃ.ÕB = a.b A o B Khi o nằm trong đoạn AB thì OẤ và OB là hai vectơ ngược hướng và góc (OA, OB) - 180° cos(OẤ, ỠB) = -1 nên ÕÃ.ÕB = -a.b BAI 3 Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là haí điếm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I. Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA . Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI.AM + BI.BN theo R. Giải Ta có: AI.AM = Jai| .Jam| ,cosO° = AI.AM (1) AI.AB = |Al| .|abJ cosIAB = AI.AB.cosIAB = AI.AM (2) (Do tam giác AMB vuông tại M => AM = I AB.cosĨAB) Từ (1) và (2) suy ra ÃĨ.ÃM = ÃĨ.ÃB Hoàn toàn chứng minh tương tự ta cũng được BI.BN - BĨ.BÃ Ta có: AI.AM + BI.BN = AI.AB + BI.BA (Theo câu a) = ÃB(ÃĨ - BĨ) - ÃB.ÃB = AB2 = (2R)2 = 4R2 BÀI 4 Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(l; 3), B(4; 2). Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB. Tính chu vi tam giác OAB. Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB. Giải a) Gọi D(x; 0) ta có; AD(1 - x; 3), DB(4 - x; 2) Để DA = DB « |ÕÃ| = IDS! 7(1 - x)2 + 32 = 7(4 - x)2 + 22 (1 - x)2 + 9 = (4 - x)2 + 4 ..5 6x = 10 X = — O Vậy d[|; o) ÃB = (3; -D=> AB = M = + 1" = ÕÃ(1; 3) => OA = M = 7l2 + 32 = 7ĨÕ OB (4; 2) => OB = ỊõẼ| = yj4~ + 22 = 720 Vậy chu vi tam giác bằng OA + OB + oc = 7ĨÕ + 7ĨÕ + 720 Ta có: ÕÃ.ĂB = 1-3 + 3.(—1) => OA 1 AB => Diện tích tam giác OAB = ^.OA.AB = Ẹ-7ĨÕ.7ĨÕ - 5 (đvdt) Zj Zj BÀI 5 Trên mặt phắng Oxy hãy tính góc tạo bởi hai vectơ a và b trong các trường hợp sau: a) ã = (2; -3), b = (6; 4) b) ã = (3; 2), b = (5; -1) ã = (-2;-273), b = (3; 73 ) Giải a) ă.b = 2.6 - 3.4 = 0 => ã ± b ^> (a, b) = 90° ă.b 3.5 + 2(-l) 13 1 b) Ta có cos( a , b) " |ã|. b ' 732 + 22.7õ2 + l2 ’ 726.713 72 => (ã, b) = 45° — — ă.b -2.3 + 273.73 -12 Í3 -73 c) Ta eó: cost a , b; ẵ|.b ’ 74 + 12.79 + 3 477 V4 2 => (ã, b; ) = 150° BÀI 6 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bôn điểm: A(7; -3) B(8; 4) C(l; 5) D(0; -2) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông. Giải Ta có ÃẼ = (1; 7) DC = (1; 7) AB = DC => ABCD là hình bình hành. (1) Ta lại có AB2 = 50 => AB = 5^2 AD2 = 50 => AD - 5Ự2 AD = AB, kết hợp với (1) suy ra: ABCD là hình thoi. (2) Mật khác AB - (1; 7) AD = (-7; 1) .1.7 + (-7).l = 0 => ÃB 1 ÃD Kết hợp (2) và (3) suy ra ABCD là hình vuông. BÀI 7 Trên mặt phẵng tọa độ Oxy cho điếm A(-2; 1). Gọi B là điếm đôi xứng của điểm A qua gốc tọa độ o. Tìm tọa độ các điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c. Giải B là điểm đối xứng với A qua gốc tọa độ o nên suy ra điếm B(2; -1). Gọi tọa độ C(x; 2) ta có: CÃ = (-2 - x; -1) , CB = (2 - x; -3) Để tam giác ABC vuông tại c thì: CÃ • CB = 0 (-2 - x).(2 - x) + (—1X—3) = 0 x = ±1 Vậy điếm C(l; 2) và C(-l; 2). c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BÀI 1 Chứng minh các công thức (với hai vectơ ã và b bất kì): ă.b = — ^|ã + b|”-|ăj -|b| j a . b = -| (|ã|2 + |b|2 - |ă - b|' j a.b = ỉ(|ã + bj2-|a-b|2) BÀI 2 Tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b. Tính các tích vô hướng AB.BC > ÃB.ĂC Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC. BÀI 3 Cho tam giác ABC, AB = c, BC = a, CA = b. Gọi M là điểm sao cho BM = k.BC . Tính độ dài đoạn thẳng AM. Xét trường hợp đặc biệt khi k = —. BÀI 4 Chứng minh với bốn điểm A, B, c, D bất kì, ta có: DA.BC + DB.CA + DC.AB = 0 (*) BÀI 5 Cho tam giác ABC. Biết AB = c, BC = a, CA = b. Hãy tính ÃB.ÃC theo a, b, c. BÀI 6 Cho hình chữ nhật ABCD, m là điểm tùy ý. Chứng minh rằng: 1- MÃ + MC = MB + MD 2. MA.MC = MB.MD MA2 + MC2 = MB2 + MD2 BÀi 7 Cho tam giác vuông cân ABC tại A. Tính góc nhọn giữa các trung tuyến kẻ từ các đỉnh B, c. BÀI 8 Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: AC 1 BD o AB2 + CD2 = AD2 + CB2 BÀI 9 Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh: GA2 + GB2 + GC2 = j(a2 + b2 + c2) MA2 + MB2 + MC2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3MG2 BÀI 10 Cho đa giác ApAg,An và điếm M di động trên mặt phẳng. Tìm giá trị nhỏ nhất của: s = AMj + AM| + ... + AM2 BÀI 11 Cho tam giác ABC có trọng tâm G nội tiếp đường tròn (0; R). Chứng minh rằng: 0G2 = R2 - j(a2 + b2 + c2) BÀI 12 Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng: BM 1 CN o b2 + c2 = 5a2 Ở đây BC = a, AC = b, AB = c. BAI 13 Cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích những điểm M thỏa điều kiện: MA 2(b2+c2)-a2 = ' 4 2 2(a2 + c2) - b2 ' 2 2(a2 + b2)-c2 m, = — c 4 + MB2 = 3MA.MB
Các bài học tiếp theo
- Bài 3. Các hệ thức trong tam giác và giải tam giác
- Ôn tập chương II
- Bài 1. Đường thẳng
- Bài 2. Đường tròn
- Bài 3. Elip
- Ôn tập chương III
- Bài ôn tập cuối năm
- Bài tập tổng hợp bổ sung
Các bài học trước
- Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc
- Ôn tập chương I
- Bài 4. Hệ trục tọa độ
- Bài 3. Tích một số với một vectơ
- Bài 2. Tổng và hiệu hai vectơ
- Bài 1. Các định nghĩa
Tham Khảo Thêm
- Giải Bài Tập Toán 10 Đại Số
- Giải Bài Tập Toán 10 Hình Học
- Giải Toán 10 Đại Số
- Giải Toán 10 Hình Học(Đang xem)
- Giải Bài Tập Hình Học 10
- Sách Giáo Khoa - Đại Số 10
- Sách Giáo Khoa - Hình Học 10
Giải Toán 10 Hình Học
- CHƯƠNG I. VECTƠ
- Bài 1. Các định nghĩa
- Bài 2. Tổng và hiệu hai vectơ
- Bài 3. Tích một số với một vectơ
- Bài 4. Hệ trục tọa độ
- Ôn tập chương I
- CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
- Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc
- Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ(Đang xem)
- Bài 3. Các hệ thức trong tam giác và giải tam giác
- Ôn tập chương II
- CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
- Bài 1. Đường thẳng
- Bài 2. Đường tròn
- Bài 3. Elip
- Ôn tập chương III
- Bài ôn tập cuối năm
- Bài tập tổng hợp bổ sung
