GIỚI HẠN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - 123doc

GIỚI HẠN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dạng 4:

x 0

sin x

x

Câu 1: Tìm các giới hạn sau:

1)

x 0

sin 5x

lim

x

x 0

tan 2x lim 3x

x 0

1 cos x lim

sin x





x 0

1 cos x

lim

x





5) 3

x 0

sin 5x.sin 3x.sin x lim

45x

x 0

sin 7x sin 5x lim

sin x





7) limx 01 cos 5x

1 cos 3x





 8)

2

x 0

1 cos 2x lim

x.sin x





9) L limx 0 x.sin ax

1 cos ax







LỜI GIẢI

1)

sin 5x 1 sin 5x 1

2)

tan 2x 2 tan 2x 2

3)

2

x

2 sin

2 sin cos



x 0

1 cos x

lim

x





2 2

2

x

x

2

x 0

sin 5x.sin 3x.sin x

lim

45x

1 sin 5x sin 3x sin x 1 lim



6)

sin 7x sin 5x 2 cos 6x sin x



7)

2



( Vì x 0 x 0

sin

sin

1 cos 2x 1 cos 2x

1 cos 2x





2



9) x 0 x 0 x 0 x 0

2



(Vì x 0

ax

2

ax

sin

2

  và x 0

ax

2 lim

2

a



Câu 2: Tìm các giới hạn sau:

1)

x 0

1 cos ax

lim

1 cos bx





x 0

sin x.sin 2x sin nx lim

n!x

x 0

1 cos ax lim

x





(a 0)

x 0

sin x tan x

lim

x





5) 3

x 0

tan x sin x lim

sin x



 6)

x a

sin x sin a lim

x a





 7) limx bcos x cos b

x b





 8)

x 0

1 2x 1 lim

sin 2x



9)

x 0

cos(a x) cos(a x) lim

x



LỜI GIẢI

1)

2



sin

sin

b



2) L limx 0 sin x.sin 2x sin nxn

n!x



sin x.sin 2x sin nx sin x sin 2x sin nx

1.2.3 nx

Vì

Vậy L 1

3)

2 2

2

ax 4

2



(vì x 0

ax sin 2

ax 2

Vậy

2

a

L

4

sin x sin x sin x cos x 1



3

x cos x

2



x

2

lim 1, lim 1, lim

2



Vậy L 1

2



x 0

tan x sin x

lim

sin x



sin x cos x sin x cos x sin x





2

2

x 0

x sin

x 2

1 2

lim

2 sin x cos x

x



x a

2



x b

2





8)

x 0

1 2x 1

lim

sin 2x



x 0

lim sin 2x 1 2x 1 2





9)

cos(a x) cos(a x) 2 sin a sin x sin x

(Vì

x 0

sin x

x

  ) Vậy L2 sin a

Câu 2: Tìm các giới hạn sau:

1)

x c

tan x tan c

lim

x c





 2)

3

x 0

1 cos x lim

x sin x





3)

x a

sin x sin a lim







x 0

cos x cos x

lim

x



  

5)

x 0

sin 5x sin 3x lim

sin x





6) lim 1 x tanx 1  x

2





 7)

3

x 2

lim

tan(x 2)

 



 8)

x 0

1 cos x.cos 2x.cos 3x lim

1 cos x







9)    

2

x 0

sin a 2x 2 sin a x sin a

lim

x



2

x 0

tan a 2x 2 tan a x tan a lim

x



LỜI GIẢI

1)

x c

tan x tan c

lim

x c





lim

x c cos x cos c cos c





x c

sin(x c)

x c







2)

3

x 0

1 cos x

lim

x sin x



x 0

1 cos x 1 cos x cos x lim

x sin x





2

2

x 0

x

2 sin

2

x.2 sin cos



2

x 0

x sin 1 cos x cos x 3 2

2 cos



sin x sin a sin x sin a sin x sin a

x a x a







x a

2 cos sin sin x sin a

lim

2

2





x a

sin cos sin x sin a

lim

2





2 cos a.sin a sin 2a

4)

     

  



     

        

5) limx 0sin 5x sin 3x

sin x





2 cos 4x sin x

sin x

6) L lim 1 x tanx 1  x

2





  Đặt t x 1, vì x 1 t 0

L lim( t) tant 0 t 1 lim( t) tant 0 t lim t cottt 0

t 0 t 0

7)

3

x 2

lim

tan(x 2)

 





2

2

( Vì xlim2 x 2 1

tan(x 2)

 





8) limx 01 cos x.cos 2x.cos 3x

1 cos x







x 0

1 cos x cos 2x.cos 3x 1 cos 2x cos 3x 1 cos 3x

lim

1 cos x





1 cos x cos 2x.cos 3x 1 cos 2x cos 3x 1 cos 3x

2 2

3x

2 sin

2

2

3x sin 2 3x

4 sin cos cos 3x

2

x 2

2

x 0

sin a 2x 2 sin a x sin a

lim

x



2

x 0

sin a 2x sin a x sin a sin a x

lim

x





2

x 0

2 cos a sin 2 cos a sin

lim

x





2

x 0

x

sin

2

x

2



2

x 0

tan a 2x 2 tan a x tan a

lim

x



2

x 0

tan a 2x tan a x tan a x tan a

lim

x





x 0

cos(a 2x) cos(a x) cos(a x)cos a

lim

x







sin x cos a cos(a 2x) sin x 2 sin x sin(a x)

cos(a 2x) cos(a x) cos a cos(a 2x)cos(a x) cos a

2

3

x 0

lim

x cos(a 2x)cos(a x) cos a cos a



Câu 3: Tìm các giới hạn sau:

1) limx 0sin ax tan bx (a b 0)

(a b)x





x 0

cos 3x cos 5x.cos 7x lim

x





x 0

cos ax cos bx.cos cx

lim

x





4)    

x 0

sin a x sin a x lim

tan a x tan a x



5)

3 2

x 0

lim

sin x



6)

2

4

x 0

sin 2x sin x.sin 4x lim

x





x 0

1 cos 5x.cos 7x

lim

sin 11x





8) limx 0 1 1

sin x tan x





9) x 0

2

sin x sin 2x

lim

x

x 1 2 sin

2







10)

2

2

x 0

1 x cos x lim

x



LỜI GIẢI

1)

sin bx sin ax





x 0

cos 3x cos 5x.cos 7x

lim

x



2

x 0

cos 3x 1 1 cos 5x cos 7x 1 cos 7x lim

x





1 cos 5x cos 7x







cos ax 1 cos bx 1 cos cx 1 cos cx cos ax cos bx.cos cx





2 2 2



4)

sin a x sin a x 2 cos a sin x

sin 2x tan a x tan a x

cos(a x)cos(a x)



3

x 0

cos a cos(a x) cos(a x)

cos x



5)

3 2

x 0

lim

sin x



2

2







6)

sin 2x sin x.sin 4x sin 2x 2 sin x sin 2x cos 2x



4

x 0

sin 2x 2 sin x cos x 2 sin x cos 2x

lim

x







4 sin 2x.sin x.sin sin



x 0



        

x 0

1 cos 5x.cos 7x

lim

sin 11x





2 sin cos 7x 2 sin

2 2

8)

2

x

2 sin

sin x tan x sin x sin x sin x

2 sin cos

x 0

x

lim tan 0

2



2

x

x

x 1 2 sin

2 2









10)

2

2

x 0

1 x cos x

lim

x



2 2

2

2

x

2

Câu 3: Tìm các giới hạn sau:

1)

x

4

lim tan 2x.tan x

4





  



x 0

1 tan x 1 sin x lim

x



3)

x 1

x 3 2 lim

tan(x 1)



 



4) x

2

cos x

lim

x

2



 5)

 2

x

1 cos x lim

x

 



  6) 2

x 1

sin(x 1) lim

x 4x 3





x

6

2 sin x 1

lim

4 cos x 3







 8) 2

x 4

2 sin x 1 lim

2 cos x 1







 9)

x 6

6 lim

1 2 sin x





  





LỜI GIẢI

1)

x

4

L lim tan 2x.tan x

4





  

  Đặt t x

4



4



L lim tan 2t ( 1) tan t lim cot 2t.tan t

2

2

cos 2t sin t cos 2t sin t cos 2t 1

sin 2t cos t 2 sin t cos t cos t 2 cos t 2

2) 3

x 0

1 tan x 1 sin x

lim

x



3

3

A

sin x x cos x tan x sin x

x A.cos x

x 1 tan x 1 sin x





         

2

3

x 0

x

2 sin x sin

2 lim

x A.cos x





2

x 0

x sin

x

2



   

3)

(Vì limx 1tan(x 1)x 1 1, limx 1 1 41

x 3 2



Vậy L 1

4



4) x

2

cos x

L lim

x

2



 





 Đặt t x

2



2



cos t

tt

  



5)

 2

x

1 cos x

L lim

x

 





  Đặt t  x , vì x   t 0

2 2

tt

t

2

sin(x 1) sin(x 1)

x 1 x 3

x 4x 3

  Đặt t x 1, vì x 1 t 0

x

6

2 sin x 1

L lim

4 cos x 3









2 sin x 1 2 sin x 1

1 4 sin x

4 1 sin x 3



x

6

2 sin x 1

lim

1 2 sin x 1 2 sin x









6

lim

1 2 sin x 2









8)

2 cos x 1 2 1 sin x 1 1 2 sin x

   

x

4

2 sin x 1

lim

1 2 sin x 1 2 sin x









4

lim

2

1 2 sin x







9)

2 sin x 2 sin x sin

Câu 4: Tìm các giới hạn sau:

1) x

6

1 2 sin x

lim

x

6









 2)

x 4

4 lim

1 2 sin x





  





3) x

4

2 2 cos x lim

sin x

4







  



4)

2

2

x 0

x 1 cos 2x

lim

x



 

x 0

1 2x cos x x lim

x



6)

3

x 0

2x 1 1 x lim

sin 2x



7)

x

3

sin x 3 cos x

lim

sin 3x







x 0

1 cos x cos 2x lim

x





9)

3

2

x 0

1 cos x lim

tan x





LỜI GIẢI

1) x

6

1 2 sin x

lim

x

6









1

2 sin x 2 sin x sin

2 sin x 1

2 12

2

2)

2



3)

2

2 2 cos x

4)

2

2

x 0

x 1 cos 2x

lim

x



 

Đặt f x  x2 1 cos 2x2

x

 



 Tính

2

2

 

 

 Tính

2 2

x

Vậy lim f xx 0   1 2 5

x 0

1 2x cos x x

L lim

x



x



1 2x (1 x) 1 cos x 1 2x (1 x) 1 cos x

2

2

1 2x 1 x

1 2x (1 x)



2

2

Tính

2 2

x

2



Vậy lim f xx 0   1 1 0

2 2

6)

3

x 0

2x 1 1 x

L lim

sin 2x



sin 2x



 Tính

sin 2x



 Tính

sin 2x 2 sin x cos x 1 1 x sin x 2 cos x 1 1 x 4

Vậy lim f xx 0   1 1 7

3 4 12

7)

x

3

sin x 3 cos x

lim

sin 3x







x 3

sin x 3 cos x sin x 3 cos x lim

3 sin x 4 sin x sin x 3 4 sin x sin x 3 cos x





2

2

3 sin x 3 4 sin x sin x 3 cos x sin x sin x 3 cos x

x 0

1 cos x cos 2x

L lim

x







2

2

1 cos x cos 2x 1 cos x cos 2x



cos x 1 cos 2x sin x cos x sin x cos x cos 2x

x 1 cos x cos 2x x 1 cos x cos 2x

2

2 sin x cos x sin x sin x 2 cos x 1 3

2

x 1 cos x cos 2x

x 1 cos x cos 2x





9)

3

2

x 0

1 cos x

L lim

tan x







x

2 sin cos x

tan x 1 cos x cos x 4 sin cos 1 cos x cos x



2

2

lim

2 cos 1 cos x cos x

2



Câu 5: Tìm các giới hạn sau:

1)

3

2

x

4

tan x 1

lim

2 sin x 1







 2) 2

x 0

1 cos x cos 2x lim

x





3) limx 0 2 cot x

sin 2x





4)

x 0

1 2x 1 sin x

lim

3x 4 2 x



   5)

2 2

x 1 cos x lim

x



 

6)

x 0

1 sin 2x cos 2x

L lim

1 sin 2x cos 2x





7)

x

3

cos 3x 2 cos 2x 2

lim

sin 3x





8)

cos cos x 2 lim

x sin 2



  9)

1 cos x lim





LỜI GIẢI

1)

3

2 x

4

tan x 1

L lim

2 sin x 1











x

4

tan x 1

L lim

sin x cos x tan x tan x 1









x

4

sin x cos x lim

cos x sin x cos x sin x cos x tan x tan x 1









x

4

lim

3 cos x sin x cos x tan x tan x 1





x 0

1 cos x cos 2x

lim

x





cos x cos x cos 2x sin x cos x cos x cos 2x sin x



2

x

3) L limx 0 2 cot x

sin 2x



sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x

4)

x 0

1 2x 1 sin x

L lim

3x 4 2 x





  

2

 

 

x 1 1 2x 1

 

5)

2

2

x 1 cos x

lim

x



 

1 cos x

2

4

6)

x 0

1 sin 2x cos 2x

L lim

1 sin 2x cos 2x





2

2

1 sin 2x cos 2x 1 cos 2x sin 2x 2 sin x 2 sin x cos x

1 sin 2x cos 2x 1 cos 2x sin 2x 2 sin x 2 sin x cos x

2 sin x sin x cos x sin x cos x

sin x cos x

2 sin x sin x cos x





7)

3

cos 3x 2 cos 2x 2 4 cos x 4 cos x 3 cos x





x

3

cos x 2 cos x 3 2 cos x 1

lim

sin x 2 cos x 1 2 cos x 1





8)

cos cos x

2

lim

x sin

2





9)

1 cos x

lim





   

x

2 x

2

 

 

 

 

 

 