Giải Toán Nguyên Hàm Và Tích Phân

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Giải toán Nguyên hàm và tích phân

II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12

Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại

bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản

nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm

28 trang

ngochoa2017 Lượt xem

3280

0 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giải toán Nguyên hàm và tích phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN I. Bảng các nguyên hàm thường gặp   1 1 1 1 ax b ax b dx c , a              1cos ax b dx sin ax b a     c 1dx ln ax b c ax b a      c     1 sin ax b dx cos ax b c a      1ax b ax be dx e c a        1 tg ax b dx ln cos ax b c a      1ax b ax bm dx m c a ln m        1 cotg ax b dx ln sin ax b c a     2 2 1dx x arctg c a aa x        2 1dx cotg ax b c asin ax b      2 2 1 2 dx a x ln c a a xa x         2 1dx tg ax b c acos ax b      2 2 2 2 dx ln x x a c x a       2 2x xarcsin dx x arcsin a x c a a     2 2 dx x arcsin c aa x     2 2x xarccos dx x arccos a x c a a     2 2 1dx x arccos c a ax x a      2 22 x x a arctg dx xarctg ln a x c a a     2 2 2 2 1dx a x a ln c a xx x a         2 22 x x a arccotg dx xarccotg ln a x c a a        bln ax b dx x ln ax b x c a             1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a     2 2 2 2 2 2 2 x a x a x a x dx arcsin c a        1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a       2 2 ax ax e a sinbx bcosbxe sinbxdx c a b       2 2 ax ax e a cosbx b sinbxe cosbx dx c a b     Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 2 II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm 1. Ví dụ 1: Chứng minh: 2 2 dx 1 x a ln c 2a x ax a     ; 2 2 dx 1 a x ln c 2a a xa x     Chứng minh: 2 2 dx 1 1 1 1 dx dx 1 x a dx ln c 2a x a x a 2a x a x a 2a x ax a                           2 2 dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x dx ln c 2a a x a x 2a a x a x 2a a xa x                        2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:  2 2 2 2 dx ln x x a x a       c Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:     2 2 2 2 2 2 1 x a ln x x a c x x a            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x x a 1 1 x x a x a x x a x a x a                 3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 2 2 dx 1 u c aa x    (với x tg u a  ) Đặt x tg u a  ,  u ,2 2       2 2 2 2 d a tg udx 1 1 du u c a aa x a 1 tg u          4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 2 2 dx u c a x     (với x sin u a  , a > 0) Đặt x sin u a  ,u , 2 2          2 2 2 2 dx d a sin u du u c a x a 1 sin u          Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm 2 2 dx 1 x arctg c a aa x    và 2 2 dx x arcsin c aa x     (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này. III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN: 1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc: Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 3  1 n nx x ;   m m nn km mn nkx x ; x x   1 n n n n 1 1 x ; x x x ;   m n n m 1 x x ;   m nk n k m 1 x x 2. Biến đổi vi phân: dx  d(x ± 1)  d(x ± 2)   d(x ± p) adx  d(ax ± 1)  d(ax ± 2)   d(ax ± p)     x p1 x 1 x 2dx d d da a aa           L III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ 1. 3 dx 1 x x   3 21 1 1dx 1 dx 1 1 x x x x x                 2 3 21 1 11 dx ln 1 1 3 2 d x x x x x x x c x             2.  14 7 dx = 4 7 7 4 7 dx 4 x x x x                  3 5 31 2 2 2 2 1 1 2 2 4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7 16 16 5 3 x x d x x x c                  3.       17 2 2 2 d 2d 1 2 5 2 2 5 xx I x x       1 10 arctg 510 x c        4.      x dx 1 2 1 1 1 1 2 2 ln ln 2 5ln 2 5ln 22 + 5 2 2 5 2 52 2 5 x x x x x xx x d d c            5.     5 3 2 3cos cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx 1 sin x dx x x dx x x x x x                 3 4 2 3 sin cos1 sin sin cos cos sin 3 4 x x x d x xd x x c        III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI        1 x 1 x 2 x 3 x 4 J dx x x       ; 2 7x 3 J dx 2x 5    ; 2 3 3x 7x 5 J dx x 2       3 2 2 2 4 5 6 10 2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9 J dx ;J dx ; J dx x 1 2x 1 x 1                     3 2 3 2 7 815 30 x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4 J dx ; J dx x 2 x 1                         dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ 332111521031009 Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 4         2 432 4 55 9 12 13 1447 x 3x 5 J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx 2x 1               9 3 15 16 174 2 2105 x x x J dx ; J dx ; J dx x x 1 x x 12 3x                    18 19 202 2 2 2 dx dx dx J ; J ; J x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3                       21 22 232 2 2 2 2 2 x dx dx dx J ; J ; J x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3             ln 2 ln 2 ln 2 ln 22x x x 24 25 26 27 xx x 1 0 0 0 dx e dx 1 e J ; J ; J e 1dx ; J dx 1 ee 1 e 1                2 2x x1 1 1 1x 28 29 30 31x 2x 2x x 3x 0 0 0 0 1 e dx 1 ee dx dx J ; J ; J ; J dx 1 e 1 e e e e               ln 2 ln 4 1 e3x 32 33 34 35x 3 x x x 0 0 0 1 dx dx e dx 1 ln x J ; J ; J ; J dx xe e 4e 1 e                 3 1 1 65 2 5 3 3 2 36 37 38 0 0 0 J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx         2x1 1 1 1 2x x 39 40 41 42x x x x 0 0 0 0 2 1 dxdx dx J ; J ; J ; J e 1 e dx 4 3 4 2 4             BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI 1.    2 2 du 1 u arctg c a au a 4.   du 2 u c u 2.     2 2 du 1 u a ln c 2a u au a 5.       2 2 du u arcsin c a 0 aa u 3.     2 2 du 1 a u ln c 2a a ua u 6.       22 du ln u u p c u p Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2: 1.              2 2 2 2 b b 4ac ax bx c a x 2a 4a 2.       22 2ax bx c mx n p B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 5 I. Dạng 1:  2 dx A = ax + bx + c 1. Phương pháp:            2 2 2 dx dx 1 mx n arctg c mp pax bx c mx n p              2 2 2 mx n pdx dx 1 ln c 2mp mx n pax bx c mx n p 2. Các bài tập mẫu minh họa •         1 2 2 22 d d 1 d 2 2 1 2 2 3 ln 24 8 1 4 3 2 2 32 2 3 2 2 3 x x x x A c x x xx x                   1 2 dx 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: A 3x  4x 2  ; 2 32 2 dx dx A ; A ; 4x 6x 1 5x 8x 6         2 1 1 4 5 62 2 2 1 0 0 dx dx dx A ; A ; A 7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3            II. Dạng 2:    2 mx + n B = dx ax + bx + c 1. Phương pháp:               2 2 m mb2ax b nmx n 2a 2aB dx dx ax bx c ax bx c             2 2 d ax bx cm mb n A 2a 2aax bx c          2m mbln ax bx c n A 2a 2a Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm) • Nếu mẫu có nghiệm kép 0x x tức là 2 2 0( )ax bx c a x x    thì ta giả sử:          2 2 0 0 mx n x x xax bx c x x   Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , . Với ,  vừa tìm ta có:      2 mx n B dx ax bx c  ln    0 0 x x c x x   • Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x : 2 1 2( )( )ax bx c a x x x x     thì ta giả sử       2 1 2 mx n x x x x xax bx c   Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 6 Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , . Với ,  vừa tìm ta có:   dx     2 mx n B ax bx c  ln ln   1 2x x x x c  2. Các bài tập mẫu minh họa: • 1 2 2x + 3 B = dx 9x 6x + 1     2 2 2 1 1118 6 1 18 6 d 11 d9 3 d 9 39 6 1 9 6 1 9 6 1 x x x x x x x x x x x                       2 2 2 1 9 6 1 11 3 1 2 11 ln 3 1 9 9 9 9 3 19 6 1 3 1 d x x d x x c xx x x               3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:       1 2 32 2 2 7 3x dx 3x 4 dx 2 7x dx B ; B ; B 4x 6x 1 2x 7x 9 5x 8x 4               ; III. Dạng 3:  2 dx C = ax + bx + c 1. Phương pháp: Bổ đề: ln 2 2 du u u k c u k       Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:      2 2 2 dx dx 1 lnC mx n mx n k c max bx c mx n k                   2 22 dx dx 1 arcsin 0 mx n C p m pax bx c p mx n            2. Các bài tập mẫu minh họa: •     2 3 2 2 d 1 d 5 5 45ln 4 162 4454 10 5 5 4 16 x x C x x c x x x               3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 2 32 2 2 dx dx dx C ; C ; C 3x 8x 1 7 8x 10x 5 12x 4 2 x             IV. Dạng 4:    2 mx + n dx D = ax + bx + c 1. Phương pháp:   2 2 2 dx dx 2 2 ax bm mb D a aax bx c ax bx c            2 22 2 d ax bx cm mb C a aax bx c        2. Các bài tập mẫu minh họa: Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 7 • D1 =    1 1 1 2 2 2 0 0 0 4 d 2 d d 2 4 5 4 5 4 5 x x x x x x x x x x x                     1 1 12 2 2 2 2 00 0 1 d 4 5 d 2 4 5 2ln 2 4 5 2 4 5 2 1 x x x x x x x x x x x                       3 1010 5 2 ln 3 10 2 ln 2 5 10 5 2 ln 2 5            3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:       1 2 32 2 2 5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dx D ; D ; D 3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x                V. Dạng 5:   2 dx E = px + q ax + bx + c 1. Phương pháp: Đặt 2 1 dt 1 1 dx ;px q p x q t p tt            . Khi đó:   2 2 2 2 2 dt ptdx dt E px q ax bx c t t1 a 1 b 1 q q c t t p tp                             2. Các bài tập mẫu minh họa: •   3 1 2 2 dx E = x - 1 x - 2x + 2 . Đặt 2 2 1 11 1 31 ; 2 dx x t t x tx x t t dt t               Khi đó:       1 23 2 1 2 2 2 1 dt tdx E 1x-1 x 2x 2 t 1 t 12 2 t tt             1 1 2 2 1 21 2 dt 1 5 2 2 2 ln t t 1 ln 1 2 ln ln 2 1 5t 1 ... tg x tg x tg x tg x 1 1 x c 2k 1 2k 3 2k 5 1                                   •          2 1 2 32 2tg 1 tg tg 1 tgk kx x x x       2k+1 2C = tgx dx            k 1 k2k 5 2 2tg x 1 tg x ... 1 tg x 1 tg x 1 tg x dx                                    k 1 k2k 1 2k 3 2k 5 2k 2k 2 2k 4 2 k 1 k tg x tg x tg x ... 1 tg x d tg x 1 tg xdx tg x tg x tg x tg x 1 1 ln cos x c 2k 2k 2 2k 4 2                                 Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 23 •          2 2 2 42 2cotg 1 tg cotg 1 tgk kx co x x co x       2k 3C = cotgx dx            k 1 k2k 6 02 2cotg x 1 co tg x ... 1 cotg x 1 co tg x 1 dx                                k 1 k2k 2 2k 4 0 2k 1 2k 3 2k 5 k 1 k cotg x cotg x ... 1 cotg x d cotg x 1 dx cotg x cotg x cotg x cotg x 1 1 x c 2k 1 2k 3 2k 5 1                                       •          2 1 2 32 2cotg 1 tg cotg 1 tgk kx co x x co x       2k+1 4C = cotgx dx            k 1 k2k 5 12 2cotg x 1 co tg x ... 1 cotg x 1 co tg x 1 cotg x dx                                k 1 k2k 1 2k 3 2k 2k 2 2 k 1 k cotg x cotg x ... 1 cotg x d cotg x 1 cotg x dx cotg x cotg x cotg x 1 1 ln sin x c 2k 2k 2 2                                  •          5 4 3 2tg 5 tg cotg 10 tg cotgx x x x x     5 5C = tgx + cotgx dx                         2 3 4 5 5 5 3 3 5 3 5 3 10 tg x cotg x 5 tg x cotg x cotg x dx tg x cotg x 5 tg x 5 cotg x 10 tg x 10cotg x dx tg x 5 tg x 10 tg x dx cotg x 5 cotg x 10 cotg x dx                                                    3 2 2 3 2 2 3 3 4 4 2 2 tgx 1 tg x 4tgx 1 tg x 6tgx dx cotgx 1 cotg x 4cotgx 1 cotg x 6cotgx dx tgx 4tgx d tgx 6 tgx dx cotgx 4cotgx d cotgx 6 cotgx dx tgx cotgx 2tg x 6ln cosx 2cotg x 6ln sin x c 4 4                                        IV. Dạng 4:          m m 4 . 1 4 . 2n n tg x cotg x D = dx ; D = dx cos x sin x 1. Phương pháp: Xét đại diện     4 1 m . n tg x D dx cos x   1.1. Nếu n chẵn (n  2k) thì biến đổi:             1 12 2 2 1 1 k km mdx tg x tg x tg x d tg x cos x cos x           m 4.1 2k tgx D = dx cosx Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 24                   1 p k 1m 0 1 2 p 2 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k 1 m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1 0 1 p k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 tg x C C tg x ... C tg x ... C tg x d tg x tg x tg x tg x tg x C C ... C ... C c m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1                                       1.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m  2k 1, n  2h 1) thì biến đổi:         2 2 2 2 2 1 1 h h kk tg x sin x tg x dx tg x dx cos x cosx cos x cos x               2k+1 4 .1 2h+1 tgx D = dx cosx   k 2h k2 2h 2 1 1 1 1 d u 1 u du cos x cos xcos x                    (ở đây 1 u cos x  )          k k 1 k pp k2h 0 2 1 2 p 2 k k k k ku C u C u ... 1 C u ... 1 C du                2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1 p k0 1 p k k k k k u u u u C C ... 1 C ... 1 C c 2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1                          1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m  2k, n  2h  1) thì sử dụng biến đổi:                             2k 2k 2k 4.1 2h 1 k h 12 k h 1 2 2k 2k 2 2 2k 2 2k 2 4.1 k h 1 k h 1 k h 1 k h2 2 2 2 tg x sin x cos x sin x D dx dx d sin x ; u s inx cos x cos x 1 sin x u du u 1 1 u u du u du D du 1 u 1 u 1 u 1 u                                      Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính được D4.1. 2. Các bài tập mẫu minh họa: •                 2 27 7 2 2 2 1 1 tg3 tg3 1 tg 3 tg3 3cos3 cos3 dx x x x d x x x           7 1 6 tg3x D = dx cos3x               8 10 12 7 2 4 tg3x tg3x tg3x1 1 tg3x 1 2 tg3x tg3x d tg3x 2 c 3 3 8 10 12               •           3 10 2 2 1 5 5 5 dx cotg x sin x sin x         10 2 8 cotg5x D = dx sin5x             310 2 11 13 15 17 1 cotg 5x 1 cotg 5x d cotg 5x 5 cotg 5x cotg 5x cotg 5x cotg 5x1 3 3 c 5 11 13 15 17                  •       94 6 41 4 4 4 tg x tg x dx cos x cos x        7 3 95 tg4x D = dx cos4x Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 25               3 94 394 2 2 101 99 97 95 94 6 4 2 101 99 97 95 1 1 1 1 1 1 d u u 1 du 4 cos 4x cos 4x 4cos 4x 1 1 u u u u u u 3u 3u 1 du 3 3 c 4 4 101 99 97 95 1 1 1 3 1 c 4 101 cos 4x 33 cos 4x 97 cos 4x 95 cos 4x                                             •       40 8 31 3 3 3 cotg x cotg x dx sin x sin x        9 4 41 cotg3x D = dx sin3x   4 40 440 2 2 1 1 1 1 1 1 d u u 1 du 3 sin 3x sin 3x 3sin x                        49 47 45 43 41440 8 6 4 21 1 u u u u uu u 4u 6u 4u 1 du 4 6 4 c 3 3 49 47 45 43 41                            49 47 45 43 41 1 1 4 2 4 1 c 3 49 sin 3x 47 sin 3x 15 sin 3x 43 sin 3x 41 sin 3x            •           22 2 2 21 sin x cos xdx sin x d sin x sin xcos x cos x            2 5 tgx dx D = cosx             2 2 1 sin x 1 sin x 1 1 d sin x d sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x                       2 2 2 1 1 2 1 1 1 sinx d sin x ln c 1 sin x 1 sin x 1 sin x1 sin x1 sinx 1 sinx                •               4 4 4 2 321 sin x cos xdx sin x d sin x cos x cos x sin x        4 6 tgx D = dx cosx           4 4 2 2 13 3 3 22 2 2 2 u du 1 1 u du 1 u du du I I 1 u 1 u 1 u 1 u                      2 1 22 1 1 u du I u         2 2 2 2 1 11 du d u 1 uu u c c 1 1 u11 uuu uuu                       2 321 du I u            3 3 1 1 u 1 u 1 1 1 du du 8 1 u 1 u 8 1 u 1 u                       3 3 2 1 1 1 3 1 1 du 8 1 u 1 u1 u 1 u 1 u                                         2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 12 2 2 22 2 2 1 1 1 du 1 1 u 1 u 1 u 1 u 6 3 du 8 82 1 u 2 1 u 1 2 1 u 1 u u 3 1 u du 3 du u 3 3 1 u I ln c 8 8 8 16 1 u1 u4 1 u 1 u 4 1 u                                       u Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 26               6 2 1 1 122 2 2 2 22 2 33 2 42 u 3 3 1 u D I I I ln I 8 16 1 u4 1 u u 5 u 3 1 u 2u 5u 1 u 3 1 u ln c ln c 8 16 1 u 16 1 u1 u4 1 u 8 1 u 5u 3u 3 1 u 5 sin x 3sin x 3 1 sin x ln c ln c 16 1 u 16 1 sin x8 cos x8 1 u                                     3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:                 20 11 4 6 1 2 3 48 21 3 5 tg 6x cotg 3x tg x cotg 2x D dx ; D dx; D dx ; D dx cos 6x sin 3x cos x cos 2x        V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng 1. Phương pháp:                                     5 1 5 2 5 3 5 4 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . . E cos mx cos nx dx cos m n x cos m n x dx E sin mx sin nx dx cos m n x cos m n x dx E sin mx cos nx dx sin m n x sin m n x dx E cos mx sin nx dx sin m n x sin m n x dx                             2. Các bài tập mẫu minh họa: •   1 2 14 4 2 cos x cos x cos x  1E = cos2x .cos5x .cos9x dx     1 1 sin16x sin12x sin6x sin2xcos16x cos12x cos6x cos2x dx c 4 4 16 12 6 2              •    3 3 8 4 cos x cos x sin x dx    3 2E = cosx sin8x dx      1 1 3 13cos x sin8x cos3x sin8x dx sin 9x sin 7x sin11x sin 5x dx 4 4 2 2 1 3 3 1 1 cos9x cos 7x cos11x cos5x c 8 9 7 11 5                      •          2 1 1 2 13 7 8 cos x sin x sin x dx    4 3E = sinx sin3x cos10x dx Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 27         21 1 2cos 2x cos 2x sin13x sin 7x dx 8 1 1 cos 4x 1 2cos 2x sin13x sin 7x dx 8 2 1 3 4cos 2x cos 4x sin13x sin 7x dx 16                                 1 3 sin13x sin 7x 4cos 2x sin13x sin 7x cos4x sin13x sin 7x dx 16 1 3 sin13x sin 7x 2 sin15x sin11x sin9x sin5x 16 1 sin17x sin9x sin11x sin3x dx 2                        1 sin17x 4sin15x 6sin13x 3sin11x 3sin9x 6sin7x 4sin5x sin3x dx 32 1 cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x c 32 17 15 13 11 3 7 5 3                         •          3 2cosx cosx sin 5 x dx  5 4E = cosx sin5x dx cos3x 3cos x 1 cos 2x sin5x dx 4 2                      1 cos 3x 3cos x sin 5x cos 3x 3cos x cos 2x sin 5x dx 8 1 sin 7x sin 3x cos 3x 3cos x sin 5x cos3x 3cos x dx 8 2 1 2sin 5x cos 3x 3cos x cos 3x 3cos x sin 7x sin 3x dx 16                              1 2 sin 8x sin 2x 6 sin 6x sin 4x sin10x sin 4x 32 3 sin 8x sin 6x sin 6x 3 sin 4x sin 2x dx                    1 sin10x 5sin 8x 10sin 6x 10sin 4x 5sin 2x dx 32 1 cos10x 5cos8x 5cos 6x 5cos 4x 5cos 2x c 32 10 8 3 2 2                  •               3 4 3 4 2 2 2 sin x sin x sin x sin x dx dx sin x cos x cos x x cos x sin x cosx .sin 2 x      5 sin3x sin4x E = dx tgx + cotg2x Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 28       1sin 2x sin 3x sin 4x dx cos 2x cos 6x sin 3x dx 2         1 1 cos5x cosx cos9x cos3xsin5x sin x sin9x sin3x dx c 4 4 5 1 9 3               3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:             5 4 3 5 2 1 2 3 2 sin 8x dx E sin 3x cos 2x dx ; E sin x cos 5x dx ; E tg 3x tg 5x        Tài liệu được chia sẻ bởi thành viên cộng đồng học tập trực tuyến CungHocTap.Com

Tài liệu đính kèm:

KY THUAT GIAI TOAN TICH PHAN 5.pdf

Tài liệu liên quan

Giải đề thi tuyển sinh đại học môn Toán năm 2004 – 2008
Lượt xem: 1150 Lượt tải: 0
Chuyên đề: Về hệ phương trình môn đại số
Lượt xem: 866 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học môn toán năm 2010
Lượt xem: 1015 Lượt tải: 0
Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 - 2010, môn toán khối 12
Lượt xem: 1138 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích 12 - Tiết 6 : Một số bài toán về đồ thị hàm số
Lượt xem: 771 Lượt tải: 0
Đề 30 thi tuyển sinh đại học 2010 môn thi: Toán – Khối A
Lượt xem: 910 Lượt tải: 0
Ứng dụng hàm số - Luyện thi đại học
Lượt xem: 1014 Lượt tải: 0
Giáo án Luyện tập Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
Lượt xem: 2940 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích 12 tiết 63: Bài tập Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Lượt xem: 1213 Lượt tải: 1
Đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn Toán; Khối: D
Lượt xem: 1157 Lượt tải: 0