Nguyên Hàm Tích Phân Hàm Phân Thức Hữu Tỉ Biến đổi Nâng Cao

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (8 trang)

Trang chủ

Ôn thi Đại học - Cao đẳng

Toán học

nguyên hàm tích phân hàm phân thức hữu tỉ biến đổi nâng cao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (140.81 KB, 8 trang )

Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ www.mathvn.com 17 BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC Các bài tập mẫu minh họa: •( )( )−∫1dxA =x 2 x+5()()( )( )1 5 2 1 1 1 1 2ln7 2 5 7 5 5 7 5x x xdx dx cx x x x x+ − − − = = − = + − + − + + ∫ ∫ ( )( )( )()()( )( )( )1 x 4 x 5dx9 x 5 x 2 x 4•+ − −=− − + +∫ ∫2dxA =x 5 x+2 x+4 ( )( ) ( )( )()()( )( )()()( )( )1 1 1 1 2 5 1 4 29 5 2 2 4 63 5 2 18 2 41 1 1 1 1 1 1 5 1 4ln ln63 5 2 18 4 2 63 2 18 2x x x xdx dx dxx x x x x x x xx xdx dx cx x x x x x+ − − + − + = − = − − + + + − + + + − +   = − + − = + +   − + + + + +   ∫ ∫ ∫∫ ∫ II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC 1. Các bài tập mẫu minh họa: ( )()( )( )2 222 22 222 2dx 1 x x 3 1 xdx dxdx3 3 xx 3x x 3 x x 31 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3ln x 3 ln x c ln c3 2 x 3 2 6x 3 x•− − = = = − − − − − − − = − = − − + = +   − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫13dxB =x 3x •( )()( )4 44 33 4 3 4dx 1 x x 10 1 xdx dxdx10 10x 10 xx x 10 x x 10− − = = = − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫27 3dxB =x 10x ()( )2 22 3 2221 1 d x dx 1 1 x 10 1ln c10 2 20x x10 x 10x 10  −= − = + +    + − ∫ ∫ 2. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải: 1 2 3 4 53 9 4 11 5 6 7dx dx dx dx dxB ; B ; B ; B ; Bx 5x x 7x x 8x x 9x x 13x= = = = =+ − − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6 7 83 2 3 2 4 3 2dx dx dxB ;B ;Bx 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 7x 4= = =+ + + − + − + + + +∫ ∫ ∫ Chương II. Nguyên hàm và tích phân −−−− Trần Phương 18 III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4 ( )( )()()( )( )2 22 2 2 2dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1dx ln arctgx c2 4 x 1 2x 1 x 1 x 1 x 1•+ − − −= = = − ++−− + − +∫ ∫ ∫14dxC =x 1 ()( )( )( )2 222 2 22 21 d x 1 1 1 1 x 1d x ln c2 4 4x 1 x 1 x 1x 1 x 1•− = = − = + − − + + − +∫ ∫ ∫24xdxC =x 1 ()()( )( )2 22 22 22 21 x 1 x 1 1 1 1dx dx2 2x 1 x 1x 1 x 11 dx 1 dx 1 x 1 1ln arctgx c2 2 4 x 1 2x 1 x 1•+ + − = = + − − + + −−= + = + ++− +∫ ∫ ∫∫ ∫234x dxC =x 1 •()4441 d x 1 1ln x 1 c4 4x 1−= = − +− −∫ ∫344x dxC =x 1 ()414 4x 1 1 dx 1 x 1 1dx dx x C x ln arctgx c4 x 1 2x 1 x 1•− + −= = + = + = + − ++− − −∫ ∫ ∫ ∫454x dxC =x 1 ()( )( )22221 d x 1arctg x c2 2x 1•= = ++∫ ∫64xdxC =x + 1 ()4441 d x 1 1ln x 1 c4 4x 1•+= = + ++∫ ∫374x dxC =x + 1 ()()( )()()2222211 11d x x 21x xxdx ln c112 21x 2xx 2xxx•−+ + −−= = = ++ +++ −∫ ∫ ∫284x 1C = dxx +1 •()()( )222222111d x1 x 1xxdx arctg c12 x 21xx 2xx+−−= = = ++− +∫ ∫ ∫294x + 1C = dxx + 1 ()()( )2 2 2 24 4 42 29 821 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx2 2x 1 x 1 x 11 1 1 x 1 1 x x 2 1C C arctg ln c2 22 x 2 2 2 x x 2 1• + − − + −= = − + + +  − − += − = − +  + + ∫ ∫ ∫ ∫104dxC =x + 1 ()()( )2 2 2 24 4 42 29 821 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx2 2x 1 x 1 x 11 1 1 x 1 1 x x 2 1C C arctg ln c2 22 x 2 2 2 x x 2 1• + + − + −= = + + + +  − − += + = + +  + + ∫ ∫ ∫ ∫2114x dxC =x + 1 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ www.mathvn.com 19 ()4 2 242x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1dx x arctg ln c2x 12 x 2 2 2 x x 2 1• + − − − += = − − +  ++ + ∫ ∫4124x dxC =x + 1 ( )( )()( ) ( )( )( )222222 2111 dxd xxx1 11 1x 5 x 4x 5 x 6xxx xdu du 1 1 1 1 x 6x 1du ln c7 u 6 u 1 7u 6 u 1u 5u 6 x x 1• −+  = =− − −+ − + −+ − + −− + = = = − = + − +− + − − + +∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫2134 3 2x -1 dxC =x 5x 4x 5x+1 •()()2 2 2 24 2 4 2 4 21 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx2 2x x 1 x x 1 x x 1 + − − + −= = − + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫144 2dxC =x + x +1 ()()()()2 22 22 22 21 11 11 dx 1 dxd x d x1 1x xx x1 12 41 1x 1 x 1x 3 x 1x xx x     + −− +        = − = −      + + + + − + + −          ∫ ∫ ∫ ∫ 2 221 1x x 11 1 1 x 1 1 x x 1x xarctg ln c arctg ln c14 4x x 12 3 3 2 3 x 3x 1x− + −− − += − + = − ++ ++ + IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 •( )( )()( ) ( ) ( )22dx d x 1x 1 x x 1x 1 x 1 3 x 1 3−= = −− + +− − + − + ∫ ∫ ∫13dxD =x 1 ( )()()( )( )2 222 2dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dtdt3 3 tt 3t 3t t 3t 3 t t 3t 3 + + − + += = = − + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ( )2 21 dt 1 2t 3 dt 3 dt3 t 2 2t 3t 3 t 3t 3 += − − + + + + ∫ ∫ ∫221 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c6x x 12 3 3− + += − ++ + •( )( )()( ) ( ) ( )22dx d x 1x 1 x x 1x 1 x 1 3 x 1 3+= = + − ++ + − + + ∫ ∫ ∫23dxD =x + 1 ( )()()( )( )2 222 2dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dtdt3 3 tt 3t 3t t 3t 3 t t 3t 3 − + − − −= = = − − + − + − +∫ ∫ ∫ ∫ ()()22 21 dt 1 d t 3t 3 3 dt3 t 2 23t 3t 33t24 − += − + = − + − +  ∫ ∫ ∫ Chương II. Nguyên hàm và tích phân −−−− Trần Phương 20 2 22 21 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1ln 3arctg c ln arctg c3 2 6t 3t 3 x x 13 2 3 3 − + + −+ + = + + − + − +  •( )( )()( )( )( )222 2xdx 1 x x 1 x 1dx3x 1 x x 1 x 1 x x 1+ + − −= =−− + + − + +∫ ∫ ∫33xdxD =x 1 21 1 x 1dx3 x 1x x 1− = − −+ + ∫( )()2 221 dx 1 2x 1 dx 3 dx3 x 1 2 2x x 131x2 2 += − + −+ +  + +    ∫ ∫ ∫ 21 1 2x 1ln x 1 ln x x 1 3arctg c3 23+ = − − + + + +   •( )( )()( )( )( )222 2xdx 1 x x 1 x 1dx3x 1 x x 1 x 1 x x 1− − + − += =+ − + + − +∫ ∫ ∫43xdxD =x + 1 ( )()2 2 221 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dxdx3 x 1 3 x 1 2 2x x 1 x x 131x2 2 − + − − = − = − −  + +− + − +   − +    ∫ ∫ ∫ ∫ 2221 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln x 1 ln x x 1 3arctg c ln arctg c3 2 6x x 13 3 3− − − + + − = + − − + − + = − + − +  V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6 •( )( )( )1 23 33 3dx 1 dx dx 1D D2 2x 1 x 1x 1 x 1 = = − = − − − + − +∫ ∫ ∫ ∫16dxE =x 1 ( )( )( )( )2 22 22 22 21 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg ln arctg2 6 6x x 1 x x 12 3 3 2 3 31 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1ln arctg arctg c124 3 3 3x 2x 1 x x 1    − + + + + −= − − +       + + − +     − + − + + − = − + + + + + +  •()( )213 321 d x 1 du 1D2 2 2u 1x 1= = =− −−∫ ∫ ∫26xdxE =x 1 2 4 2 22 4 21 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c ln arctg c2 6 12u u 1 x x 12 3 3 2 3 3 − + + − + += − + = − + + + + +  ()3 3 36 3 31 d x 1 1 x 1 1 x 1ln c ln c3 3 2 6x 1 x 1 x 1•− −= = ⋅ + = +− − + +∫ ∫236x dxE =x 1 •()( )( )2 26 321 x d x 1 udu 1 udu2 2 2x 1 u 1u 1 u u 1= = = =− − −− + +∫ ∫ ∫ ∫346x dxE =x 1 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ www.mathvn.com 21 ( )24 2 22 4 21 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c ln arctg c12 12u u 1 x x 12 3 3 2 3 3− + − + += + + = + ++ + + + ()()( )( )4 2 22 4 2 62 4 2x x 1 x 1 2 dx dx dxdx 2x 1 x x 1 x 1x 1 x x 1•+ + − − −= = − −− − + + −− + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫456x dxE =x 1 ()()( )( )2 2 22 21 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x 1ln arctg arctg arctg c122 3 3 3 x 3x 2x 1 x x 1 − + − + + − −= + + − + + + + +  •()6661 d x 1ln x 1 c6 6x 1= = − +− −∫ ∫566x dxE =x 1 •()616 6x 1 1 dxdx dx x Ex 1 x 1− += = + = +− − −∫ ∫ ∫ ∫676x dxE =x 1 ()()( )( )2 22 21 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1x ln arctg arctg c124 3 3 3x 2x 1 x x 1− + − + + − = + − + + + + + +  •( )( )( )( )( )2 2 224 22 4 22211 dxx 1 x 1 dx x 1 dxx1x x 1x 1 x x 1x 1x − − + − − = = = − ++ − ++ −  ∫ ∫ ∫ ∫486x 1E = dxx + 1 ()()( )222211d xx 31 1 x x 3 1xxln c ln c12 3 2 3 x x 3 11x 3x 3xx++ −− += = + = ++ ++ ++ −∫ •()( )( )4 2 2 22 62 4 2x x 1 x dx x dxdxx 1 x 1x 1 x x 1− + += = ++ ++ − +∫ ∫ ∫ ∫496x + 1E = dxx + 1 ()( )332 6dx 1 d x 1arctgx arctg x c3 3x 1 x 1= + = + ++ +∫ ∫ ()()( )( )4 49 862321 x 1 x 1 1dx E E2 2x 11 1 1 x x 3 1arctgx arctg x ln c2 32 3 x x 3 1•+ − −= = − =+ − += + − +  + + ∫ ∫106dxE =x + 1 •()()()3 2 326 6 61 d x 1 d x 1 d x 1D3 2 3 2x 1 x 1 x 1= + = ++ + +∫ ∫ ∫ ∫2116x + xE = dxx + 1 (thay x2 vào D2) ( )4 2 234 21 1 1 x 2x 1 1 2x 1arctg x ln arctg c3 2 6x x 12 3 3 + + −= + + + − +  Chương II. Nguyên hàm và tích phân −−−− Trần Phương 22 VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR • Đa thức Pn(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x = a là: ( )( )( )( )( )( )( )( )( )n2 nn n nn nP a P a P aP x P a x a x a x a1! 2! n!′ ′′= + − + − + ⋅⋅⋅ + − 1. Các bài tập mẫu minh họa: •( )− −∫4 31503x 5x +7x 8F = dxx + 2. Đặt ()4 34P x 3x 5x 7x 8= − + − ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )3 42 3 44 4 4 44 4P 2 P 2 P 2 P 2P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 21! 2! 3! 4!′ ′′− − − −⇔ = − + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 44P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2⇔ = − + + + − + + + ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 415050 49 48 47 4649 48 47 46 4566 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2F dxx 266 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx66 149 48 29 3c49 x 2 48 x 2 47 x 2 46 x 2 45 x 2− − − − −− + + + − + + +⇒ =+ = + − + + + − + + + −= + − + − ++ + + + +∫∫ VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO 1. Các bài tập mẫu minh họa: •( )()( )99 99 989999 991 3 5 3 1 35 53 53 5 3 5 + −= = = − + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫1100dxG =3x + 5xdx x x dx x dxdxxxx x x x ()99 999999 991 dx 1 d 3x 5 1 1 1 xln x ln 3x 5 c ln c5 x 99 5 99 4953x 5 3x 5 + = − = − + + = +   + + ∫ ∫ ( )()( )( )( )( )( )( ) ( )( )50 50 492 25050 5050 50 49 49 492 50 25050 5050501 2x 7 2x 1 dx 2x dxdx7 7x 2x 7x 2x 7 2x 71 1 2x 7 2x 2x dx 1 dx 2x dx 1 2x dxdx7 7 49 x 72x 7x 2x 72x 7 2x 71 dx 1 d 2x 749 x 502x 7• + −= = − + + +   + −= − = − −  + + + +  += −+∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫2250dxG =x 2x +7( )( )( ) ( )5025050505050 501 d 2x 73502x 71 1 1 1 x 1ln x ln 2x 7 ln c49 49.50 49.502x 7350 2x 7 350 2x 7+−+= − + + = + +++ +∫ Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ www.mathvn.com 23 ( )()( ) ( )()( )n n nk k 1 kn n n1 ax b ax 1 dx 1 d ax bdxb b nbx ax b x ax b ax b−•+ − += = −+ + +∫ ∫ ∫ ∫3kndxG =x ax + b ( )()( )()( )n n2 k 2 2 k 1 kn n n1 dx 1 d ax b 1 d ax bnbb nbx ax b ax b ax b− −+ += − − = ⋅⋅⋅+ + +∫ ∫ ∫ ( )( )( )( )( )( )nk k 1 kk 1 nnnk n k 1k 1 nn1 1 1 1 1ln x ln ax b cnb bb ax bb k 1 ax b1 x 1 1 1ln cnnb ax bb ax bb k 1 ax b−−−− = + + ⋅⋅⋅ + − + + +− +  = + + ⋅⋅⋅ + + ++− +  ()( )()( ) ( )( )( )2000 2000 19992000 20002000 10002000200020001 x 2x dx 2x dxdxxx 1 x 1 xdx 1 d 1 x 1 xln x ln 1 x c ln cx 1000 10001 x1 x•− + −= = −+ ++= − = − + + = +++∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫2000420001 x dxG =x 1 + x ( ) ( )()( )()( )( )( ) ( )( )( )10 9 10 10 10102 2 210 10 1010 101010 210101 .10 1 1 3 3310 10 103 3 31 3 3 1 33 ln 310 10310 33•+ −= = ++ + + + += − = + + + ++ + ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫195210x dxG = =3 + xx x dx x d x xd xx x xd x d xx cxxx ( ) ( )()( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )50 49 50507 750 5050 506 7 5 650 50 50 5050 506 650 50x .x dx 1 2x 3 3d 2x 32002x 3 2x 31 d 2x 3 d 2x 3 1 1 13 c200 2002x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 31 2 2x 3 5 1 4xc c20010 2x 3 2000 2x 3•− += = −− − − − − − = + = + +   − − − −   − − + −= ⋅ + = +− −∫ ∫ ∫∫ ∫996750x dxG =2x 3 •( ) ( )n n 1knx x dxax b−=+∫ ∫2n-17knx dxG =ax + b()( )( )nn2 kn1 ax b bd ax bnaax b+ −= ++∫ ()( )()( )( )( )( )( )n n2 k 1 k 2 k 2 k 1n n n n1 d ax b d ax b 1 1 bb cna naax b ax b k 2 ax b k 1 ax b− − − + + − = − = + +   + + − + − +   ∫ ∫ ( ) ( )()( )( )( )( )( )( )n n2 k 1 k 1n 2 n1 b k 2 k 1 ax b kax bc cnak 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b− −− − − + − −= ⋅ + = +− − + − − + Chương II. Nguyên hàm và tích phân −−−− Trần Phương 24 2. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải: 5****1 2 3 4 58 8 8 8 8xdx x x dx xdx dxG ; G dx ; G ; G ; Gx 1 x 1 x 1 x 1 x 1−= = = = =− + − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC •( )( )( )1023x 5 dxx 2x 2− − = + +∫ ∫101123x 5H = dxx + 2 10 111 3x 5 3x 5 1 3x 5d c11 x 2 x 2 121 x 2− − −     = = +     + + +     ∫ •( )( )( )99 9927x 1 dx 1 7x 1 7x 1d2x 1 9 2x 1 2x 12x 1− − − −     = =     + + +     +∫ ∫ ∫9921017x 1H = dx2x + 1 100 1001 1 7x 1 1 7x 1c c9 100 2x 1 900 2x 1− −   = ⋅ + = +   + +    •( ) ( )()( )()( ) ( )5 5 6 28dx 1 1 dxx 3 x 3x 5 x 5x 5x 5 x 5= = ⋅ ⋅+ + + +++ +∫ ∫ ∫35 3dxH =x + 3 x + 5 ()( ) ( )()( )667 5 7 51 1 x 3 x 5 1 1x 3d u 1 dux 5x 52 2 ux 3x 5 + − ++= ⋅ = ⋅ − ++ ++∫ ∫ 6 5 4 3 27 57 2 3 4 527 2 3 41 u 6u 15u 20u 15u 6u 1du2 u115 20 15 61u 6 duu2 u u u u1 u20 152 16u 15ln u cu22 2u u 4u− + − + − += = − + − + − +   = − + + − + − +  ∫∫ ()()()()()()272 3 471 1 x 3x 3 x 36 15lnx 5 x 52 x 521x 5 15 x 5 x 5 x 5120 2 cx 3 2 x 3 x 3 4 x 32 ++ += − + + + ++  + + + ++ − + − + + + + +  Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải: •( ) ( )−∫17 3dxH =3x 2 3x+4; ( ) ( )1−∫23 4dxH =2x 3x -1; ( ) ( )∫35 4dxH =3x+ 2 4x-1

Tài liệu liên quan

Biến đổi Phân thức Hữu tỉ
- 7
- 1
- 15
Bài giảng: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)
- 24
- 4
- 0
Bài soạn Phương pháp tính nhanh đạo hàm của hàm sốphân thức hữu tỉ
- 8
- 1
- 51
Bài giảng Phan thuc Huu ti
- 7
- 604
- 0
nguyên hàm tích phân hàm phân thức hữu tỉ biến đổi nâng cao
- 8
- 1
- 14
BÀI BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ pps
- 1
- 593
- 1
LUYỆN TẬP khảo sát hàm phân thức hữu tỉ pptx
- 6
- 677
- 0
BÀI TẬP BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ pdf
- 1
- 519
- 2
BIẾN ĐỔI NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM HỬU TỈ ppsx
- 4
- 575
- 0
LUYỆN TẬP khảo sát hàm phân thức hữu tỉ docx
- 5
- 419
- 0