Hàm Lũy Thừa Y X P. Hàm Lũy Thừa, Thuộc Tính Và đồ Thị Của Chúng

Chúng tôi thấy đồ thị của một hàm hai giá trị y \ u003d ± 2x 1/2, tức là được biểu diễn bằng một parabol với trục hoành.

Đồ thị hàm số y = xN tại N = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Các đồ thị này đi qua điểm (1; 1).

Khi nào N = -1 chúng tôi nhận được cường điệu hóa. Tại N < - 1 đồ thị của hàm lũy thừa đầu tiên nằm trên hyperbol, tức là ở giữa x = 0 và x = 1, và sau đó bên dưới (tại x> 1). Nếu một N> -1 đồ thị chạy ngược lại. Giá trị âm X và giá trị phân số N tương tự cho tích cực N.

Tất cả các đồ thị đều tiếp cận vô thời hạn theo trục x X, cũng như trục y tại mà không cần tiếp xúc với họ. Bởi vì chúng giống với một hyperbol, những đồ thị này được gọi là hyperbol. N thứ tự gọi món.

Dữ liệu tham khảo về hàm mũ được cung cấp - các thuộc tính, đồ thị và công thức cơ bản. Các câu hỏi sau được xem xét: miền định nghĩa, tập giá trị, tính đơn điệu, hàm ngược, đạo hàm, tích phân, khai triển chuỗi lũy thừa và biểu diễn bằng số phức.

Sự định nghĩa

Hàm số mũ là một tổng quát của tích của n số bằng a: y (n) = a n = a a a a, vào tập hợp các số thực x: y (x) = x. Đây là một số thực cố định, được gọi là cơ số của hàm mũ.Một hàm mũ với cơ số a còn được gọi là hàm mũ đến cơ số a.

Việc tổng quát hóa được thực hiện như sau. Đối với x = tự nhiên 1, 2, 3,... , hàm số mũ là tích của x thừa số: . Hơn nữa, nó có các thuộc tính (1.5-8) (), tuân theo các quy tắc nhân các số. Tại các giá trị 0 và âm của số nguyên, hàm số mũ được xác định theo công thức (1.9-10). Đối với các giá trị phân số x = m / n của một số hữu tỉ, nó được xác định theo công thức (1.11). Đối với thực, hàm mũ được định nghĩa là giới hạn của dãy số: , trong đó là một dãy số hữu tỉ tùy ý hội tụ đến x:. Với định nghĩa này, hàm mũ được xác định cho tất cả, và thỏa mãn các tính chất (1,5-8), cũng như cho x tự nhiên.

Công thức toán học chặt chẽ về định nghĩa của hàm số mũ và cách chứng minh các tính chất của nó được cung cấp trên trang "Định nghĩa và chứng minh các tính chất của hàm số mũ".

Các thuộc tính của hàm mũ

Hàm mũ y = a x có các tính chất sau trên tập các số thực (): (1.1) được xác định và liên tục, cho, cho tất cả; (1.2) khi một ≠ 1 có nhiều nghĩa; (1.3) tăng nghiêm ngặt tại, giảm nghiêm ngặt tại, là hằng số tại; (1.4) tại ; tại ; (1.5) ; (1.6) ; (1.7) ; (1.8) ; (1.9) ; (1.10) ; (1.11) , .

Các công thức hữu ích khác . Công thức chuyển đổi thành hàm số mũ với cơ số lũy thừa khác: Với b = e, chúng ta nhận được biểu thức của hàm số mũ dưới dạng số mũ:

Giá trị riêng tư

, , , , .

Hình bên cho thấy đồ thị của hàm số mũ y (x) = xcho bốn giá trị căn cứ độ: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 và a = 1/8 . Có thể thấy rằng đối với một> 1 hàm số mũ đang tăng đơn điệu. Cơ sở của độ a càng lớn thì sinh trưởng càng mạnh. Tại 0 < a < 1 hàm số mũ là đơn điệu giảm dần. Số mũ a càng nhỏ thì giảm càng mạnh.

Tăng dần, giảm dần

Hàm số mũ tại là đơn điệu nên nó không có cực trị. Các thuộc tính chính của nó được trình bày trong bảng.

Chức năng trái ngược

Nghịch đảo của một hàm số mũ với cơ số a là logarit với cơ số a.

Nếu, thì . Nếu, thì .

Sự khác biệt của hàm số mũ

Để phân biệt một hàm số mũ, cơ số của nó phải rút gọn thành số e, áp dụng bảng đạo hàm và quy tắc phân biệt một hàm số phức.

Để làm điều này, bạn cần sử dụng thuộc tính của logarit và công thức từ bảng đạo hàm: .

Cho một hàm số mũ được cho: . Chúng tôi mang nó đến cơ sở e: Ta áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một biến sau đó Từ bảng đạo hàm ta có (thay biến x bằng z): . Vì là một hằng số, nên đạo hàm của z đối với x là . Theo quy luật phân hoá của một hàm phức: .

Đạo hàm của hàm số mũ

. Đạo hàm của đơn hàng thứ n: . Bắt nguồn của công thức>>>

Một ví dụ về phân biệt một hàm số mũ

Tìm đạo hàm của một hàm số y = 35 x

Quyết định

Chúng ta biểu diễn cơ sở của hàm số mũ dưới dạng số e. 3 = e log 3sau đó . Chúng tôi giới thiệu một biến . sau đó Từ bảng đạo hàm ta tìm được: . Trong chừng mực 5ln 3 là một hằng số, thì đạo hàm của z đối với x là: . Theo quy luật phân hoá của một hàm phức, ta có: .

Trả lời

Tích phân

Biểu thức dưới dạng số phức

Xét hàm số phức z:f (z) = aztrong đó z = x + iy; tôi 2 = - 1 . Chúng ta biểu thị hằng số phức a theo môđun r và đối số φ: a = r e i φ sau đó . Đối số φ không được xác định duy nhất. Nói chung φ = φ 0 + 2 pn, với n là một số nguyên. Do đó, hàm f (z) cũng mơ hồ. Thường được coi là tầm quan trọng chính của nó .

Mở rộng hàng loạt

.

Người giới thiệu: TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay Toán học cho Kỹ sư và Sinh viên của các Cơ sở Giáo dục Đại học, Lan, 2009.

1. Hàm lũy thừa, các tính chất và đồ thị của nó;

2. Biến đổi:

Chuyển giao song song;

Phép đối xứng về các trục tọa độ;

Đối xứng về nguồn gốc;

Phép đối xứng về đường thẳng y = x;

Kéo dài và co lại dọc theo các trục tọa độ.

3. Một hàm số mũ, các tính chất của nó và vẽ đồ thị, các phép biến hình đồng dạng;

4. Hàm số lôgarit, các tính chất và đồ thị của nó;

5. Hàm số lượng giác, các tính chất và đồ thị của nó, các phép biến hình đồng dạng (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Hàm: y = x \ n - thuộc tính và đồ thị của nó.

Hàm lũy thừa, các thuộc tính và đồ thị của nó

y \ u003d x, y \ u003d x 2, y \ u003d x 3, y \ u003d 1 / x v.v ... Tất cả các hàm này là các trường hợp đặc biệt của hàm nguồn, tức là hàm y = xp, trong đó p là một số thực cho trước. Các thuộc tính và đồ thị của một hàm lũy thừa về cơ bản phụ thuộc vào các thuộc tính của một lũy thừa với số mũ thực, và đặc biệt là vào các giá trị mà x và P có ý nghĩa xp. Hãy để chúng tôi tiến hành xem xét tương tự đối với các trường hợp khác nhau, tùy thuộc vào số mũ P.

1. Chỉ báo p = 2n là một số tự nhiên chẵn.

y = x2n, ở đâu N là một số tự nhiên và có các tính chất sau:

• miền định nghĩa là tất cả các số thực, tức là tập R;
• tập hợp các giá trị - các số không âm, tức là y lớn hơn hoặc bằng 0;
• hàm số y = x2n thậm chí, bởi vì x 2n = (-x) 2n
• chức năng đang giảm dần trong khoảng thời gian x< 0 và tăng lên trong khoảng thời gian x> 0.

Đồ thị hàm số y = x2n có dạng giống như, ví dụ, đồ thị của một hàm y = x4.

2. Chỉ số p = 2n - 1- số tự nhiên lẻ

Trong trường hợp này, hàm nguồn y = x2n-1, ở đâu là một số tự nhiên, có các thuộc tính sau:

• miền xác định - tập R;
• tập hợp các giá trị - đặt R;
• hàm số y = x2n-1 lẻ vì (- x) 2n-1= x 2n-1;
• hàm đang tăng trên toàn bộ trục thực.

Đồ thị hàm số y = x2n-1 y = x3.

3. Chỉ báo p = -2n, ở đâu N- số tự nhiên.

Trong trường hợp này, hàm nguồn y = x-2n = 1 / x2n có các thuộc tính sau:

• tập hợp các giá trị - số dương y> 0;
• chức năng y = 1 / x2n thậm chí, bởi vì 1 / (- x) 2n= 1 / x2n;
• hàm số đang tăng trên khoảng x0.

Đồ thị của hàm y = 1 / x2n có dạng giống như, ví dụ, đồ thị của hàm số y = 1 / x2.

4. Chỉ báo p = - (2n-1), ở đâu N- số tự nhiên. Trong trường hợp này, hàm nguồn y = x- (2n-1) có các thuộc tính sau:

• miền xác định là tập R, ngoại trừ x = 0;
• tập hợp các giá trị - đặt R, ngoại trừ y = 0;
• hàm số y = x- (2n-1) lẻ vì (- x) - (2n-1) = -x- (2n-1);
• chức năng đang giảm dần theo khoảng thời gian x< 0 và x> 0.

Đồ thị hàm số y = x- (2n-1) có dạng giống như, ví dụ, đồ thị của hàm y = 1 / x3.