Giải Toán 11 Bài 2. Dãy Số

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 11› Giải Bài Tập Toán 11› Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số› Bài 2. Dãy số Giải toán 11 Bài 2. Dãy số

• 
• 
• 
• 
• 

§2. DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CĂN BẢN ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : N* -> R n i-> u(n). Ta thường viết dãy số dưới dạng Ui, u2, .... un,... U! gọi là số hạng đầu, Un là số hạng tổng quát của dãy số Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2, 3, ..., m} với m e N* được gọi là một dãy số hữu hạn. CÁCH CHO DÃY số Cho số hạng tổng quát Un của nó bằng công thức. Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó. Cho bằng phương pháp truy hồi, tức là: Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) Cho hệ thức truy hồi tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó. DÃY SỐ TĂNG, DÃY số GIẢM Định nghĩa Dãy số (Un) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có Un Un+1 DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho Vn e z’, Un < M Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho Vn e z’, Un > m Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho Vn e z’, m < Un < M. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Xét tính đơn điệu của dãy số: Cách 1: Lập hiệu Un+1 - un Nếu Un+1 - Un > 0 Vn £ z’, thì Un+1 > un: (un) tăng Nếu Un+1 - Un < 0 Vn £ z’, thì Un+1 < un: (un) giảm Cách 2: Nếu un > 0; Vn e z’, thì lập tỉ số un Nếu > 1; Vn e z', thì nn+i > un: (un) tăng Un Nếu ^±1 < 1; Vn £ z*. ihì nn+, < un: (un) giảm un Chứng minh dãy sô (un) không tăng không giảm: Chỉ ra rằng u, u3 hoặc u, > u2 < u3. Thường là dãy số có số hạng (-1)" Dãy sô bị chặn: (Un) bị chặn trân 3M sao cho Un 3m sao cho Un > m, Vn e z (un) bị chặn 3M > 0 sao cho I Un I < M, Vn £ z 2"-1 . . f, if. )u„= 1 + 3 ; I nJ a) Un = 2"-1 b) Un = 2" + 1 c) I ỐỊiải d) Un = u, = 1; u2 = 3’ u3 = 7’ u4 = 15 ; u5 Ui = 1 ĩ u2 = 3 u3 = 7 9’ u4 = 15 u5 Ul = 3 2; u2 = 5 9 4’ 2 Ị— ì u3 = u4 = 17 u5 Ui = 1 r~ 5 u2 = u3 = l3j 3 u4 = 4 / > u5 /10 /17 _5_ 31 31 33 6 5 5 26 Cho dãy (Un), biết: u 1 = — 1, Un„ = Un + 3 với n > 1. Viết nãm số hạng đẩu của dãy số. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: Un = 3n - 4. u3 = u2 + 3 = 5 ỐỊiải U] = -1; u2 = U] + 3 = 2, u4 = u3 + 3 = 8; u5 = u4 + 3 = 11 Với n = 1 ta có U] = 3.1 - 4 = -1 (đúng). Giả sử Uk = 3k - 4, khi đó: Uk+1 = Uk + 3 = (3k - 4) + 3 = 3(k + 1) - 4. Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1 nên đẳng thức đúng với mọi n > 1. Dãy số (Un) cho bởi: u, = 3; Un,, = yjl + u^ , n > 1. Viết năm số hạng đấu cùa dãy số. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u„ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. ốỊiảl U5 = Vl + 12 — Vl3 . Ui = 3, u2 = Vl + 32 = Vĩõ , u3 = Vl + 10 = Vĩĩ, u4 = Vl + 11 = VĨ2 , Viết 3 = VÕ và nhận xét VÕ = VĩTẽ Vĩõ = V2+8 Vl 1 = V3 + 8 VĨ2 = V4 + 8 (1) Dự đoán Un = Vn + 8 với n e N*. Chứng minh công thức (1) bằng quy nạp. Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng. Giả sử đã có uk = Vk + 8 với k > 1. Theo công thức dãy số, ta có Uk+1 = ựl + + (Vk + 8^ = ự(k + l) + 8 Vậy công thức (1) đúng với n = k + 1. Do đó, công thức (1) đúng với mọi n > 1. Xét tính tãng, giảm của các dãy số (Un), biết: a) Un = 7 - 2; n b) Un =11-4; c)u„ = (-1)"(2" + 1); d) Un = 2n + 1 5n + 2 Ốịiảl a) Ta có Un+1 - un = -2—-2-- + 2 = n+1 n n+ln -1 n(n +1) => Un+1 < un với mọi n e N*. Vậy (un) là dãy sô' giảm, Ta có: un = . = ——-— = 1 2 , 2 2 2 un+1 - ưn = 1 - - 1 + —=— = —> 0 n+2 n+1 n+1 n+2 => un+1 > un Vn G N*. Vậy (un) là dãy số tăng. Ta có Uị = -3, u2 = 5, u3 = -9, vì U! u3 nên (un) là dãy không tăng, không giảm. Jn+1 d) Ta có: 2n + 3 5n + 2 10n2 + 19n + 6 un 5n + 7 2n + 1 10n2 + 19n + 7 => un+1 < un Vn e N*. Vậy (uni là dãy số giảm. Trong các dãy số (Un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? a) Un = 2n2 - 1; b) u„ = n(n + 2) c) Un = 2nz -1 d) Un = sinn + cosn. Ốịiải Vì un = 2n2 - 1 > 1 với mọi n e N* nên dãy (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên vì khi n lớn vô cùng thì 2n2 - 1 cũng lớn vô cùng. Ta có un > 0 với mọi n e N*. Vi n(n + 2) > 3 nên un = —;■ 1 -- < 4 với moi n 6 N*. n(n + 2) 3 Vậy dãy số’ (un) bị chặn vì 0 < un < với mọi n 6 N*. 3 Với n > 1 thì 2n2 - 1 > 0 => un = —Ậ— > 0, Vn e N* 2n2-l Vì 2n2 - 1 > 1, nên un = —7 < 1 với mọi n e N*. 2n2 -1 Vậy 0 < un < 1, Vn e N* nếu (u„) bị chặn. d) Ta có |un I = 72 sin^n + <72 Vn e hỉ* => - 72 (un) bị chặn. c. BÀITẬPLÀMTHÊM 1. Viết 4 số hạng đầu của dãy (an): . ~ l.3.5...(2n-1) ,. _ _ nn , _ IX a) an = ; b)an=cos77; c) an+i = an+an-i (a,= a2 = 1) 2.4.0. ..2n 2 2. Xét tính đơn điệu của các dãy (an); . 4"-1. a)a" đ) a„ = (0,4)".n; Đáp số: a) Tãng; c) Tăng; b) an=(-i)n--^; n + 1 c) an e) an = 72 + 72 + ... + 72 (n số 2). b) Không tăng, không giảm; d) Giảm; e) Tăng. 3. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới của các dãy số: 5n-3 a) an = 5n + 3 b) an = (-1)" + cosn; . n _ 1 , 1 , 1 . .. an d) n„ = n 1.2 2.3 n(n + 1) ; e)an = (-1)ncos7L. 7n2+2n + n 2"

Các bài học tiếp theo

• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Bài 1. Giới hạn của dãy số
• Bài 2. Giới hạn của hàm số
• Bài 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
• Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Các bài học trước

• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
• Ôn tập chương II
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Bài 1. Quy tắc đếm
• Ôn tập chương I
• Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
• Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số(Đang xem)
• Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
• Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
• Giải Toán 11 Hình Học
• Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
• Giải bài tập Hình học 11

Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số

• Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• Bài 1. Hàm số lượng giác
• Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
• Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Ôn tập chương I
• Chương II. Tổ hợp - Xác suất
• Bài 1. Quy tắc đếm
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• Chương III. Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
• Bài 2. Dãy số(Đang xem)
• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Chương IV. Giới hạn
• Bài 1. Giới hạn của dãy số
• Bài 2. Giới hạn của hàm số
• Bài 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Chương V. Đạo hàm
• Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
• Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
• Bài 4. Vi phân
• Bài 5. Đạo hàm cấp hai
• Ôn tập chương V
• Ôn tập cuối năm