Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2
Có thể bạn quan tâm
Cookie ConsentWe serve cookies on this site to analyze traffic, remember your preferences, and optimize your experience.AcceptMore Details Total Visits Posts 0 Comments 0 
Bài viết hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 2. I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = a\\ f\left( {y;x} \right) = a \end{array} \right.\) \((*).\) 2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được: \(f\left( {x;y} \right) – f\left( {y;x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ g\left( {x;y} \right) = 0 \end{array} \right.\) 3. Chú ý: + Nếu hệ phương trình \((*)\) có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ phương trình \((*)\). Từ đó suy ra, nếu hệ phương trình \((*)\) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\) + \(f\left( {x;y} \right) + f\left( {y;x} \right) = 2a\) là một phương trình đối xứng. II. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.\) 1. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được: \({x^2} – {y^2} = x – y\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x = 1 – y \end{array} \right.\) + Với \(x = y \Rightarrow {x^2} = 3x\) \( \Leftrightarrow x = 0,x = 3.\) + Với \(x = 1 – y\) \( \Rightarrow {y^2} = 3y + 2\left( {1 – y} \right)\) \( \Leftrightarrow {y^2} – y – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = – 1 \Rightarrow x = 2\\ y = 2 \Rightarrow x = – 1 \end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {3;3} \right)\), \(\left( { – 1;2} \right),\left( {2; – 1} \right).\) 2. Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \({x^3} – {y^3} = 2\left( {y – x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \({x^2} + xy + {y^2} + 2 > 0\), \(\forall x,y\)). Thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^3} + 1 = 2x\) \( \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\), \(x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l} x = y = 1\\ x = y = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.\) Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{{{x^2}}} = 2x + y\\ \frac{3}{{{y^2}}} = 2y + x \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} = 8\\ \sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} = 8 \end{array} \right.\) 1. Điều kiện: \(x,y \ne 0.\) Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^3} + {x^2}y = 3\\ 2{y^3} + {y^2}x = 3 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {{x^3} – {y^3}} \right) + xy\left( {x – y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \(2{x^2} + 3xy + 2{y^2}\) \( = 2{\left( {x + \frac{3}{4}y} \right)^2} + \frac{7}{8}{y^2} > 0\)). Thay vào hệ phương trình, ta được: \(3{x^3} = 3\) \( \Leftrightarrow x = 1 = y.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(x=y=1.\) 2. Điều kiện: \(x,y \ge 7.\) Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \(\sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} \) \( = \sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 9} \right)\left( {y – 7} \right)} \) \( = \sqrt {\left( {y + 9} \right)\left( {x – 7} \right)} \) \( \Leftrightarrow x = y.\) Thay vào hệ phương trình, ta được: \(\sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8\\ \sqrt {x + 9} – \sqrt {x – 7} = 2 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} = 5\\ \sqrt {x – 7} = 3 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 16.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(x=y=16.\) Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt x + \sqrt {2 – y} = 2\\ \sqrt y + \sqrt {2 – x} = 2 \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – y} = 7\\ \sqrt {5y + 1} + \sqrt {12 – x} = 7 \end{array} \right.\) 1. Điều kiện: \(0 \le x,y \le 2.\) Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \(\sqrt x – \sqrt {2 – x} \) \( = \sqrt y – \sqrt {2 – y} \) \(\left( * \right).\) Do hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt t + \sqrt {2 – t} \) là một hàm liên tục và đồng biến trên \((0;2).\) Nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow f(x) = f(y)\) \( \Leftrightarrow x = y.\) Thay vào hệ phương trình, ta có: \(\sqrt x + \sqrt {2 – x} = 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {2 – x} \right)} = 1\) \( \Leftrightarrow x = 1.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(x=y=1.\) 2. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} – \frac{1}{5} \le x \le 12\\ – \frac{1}{5} \le y \le 12 \end{array} \right.\) Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \(\sqrt {5x + 1} – \sqrt {12 – x} \) \( = \sqrt {5y + 1} – \sqrt {12 – y} \) \((*).\) Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \sqrt {5t + 1} – \sqrt {12 – t} \), \(t \in \left[ { – \frac{1}{5};12} \right]\), ta có: \(f’\left( x \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5t + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {12 – t} }} > 0\), \(\forall t \in \left( { – \frac{1}{5};12} \right).\) Suy ra: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right)\) \( \Leftrightarrow x = y.\) Thay \(x=y\) vào hệ phương trình, ta được: \(\sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – x} = 7\) \( \Leftrightarrow 4x + 13\) \( + 2\sqrt {\left( {5x + 1} \right)\left( {12 – x} \right)} = 49\) \( \Leftrightarrow \sqrt { – 5{x^2} + 59x + 12} = 18 – 2x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 9\\ 9{x^2} – 131x + 312 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 3.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(x=y=3.\) Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {x – 1} \right)\left( {{y^2} + 6} \right) = y\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \left( {y – 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = x\left( {{y^2} + 1} \right) \end{array} \right.\) 1. Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \({x^3} – {y^3} = x – y\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ {x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0 \end{array} \right.\) + Với \(x=y\), thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^3} = 3x\) \( \Leftrightarrow x = 0\), \(x = \pm \sqrt 3 .\) + Với \({x^2} + xy + {y^2} = 1\) \(\left( 1 \right)\), cộng hai phương trình của hệ phương trình, ta có: \({x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0\) \(\left( 2 \right).\) Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0\\ {x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0 \end{array} \right.\) Đặt \(S=x+y\), \(P=xy\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {S^2} – P – 1 = 0\\ {S^3} – 3SP – 3S = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = {S^2} – 1\\ {S^3} – 3S\left( {{S^2} – 1} \right) – 3S = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 0\\ P = – 1 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = – 1 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} x = – 1\\ y = 1 \end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = – 1\\ y = 1 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = – 1 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt 3 \\ y = \sqrt 3 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = – \sqrt 3 \\ y = – \sqrt 3 \end{array} \right.\) 2. Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x{y^2} + 6x – {y^2} – 6 = y{x^2} + y\\ y{x^2} + 6y – {x^2} – 6 = x{y^2} + x \end{array} \right.\) Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ, ta được: \(2xy\left( {y – x} \right) + 7\left( {x – y} \right)\) \( + \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 2xy + 7} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x + y – 2xy + 7 = 0 \end{array} \right.\) + Với \(x=y\), thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^2} – 5x + 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y = 2\\ x = y = 3 \end{array} \right.\) + Với \(x+y-2xy+7=0\) \((1)\), cộng hai phương trình của hệ đã cho, ta được: \({x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0\) \(\left( 2 \right).\) Từ \((1)\) và \((2)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y – 2xy + 7 = 0\\ {x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0 \end{array} \right.\) Đặt \(S=x+y\), \(P=xy\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} S – 2P + 7 = 0\\ {S^2} – 5S – 2P + 12 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = \frac{{S + 7}}{2}\\ {S^2} – 6S + 5 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 1\\ P = 4 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right.\) + Với \(\left\{ \begin{array}{l} S = 1\\ P = 4 \end{array} \right.\), ta thấy hệ vô nghiệm. + Với \(\left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right.\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 3 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 2 \end{array} \right.\) Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right)\), \(\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right).\) Ví dụ 5. Tìm \(m\) để hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + \sqrt {y – 1} = m\\ 2y + \sqrt {x – 1} = m \end{array} \right.\) Điều kiện: \(x,y \ge 1\). Đặt \(a = \sqrt {x – 1} \), \(b = \sqrt {y – 1} \) \( \Rightarrow a,b \ge 0\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} 2{a^2} + b = m – 2\\ 2{b^2} + a = m – 2 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)\) \( + b – a = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {a – b} \right)\left( {2a + 2b – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b\\ a = \frac{{1 – 2b}}{2} \end{array} \right.\) + Với \(a = b\) \( \Rightarrow 2{a^2} + a = m – 2\) \( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \(a \ge 0\) \( \Leftrightarrow m – 2 \ge 0\) \( \Leftrightarrow m \ge 2.\) + Với \(a = \frac{{1 – 2b}}{2}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le b \le \frac{1}{2}\\ 4{b^2} – 2b = 2m – 5 \end{array} \right.\), hệ phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le 2m – 5 \le 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{19}}{8} \le m \le \frac{5}{2}.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge 2.\) Ví dụ 6. Tìm \(m\) để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} x = {y^2} – y + m\\ y = {x^2} – x + m \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {y^3} – 2{y^2} + my\\ 3{y^2} = {x^3} – 2{x^2} + mx \end{array} \right.\) 1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\) Thay vào hệ ta được: \(x_0^2 – 2{x_0} + m = 0\), phương trình này có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta’ = 1 – m = 0\) \( \Leftrightarrow m = 1.\) Điều kiện đủ: Với \(m = 1\) hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l} x = {y^2} – y + 1\\ y = {x^2} – x + 1 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow {x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x = y = 1\) (thử lại ta thấy thỏa mãn hệ). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m = 1.\) 2. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\) Thay vào hệ ta được: \(x_0^3 – 5x_0^2 + m{x_0} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ x_0^2 – 5{x_0} + m = 0\left( * \right) \end{array} \right.\) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \((*)\) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \(x = 0.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta = 25 – 4m < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta = 25 – 4m = 0\\ 5 = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m > \frac{{25}}{4}.\) Điều kiện đủ: Với \(m > \frac{{25}}{4}\), ta có: \(\left[ \begin{array}{l} 3{x^2} = y\left( {{y^2} – 2y + m} \right) = y\left[ {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + m – 1} \right]\\ 3{y^2} = x\left( {{x^2} – 2x + m} \right) = x\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + m – 1} \right] \end{array} \right.\) \( \Rightarrow x,y \ge 0.\) Cộng hai phương trình của hệ với nhau, ta được: \(x\left( {{x^2} – 5x + m} \right)\) \( + y\left( {{y^2} – 5y + m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x\left[ {{{\left( {x – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right]\) \( + y\left[ {{{\left( {y – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow x = y = 0.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m > \frac{{25}}{4}.\) Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = y + \frac{{{a^2}}}{y}\\ 2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x} \end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất với mọi \(a \ne 0.\) Điều kiện: \(x \ne 0.\) Từ hai phương trình của hệ \( \Rightarrow x,y > 0.\) Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2}y = {y^2} + {a^2}\\ 2{y^2}x = {x^2} + {a^2} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2xy\left( {x – y} \right) = {y^2} – {x^2}\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2xy + x + y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \(x,y > 0\) \( \Rightarrow 2xy + x + y > 0\)). Thay vào hệ phương trình, ta được: \({a^2} = 2{x^3} – {x^2} = f\left( x \right)\) \((*).\) Xét hàm số: \(f\left( x \right) = 2{x^3} – {x^2}\) với \(x>0.\) Ta có: \(f’\left( x \right) = 2x\left( {3x – 1} \right)\) \( \Rightarrow f’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.\) Mà \(f\left( 0 \right) = 0\), \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = – \frac{1}{{27}}\) và \({a^2} > 0\) nên phương trình \((*)\) chỉ có duy nhất một nghiệm. Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(a \ne 0.\) Đăng nhận xét 
- Sitemap
- Disclaimer
- Privacy
- Trang chủ
- 1 Ứng Dụng
- Android
- IOS
- Windows
- Blogger
- Thủ Thuật
- 2 Học Tập
- Lớp 6
- Lớp 7
- Lớp 8
- Lớp 9
- Lớp 10
- Lớp 11
- Lớp 12
- 3 Giải Trí
- Ebook Sưu Tầm
- Thơ Thẩn
- Blog
- 4 Tài Chính
- Tin Tức
- Phân Tích
- About
- Contact
- Safelink
- More...
Bài viết hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 2. I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = a\\ f\left( {y;x} \right) = a \end{array} \right.\) \((*).\) 2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được: \(f\left( {x;y} \right) – f\left( {y;x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ g\left( {x;y} \right) = 0 \end{array} \right.\) 3. Chú ý: + Nếu hệ phương trình \((*)\) có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ phương trình \((*)\). Từ đó suy ra, nếu hệ phương trình \((*)\) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\) + \(f\left( {x;y} \right) + f\left( {y;x} \right) = 2a\) là một phương trình đối xứng. II. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.\) 1. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được: \({x^2} – {y^2} = x – y\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x = 1 – y \end{array} \right.\) + Với \(x = y \Rightarrow {x^2} = 3x\) \( \Leftrightarrow x = 0,x = 3.\) + Với \(x = 1 – y\) \( \Rightarrow {y^2} = 3y + 2\left( {1 – y} \right)\) \( \Leftrightarrow {y^2} – y – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = – 1 \Rightarrow x = 2\\ y = 2 \Rightarrow x = – 1 \end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {3;3} \right)\), \(\left( { – 1;2} \right),\left( {2; – 1} \right).\) 2. Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \({x^3} – {y^3} = 2\left( {y – x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \({x^2} + xy + {y^2} + 2 > 0\), \(\forall x,y\)). Thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^3} + 1 = 2x\) \( \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\), \(x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l} x = y = 1\\ x = y = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.\) Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{{{x^2}}} = 2x + y\\ \frac{3}{{{y^2}}} = 2y + x \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} = 8\\ \sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} = 8 \end{array} \right.\) 1. Điều kiện: \(x,y \ne 0.\) Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^3} + {x^2}y = 3\\ 2{y^3} + {y^2}x = 3 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {{x^3} – {y^3}} \right) + xy\left( {x – y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \(2{x^2} + 3xy + 2{y^2}\) \( = 2{\left( {x + \frac{3}{4}y} \right)^2} + \frac{7}{8}{y^2} > 0\)). Thay vào hệ phương trình, ta được: \(3{x^3} = 3\) \( \Leftrightarrow x = 1 = y.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(x=y=1.\) 2. Điều kiện: \(x,y \ge 7.\) Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \(\sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} \) \( = \sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 9} \right)\left( {y – 7} \right)} \) \( = \sqrt {\left( {y + 9} \right)\left( {x – 7} \right)} \) \( \Leftrightarrow x = y.\) Thay vào hệ phương trình, ta được: \(\sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8\\ \sqrt {x + 9} – \sqrt {x – 7} = 2 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} = 5\\ \sqrt {x – 7} = 3 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 16.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(x=y=16.\) Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt x + \sqrt {2 – y} = 2\\ \sqrt y + \sqrt {2 – x} = 2 \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – y} = 7\\ \sqrt {5y + 1} + \sqrt {12 – x} = 7 \end{array} \right.\) 1. Điều kiện: \(0 \le x,y \le 2.\) Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \(\sqrt x – \sqrt {2 – x} \) \( = \sqrt y – \sqrt {2 – y} \) \(\left( * \right).\) Do hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt t + \sqrt {2 – t} \) là một hàm liên tục và đồng biến trên \((0;2).\) Nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow f(x) = f(y)\) \( \Leftrightarrow x = y.\) Thay vào hệ phương trình, ta có: \(\sqrt x + \sqrt {2 – x} = 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {2 – x} \right)} = 1\) \( \Leftrightarrow x = 1.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(x=y=1.\) 2. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} – \frac{1}{5} \le x \le 12\\ – \frac{1}{5} \le y \le 12 \end{array} \right.\) Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \(\sqrt {5x + 1} – \sqrt {12 – x} \) \( = \sqrt {5y + 1} – \sqrt {12 – y} \) \((*).\) Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \sqrt {5t + 1} – \sqrt {12 – t} \), \(t \in \left[ { – \frac{1}{5};12} \right]\), ta có: \(f’\left( x \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5t + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {12 – t} }} > 0\), \(\forall t \in \left( { – \frac{1}{5};12} \right).\) Suy ra: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right)\) \( \Leftrightarrow x = y.\) Thay \(x=y\) vào hệ phương trình, ta được: \(\sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – x} = 7\) \( \Leftrightarrow 4x + 13\) \( + 2\sqrt {\left( {5x + 1} \right)\left( {12 – x} \right)} = 49\) \( \Leftrightarrow \sqrt { – 5{x^2} + 59x + 12} = 18 – 2x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 9\\ 9{x^2} – 131x + 312 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 3.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(x=y=3.\) Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {x – 1} \right)\left( {{y^2} + 6} \right) = y\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \left( {y – 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = x\left( {{y^2} + 1} \right) \end{array} \right.\) 1. Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \({x^3} – {y^3} = x – y\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ {x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0 \end{array} \right.\) + Với \(x=y\), thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^3} = 3x\) \( \Leftrightarrow x = 0\), \(x = \pm \sqrt 3 .\) + Với \({x^2} + xy + {y^2} = 1\) \(\left( 1 \right)\), cộng hai phương trình của hệ phương trình, ta có: \({x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0\) \(\left( 2 \right).\) Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0\\ {x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0 \end{array} \right.\) Đặt \(S=x+y\), \(P=xy\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {S^2} – P – 1 = 0\\ {S^3} – 3SP – 3S = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = {S^2} – 1\\ {S^3} – 3S\left( {{S^2} – 1} \right) – 3S = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 0\\ P = – 1 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = – 1 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} x = – 1\\ y = 1 \end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = – 1\\ y = 1 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = – 1 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt 3 \\ y = \sqrt 3 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = – \sqrt 3 \\ y = – \sqrt 3 \end{array} \right.\) 2. Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x{y^2} + 6x – {y^2} – 6 = y{x^2} + y\\ y{x^2} + 6y – {x^2} – 6 = x{y^2} + x \end{array} \right.\) Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ, ta được: \(2xy\left( {y – x} \right) + 7\left( {x – y} \right)\) \( + \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 2xy + 7} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x + y – 2xy + 7 = 0 \end{array} \right.\) + Với \(x=y\), thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^2} – 5x + 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y = 2\\ x = y = 3 \end{array} \right.\) + Với \(x+y-2xy+7=0\) \((1)\), cộng hai phương trình của hệ đã cho, ta được: \({x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0\) \(\left( 2 \right).\) Từ \((1)\) và \((2)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y – 2xy + 7 = 0\\ {x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0 \end{array} \right.\) Đặt \(S=x+y\), \(P=xy\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} S – 2P + 7 = 0\\ {S^2} – 5S – 2P + 12 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = \frac{{S + 7}}{2}\\ {S^2} – 6S + 5 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 1\\ P = 4 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right.\) + Với \(\left\{ \begin{array}{l} S = 1\\ P = 4 \end{array} \right.\), ta thấy hệ vô nghiệm. + Với \(\left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right.\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 3 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 2 \end{array} \right.\) Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right)\), \(\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right).\) Ví dụ 5. Tìm \(m\) để hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + \sqrt {y – 1} = m\\ 2y + \sqrt {x – 1} = m \end{array} \right.\) Điều kiện: \(x,y \ge 1\). Đặt \(a = \sqrt {x – 1} \), \(b = \sqrt {y – 1} \) \( \Rightarrow a,b \ge 0\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} 2{a^2} + b = m – 2\\ 2{b^2} + a = m – 2 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)\) \( + b – a = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {a – b} \right)\left( {2a + 2b – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b\\ a = \frac{{1 – 2b}}{2} \end{array} \right.\) + Với \(a = b\) \( \Rightarrow 2{a^2} + a = m – 2\) \( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \(a \ge 0\) \( \Leftrightarrow m – 2 \ge 0\) \( \Leftrightarrow m \ge 2.\) + Với \(a = \frac{{1 – 2b}}{2}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le b \le \frac{1}{2}\\ 4{b^2} – 2b = 2m – 5 \end{array} \right.\), hệ phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le 2m – 5 \le 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{19}}{8} \le m \le \frac{5}{2}.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge 2.\) Ví dụ 6. Tìm \(m\) để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} x = {y^2} – y + m\\ y = {x^2} – x + m \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {y^3} – 2{y^2} + my\\ 3{y^2} = {x^3} – 2{x^2} + mx \end{array} \right.\) 1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\) Thay vào hệ ta được: \(x_0^2 – 2{x_0} + m = 0\), phương trình này có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta’ = 1 – m = 0\) \( \Leftrightarrow m = 1.\) Điều kiện đủ: Với \(m = 1\) hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l} x = {y^2} – y + 1\\ y = {x^2} – x + 1 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow {x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x = y = 1\) (thử lại ta thấy thỏa mãn hệ). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m = 1.\) 2. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\) Thay vào hệ ta được: \(x_0^3 – 5x_0^2 + m{x_0} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ x_0^2 – 5{x_0} + m = 0\left( * \right) \end{array} \right.\) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \((*)\) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \(x = 0.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta = 25 – 4m < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta = 25 – 4m = 0\\ 5 = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m > \frac{{25}}{4}.\) Điều kiện đủ: Với \(m > \frac{{25}}{4}\), ta có: \(\left[ \begin{array}{l} 3{x^2} = y\left( {{y^2} – 2y + m} \right) = y\left[ {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + m – 1} \right]\\ 3{y^2} = x\left( {{x^2} – 2x + m} \right) = x\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + m – 1} \right] \end{array} \right.\) \( \Rightarrow x,y \ge 0.\) Cộng hai phương trình của hệ với nhau, ta được: \(x\left( {{x^2} – 5x + m} \right)\) \( + y\left( {{y^2} – 5y + m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x\left[ {{{\left( {x – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right]\) \( + y\left[ {{{\left( {y – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow x = y = 0.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m > \frac{{25}}{4}.\) Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = y + \frac{{{a^2}}}{y}\\ 2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x} \end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất với mọi \(a \ne 0.\) Điều kiện: \(x \ne 0.\) Từ hai phương trình của hệ \( \Rightarrow x,y > 0.\) Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2}y = {y^2} + {a^2}\\ 2{y^2}x = {x^2} + {a^2} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2xy\left( {x – y} \right) = {y^2} – {x^2}\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2xy + x + y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \(x,y > 0\) \( \Rightarrow 2xy + x + y > 0\)). Thay vào hệ phương trình, ta được: \({a^2} = 2{x^3} – {x^2} = f\left( x \right)\) \((*).\) Xét hàm số: \(f\left( x \right) = 2{x^3} – {x^2}\) với \(x>0.\) Ta có: \(f’\left( x \right) = 2x\left( {3x – 1} \right)\) \( \Rightarrow f’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.\) Mà \(f\left( 0 \right) = 0\), \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = – \frac{1}{{27}}\) và \({a^2} > 0\) nên phương trình \((*)\) chỉ có duy nhất một nghiệm. Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(a \ne 0.\) Đăng nhận xét Đăng nhận xét
About the Author
"một sáng khi con tỉnh giấc Mặt Trời chưa mọc đằng đông cửa nhà chắn hết mưa giông vỡ tan nằm im ngoài cửa" #2 Học Tập #Lớp 10 #Phương Trình - HPT Sao chépPopular Posts
Tải xuống lu3app ứng dụng tiktok 18 plus nổi tiếng của Trung quốc
[Hài Hước] eBook Thịnh Thế Sủng Phi - Bích Vân Thiên
Hướng dẫn Dọn dẹp rác trên Adobe Premiere chiếm dung lượng Windows 10
[Ngôn tình] eBook Tiểu Khanh - Nhiễu Lương Tam Nhật full
MP3 Key Shifter 3.3 Full Crack Phần Mềm Chỉnh Tone Nhạc Miễn Phí
Tổng hợp key Windows 8, Windows 10, Windows 11, Office 2019 ProPlus, Office 2016 ProPlus, Office 2013 ProPlus
[Đam mỹ] eBook Tiểu Long Nữ Bất Nữ - Hi Hòa Thanh Linh full
MCboot_vn 2024: Giải pháp cứu hộ máy tính toàn diện - build 010324 Pro-Free (Update 01/03/2024)
Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Hiệp Hòa – Bắc Giang
Tedddby Activator V4.2.2 - Bypass icloud Tool
Labels
- 1 Ứng Dụng
- 18
- 2 Học Tập
- 2S
- 2S HE
- 3 Giải Trí
- 3S HE
- 4 Tài Chính
- Adventure
- Android
- Bách Hợp
- Bất Phương Trình - Bất Đẳng Thức
- Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
- Best Seller
- Biên Khảo
- Blog
- Blogger
- Chiến tranh
- Chữa Lành
- CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
- CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC
- CHƯƠNG 5: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
- CHƯƠNG 6: MẶT CẦU-MẶT TRỤ-MẶT NÓN
- CHƯƠNG 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Cổ Đại
- Công Nghệ
- Cung đấu
- Cường Hào Thủ Đoạt
- Danh Nhân
- Dân Quốc
- Dị Giới
- Dị Năng
- DS -CSC -CSN
- Đại Số Tổ Hợp | Toán 10
- Đam Mỹ
- Đạo hàm
- Đấu Trí
- Đề Thi Giữa HK1 Toán 6
- Đề Thi Giữa HK1 Toán 7
- Đề Thi Giữa HK1 Toán 8
- Đề Thi Giữa HK1 Toán 9
- Đề Thi Giữa HK2 Toán 10
- Đề Thi Giữa HK2 Toán 11
- Đề Thi Giữa HK2 Toán 12
- Đề Thi Giữa HK2 Toán 6
- Đề Thi Giữa HK2 Toán 7
- Đề Thi Giữa HK2 Toán 8
- Đề Thi Giữa HK2 Toán 9
- Đề Thi HK1 Toán 10
- Đề Thi HK1 Toán 11
- Đề Thi HK1 Toán 12
- Đề Thi HK1 Toán 6
- Đề Thi HK1 Toán 7
- Đề Thi HK1 Toán 8
- Đề Thi HK1 Toán 9
- Đề Thi HK2 Toán 6
- Đề Thi HK2 Toán 7
- Đề Thi HK2 Toán 8
- Đề Thi HK2 Toán 9
- Đề Thi HSG Toán 10
- Đề Thi HSG Toán 11
- Đề Thi HSG Toán 12
- Đề Thi HSG Toán 8
- Đề Thi HSG Toán 9
- Đề Thi Thử Môn Toán
- Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 Môn Toán
- Điền Kinh
- Điền Văn
- Đoản Văn
- Đô Thị
- Đô thị - Quan trường
- Đồng Nhân
- Đời Sống
- Ebook Sưu Tầm
- Excel
- Ghostwin10
- Ghostwin11
- Gia Đấu
- Giả Tưởng
- Giới hạn - liên tục
- Hài Hước
- Hàm Số – Đồ Thị
- Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
- Hào Môn
- Hào Môn Thế Gia
- Hắc Bang
- Hắc Đạo
- HE
- Hệ Thống
- Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác
- Hiện Đại
- Hiện ĐạiL
- Hiện Thực
- HS - PT Lượng Giác
- Huyền Ảo
- IOS
- Khảo Sát Chất Lượng Toán 10
- Khảo Sát Chất Lượng Toán 11
- Khảo Sát Chất Lượng Toán 12
- Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
- Khóa học
- Khoa học - Tâm lý học
- Khoa Huyễn
- Khởi Nghiệp
- Kiếm hiệp - Võ hiệp
- Kim Bài Đề Cử
- Kinh Dị
- Kinh Doanh
- Kinh Điển
- Kinh Tế - Tài Chính
- Kỳ ảo
- Kỳ bí
- Kỹ Năng Sống
- Lãng Mạn
- Lịch Sử
- Lịch sử - Quân sự
- Linh Dị
- Lớp 10
- Lớp 11
- Lớp 12
- Lớp 6
- Lớp 7
- Lớp 8
- Lớp 9
- Manga
- Manhua
- Martial Arts
- Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu
- Mệnh Đề - Tập Hợp
- Mỹ Thực
- NewPost
- Ngọt Sủng
- Ngọt Văn
- Ngôn Tình
- Nguyên Hàm – Tích Phân
- Nguyên Sang
- Ngược Luyến
- Ngược Tâm
- Nhẹ nhàng
- Nữ Cường
- Pháp y
- Phân Tích
- Phép dời hình và phép đồng dạng
- Phiêu Lưu
- Photoshop
- Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian
- Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian | Toán 12
- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
- Phương Trình - HPT
- Quan hệ song song
- Quan Hệ Vuông Góc
- Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian | Toán 11
- Quản trị - Kinh doanh
- Quan Trường
- Quân Nhân
- Rap
- Review Lượm Lặt
- Sách Nói
- Sách Tâm linh
- Sảng Văn
- Sắc
- Sắc - 3S - H - 18
- Sắc Hiệp
- SE
- Self Help
- Self Help - Khởi nghiệp
- Self-Help
- share-free
- Shounen
- Showbiz
- Siêu Hình
- Siêu Sủng
- Song Khiết
- Số Phức
- Sủng
- Sủng Ngọt
- Sủng Sắc
- Sủng Văn
- Tài Chính
- Tài Liệu HSG Toán THPT
- Tài Liệu Ôn Thi THPT Môn Toán
- Tài Liệu Ôn Thi THPTQG Môn Toán
- Tâm Lý Học
- Tâm lý tội phạm
- Tâm Lý Xã Hội
- Tâm Sự
- Tập Truyện
- Tham Khảo
- Thanh Mai Trúc Mã
- Thầm Mến
- Thâm Tình
- Thần bí
- Thần Thoại
- Thiếu Nhi
- Thống Kê
- Thơ Thẩn
- Thủ Thuật
- Thư giản - Giải trí
- Thường Thức
- Tiên Hiệp
- Tiếng Anh
- Tiểu Thuyết
- Tiểu thuyết Lịch sử
- Tin Học
- Tin Tức
- Toán 10
- Toán 11
- Toán 12
- Tổ hợp và xác suất
- Tôn giáo - Thiền
- Trâu Già Gặm Cỏ Non
- Triết Học
- Trinh thám
- Trọng Sinh
- Truyện Dài
- Truyện hay
- Truyện Ma
- Truyện tình cảm
- Truyện Tranh
- Tu Tập
- Tư Duy
- Tự Nhiên
- Tự truyện
- Văn Hóa - Xã Hội
- Véctơ
- Viễn Tưởng
- Vô Địch Lưu
- Vừa Gặp Đã Yêu
- Vườn Trường
- Windows
- Xuyên Không
- Xuyên Nhanh
- Xuyên Sách
- Xuyên Thư
- Yêu Thầm
Từ khóa » định Nghĩa Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2
-
Cách Giải Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2
-
Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2
-
Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2
-
Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2 - Mẹo Giải Nhanh Và Bài Tập Vận Dụng
-
Cách Giải Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2 - Toán Lớp 10 - HayHocHoi
-
Cách Giải Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2 Cực Hay - Toán Lớp 9
-
Hệ Phương Trình đối Xứng Là Gì? Định Nghĩa, Cách Nhận Biết Và Bài Tập
-
Cách Giải Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2 Cực Hay | Toán Lớp 9
-
Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2 Nâng Cao
-
Cách Giải Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2
-
Chuyên đề: Hệ Phương Trình đối Xứng - Trường Quốc Học
-
Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai ẩn - Abcdonline
-
Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập ứng Dụng Có Giải
-
Hệ Phương Trình đối Xứng - Lý Thuyết Toán 9