Giúp Học Sinh Lớp 11 Tiếp Cận Và Giải Một Số Bài Tập Xác Suấml

1. Sáng Kiến Kinh Nghiệm Toán THPT
2. Chia sẻ

Giúp học sinh lớp 11 tiếp cận và giải một số bài tập xác suất.html

MỤC LỤC

Phần A	Mở đầu	2
I. Lý do chọn đề tài	2
II.Mục đích nghiên cứu	2
III. Đối tượng nghiên cứu	2
IV. Phương pháp nghiên cứu.	2
Phần B	Nội dung sáng kiến kinh nghiệm	2
I. Cơ sở lý luận	2
II. Thực trạng vấn đề trước khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm	3
III. Các biện pháp tiến hành	3
1. Cơ sở lý thuyết	3
2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải một số bài toán xác suất	5
2.1. Những bài toán xác suất có không gian mẫu được môt tả cụ thể	5
2.2. Những bài toán chọn vật (người...) không liên quan đến sắp xếp	6
2.3 Những bài toán liên quan đến sắp xếp	12
2.4. Những bài toán sử dụng quy tắc nhân	14
2.5.Bài tập tự luyện	18
IV.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm	19
Phần C	Kết luận	20
I. Kết luận	20
II. Kiến nghị	20
Tài liệu tham khảo	21

A. MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài: Xác suất là một chuyên ngành mới và có tính hấp dẫn cao được áp dụng phổ biến trong cuộc sống. Xác suất được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học khác nhau như Toán học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật, y học, công nghệ thông tin và các ngành kinh tế. Trong trường phổ thông thì đòi hỏi học sinh phải biết giải bài toán xác suất và áp dụng được vào các môn học đặc biệt là môn sinh học, vật lý ...

Trong những năm gần đây các bài toán xác suất là một trong các chủ đề có mặt trong các kỳ thi do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. Chính vì thế nên tôi đã chú trọng vào việc dạy kỹ lý thuyết cho học sinh và phân dạng các loại toán xác suất từ dễ đến khó và có hệ thống móc nối giữa các kiến thức cũ và mới để học sinh có hứng thú học, say mê tìm hiểu và giải quyết được các dạng bài tập trong chương trình phổ thông.

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi đã chọn đề tài "Giúp học sinh lớp 11 tiếp cận và giải một số bài tập xác suất".

II. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến đến nội dung xác xuất được trình bày trong sách giáo khoa nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.

III. Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh trung lớp 11 bậc trung học phổ thông;

- Nội dung phần xác suất trong chương trình toán trung học phổ thông.

IV. Phương pháp nghiên cứu:

- Xây dựng cơ sở lý thuyết;

- Điều tra, quan sát;

- Thực nghiệm sư phạm;

- Tổng kết rút kinh nghiệm;

- Xây dựng hệ thống bài tập có phân loại các dạng bài tập, sắp xếp các ví dụ, các bài tập theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời đưa ra một số đặc điểm nhận dạng từng dạng bài tập để lựa chọn cách giải cho phù hợp.

B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

- Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Trong chương trình toán học phổ thông chương trìnhsách giáo khoa đã đưa xác suất vào dạy ở lớp 11,với đa số học sinh việc làm quen, áp dụng và giải các bài toán về xác suất còn rất bỡ ngỡ và thấy khó. Đứng trước một bài toán xác suất nhiều học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng không dám chắc mình đã làm đúng.

- Phần xác suất trong chương II "Tổ hợp và xác suất" lớp 11 phân ban có mục đích trang bị cho học sinh các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… đồng thời cũng đưa ra các quy tắc tính xác suất để vận dụng vào các bài toán thực tiễn.

- Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụ thể. Trên thực tế học sinh khó hiểu được các khái niệm và các định nghĩa, trong khi sách tham khảo về nội dung này cũng không có nhiều, khai thác kỹ hơn thì học sinh lại phải đọc thêm nhiều lý thuyết ngoài sách giáo khoa. Thực tế đó đòi hỏi giáo viên phải có những phương pháp dạy hợp lý và phát huy tính sáng tạo của học sinh.

II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Xác suất là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng dụng thực tế của nó rất lớn nhưng học sinh học trongthời gian ngắn nên việc áp dụng thành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt.

Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc độc lập. Đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc để giải quyết các tình huống cụ thể.

III. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.

1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:

Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó không dự đoán trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu Ω.

b. Xác suất các biến cố:

Định nghĩa : Giả sử phép toán thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

trong đó và lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω

- Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử T) có xác suất bằng 1.

- Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác xuất bằng 0.

1.2. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

1.2.1. Quy tắc cộng xác suất

a. Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Nếu “biến cố A hoặc biến cố B xảy ra”, kí hiệu là được gọi là hợp của hai biến A và B. Nếu kí hiệu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp mô tả A và B thì tập hợp mô tả biến cố và ΩA ΩB.

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ có ít nhất một trong các biếncố A1, A2, …, Ak xảy ra, ký hiệu là , được gọi là hợp của k biến cố đó.

b. Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu.

ΩA ΩB =

c. Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suấtđể A hoặc B xảy ra là:

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak đôi một xung khắc thì ta có:

d. Biến cố đối

Cho biến cố A thì biến cố “ Không xảy ra A”, ký hiệu là được gọi là biến cố đối của A.

Cho biến cố A xác suất của biến cố đối là: (3)

1.2.2. Quy tắc nhân xác suất

a. Biến cố giao

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, ký hiệu là A.B, được gọi là giao của hai biến cố A và B.

Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB làΩA ΩB .

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ tất cả k biếncố A1, A2, …, Ak xảy ra “, ký hiệu là , được gọi là giao của k biến cố đó.

b. Biến cố độc lập

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia.

c. Quy tắc nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suấtđể A hoặc B xảy ra là:

Một cách tổng quát : Cho k biến cố A1, A2, …, Akđộc lập thì ta có:

2. HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT:

2.1.Những bài toán xác suất có không gian mẫu được mô tả cụ thể :

Để học sinh làm quen với khái niệm không gian mẫu và biến cố trước hết yêu cầu học sinh nhắc lại các khái niệm về phép thử, không gian mẫu, biến cố, tập hợp các kết quả thuân lợi của biến cố, công thức xác suất cổ điển sau đó phân tích và hướng dẫn các em làm bài tập sau:

Ví dụ 1: Gieo một quân súc sắc, tính xác suất để số chấm trên mặt suất hiện chia hết cho 3.

Hướng dẫn học sinh:

Phép thử T: ‘‘Gieo một quân con súc sắc’’

Không gian mẫu: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} gồm 6 phần tử

Xét biến cố A: Số chấm trên mặt suất hiện chia hết cho 3.

Tập các kết quả thuận lợi của A : ΩA= {3; 6} gồm 2 phần tử.

Xác suất của biến cố A là:

P(A) = = = .

Ví dụ 2: Gieo một con xúc sắc 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8.

Hướng dẫn học sinh:

Phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con xúc sắc’’

Không gian mẫu: Ω = {(1,1); ...(1,6);....;(6,1);...(6,6)} gồm 6.6=36 phần tử

Xét biến cố A: tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8.

Tập các kết quả thuận lợi của A : ΩA = {(2,6); (3,5); (4;4); (5,3); (6;2)} Þ

Xác suất của A: P(A) =

Bài 3: Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Rút ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất để tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn.

Tôi dẫn dắt học sinh tìm lời giải:

Phép thử T: ‘‘Rút ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ’’

Không gian mẫu: Ω = {(1,1); ...(1,6);....;(6,1);...(6,6)} gồm 6.6=36 phần tử

Xét biến cố A: "Tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn".

Tập các kết quả thuận lợi của A :

ΩA = {(1,2); (1,4); (1;6); (2,1); (2;2); (2,3); (2;4); (2;5); (2,6);...; (6;6)} . Đếm tất cả các kết quả liệt kê được ta được = 27

Qua việc phân tích trên tôi nhấn mạnh chỉ cho học sinh thấy rằng, có những bài toán nếu làm theo cách liệt kê trực tiếp thì có quá nhiều kết quả khiến ta không đếm hết được. Từ đó gợi mở để học sinh tìm hướng giải quyết khác cho bài toán. Sẽ có nhiều hướng giải quyết được các em đưa ra, tôi khéo léo dẫn dắt để các em nắm được 2 cách giải quyết sau:

Cách thứ nhất: Tìm biến cố đối của biến cố A. Ta có lời giải sau

Phép thử T: ‘‘Rút ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ’’

Không gian mẫu: Ω = {(1,1); ...(1,6);....;(6,1);...(6,6)} gồm 6.6=36 phần tử

Gọi B là biến cố: " tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số lẻ" .

ΩB = {(1,1); (1,3); (1,5); (3,1); (3,3); (3;5); (5,1); (5,3); (5,5)}Þ = 9.

Xác suất của biến cốB là: P(B) = =

Xét biến cố A: "Tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn".Þ A =

Xác suất của biến cố A là: P(A) = 1 - P(B) = .

Cách thứ 2: Tính số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của ΩA dựa theo bài toán đếm số phần tử. Đồng thời nhấn mạnh cho học sinh đây là cách giải quyết bài toán hay được dùng. Ta có lời giải sau:

Gọi A là biến cố: " tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn".

Số phần tử của không gian mẫu là: = 6.6 = 36.

Số phần tử của ΩA là: =C .C + C .C + C .C = 27

Xác suất của biến cố A là: P(A) = = .

Hoặc:

Gọi A là biến cố: " tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn".

Số phần tử của không gian mẫu là: = 6.6 = 36.

Số cách lấy ra 2 thẻ có tích 2 số ghi trên 2 thẻ là một số lẻ là: C .C = 9

Số phần tử của ΩA là: = 36 - 9 = 27.

Xác suất của biến cố A là: P(A) = = .

2.2 Những bài toán chọn vật (người, ....) không liên quan đến sắp xếp:

Mỗi bài tập tính xác suất đều gắn liền với một bài toán đếm, và loại bài tập xác suất liên quan đến chọn vật không yêu cầu sắp xếp các vật được chọn thường đơn giải hơn, nên tôi chọn để dạy cho các em học sinh trước.

Để học sinh tiếp thu tốt, và giải được loại toán này thành thạo, trước tiên cần củng cốcho học sinh về hai quy tắc đếm cơ bản, dấu hiệu để sử dụng hai quy tắc này, đặc biệt nhấn mạnh: Nếu sau mỗi hành động công việc được hoàn thành, chúng ta dùng quy tắc cộng. Nếu sau mỗi hành động công việc còn dang dở, dùng quy tắc nhân. Tiếp theo cần cũng cố cho học sinh cách dùng công thức C , đây là công thức đếm số tập con gồm k phần tử của một tập hợp gồm n phần tử, cũng là công thức tính số cách chọn k đối tượng từ 1 tập hợp gồm n đối tượng. Do đó, để tránh nhầm lẫn cần biết được các đối tượng chọn ra đó được lấy từ tập nào, tập đó có bao nhiêu phần tử và các phần tử lấy ra đó có tính chất gì.

Chọn cho học sinh giải ví dụ sau:

Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. tính xác suất để :

a. Chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi vàng.

b. Chọn được 2 viên bi cùng màu.

Hướng dẫn học sinh: Do học sinh mới tiếp cận với bài toán tính xác suất, nên cần trang bị cho học sinh một số kỹ năng làm bài, thông qua bài tập này cần trang bị cho các em biết cách tìm số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố, vì vậy, cần đưa ra hệ thống các câu hỏi:

- Phép thử ở đây là gì? (câu trả lời mong đợi: Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp có 15 viên bi),

- Số phần tử của không gian mẫu là tổng số các kết quả có thể xảy ra? Hay bằng số cách chọn 2 viên bi từ hộp, vậy hãy tính số phần tử của không gian mẫu?(Câu trả lời mong đợi: C ).

- Biến cố ở câu a của bài toán là biến cố nào? (Câu trả lời mong đợi: Chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi vàng).

- Số cách chọn bằng bao nhiêu? (C . C ).

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng bao nhiêu? Tại sao ? (bằng C . C , vì số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng số kết quả làm cho biến cố xảy ra).

- Biến cố ở câu b là biến cố nào? (Chọn được 2 viên bi cùng màu)

- Biến cố B xảy ra khi nào? (Khi 2 viên bi cùng màu xanh hoặc hai viên bi cùng màu đỏ, hoặc 2 viên bi cùng màu vàng).

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng bao nhiêu? Tại sao ? (bằng C + C + C , vì số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng số kết quả làm cho biến cố xảy ra).

Lời giải:

Gọi A là biến cố "Chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi vàng".

Gọi B là biến cố "Chọn được 2 viên bi cùng màu".

Số phần tử của không gian mẫu là: =C = 105

a. Số phần tử của ΩA là: = C . C = 20

Xác suất của biến cố A là P(A) = =

b. Số phần tử của ΩB là: = C + C + C = 31

Xác suất của biến cố B là P(B) =

Ví dụ 2:Có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác suất để chọn được cả nam và nữ, đồng thờisố nam nhiều hơn số nữ.

Phân tích bài toán: Mục đích ở bài toán này là giúp các em biết cách phân chia trường hợp dựa trên tính chất của các phần tử lấy ra. Cần hướng các em đến việc tách số 6 thành tổng 2 số khác 0, vẽ bảng phân chia các trường hợp đảm bảo số lượng của nam nhiều hơn số nữ.

Cụ thể: 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3

Bảng

Số nam được chọn	Số nữ được chọn
5	1
4	2

Từ kết quả ở bảng suy ra có 2 trường hợp xảy ra biến cố: Chọn được 5 nam, 1 nữ; và 4 nam và 2 nữ.

Lời giải:

Gọi A là biến cố "Chọn được 6 người có cả nam và nữ, đồng thờisố nam nhiều hơn số nữ".

Số phần tử của không gian mẫu là: = C = 210

Chọn được 6 người có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơn số nữ cần chọn: 5 nam một nữ; hoặc 4 nam 2 nữ.

Số phần tử của ΩA là: = C .C + C .C =114

Xác suất của biến cố A là P(A) = =

Ví dụ 3: Đội văn nghệ của trường THPT Nông Cống 1 gồm 15 người trong đó có 6 nam và 9 nữ. Chọn ngẫu nhiên 7 người lập thành một tốp ca có cả nam và nữ. Tính xác suất để lập được tốp ca có ít nhất 3 nữ.

Phân tích bài toán: Mục đính của ví dụ này là mong muốn học sinh tránh nhầm lẫn khi tìm không gian mẫu. Bởi đa số học sinh đứng trước bài toán này thường tính số phần tử của không gian mẫu bằng C bởi không chú ý đến tính chất của đối tượng được chọn "chọn một tốp ca có cả nam và nữ". Số phần tử của không gian mẫu ở ví dụ này là số cách chọn 6 người có cả nam và nữ nên = C - C . Đồng thời thông qua ví dụ này hướng học sinh đến cách tìm xác suất của biến cố đối bởi biến cố đối có ít trường hợp hơn.

Lời giải:

Gọi A là biến cố "Chọn được tốp ca có cả nam và nữ, đồng thời số nữ ít hơn 3 người"

Gọi B là biến cố "chọn được ít nhất 3 nữ"

Số phần tử của không gian mẫu là: = C - C = 6399

Để tốp ca được chọn có cả nam và nữ đồng thời số nữ ít hơn 3 cần chọn 1 nữ 6nam hoặc 2 nữ 5 nam.

Số phần tử của ΩA là: = C . C + C . C = 225

Xác suất của biến cố A là P(A) = =

Ta thấy biến cố B là biến cố đối của biến cố A. Xác suất của biến cố B là:

P(B) = P( ) = 1 - P(A) =

Nhận xét: Qua ví dụ này cần nhấn mạnh cho học sinh biến cố đối của một biến cố A là biến cố không xảy ra A. Dấu hiệu để sử dụng biến cố đối là đề bài có cụm từ "ít nhất ", "nhiều nhất ", "không quá";"ít hơn"...

Ví dụ 4: Có 2 hộp, hộp thứ nhất đựng 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng; hộp thứ hai đựng 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một quả.

a. Tính xác suất để lấy được 2 quả cầu đều màu trắng.

b. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra khác màu.

Phân tích bài toán: Mục đích của ví dụ này là mong muốn học sinh tránh bị nhầm lẫn khi sử dụng công thức C . Trước bài toán này nhiều học sinh sẽ tính số phần tử của không gian mẫu = C , lý do các em bị sai là nghĩ rằng 2 quả cầu được lấy ra từ 20 quả cầu ban đầu. Cần phân tích cho học sinh thấy 2 quả cầu được lấy ra không phải từ 1 tập hợp các quả cầu, mà lấy 1 quả từ 10 quả của hộp 1 và lấy ra 1 quả từ 10 quả từ hộp 2, nên số phần tử của không gian mẫu = C . C . Thứ 2 là khi tính số phần tử thuận lợi cho biến cố, học sinh sẽ lúng túng không biết tính như thế nào, cần phân tích cho học sinh thấy là để xảy ra biến cố ở câu a, cần lấy ra 1 quả cầu trắng từ 6 quả trắng của hộp 1 và lấy ra 1 quả trắng từ 4 quả trắng của hộp 2; để xảy ra biến cố ở câu b thì cần lấy cầu sao cho; nếu quả lấy ra ở hộp 1 là màu trắng, thì quả lấy ra ở hộp 2 là màu đỏ; nếu quả lấy ra ở hộp 1 là màu đỏ, thì quả lấy ra ở hộp 2 là màu trắng.

Lời giải:

Gọi A là biến cố "lấy được 2 quả cầu đều màu trắng"

Gọi B là biến cố "2 quả lấy ra khác màu".

Mỗi kết quả của phép thử là 1 cách lấy ra 1 quả cầu từ hộp thứ nhất, và 1 quả cầu từ hộp thứ 2. Số phần tử của không gian mẫu là: = C . C =100

a. Để hai quả cầu lấy ra đều màu trắng cần lấy 1 quả trắng từ hộp 1 và 1 quả trắng từ hộp 2. Số phần tử của ΩA là: = C . C =24

Xác suất của biến cố A là P(A) = = 0.24

b. Có 2 cách lấy được 2 quả cầu khác màu: lấy 1 quả đỏ từ hộp 1 và 1 quả trắng từ hộp 2; hoặc lấy 1 quả trắng từ hộp 1 và 1 quả đỏ từ hộp 2.

Số phần tử của ΩB là: = C . C + C . C = 60

Xác suất của biến cố B là:P(B) = = 0.6

Ví dụ 5: Trường THPT Nông Cống I có 15 Đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 có 3 nam và 3 nữ; khối 11 có 2 nam và 3 nữ;khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Đoàn trường chọn ra một nhóm gồm 4 học sinh là Đoàn viên ưu tú để tham gia lao động Nghĩa trang liệt sỹ. Tính xác suất để nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam.

Lời giải:

Gọi A là biến cố "chọn được nhóm có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam".

Số phần tử của không gian mẫu là: = C = 1365

Biến cố A xảy ra khi:

- Chọn 1 nam khối 12, 1 nữ khối 12, 1 nam khối 11, 1 nam khối 10

- Chọn 1 nam khối 12, 1 nam khối 11, 1 nữ khối 11, 1 nam khối 10;

- Chọn 1 nam khối 12; 1 n1m khối 11; 1 nam khối 10, 1 nữ khối 10.

Số phần tử của ΩA là:

= C . C . C . C + C .C . C . C + C .C .C .C = 96

Xác suất của biến cố A là P(A) = =

Nhận xét: bài tập này nhằm mục đích cũng cố các lưu ý được nêu ra từ ví dụ 1 đến ví dụ 4, nên cho học sinh lập bảng để tìm các trường hợp có thể xảy ra của biến cố.

Khối 12		Khối 11		Khối 10
Nam	Nữ	Nam	Nữ	Nam	Nữ
1	1	1	1
1	1	1	1
1	1	1	1

Ví dụ 6:Đội thanh niên xung kích của trường THPT Nông Cống 1 gồm 9 Đoàn viên nam và 6 Đoàn viên nữ, trong đó có 2 Đoàn viên nam là ủy viên ban chấp hành. Đoàn trường cần chọn một nhóm 3 Đoàn viên đi kiểm tra việc thực hiện nội quy nhà trường trong sáng thứ 2. Tính xác suất để 3 Đoàn viên được chọn có cả nam, nữ, ủy viên ban chấp hành.

Phân tích bài toán: Ở bài toán này cần phân tích cho học sinh thấy đối tượng được chọn thuộc 3 nhóm: Đoàn viên nam không là ủy viên; đoàn viên nữ; ủy viên ban chấp hành trong đó nếu chọn được ủy viên ban chấp hành thì tính chất có cả nam được thỏa mãn. Đồng thời khi kẻ bảng cần lưu ý với học sinh rằng, trong 9 đoàn viên nam, có 7 đoàn viên không là ủy viên và 2 đoàn viên là ủy viên để tránh trường hợp một số học sinh tính sai số kết quả thuận lợi cho biến cố do nghĩ rằng đội có 9 nam không là ủy viên và 2 nam là ủy viên vì không đọc kỹ đề. Bảng các trường hợp:

Nam không ủy viên (7)	Ủy viên BCH (2)	Nữ (6)
1	1	1
0	2	1
0	1	2

Lời giải:

Gọi A là biến cố "chọn được nhóm có cả nam và nữ, và ủy viên BCH".

Số phần tử của không gian mẫu là: = C = 445.

Biến cố A xảy ra khi:Chọn 1 nam không ủy viên, 1 nam ủy viên, và 1 nữ;hoặc chọn 2 nam ủy viên, và 1 nữ; hoặc chọn 1 nam ủy viên và 2 nữ.

Số phần tử của ΩA là: = C . C . C + C . C + C . C =120

Xác suất của biến cố A là P(A) = =

Ví dụ 7:Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Cần phân công đội thanh niên tình nguyện đó thành 3 đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi. Tính xác suất để mỗi đội có 4 nam và 1 nữ?

Phân tích bài toán: Đây là bài toán chia tổ, cần làm cho học sinh thấy được sau khi phân tổ thứ nhất, thì số đối tượng để chọn của nhóm thứ 2 bị giảm đi nhằm tránh cho các em khỏi bị sai khi dùng công thức C .

Lời giải:

Gọi A là biến cố "chọn được mỗi đội có 4 nam và 1 nữ".

Số phần tử của không gian mẫu là: = C . C . C =756756

Số phần tử của ΩA là: = C . C . C .C . C . C =207900

Xác suất của biến cố A là P(A) = = .

Ví dụ 8: Cho tập E = . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 số tự nhiên đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.

Phân tích bài toán: Qua ví dụ cần chỉ cho học sinh thấy đối tượng lấy ra của phép thử là 2 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập được từ tập E. Đối tượng chọn để xảy ra biến cố là 2 số từ các số lập được, trong đó có 1 số không có chữ số 5. Do đó cần phải tính các loại số này trước thì mới tính được và .

Lời giải:

Từ tập E ta lập được A = 60 số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau.

Trong đó, có A = 24 số không có chữ số 5, và 36 số có chữ số 5.

Gọi A là biến cố "viết được 2 số có đúng một số có chữ số 5"

Số phần tử của không gian mẫu là: = C = 1770

Số cách viết được 2 số có đúng 1 số có chữ số 5 là: = C . C = 864

Xác suất của biến cố A là P(A) = = .

Ví dụ 9: Nhà trường dùng 20 quển sách gồm 7 quyển sách toán giống hệt nhau, 5 quyển sách lý giống hệt nhau, và 8 quyển sách hóa giống hệt nhau để phát phần thưởng cho 10 học sinh trong đó có An và Bính mỗi em 2 quyển sách khác thể loại. Tính xác suất để hai quyển sách An nhận được giống hai quyển sách Bính nhận được.

Phân tích bài toán: Đứng trước bài tập này nhiều học sinh sẽ lúng túng vì không biết tính không gian mẫu như thế nào, cần phân tích cho các em rằng: Phép thử ở đây là "chia quà ngẫu nhiên cho 10 học sinh mỗi học sinh 2 quyển sách khác thể loại". Có nghĩa là phải phân chia 20 quyển sách thành 10 phần khác nhau trong đó mỗi phần có 2 quyển sách khác loại, rồi chia ngẫu nhiên cho 10 em học sinh. Trong 10 phần quà đó sẽ có 2 phần quà cùng là sách toán và lý; 3 phần quà là sách lý và hóa; 5 phần quà là sách toán và hóa. Khi đó chỉ cần chọn các đối tượng học sinh nhận các phần quà tương ứng.

Lời giải:

Ta chia 20 quyển sách thành 10 phần, mỗi phần 2 quyển sách khác loại thì được kết quả như sau:

- 2 phần mà mỗi phần có 1 sách toán và 1 sách lý;

- 3 phần mà mỗi phần có 1 sách hóa và 1 sách lý;

- 5 phần mà mỗi phần có 1 sách toán và 1 sách hóa.

Gọi A là biến cố "hai quyển sách An nhận được giống hai quyển sách Bính nhận được"

Số phần tử của không gian mẫu là: = C . C . C = 2520

Số phần tử của ΩA là: = C . C + C . C . C + C . C . C = 784

Xác suất của biến cố A là P(A) = = .

Qua các ví dụ trên ta thấy rằng bài toán tính xác suất liên quan đến việc chọn 1 đối tượng nào đó, đều phải xét các trường hợp có thể xảy ra của biến cố, và phần đa sử dụng công thức C , sau khi giải quyết các thí dụ cần cho học sinh cũng cố lại dấu hiệu để nhận biết dạng bài toàn này là có cụm từ "chọn ngẫu nhiên"; hay "lấy ngẫu nhiên"...một vài đối tượng có tính chất nào đấy, không có sự sắp xếp các đối tượng. Cũng cần nhấn mạnh với học sinh là để tránh nhầm lẫn khi tính không gian mẫu cần đọc kỹ tính chất của đối tượng được lấy ra. Cũng thông qua các ví dụ trên học sinh đã nhận thấy được việc tính số phần tử của không gian mẫu, số kết quả thuận lợi cho biến cố gắn liền với bài toán đếm, qua đó các em sẽ biết cách vận dụng khối kiến thức về bài toán đếm vào bài toán xác suất. Lúc này tôi chuyển sang dạy những bài toán dạng tiếp theo.

2.3. Những bài toán liên quan đến sắp xếp:

Đa số các bài toán dạng này đều cần các em phải sử dụng thành thạo và khéo léo 2 quy tắc đếm cơ bản. Để học sinh tiếp cận dẽ dàng hơn, các ví dụ tôi đưa ra theo ý tưởng từ dễ đến khó, từ bài toán sắp xếp tường minh đến những bài phức tạp hơn (sự sắp xếp có tính chọn lựa). Lần lượt cho học sinh giải các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách toán; 4 cuốn sách văn; 6 cuốn sách anh. Xếp các cuốn sách ấy trên một kệ dài. Tính xác suất để các cuốn cùng môn được xếp kề nhau.

Lời giải

Gọi A là biến cố "Các cuốn cùng môn được xếp kề nhau".

Số phần tử của không gian mẫu là: = 12!

Số phần tử của ΩA là: = 3!.2!.4!.6!

Xác suất của biến cố A là P(A) = =

Ví dụ 2: Có 4 bạn nam và 4 bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Trong 8 bạn có 2 bạn tên An và Bình.

a. Tính xác suất để An và Bình luôn ngồi kề nhau.

b. Tính xác suất để An và Bình luôn ngồi kề nhau.

Phân tích bài toán: Mục đích của 2 bài toán nhằm hướng các em học sinh ôn tập lại cách đếm số cách sắp sếp một tập hợp có kèm theo điều kiện, từ đó vận dụng vào bài toán tính xác suất. Giáo viên cần nhắc lại cho các em cách đếm ở đây là phải ưu tiên thứ tự cho những đối tượng "đặc biệt" trước. Với bài này phải ưu tiên sắp xếp cho Bình và An trước, rồi mới sắp xếp thứ tự cho những người còn lại. Bài tập này cũng hình thành cho các em cái suy nghĩ về việc dùng biến cố đối, trong trường hợp việc đếm các kết quả một cách trực tiếp là phức tạp và khó khăn.

Lời giải:

Gọi A là biến cố "An và Bình ngồi kề nhau".

Gọi B là biến cố"An và Bình không ngồi kề nhau"

Số phần tử của không gian mẫu là: = 8!=40320

a. Xem An - Bình là 1 khối ngồi cùng với 6 học sinh kia, xếp khối An - Bình và 6 bạn còn lại có 7! Cách xếp.

Mỗi lần đổi chỗ An - Bình được 2! cách .

Số cách sắp xếp để An - Bình ngồi kề nhau là: = 7!.2! =10080

Xác suất của biến cố A là P(A) = = 0.25

b. Biến cố B là biến cố đối của biến cố A nên, xác suất của biến cố B là:

P(B) = 1 - P(A) = 0.75

Ví dụ 3: Tại giải bóng chuyền VTV cúp gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội bóng nước ngoài, và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên đề chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: "3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau.

Số cách chia 12 đội thành 3 bảng mỗi bảng 4 đội là:

= C . C . C = 34650

Có 3! cách chia 3 đội của Việt Nam vào 3 bảng A, B, C. Với mỗi cách chia ấy, có C cách chọn 3 đội trong số các đội còn lại vào bảng A; C cách chọn 3 đội vào bảng B; và C cách chọn 3 đội vào bảng C.

Số phần tử của ΩA là: = 3!.C . C . C = 1080.

Xác suất của biến cố A là P(A) = = .

Ví dụ 4:Có 4 em bé lên một đoàn tàu lượn gồm 4 toa. Mỗi em bé độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tìm xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: "xếp 4 người lên tàu trong đó 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai"

Mỗi người có 4 cách chọn toa nên có 44 cách xếp 4 người lên một đoàn tàu 4 toa suy ra không gian mẫu: = 44

Số cách chọn 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai là , số cách chọn 3 người ở chung 1 toa là , nên số phần tử của ΩA là:

Xác suất của biến cố A là: P(A) = = .

Đây là loại bài tập khó nên để cũng cố tôi cho học sinh làm thêm ví dụ sau, vừa cho các em cũng cố bài, vừa thể hiện cho các em thấy đặc điểm của bài toán xác suất có tính chất tương tự khi ta thay đổi đối tượng của phép thử.

Ví dụ 5: Trong kỳ thi THPT quốc gia, trường THPT Nông Cống 1 có 5 thí sinh dự thi ở hội đồng thi X. Biết rằng hội đồng thi X có 8 phòng thi, mỗi phòng thi nhiều hơn 5 thí sinh và việc xếp các thí sinh vào các phòng thi là ngẫu nhiên. Tính xác suất để có đúng 3 thí sinh của trường THPT Nông Cống 1 được xếp vào 1 phòng thi.

Lời giải

Có 8 cách chọn phòng cho mỗi học sinh. Số phần tử của không gian mẫu là:

= 85 = 32768

Gọi A là biến cố: "Có đúng 3 thí sinh của trường THPT Nông Cống 1 được xếp vào 1 phòng thi".

CóC cách chọn 3 thí sinh trong số 5 thí sinh của trường THPT Nông Cống 1; và có 8 cách chọn phòng thi cho 3 thí sinh đó.

Ứng với mỗi cách chọn trên, ta có 7 cách chọn phòng thi cho mỗi thí sinh còn lại.

Do đó, số phần tử của ΩA là: = C .8.7.7 = 3920

Xác suất của biến cố A là: P(A) = =

2.4. Những bài toán sử dụng quy tắc nhân xác suất:

Trước hết yêu cầu học sinh nhắc lại các khái niệm về biến cố giao, các biến cố độc lập, quy tắc nhân xác suất sau đó cùng học sinh phân tích và giải bài toán sau:

Ví dụ 1: Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia là 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng bia một lần.

Lời giải:

Gọi A là biến cố người xạ thủ bắn trúng bia

là biến cố người xạ thủ không bắn trúng bia

Ta có P(A) = 0,2 và P( ) = 1- 0,2 = 0,8

Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần 1 và không trúng hai lần sau là

P1 =

Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 2, lần 1 và lần 3 không trúng là P2 = P1

Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 3, lần 1 và lần 2 không trúng là = P1

Vậy xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng một lần là

P = 0,128 . 3 = 0,384

Nhận xét: Mục đính của bài tập này là giúp học sinh đưa ra nhận xét : Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A phải đồng thời thoả mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau, ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A1 , ….., An độc lập tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tìm xác suất của biến cố A.

Những bài tập sau đây nhằm mục đích để các em rèn luyện cách vận dụng quy tắc nhân xác suất:

Ví dụ 2: Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A trong một lần bắn là . Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của B trong một lần bắn là . Tìm xác suất để mục tiêu không trúng đạn.

Lời giải

Gọi A1 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì

Gọi A2 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai thì

A1, A2 là độc lập và là biến cố A bắn trượt cả hai lần bắn

Gọi B1 là biến cố B bắn trượt lần bắn thứ nhất thì

Gọi B2 là biến cố B bắn trượt lần bắn thứ hai thì

Gọi B3 là biến cố B bắn trượt lần bắn thứ ba thì

là biến cố B bắn trượt cả ba lần bắn

A, B là độc lập và là biến cố mục tiêu không trúng đạn

.

Ví dụ 3: Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là . Lớp học có đủ ánh sáng nếu ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tìm xác suất để lớp học có đủ ánh sáng

Lời Giải:

Gọi A, B, C tương ứng là các biến cố“ lớp có 6 bóng đèn sáng ”, “ lớp có 5 bóng đèn sáng ” và “ lớp có 4 bóng đèn sáng ”.

Mỗi bóng có xác suất sáng là . Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:

P(A) = ;P(B)= ; P(C) = .

Gọi X là biến cố lớp cóđủ ánh sáng . Ta có :

P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,8305

Ví dụ 4: Có 2 lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là . Hãy tính xác suất để:

a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.

b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.

Lời giải:

Gọi “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”

“Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”

Khi đó ta có:

a) Gọi là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt”.

Suy ra

Do ba biến cố là độc lập nên ta có

b) Gọi là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có chất lượng tốt”.

Suy ra

Do xung khắc và biến cố và B; A và độc lập nên ta có

Ví dụ 5: Trong bình thứ nhất đựng 3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen. Trong bình thứ hai đựng 4 bi đỏ và 6 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi của bình thứ nhất và 1 viên bi của bình thứ hai. Gọi A là biến cố lấy được 3 viên bi đỏ, B là biến cố lấy được cả ba viên bi không cùng màu và C là biến cố lấy được bi đỏ từ bình thứ hai.

a. Tính xác suất của biến cố A.

b. Tính xác suất để lấy được ba viên bi cùng màu.

Lời giải

a. Lấy 2 bi từ bình thứ nhất đựng 10 viên bi (3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen), và 1 viên bitừ bình thứ hai đựng 10 viên bi ( 4 bi đỏ và 6 viên bi đen). Gọi A là biến cố lấy được 3 viên bi đỏ. Biến cố A chỉ xảy ra khi ta lấy được 2 bi đỏ từ bình thứ nhất và 1 bi đỏ từ bình thứ hai

Xác suất lấy 2 bi đỏ ở bình thứ nhất là:

Xác suất lấy 1 bi đỏ ở bình thứ hai là: .

Vậy xác suất của biến cố A là:

b. Gọi E là biến cố lấy được 3 bi cùng màu. Biến cố E xảy ra khi ta lấy được bi đỏ hay 3 bi đen.

Xác suất lấy được 2 bi đen tronng bình thứ nhất là:

Xác suất lấy được 1 bi đen tronng bình thứ hai là:

Do đó xác suất lấy được 3 bi đen là :

Mà hai biến cố lấy được 3 bi đỏ và 3 bi đen là hai biến cố xung khắc. Vậy xác

suất lấy được 3 bi cùng màu là

Do B là biến cố được 3 bi không cùng màu chứng tỏB là biến cố của biến cố E nên ta có:

.

Ví dụ 6:Một vận động viên bắn súng, bắn ba viên đạn. Xác suất để trúng ba viên vòng 10 là 0,008 , xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng dưới vòng 8 là 0,4. Biết rằng các lần bắn là độc lập với nhau. Tìm xác suất để viên đạn đạt ít nhất 28 điểm.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “ 1 viên trúng vòng 10”. Khi đó từ giả thiết ta có :

0,008 = (P(A))3 => P(A) = 0,2. (1)

Gọi B là biến cố “ 1 viên trúng vòng 9”. C là biến cố “ 1 viên trúng vòng 8”, D là biến cố “ 1 viên trúng dưới vòng 8”. Theo giả thiết ta có :

P(C) = 0,15 ; P(D) = 0,4 . (2)

Rõ ràng A, B, C, D là các biến cố đôi một xung khắc với nhau nên ta có :

1= P(A B C D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra P(B) = 1- (0,2 +0,15 + 0,4) = 0,25 (4)

Gọi X là biến cố “vận động viên đạt ít nhất 28 điểm”.

Để đạt được ít nhất 28 điểm thì:

- Hoặc là 2 viên trúng vòng 10, một viên vòng 8. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất (0,2)2(0,15).

- Hoặc 2 viên trúng vòng 9 một viên trúng vòng 10. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất (0,2)(0,25).

- Hoặc 2 viên trúng vòng 10, một viên trúng vòng 9 . Điều này xảy ra với xác suất: (0,2)2(0,25).

- Hoặc cả ba viên điều trúng vòng 10 với xác suất theo giả thiết là 0,008. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất của các biến cố xung khắc, ta có:

P(X) = (0,2)2(0,15) + (0,2)(0,25) + (0,2)2(0,25) +0,008= 0,0935

Vậy vận động viên bắn súng đạt ít nhất 28 điểm với xác suất là 0,0935.

Nhận xét: Qua các ví dụ được nêu ra, cần làm cho học sinh sáng tỏ một số nhận định sau: Muốn sử dụng được quy tắc nhân phải khẳng định được hai biến cố là độc lập. Vậy hai biến cố thường độc lập trong các phép thử nào? Tất nhiên ở đây tôi không thể nêu tất cả mà chỉ đưa ra một số trường hợp quen thuộc

- Gieo hai đồng tiền hoặc gieo đồng tiền hai lần thì biến cố xảy ra trong lần gieo này độc lập với biến cố xảy ra trong lần gieo kia. Tương tự đối với con súc sắc.

- Hai xạ thủ bắn sung thì sự bắn trúng hay trượt của người này không ảnh hưởng tới người kia. Do đó các biến cố liên quan đến người này độc lập với biến cố liên quan đến người kia. Tương tự đối với một người bắn hai phát sung

- Có hai cái hòm đựng bóng. Lấy từ mỗi hòm ra một quả bóng thì biến cố lấy ra bóng của hòm này sẽ độc lập với biến cố lấy ra bóng ở hòm kia. Tương tự đối với bài toán lấy bi, lấy cầu...

- Học sinh làm bài thi trắc nghiệm, việc trả lời các câu hỏi là độc lập với nhau.

...

Chú ý rằng: Nếu A và B độc lập thì và ; và B; A và cũng độc lập.

2.5. Bài tập tự luyện:

Bài 1: Đội tuyển học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường X có 4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12, và 2 học sinh nam khối 11. Cần chọn 5 học sinh thi IOE cấp tỉnh. Tính xác suất để chọn được cả học sinh khối 12 và khối 11, đồng thời có cả học sinh nam và học sinh nữ.

Bài 2: Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vao 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:

a) Cạnh của lục giác.

b) Đường chéo của lục giác.

c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.

Bài 3: Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 50 số tự nhiên: 1; 2; 3; 4….50

a) Tính xác suất biến cố A: trong 3 số đó chỉ có 2 số là bội của 5.

b)Tính xác suất biến cố B: trong 3 số đó có ít nhất một số là số chính phương.

Bài 4: Đội văn nghệ trường THPT Nông Cống 1 gồm 5 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 7 học sinh khối 10. Chọn 5 học sinh hát quốc ca trong lễ chào cờ. Tính xác suất để 5 bạn được chọn có đủ 3 khối và số học sinh khối 10 bằng số học sinh khối 11.

Bài 5: Cho 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, chọn ngẫu nhiên 3 điểm. tính xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành 1 tam giác.

Bài 6: trong một kỳ thi thử của trường X có 5 môn tthi thự luận và 3 môn thi trắc nghiệm, mỗi giáo viên phải coi thi 5 môn. Một giáo viên bốc thăm ngẫu nhiên để coi thi. Tính xác suất để giáo viên đó coi thi ít nhất 2 môn thi trắc nghiệm.

Bài 7: Một công nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B. Xác xuất để người công nhân phải can thiệp máy dệt A trong một giờ là và máy dệt B trong cùng thời gian trên là . Tính xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ.

Bài 8: Một đề thi trắc nghiệm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1 phương án đúng. Tính xác suất để bạn A làm đúng được 6 điểm.

Bài 9: Một người bỏ ngẫu nhiên bốn lá thư vào bốn chiếc phong bì thư đã đề sẵn địa chỉ. Tìm xác xuất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng địa chỉ.

Bài 10:Một nhóm gồm 5 người đàn ông, 4 người phụ nữ và 1 đứa bé xếp vào 1 bàn dài. Tính xác suất để:

a.Đứa bé ở giữa 2 người đàn ông.

b.Mỗi nhóm ngồi cạnh nhau.

c.4 người phụ nữ ngồi xen kẽ giữa 5 người đàn ông.

Bài 11: Biết xác suất để một học sinh thi đậu ở lần thi thứ nhất, thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,6. Tính xác suất để học sinh ấy thi đậu trong kì thi, biết rằng mỗi học sinh được phép thi tối đa 2 lần.

Bài 12:Có hai hộp: (I) và (II). Hộp (I) có 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Hộp (II) có 6 bi đỏ và 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để lấy được bi đỏ.

IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN.

Trong những nămđược phân công dạy khối 11, tôi thấyhọc sinh rất nản khi phải học và làm bài toán xác suất. Điều đó làmtôi suy nghĩ và tôi đã tìm tòi, tham khảo đọc tài liệu để tìm ra một cách dạy cho riêng mình nhằm khuyến khích được học sinh học và thúc đẩy niềm say mê, tính sáng tạo và ham tìm tòi của học sinh. Để kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến, trong năm học 2015 - 2016 này, được sự phân công giảng dạy ở các lớp 11C3, 11C4, và 11C6 của BGH trường THPT Nông Cống I, tôi đã sử dụng sáng kiến này để dạy trên các lớp 11C3, 11C4, còn lớp 11C6 vẫn dạy theo lối cũ, và thấy rằng các em lớp 11 C3; 11C4 đã dễ dàng tiếp cận, và giải bài toán xác suất tốt hơn so với các em lớp 11C6. Kết quả qua bài kiểm tra thử ở các lớp như sau:

Lớp	Sĩ số	Điểm 8 trở lên		Điểm từ 5 đến 8		Điểm dưới 5
		Số lượng	Tỷ lệ	Số lượng	Tỷ lệ	Số lượng	Tỷ lệ
11C6	43	5	11.6 %	23	53.5 %	15	34.9 %
11C4	43	10	23.3%	26	60.5 %	7	16.3 %
11C3	46	14	30.4 %	27	58.7 %	5	10.9%

Như vậy tôi thấy cách triển khai bài toán này mang lại hiệu quả rất khả quan.

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.

C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

I. Kết luận:

Việc giải bài toán bài toán xác suất trong học sinh phổ thông là bài toán khó nên để tạo được hứng thú cho hoc sinh cũng là rất cần thiết, mục tiêu hướng tới của tôi là tạo niềm say mê cho học sinh và để học sinh có động lực giải được các dạng toán xác suất trong chương trình THPT và ở các bộ môn có liên quan. Chính vì thế đòi hỏitôi tìm kiếm những phuơng pháp giải hay, đơn giản, và sát với nội dung học của học sinh .Tôi đã mạnh dạn dạy phần này để gây hứng thú, chủ động tích cực của học sinh. Đó là nhu cầu cần thiết của người học toán:

- Khả năng vận dụng, khả năng liên hệ kết nối kiến thức.

- Khả năng tư duy và tự học.

- Tính sáng tạo và đổi mới, ham học và tích luỹ kiến thức biết liên hệ, vân dụng vào thực tế.

II. Những kiến nghị:

- Về phía nhà trường: Các thành viên tổ tìm tài liệu hay, giới thiệu nhà trường mua cho giáo viên tham khảo .

- Về phía Sở:có buổi tập huấn về chuyên môn của từng môn học có hiệu quả hơn, mời các thầy giáo đầu ngành về tập huấn chuyên môn cho các trường.

- Những sáng kiến đạt giải cao nên được phổ biên rộng rãi để đồng nghiệp học tập.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2016. Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Nguyễn Thị Thu Hương

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Đại số và giải tích 11. NXB Giáo dục 2008.

2. Bài tập Đại số và giải tích 11. NXB Giáo dục 2008.

3.Khai thác trên mạng Internet.

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KỸ THUẬT CHỌN “ĐIỂM RƠI” TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY.html

Phân tích các phương án nhiễu trong một số bài toán tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ.html

vận dụng kiến thức liên môn vào giảng dạy chuyên đề “Xác suất của biến cố”.html

Nghiên cứu một số sai lầm khi giải Toán vectơ và tọa độ.html

Sử dụng phương pháp phân tích đi lên để tìm lời giải cho bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.html

Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm về đường tiệm cận của đồ thị hàm số.html

Một số sai lầm phổ biến trong việc giải bài toán nguyên hàm, tích phân và hướng khắc phục.html

Hướng dẫn học sinh hệ thống và chủ động trong việc giải các bài toán tam giác lượng.html

Một số giải pháp tạo hứng thú cho học sinh trong giờ học toán ở trường trung học phổ thông.html

Ứng dụng của tỉ số thể tích.html

VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN VUÔNG ĐỂ GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11.html

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.html

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH.html

Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân.html

GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT, HPT, BPT, HBPT CHỨA THAM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM.html

SKKN BẤT ĐẲNG THỨC COSI - TRẦN PHÚC NHẬT TUẤN.html

Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xuân 2 giải thành thạo bài toán tìm giới hạn của hàm số.html

Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt trong bài toán tính khoảng cách.html

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực cải trị hình học trong hình tọa độ không gian.html

NHÓM BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM TRONG TRƯỜNG SỐ PHỨC ĐƯỢC PHÁT TRIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG.html

PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, CHỦ ĐỘNG HỌC SINH KHI HỌC MÔN GIẢI TÍCH 12 THÔNG QUA VIỆC TĂNG CƯỜNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ THỰC TẾ.html

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT ÔN TẬP KIẾN THỨC VÀ GIẢI TOÁN VÉC TƠ.html

sinh sử dụng kết quả hai bài toán để giải một số bái toán hình học phẳng trong toạ độ Oxy.html

Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp_THPTChuyenHungYen.html

KINH NGHIỆM CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA.html

Từ một bài toán hình học tọa độ phẳng giúp học sinh nhận biết, khai thác và phát triển các bài toán mới.html

Phát hiện và giải quyết vấn đề.html

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH NĂNG LỰC VẬN DỤNG KIẾN THỨC TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12.html

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.html

SỬ DỤNG MỘT SỐ KẾT QUẢ “ĐẸP” CỦA HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN.html

Phương pháp quy nạp toán học.html

SKKN KHAI THÁC QUAN HỆ HÌNH PHẲNG _ HKG-Nguyen Viet Long-Chuyen Lam Son - Thanh Hoa.html

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC.html

PHÂN LOẠI VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN.html

SKKN KHAI THÁC COSIN.html

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN Ở BẬC THPT.html

GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 10.html

vận dụng Sketchpad (GSP) trong dạy các khái niệm mặt cầu, mặt trụ và mặt nón.html

PHÁT TRIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỪ CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN.html

Khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán Tổ hợp – Xác suất cho học sinh Trung học phổ thông.html

Phân tích một số sai lầm của học sinh khi học nội dung hàm số lớp 12.html

Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp trong giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức.html

Thế biến – kỷ năng tạo niềm đam mê sáng tạo cho học sinh thông qua bài toán giải hệ phương trình.html

THIẾT KẾ ĐỒ DÙNG HỖ TRỢ DẠY HỌC BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG.html

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN TRONG SÁCH ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11.html

TÁCH BỎ HÌNH THỨC, PHÁT HIỆN BẢN CHẤT CỦA BÀI TOÁN XÁC SUẤT, CÓ NỘI DUNG THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA HIỆN NAY.html

SKKN PHÁT TRIỂN TƯ DUY BIỆN CHỨNG QUA HKG.html

SKKN 2011 HỌC TỐT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.html

Ra đề làm văn nghị luận xã hội cho học sinh lớp 12 THPT theo hướng giao tiếp.html

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ.html

Hướng dẫn Học sinh lớp 10 sử dụng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ.html

Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần hàm số và ứng dụng của hàm số cho học sinh yếu kém.html

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng.html

Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số.html

Bài toán tổng quát tính khoảng cách trong hình học không gian.html

VẬN DỤNG TƯƠNG TỰ GIỮA HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG IGAN TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.html

Giúp học sinh lớp 11 tiếp cận và giải một số bài tập xác suất.html

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÌNH CHÓP DÀNH CHO HỌC SINH LUYỆN THI THPT QUỐC GIA.html

một số dạng toán điển hình về PT – BPT – HPT chứa tham số.html

ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI.html

Hoàn thiện kĩ năng giải bài toán hình học tọa độ trong không gian về góc và khoảng cách có yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất.html

ứng dụng thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài thực tế.html

KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH HỌC LỰC YẾU KÉM, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.html

SKKN Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp- ChuyenHungYen.html

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ.html

Kinh nghiệm dạy chuyên đề Hình học giải tích phẳng – Phát triển năng lực tư duy học sinh.html

PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 QUA CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.html

Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình - Đại số 10.html

Nâng cao kỹ năng giải toán tìm đạo hàm của hàm số cho học sinh khối 11 bằng máy tính cầm tay.html

Sử dụng hình ảnh và liên hệ thực tế tạo hứng thú cho học sinh khi dạy học bài KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY ở một trường núi.html

Rèn luyện kỹ năng sử dụng hệ số cao nhất để giải nhanh bài toán xét dấu biểu thức và các bài toán liên quan cho học sinh lớp 10.html

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH VÀ GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH VÀ YẾU.html

Kinh nghiệm dạy một số bài toán về xác suất nhằm tạo hứng thú học tập và phát triển tư duy cho học sinh trường THPT Quảng Xương 4.html

SKKN MỞ RỘNG CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ.html

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHAD (GSP) VÀO DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH.html

Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy.html

Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ.html

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 SỬ DỤNG TRỤC SỐ ĐỂ TÌM PHÉP TOÁN TẬP HỢP.html

khai thác và vận dụng một bài tập sách giáo khoa hình học 12 nhằm rèn luyện năng lực tư duy lôgíc cho học sinh.html

Giới hạn dãy số trong các đề thi học sinh giỏi.html

Một số phương pháp sử dụng hàm số mũ và hàm số gôgarit để nâng cao hiệu quả giải các bài toán thực tế trong chương trình THPT.html

TẠO HỨNG THÚ CHO HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC THUẦN TÚY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA.html

PHAN THEM TRONG CHÌNH TRIẾU CỦA TUẤN.html

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG SỬ DỤNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH TỌA ĐỘ PHẲNG.html

Một Số Sai Lầm Khi Tính Tích Phân.html

Các bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường THPT thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc Gia và thi HSG.html

Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông thông qua một số kỹ thuật giải toán hình học không gian lớp 11.html

Giải hệ phương trình bằng phương pháp xét hàm số độc lập.html

HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH SÁNG TẠO MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG TỪ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP.html

Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính khoảng cách bằng phương pháp so sánh.html

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia.html

Bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán phương trình.html

Xây dựng hệ thống bài tập “Đường tròn” theo định hướng phát triển năng lực học sinh lớp 10 THPT.html

Dùng kiến thức tổ hợp thuần túy hướng dẫn học sinh giải bài toán tính tổng các số tổ hợp.html

SKKN Xác định Số hạng Công Thức của dãy số.html

Rèn kĩ năng cho học sinh thiết kế Bản đồ tư duy một số chủ đề kiến thức nhằm nâng cao sự hứng thú và hiệu quả trong việc học môn Toán.html

SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA.html

HƯỚNG DẪN HỌC SINH 12 LỰA CHỌN HỆ SỐ THÍCH HỢP KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.html

Một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu kém toán giải bài tập chương I giải tích lớp 12.html

Phương pháp kết hợp dồn biến và đạo hàm tìm GTLN, GTNN.html

GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11 PHÁT HUY KHẢ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.html

Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán hình học không gian qua nghiên cứu mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của khối đa diện.html

SK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THAY THẾ.html

ĐƯỜNG THẲNG ĐỐI SONG.html

TÌM HIỂU TÍNH CHẤT VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIỂU THỨC CÓ TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ĐỂ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI.html

Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian.html

Kỷ thuật quy về một biến trong các bài toán tìm GTLN , GTNN của một biểu thức.html

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN MỘT SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM.html

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ.html

Sử dụng kiến thức phần hệ thức lượng trong tam giác để giải một số bài toán thực tiễn.html

Hướng dẫn học sinh xây dựng, mở rộng bài toán Hình học giải tích từ bài toán Hình học phẳng.html

GỠ “NÚT THẮT ” CHO BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA VÀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP TỈNH BẬC THPT.html

Các kỹ năng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS THPT trong dạy học Toán.html

Sáng tạo bài toán trắc nghiệm nguyên hàm không sử dụng máy tính cầm tay.html

Vận dụng phương pháp vectơ giải quyết các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian.html

Rèn luyện kĩ năng và tư duy sáng tạo cho học sinh khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình.html

Một số thủ thuật làm đơn giản bài toán tính tích phân từng phần.html

Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp.html

Hướng dẫn học sinh dùng tư duy hàm số để giải phương trình, hệ phương trình.html

TẠO VÀ SỬ DỤNG NGÂN HÀNG HÌNH VẼ POWERPOINT VỀ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG VÀ ĐIỂM TRONG TAM GIÁC.html

Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó.html

MỘT SỐ KỸ THUẬT TRUYỀN CẢM HỨNG CHO HỌC SINH LỚP 10 HỌC TOÁN BẰNG TIẾNG ANH.html

Giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ.html

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.html

HƯỚNG DẪN HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 CƠ BẢN.html

6. Toan THPT - Vuong Dinh Son - THPT Dinh Chuong Duong.html

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO GIẢNG DẠY CÁC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC TRONG CHƯƠNG II, HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11.html

SKKN-Phương trình hàm.html

TỪ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN.html

CÁCH CHUYỂN BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN QUY VỀ MỘT BIẾN.html

SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT.html

Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 10 giải bài tập hình học thông qua việc dạy học theo hướng phát hiện và thay đổi giả thiết của bài toán.html

Phát hiện các tính chất,định lý,mệnh đề và tìm lời giải cho các bài toán phần hàm số mũ,logarít.html

HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHINH PHỤC BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ PHẲNG TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA.html

Áp dụng quy tắc đếm để giải bài toán tính tổng trong đại số tổ hợp.html

SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN SINH HỌC, Y HỌC, THỂ THAO , KINH TẾ, KHOA HỌC KỸ THUẬT VÀ CÁC MÔN KHOA HỌC KHÁC.html

Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ 1.html

DẠY PHỤ ĐẠO HỌC SINH YẾU KÉM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN HÀM SỐ LỚP 11.html

Một số giải pháp giúp các học sinh học và làm bài thi trắc nghiệm môn toán.html

Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong đề thi THPT Quốc gia.html

Phát triển tư duy và kỹ năng của học sinh qua bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất dựa vào đạo hàm.html

CON ĐƯỜNG HÌNH THÀNH ĐỊNH LÍ HÀM SỐ CÔSIN, ĐỊNH LÍ HÀM SỐ SIN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.html

QUY TRÌNH THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC HỢP TÁC TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC.html

Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12 thông qua kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp khác.html

XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÂU HỎI ĐỊNH HƯỚNG ĐỂ HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.html

PHÁT HUY KHẢ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA.html

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT KHI LUYỆN TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HỆ TRỤC OXY.html

Một số phương pháp mới để giúp học sinh lớp 11 giải bài toán hình học không gian.html

XÂY DỰNG CÔNG THỨC TÍNH NHANH CHO MỘT SỐ DẠNG TOÁN THỰC TẾ LÃI SUẤT VÀ TĂNG TRƯỞNG MŨ.html

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ VÀ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN PHỤ.html

Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác để giải một số bài toán thực tế.html

Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ và một số giải pháp giúp học sinh khắc phục sai lầm trong giải phương trình vô tỉ .html

SKKN 2010 SỬ DỤNG HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ.html

Định hướng tư duy và phân tích bài toán thông qua một số bài tập hình học tọa độ trong mặt phẳng.html

Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh yếu lớp 12 đạt điểm trung bình môn toán.html

GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT QUA CHỦ ĐỀ GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG.html

Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vô tỷ.html

SKKN gia tri lon nhat, gia tri nho nhat.html

THỦ THUẬT GIẢI QUYẾT NHANH CHÓNG VÀ CHÍNH XÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 11.html

Ứng dụng máy tính cầm tay Casio fx 500 vn plus giải một số bài toán trắc nghiệm giải tích 12 cơ bản.html

MỘT SỐ THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO ĐỂ ĐỊNH HƯỚNG NHANH CÁCH GIẢI CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA.html

Một số giải pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ.html

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC.html

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH SỬ DỤNG CÔNG THỨC TỶ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12.html

“kỹ thuật chọn điểm rơi ” dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy .html

Kỹ năng xây dựng các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng từ các tính chất hình học của tam giác.html

SKKN Hinh toa do phang Oxy.html

MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.html

SKKN DÃY SỐ_TRANG_THPTTranHungDao.html

Phép đối xứng trục trong một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.html

SKKN GIẢI PT HỆ PT KHÔNG MẪU MỰC.html

Một số phương pháp giải toán hình học không gian ở trường THPT.html

Hướng dẫn học sinh yếu kém giải một số bài toán trắc nghiệm khách quan giải tích lớp 12 - THPT.html

Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức.html

Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đường thẳng trong tam giác.html

GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ THEO HÌNH THỨC THI TRẮC NGHIỆM.html

KINH NGHIỆM TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC TĂNG CƯỜNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN.html

Một Số Giải Pháp Nâng Cao Kỹ Năng Giải Toán Hình Học Không Gian Cho Học Sinh Lớp 11CB.html

TOÁN- NGUYỄN BÍCH THUỶ- HR.html

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 LÀM BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG CÁCH LẬP SƠ ĐỒ.html

một số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết về Giới hạn cho học sinh THPT.html

Dùng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến.html

Rèn luyện kĩ năng,giúp học sinh tiếp cận đề thi quốc gia qua bài toán tính khoảng cách chương trình hình học 11.html

Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm hình học không gian lớp 11 - chuyên đề các bài toán khoảng cách.html

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG.html

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN TỈ LỆ THỂ TÍCH LỚP 12.html

MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN THỂ LỰC ĐỂ NÂNG CAO SỨC KHỎE CHO HỌC SINH.html

NÂNG CAO KỸ NĂNG TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP.html

Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi.html

Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ.html

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔ.html

Biện Luận Số Nghiệm Của Bất Phương Trình Bằng Đồ Thị.html

Dạy học giải bài tập lượng giác theo định hướng phát huy tính sáng tạo.html

Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ.html

GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.html

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.html

KHAI THÁC YẾU TỐ KHOẢNG CÁCH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.html

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ VÀ VÔ TỈ.html

PHƯƠNG PHÁP ‘‘NHÂN LIÊN HỢP” NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHỨC TẠP Ở LỚP 10.html

THIẾT KẾ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ THIẾT DIỆN MÔN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.html

SKKN DÃY SỐ 11.html

CÁC BÀI TẬP VỀ TÌM THIẾT DIỆN VÀ DIỆN TÍCH CỦA THIẾT DIỆN.html

MỘT SỐ GIẢI PHÁP ĐỂ NÂNG CAO CÔNG TÁC GIÁO DỤC HƯỚNG NGHIỆP, DẠY NGHỀ.html

Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngược.html

Một số kinh nghiệm giải quyết bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba có chứa tham số.html

SKKN BAT_DANG_THUC_CAUCHY - TRẦN CÔNG VĂN.html

VẬN DỤNG KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC HAY VÀ KHÓ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017.html

NHẬN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.html

THIẾT LẬP HỆ TRỤC TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN .html

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ.html

Rèn kỹ năng cho học sinh khi giải bài toán Hình học không gian bằng phương pháp cổ truyền.html

NÂNG CAO Ý THỨC TỰ HỌC, KHẢ NĂNG LÀM VIỆC NHÓM CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP WEBQUEST.html

SKKN 2012 HỌC TỐT QUAN HỆ VUÔNG GÓC.html

Rèn luyện kĩ năng sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ .html

SKKN PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ...- Le Van Thang - THPT Trieu Son 6.html

VẬN DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.html

ỨNG DỤNG CẤP SỐ NHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ, SINH HỌC, ĐỊA LÝ VÀ THỰC TIỄN.html

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.html

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN .html

SKKN ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN 2016-2017.html

kỹ năng suy luận logic trong quá trình tìm lời giải cho bài toán.html

Tài liệu toán Toán cấp 2 Tài liệu toán 10 Tính toán ma trận Minh họa CTDL & GT

cửu dương thần công . com về trang web facebook nhóm tài liệu giải cứu admin toán cấp 2 kho tài liệu toán