Hàm Giải Tích

Trang chủ » Hàm Giải Tích Là Gì » Hàm Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Như trong bài “Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa – chuỗi Fourier”

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/06/01/su-hoi-tu-cua-chuoi-luy-thua-chuoi-fourier/#more-1983

ta gặp câu hỏi

“khi xét một hàm khả vi vô hạn có chuỗi Taylor, liệu chuỗi Taylor có xác định trở lại hàm ban đầu hay không?”

Câu hỏi này dẫn ta đến lớp hàm giải tích, hẹp hơn lớp hàm khả vi vô hạn. Có thể nói ngắn gọn về hàm giải tích như sau:

hàm khả vi vô hạn hoàn toàn được xác định xung quanh một điểm cụ thể nhờ việc biết giá trị của đạo hàm mọi cấp của hàm đó tại điểm cụ thể đó!

Nhờ đó ta làm được bài toán ngược của việc tính đạo hàm:

để tính đạo hàm tại một điểm ta cần biết giá trị của hàm tại quanh điểm đó.

Từ hai sự kiện này ta có thể hình dung một quá trình lan truyền như sau.

Xuất phát từ một điểm, như kiểu ta tạo ra một xung động, ta biết giá trị của một hàm giải tích và của đạo hàm mọi cấp của hàm tại đó. Từ đó giá trị biết được của hàm ban đầu được lan ra quanh điểm đó. Ta lại có thể tính đạo hàm mọi cấp tại những điểm đó. Rồi lại do hàm giải tích ta biết được giá trị của hàm ban đầu xung quanh các điểm vừa biết. Cứ thế giá trị của hàm cứ lan ra. Đến đây có câu hỏi: nó lan như nào? lan đến đâu? (Một liên tưởng đến nghịch lý Zeno.)

Trước hết ta xem cách lan ra của hàm giải tích. Bắt đầu từ một điểm x_0 trong miền xác định, ta có tất cả các giá trị đạo hàm các cấp của hàm giải tích f tại điểm x_0:

f^{(n)}(x_0), n=0, 1, 2, \dots.

Ta lập được chuỗi Taylor của hàm tại x_0

\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.

Chuỗi này sẽ hội tụ tuyệt đối trong một hình tròn bán kính R(x_0)

(bán kính hội tụ của chuỗi Taylor, cho bởi công thức Cauchy Hardamard:

R^{-1}(x_0)=\limsup\limits_{n\to\infty}\Big(\dfrac{|f^{(n)}(x_0)|}{n!}\Big)^{1/n}).

Hơn nữa, trong hình tròn đó, chuỗi Taylor tại x_0 trên hội tụ đến chính f(x). Ở đây ta có sự liên tưởng đến sóng cầu, nghĩa là tại bất cứ điểm nào của sóng cầu cũng có thể coi là nguồn sóng cầu! Sự liên tưởng này sẽ cho ta cảm giác chắc chắn trên đường tròn tâm x_0 bán kính R(x_0) phải có một điểm hàm f không giải tích! Vì nếu tại mọi điểm trên đường tròn này hàm f đều giải tích thì chúng sẽ là tâm của các hình tròn mà f giải tích trên đó. Nhờ tính compact ta sẽ dẫn đến có số R>R(x_0) mà f giải tích trên hình tròn tâm x_0 bán kính R. Khi đó, chuỗi Taylor sẽ hội tụ cả tại những điểm B(x_0, R)\setminus \bar{B}(x_0, R(x_0)) nằm ngoài hình tròn \bar{B}(x_0, R(x_0)). Điều này trái với tính chất của bán kính hội tụ (Định lý Abel)! Ta có thể nhìn chi tiết sự mâu thuẫn này qua Công thức Cauchy sau

f^{(n)}(x_0)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma}\dfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz

trong đó \gamma là đường cong đơn, trơn nằm trong miền mà hàm f giải tích và bao quanh điểm x_0.

Ta chọn \gamma là đường tròn tâm x_0 bán kính R_1\in(R(x_0), R), rồi tham số hóa z=x_0+R_1e^{i\theta} có

\dfrac{|f^{(n)}(x_0)|}{n!}\le A R_1^{-n},

với A=\max\limits_{0\le\theta\le 2\pi}|f(x_0+R_1e^{i\theta})|.

Khi đó, dễ có R(x_0)\ge R_1. Mâu thuẫn với điều giả sử!

Như vậy, tại mỗi điểm x_0 chuỗi Taylor của hàm giải tích tại x_0 ngoài việc xác định giá trị của hàm đó trong hình tròn B(x_0, R(x_0)), nó còn chỉ ra rằng hình tròn đó là lớn nhất có thể để hàm ban đầu giải tích trong đó hay nói cách khác nếu bạn lấy bán kính lớn hơn thì trong hình tròn tâm x_0 bán kính lớn hơn đó hàm ban đầu sẽ không giải tích tại một điểm nào đó! Điều này rất có ý nghĩa trong mối quan hệ giữa bán kính phổ và chuẩn, chẳng hạn của toán tử tuyến tính bị chặn A trong không gian Hilbert:

r(A)=\liminf\limits_{n\to\infty}||A^n||^{1/n}.

Mối quan hệ này nói rằng

hình tròn tâm tại gốc có bán kính bé nhất chứa tập phổ \sigma(A) của toán tử A

chính là

phần bù của tập các điểm mà chuỗi Neumann

\sum\limits_{n=0}^\infty z^{-n}A^n

hội tụ tuyệt đối.

Trước khi ta xem hàm giải tích sẽ lan đến đâu, ta xem một cách lan như sóng phẳng khác của hàm giải tích. Cách thức lan như này xuất hiện khi ta quan sát chuỗi Dirichlet

\sum\limits_{n=1}^\infty a_n n^{-z}.

Chuỗi Dirichlet là sự mở rộng của chuỗi điều hòa (hàm zeta Riemann)

\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty n^{-s}.

Như đã biết khi s thực thì

chuỗi điều hòa hội tụ khi và chỉ khi s>1.

Khi s là số phức thì

với \Re s>1, dùng Weiertrass, chuỗi điều hòa hội tụ.

Đây chính là điểm cho ta cảm thấy chuỗi Dirichlet sẽ lan theo các đường song song với trục ảo. Thật vây, ta có kết quả như sau:

Nếu chuỗi Dirichlet hội tụ tại điểm s=s_0=\sigma_0+it_0\in\mathbb C thì nó sẽ hội tụ tại mọi điểm s=s+it, s>s_0.

Như vậy, sự lan truyền sẽ theo kiểu lan từ nửa mặt phẳng phải sang nửa mặt phẳng trái. Ta sẽ có một khái niệm, kiểu như ban kính hội tụ của chuỗi Taylor, hoành độ hội tụ (abscissa of the convergence) là số thực \sigma_c mà

+) với s=\sigma+it, \sigma>\sigma_c (các điểm phức nằm bên phải đường thẳng s=\sigma_c) chuỗi Dirichlet hội tụ,

+) với s=\sigma+it, \sigma<\sigma_c (các điểm phức nằm bên trái đường thẳng s=\sigma_c+it) chuỗi Dirichlet phân kỳ hay dao động.

Cũng giống chuỗi Taylor, rất khó để nói về sự hội tụ của chuỗi Dirchlet tại s=\sigma+it khi \sigma=\sigma_c (những điểm nằm trên đường thẳng s=\sigma_c+it). Mỗi chuỗi Dirichlet đều có và có duy nhất một hoành độ hội tụ được tính bởi công thức

+) nếu \sum\limits_{n=1}^\infty a_n phân kỳ

\sigma_c=\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{\log|a_1+\dots +a_n|}{\log n};

+) nếu \sum\limits_{n=1}^\infty a_n hội tụ

\sigma_c=\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{\log|a_{n+1}+a_{n+2}+\dots |}{\log n}.

Các bạn có thể xem thêm về chuỗi Dirichlet ở

http://en.wikipedia.org/wiki/General_Dirichlet_series

Tôi muốn nói thêm về đường ranh giới.

+) Với chuỗi Taylor, đường ranh giới là đường tròn: trên đường tròn này chuỗi Taylor có thể hội tụ tại mọi điểm, hoặc phân kỳ tại mọi điểm như ví dụ dưới đây.

VD1: chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty z^n có bán kính hội tụ R=1, và trên đường tròn ranh giới chuỗi không hội tụ tại bất kỳ điểm nào.

VD2: \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-2}z^n có bán kính hội tụ R=1, và trên đường tròn ranh giới chuỗi  hội tụ tại mọi điểm.

Tuy nhiên hàm giải tích, ứng với chuỗi Taylor,  sẽ không giải tích tại một vài điểm. Điều này giải thích hàm khả vi vô hạn trên toàn đường thẳng thực

\dfrac{1}{1+x^2}

còn chuỗi Taylor tại x=0 của hàm số có bán kính hội tụ R=1.

Cũng có trường hợp hàm giải tích ứng với chuỗi Taylor không giải tích tại bất kỳ điểm nào trên đường tròn ranh giới, chẳng hạn chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty z^{2^n}

có bán kính hội tụ R=1 và không giải tích tại bất kỳ điểm nào trên đường tròn ranh giới. Trong trường hợp này, hàm giải tích chỉ xác định trong hình tròn hội tụ.

Trường hợp hàm giải tích chỉ không giải tích tại một vài điểm trên đường tròn ranh giới cho ta nhiều điều thú vị, chẳng hạn diện Riemann. Ta sẽ quan sát diện Riemann trong vài trường hợp đặc biệt.

Khai triển chuỗi Taylor hàm f(z)=\sqrt{z} tại z=1

f_0(z)=1-\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n-1)!!}{2^nn!}(z-1)^n.

Chuỗi Taylor này có bán kính hội tụ R=1, phân kỳ tại z=0.

Ta thác triển tiếp f_0, B(1, 1) dọc theo đường \gamma(t)=e^{it}, 0\le t\le 4\pi

f_t(z)=e^{it/2}-\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n-1)!!}{2^nn!}(z-e^{it})^n.

Khi t chạy từ 0 đến 4\pi đồ thị phần thực của hàm f_t(z) cho ta hình ảnh diện Riemann của hàm f(z)=\sqrt{z}.

Riemann_sqrt

Diện Riemann của hàm f(z)=\log z được tạo bởi các chuỗi Taylor

f_t(z)=it-\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n}(z-e^{it})^n

khi cho t chạy từ 0 ra vô cùng.

Riemann_surface_log

+) Với chuỗi Dirchlet, đường ranh giới là đường song song với trục ảo: trên đường thẳng này chuỗi Dirichlet có thể hội tụ tại mọi điểm, hoặc phân kỳ tại mọi điểm như ví dụ dưới đây.

VD3: chuỗi điều hòa \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-s} có đường ranh giới (còn gọi là đường hội tụ) s=1+it. Trên đường ranh giới này, chuỗi điều hòa tiến ra +\infty tại s=0, dao động hữu hạn tại những điểm còn lại.

VD4: chuỗi \sum\limits_{n=2}^\infty (\log n)^{-2}n^{-s} có đường ranh giới (còn gọi là đường hội tụ) s=1+it. Trên đường ranh giới này, chuỗi này hội tụ tại mọi điểm!

Khác với chuỗi Taylor, hàm giải tích tương ứng với chuỗi Dirichlet có thể giải tích trên toàn đường thẳng ranh giới hoặc có trường hợp mọi điểm trên đường ranh giới đều là điểm kỳ dị cốt yếu (essential singularities) như ví dụ sau đây.

VD5: chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}n^{-s} có đường ranh giới là trục ảo, và hàm giải tích tương ứng với chuỗi (1-2^{1-s})\zeta(s) là hàm nguyên (hàm giải tích trên toàn mặt phẳng phức).

VD6: chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty 2^{-2^ns} có đường ranh giới là trục ảo, và hàm giải tích tương ứng với chuỗi nhận các điểm trên đường này là kỳ dị cốt yếu.

Tuy nhiên E. Landau đưa ra kết quả thú vị sau:

Chuỗi Dirichlet với hệ số a_n không âm thì số thực trên đường ranh giới là điểm kỳ dị của hàm giải tích tương ứng.

Trường hợp hàm zeta Riemann \zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty n^{-s} là trường hợp đơn giản với điểm kỳ dị s=1. Hàm zeta Riemann được la ra sang trái đường ranh giới s=1+it như nào?

Đầu tiên ta có biểu diễn, khi s=\sigma+it, \sigma>1

\zeta(s)=1+\dfrac{1}{s-1}-s\int\limits_1^\infty \dfrac{\{u\}}{u^{s+1}}ds.

Có thể thấy vế phải của đẳng thức trên là hàm phân hình trên nửa mặt phẳng s=\sigma+it, \sigma>0 với một cực điểm đơn s=1.

Tiếp tục sử dụng phương trình hàm Riemann

\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin(\frac{\pi s}{2})\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

với chú ý

2^s\pi^{s-1}\sin(\frac{\pi s}{2})\Gamma(1-s)

là hàm nguyên và nhận s=0 là không điểm đơn.

Do đó, cứ lấn dần sang bên trái ta thu được hàm phân hình với cực điểm đơn s=1. Từ đó (1-2^{s-1})\zeta(s) là hàm nguyên!

Như vậy ta có hàm zeta Riemann \zeta(s) là hàm phân hình với cực điểm đơn s=1.

Từ phương trình hàm Riemann có thể thấy

-2, -4, -6, \dots

là các không điểm của hàm zeta Riemann \zeta(s). Các không điểm này được gọi là không điểm tầm thường. Các không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann nằm trong dải s=\sigma+it, 0<\sigma<1.

B. Riemann đã đặt ra giả thuyết sau:

“Tất cả các không điểm không tầm thường của hàm \zeta(s) đều nằm trên đường thẳng s=1/2+it.”

Các bạn có thể tham khảo thêm “Giả thuyết Riemann” ở đây

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Hàm Giải Tích Là Gì