Giải Toán 12 Bài 2. Tích Phân - Giải Bài Tập

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 12› Giải Bài Tập Toán 12› Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích› Bài 2. Tích phân Giải toán 12 Bài 2. Tích phân

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

§2. TÍCH PHÂN A. KIÊN THỨC CĂN BẢN Tích phân và tính chất a) Định nghĩa Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu sô' F(x) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân b xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f(x), kí hiệu là: Jf(x)dx ã Ta còn dùng kí hiệu F(x)r để chỉ hiệu số F(b) - F(a) Vậy a Chú ý: • Jf(x)dx = 0 a Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số nọi t e [a; PJ. Kni ao: b p Jf(x)dx= Jf(<p(t))<p'(t)dt. a a Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số X - ọ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; P] sao cho tp(a) = a, <p(P) = b và a < <p(t) < b với mọi t e [a; P]. Khi đó: b Định lí 2: Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] sao cho a < u(x) < p, Vx e [a; b]. J'(X); vx e [a; DJ, trong b u(b) Jf(x)dx = J g(u)du Nếu f(x) = g(u(x)).u'(x)i Vx e [a; b], trong đó g(u) liên tục trên [a; P] thl b a u(a) b) Phương pháp tính tích phân từng phần Nếu u = u(x) và V = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn b b [a; b] thì Ju(x)v'(x)dx = (u(x)v(x))Ị - Ịu'(x)v(x)dx a a b b hay Judv = uv|° - Jvdu . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1 n 1. Tính các tích phán sau: a) f ?/(l - x) 1 c) í , ■ dx; dx : b) fsin<-ị-xìdx a a éịiải a) Đặt u=l-x=>du = -dx => dx = -du Đổi cận: X 1 2 1 2 3 1 u — — 2 2 Vậy: 1/2 1 /2 2 3/2 2 q 5 J Ự(1 - x)2 dx = — j uJ,x(x + 1) 2 2 71 2 \2 r 1 - 3x ị d) íx(x + l) dx ; e) í ——-dx;. g) f sin3xcosõxdx . 0 1 (X + 1) .1 2 2 du = Ju3du = — u3 -1/2 3/2 1/2 5 3/2 = —UVU 5 3/2 3< 3/9 1,1 —3 — _ —31— 2V4 2V4 b) Ta có: Jsm|l - xịdx = cos! ~ - X* - ~ = 0 c’ ,w ” = ln lzJ2x(x + l) 1ZJ2<X X + lJ 2 2 Jx(x + l)2 dx = J(x3 + 2x2 + xjdx = 0 0 Đặt u = x + l=>du = dx - In ị - In 4 = ln2 3 3 G4 2x3 X2 ' I I 4 3 2 Đổi cận: X 1 2 2 3 u — 3 2 34 3 ;(x + l)! i u2 Jl.u2 0,1 2 2 2 \ 3 I - 31n|u| L =-|-31n3 + | + 31n| = |-31n2 <u ) 2 3 3 23 7t 71 2 1 ( 1 1 \ g) Jsin3xcos5xdx = — J(sin8x - sin2x)dx =f - — cox8x + — cos2x 1 7Ĩ 7Ĩ = 0. 2 2 ill — xldx ; b) fsin2xdx; ln 2 „ > fe2x+1+lj 0 — dx ; 7C d) sin2xcos2xdx J' "/2 11 11/2 7t = J(1 + cos2t)dt = — (t + —sin2t) = J J 0 0 J ex 0 J 0 2. Tính các tích phân sau: éịiải 2 12 a) Ta có: J|l- x|dx = J|l - x|dx + J|l - xịđx 0 0 1 1 2 = J(1 - x)dx + J(x - l)dx = 0 1 1/ 1 . ■dx = £• X - 5 sin 2x 21 2 J <x2 >1 7Ĩ 71 2 2 b) Jsin2 xdx = J 0 0 ln 2 2x+l , , ln 2 , 0 * /( 0 0 1 - cos2x ex+1 + e~x )dx=( 71 2 'ti „x+l „-x e - e r=e+A /lo 2 7t 1 K 1 Kf 1 d) Jsin 2x COS1 0 2 2 0 4 c) Đặt u = 1 + xex => du = (ex + xex)dx = ex(l + x)dx Đổi cận: X 0 1 xdx = — Jsin2x(l + cos2x)dx = — Jsin2xdx + — Jsin4xdx 0 0 0 0 = I - — cos2x --^-cos4x 4 16 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: 3 a) dx (đặt u = X + 1) C) = 0. 0(1 -x)2 b) jVl - x2dx (đạt X = sint) x(l + x) 1 + xex dx (đặt u = 1 + xe\) d) tó r dx (a > 0) (đặt X = asint). a) Đặt u = x+ l=>du = dx X 0 3 u 1 4 3f x2dx 4f(u -1)2 4fu2 - 2u + 1 o(l + x)â 1 u2 1 u2 du 4 < 1 1 3' („ 3 1 ì ì = í u 2 - 2u 2 + u 2 du = 2 2 — u2 - 4u2 - 2u 2 1 < 00 7 GD I UI b) Đặt X = sint => dx = costdt Đổi cận: X 0 1 71 t 0 77 2 JVl - X2 dx = Jx/l - sin21 .costdt = Jcos2tdt 0 0 0 d) Đặt X = asint => dx = acostdt Đổi cận: X 0 a 2 t a 0 71 71 6 7t 2 1 6. í dx = í 6 , acostdt = fdt.tli.”. 0 Va2 -X2 Ố ^a2 (l - sin2 t) 0 '' Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính: 7t 2 e 1 1 a) J(x + l)sinxdx 0 b) Jx2lnxdx c) Jln(l + x)dx d) Jịx2 10 0 6ịiải X -. fu = X + 1 [du = dx Đặt L _ [dv = sinxdx [v = -cosx 71 .71 2 7Ĩ 2 7t 7t J(x + l)sinxdx =-(x + l)cosx|2 + Jcosxdx= -(x + l)cosx|2 + sinxịã = 2 0 0 , đx [u = lnx u _ X Đ^ „3 dv = X dx X3 V = -— 3 fx2lnxdx = ~lnx -ỉ fx2dx = ^-lnx =ỉ(2e3+l) J 3 , 3J 3,99' 1 1 li 1 1 , fu = ln(l + x) du = - Đặt c , ‘ => { l + x dv = dx 1 ly = X jìn(l + x)dx = xln(l + x)£-Jyệ-dx = xln(l + x)£ - jíl--ệyìdx 0 0 1 (J = xln(l + x)j’ - J^1 -^-^jdx= 1 n2 - (x - ln(l + x)|i = 21n2 -1 [u = X2 - 2x - 1 [du = (2x-2)dx Đặt -T => . • dv = e *dx [v = -e x 1 , n ,! 1. => J(x2 - 2x - l)e'xdx - -(x2 - 2x - l)e x| + J(2x - 2)e_xdx 0 ° 0 Đặt u = 2x-2 fdu = 2dx dv = e'xdx I V = -e_x 1 1 => J(2x-2)e~xdx = -(2x - 2)e“x|ồ + 2 Je-Xdx = -(2x - 2)e'x|‘ - 2e‘x|’ 0 0 1 Vậy J(x2 -2x-l)e’xdx = -(x2 - 2x - l)e'x|‘ - (2x-2)e“x|‘ - 2ex|‘ =-1 0 1 1 3 2 3 2fi 5. Tính các tích phân sau: a) J(l + 3x)ã dx b) Jx^ - - dx c) J 0 0 x 1 1 l(l + 3x)2dx = ^.^(1 + 3x)2 * 2 5 0 1 1 2 a 1 2 = í 0 0 2 9 1 rx +X + 1 x + l fln(l + x) c) Đặt • u = ln(l + x) dv = —ydx X2 1 27 5 dx = X + đu = 0 dx 1 V = — X , 2 2 -Ị—ìdx= x + lj ~ + lnlx + i| 2 ! 'j0 ị-ln(l + x)_ ln(l + x) r dx _ ln(l + x) J X2 X J J x(x + 1) X * 1 6. Tính Jx(l - x)5 dx bằng hai phương pháp: 0 + ln- a) Đổi biến sô’ u = 1 - X 273 = 3 ln 1 3 b) Tính tích phân từng phần. Ốịiải Đổi cận: X 0 1 u 1 0 a) Đặt u = 1 - X => du = -dx Jx(l-x)5dx = - Jx(l-u)u5du = Jx(u5-u6)du = 0 0 0 1 6 7 J 42 u = X. b) Đặt r dv = (l-x)5dx du = dx (1 - X)6 Jx(l - x)r’ dx= - 0 (I-*)7 42 c. BÀI TẬP LÀM THÊM Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số 2 In3 1 3 ; a) Jx(l - x)7đx ; b) J7ex-ldx; c) J xex2dx ; d) jx</l-xdx. I 0 0 Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần 1/2 ln:! ' í a) Jxsin2xdx ; b) J xe~3xdx; c) Jln(3x + l)dx: d) J ln2 xdx. ° ố ố 0 Cho hàm sô' f liên tục trên ta; b]. Chứng minh rằng: n/2 Jt/2 Jf(sinx)dx =Jf(cosx)dx. 0 0

Các bài học tiếp theo

• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
• Ôn tập chương III
• Bài tập trắc nghiệm
• Bài 1. Số phức
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
• Bài 3. Phép chia số phức
• Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
• Ôn tập Chương IV
• Bài tập trắc nghiệm
• Ôn tập cuối năm

Các bài học trước

• Bài 1. Nguyên hàm
• Bài tập trắc nghiệm
• Ôn tập chương II
• Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit
• Bài 3. Lôgarit
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 1. Lũy thừa
• Bài tập trắc nghiệm

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 12
• Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích(Đang xem)
• Giải Bài Tập Toán 12 Hình Học
• Giải Toán 12 Giải Tích
• Giải Toán 12 Hình Học
• Giải Bài Tập Giải Tích 12
• Giải Bài Tập Hình Học 12

Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích

• Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Bài 2. Cực trị của hàm số
• Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Bài 4. Đường tiệm cận
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Ôn tập chương I
• Bài tập trắc nghiệm
• Chươmg II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
• Bài 1. Lũy thừa
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 3. Lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
• Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Ôn tập chương II
• Bài tập trắc nghiệm
• Chương III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
• Bài 1. Nguyên hàm
• Bài 2. Tích phân(Đang xem)
• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
• Ôn tập chương III
• Bài tập trắc nghiệm
• Chương IV. SỐ PHỨC
• Bài 1. Số phức
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
• Bài 3. Phép chia số phức
• Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
• Ôn tập Chương IV
• Bài tập trắc nghiệm
• Ôn tập cuối năm