Hệ Phương Trình Tuyến Tính Có Nghĩa Là Gì? Định Nghĩa, Khái Niệm, Ký ...

Phương trình tuyến tính được gọi là đồng nhất nếu điểm chặn của nó bằng 0, và ngược lại là không đồng nhất. Một hệ gồm các phương trình thuần nhất được gọi là thuần nhất và có dạng tổng quát:

Rõ ràng, bất kỳ hệ thống thuần nhất nào là nhất quán và có nghiệm bằng 0 (tầm thường). Do đó, liên quan đến các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, người ta thường phải tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi về sự tồn tại của các nghiệm khác không. Câu trả lời cho câu hỏi này có thể được xây dựng dưới dạng định lý sau.

Định lý . Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác 0 khi và chỉ khi hạng của nó nhỏ hơn số ẩn số .

Bằng chứng: Giả sử một hệ có hạng bằng nhau có nghiệm khác không. Rõ ràng, không vượt quá. Trong trường hợp hệ thống có một giải pháp duy nhất. Vì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm bằng 0, nên chính xác nghiệm bằng 0 sẽ là nghiệm duy nhất này. Vì vậy, các giải pháp khác không chỉ có thể cho.

Hệ quả 1 : Một hệ phương trình thuần nhất, trong đó số phương trình nhỏ hơn số ẩn số, luôn có nghiệm khác không.

Bằng chứng: Nếu hệ phương trình có, thì hạng của hệ không vượt quá số phương trình, tức là . Do đó, điều kiện được thỏa mãn và do đó, hệ thống có nghiệm khác không.

Hệ quả 2 : Một hệ phương trình thuần nhất với ẩn số có nghiệm khác không khi và chỉ khi định thức của nó bằng 0.

Bằng chứng: Giả sử một hệ phương trình thuần nhất tuyến tính mà ma trận với định thức có nghiệm khác không. Sau đó, theo định lý đã được chứng minh, có nghĩa là ma trận suy biến, tức là .

Định lý Kronecker-Capelli: SLE nhất quán nếu và chỉ khi hạng của ma trận của hệ thống bằng hạng của ma trận mở rộng của hệ thống này. Một ur-th của hệ thống được gọi là tương thích nếu nó có ít nhất một giải pháp.

Hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất.

Một hệ gồm m phương trình tuyến tính có n biến được gọi là hệ phương trình thuần nhất tuyến tính nếu tất cả các số hạng tự do đều bằng 0. Một hệ phương trình thuần nhất tuyến tính luôn tương thích, vì nó luôn luôn có ít nhất một giải pháp bằng không. Một hệ phương trình thuần nhất tuyến tính có nghiệm khác không khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số của nó tại các biến nhỏ hơn số biến, tức là cho xếp hạng A (n. Bất kỳ kết hợp tuyến tính nào

các giải pháp của hệ thống các dòng. đồng nhất ur-ii cũng là một giải pháp cho hệ thống này.

Một hệ gồm các nghiệm độc lập tuyến tính e1, e2,…, ek được gọi là cơ bản nếu mỗi nghiệm của hệ là một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm. Định lý: nếu hạng r của ma trận các hệ số tại các biến của hệ phương trình thuần nhất tuyến tính nhỏ hơn số biến n, thì bất kỳ nghiệm cơ bản nào của hệ đều có n-r nghiệm. Do đó, giải pháp chung của hệ thống các đường. Độc thân ur-th có dạng: c1e1 + c2e2 +… + ckek, trong đó e1, e2,…, ek là bất kỳ hệ nghiệm cơ bản nào, c1, c2,…, ck là các số tùy ý và k = n-r. Nghiệm tổng quát của một hệ gồm m phương trình tuyến tính có n biến bằng tổng

nghiệm chung của hệ tương ứng với nó là thuần nhất. phương trình tuyến tính và một nghiệm cụ thể tùy ý của hệ thống này.

7. Các không gian tuyến tính. Không gian con. Cơ sở, thứ nguyên. Vỏ tuyến tính. Không gian tuyến tính được gọi là n-chiều, nếu nó chứa một hệ thống các vectơ độc lập tuyến tính và bất kỳ hệ thống nhiều vectơ nào cũng phụ thuộc tuyến tính. Số được gọi là thứ nguyên (số thứ nguyên) không gian tuyến tính và được ký hiệu là. Nói cách khác, số chiều của một không gian là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong không gian đó. Nếu một số như vậy tồn tại, thì không gian được cho là hữu hạn chiều. Nếu với bất kỳ số tự nhiên n nào trong không gian tồn tại một hệ gồm các vectơ độc lập tuyến tính, thì một không gian như vậy được gọi là vô hạn chiều (viết:). Trong những điều sau đây, trừ khi có quy định khác, không gian hữu hạn chiều sẽ được xem xét.

Cơ sở của không gian tuyến tính n chiều là một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính có thứ tự ( vectơ cơ sở).

Định lý 8.1 về khai triển của véc tơ theo cơ sở. Nếu là một cơ sở của không gian tuyến tính n chiều, thì bất kỳ vectơ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở:

V = v1 * e1 + v2 * e2 +… + vn + envà hơn nữa, theo một cách độc đáo, tức là hệ số được xác định duy nhất. Nói cách khác, bất kỳ vectơ không gian nào cũng có thể được mở rộng theo cơ sở và hơn thế nữa, theo một cách duy nhất.

Thật vậy, số chiều của không gian là. Hệ thống các vectơ là độc lập tuyến tính (đây là cơ sở). Sau khi nối bất kỳ vectơ nào với cơ sở, chúng ta nhận được một hệ phụ thuộc tuyến tính (vì hệ này bao gồm các vectơ trong không gian n chiều). Bằng tính chất của 7 vectơ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính, chúng ta thu được kết luận của định lý.

Phương pháp Gaussian có một số nhược điểm: không thể biết liệu hệ thống có nhất quán hay không cho đến khi tất cả các phép biến đổi cần thiết trong phương pháp Gauss đã được thực hiện; phương pháp Gaussian không thích hợp cho các hệ thống có hệ số chữ cái.

Xem xét các phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính. Các phương pháp này sử dụng khái niệm hạng của ma trận và rút gọn nghiệm của bất kỳ hệ thống chung nào thành nghiệm của hệ áp dụng quy tắc Cramer.

ví dụ 1 Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính sau sử dụng hệ thức cơ bản là nghiệm của hệ thuần nhất rút gọn và nghiệm riêng của hệ không thuần nhất.

1. Chúng tôi tạo một ma trận Một và ma trận tăng cường của hệ thống (1)

2. Khám phá hệ thống (1) để tương thích. Để làm điều này, chúng tôi tìm thứ hạng của ma trận Một và https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). Nếu hóa ra là như vậy thì hệ thống (1) không tương thích. Nếu chúng ta hiểu được điều đó , thì hệ thống này nhất quán và chúng tôi sẽ giải quyết nó. (Nghiên cứu tính nhất quán dựa trên định lý Kronecker-Capelli).

một. Chúng ta tìm thấy rA.

Để tìm rA, chúng tôi sẽ xem xét liên tiếp các phần tử nhỏ hơn 0 của các đơn hàng thứ nhất, thứ hai, v.v. của ma trận Một và những trẻ vị thành niên xung quanh họ.

M1= 1 ≠ 0 (1 được lấy từ góc trên bên trái của ma trận NHƯNG).

Giáp ranh M1 hàng thứ hai và cột thứ hai của ma trận này. . Chúng tôi tiếp tục biên giới M1 dòng thứ hai và cột thứ ba..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. Bây giờ chúng ta viền phần nhỏ khác 0 М2 ′đơn hàng thứ hai.

Chúng ta có: (vì hai cột đầu tiên giống nhau)

(vì dòng thứ hai và dòng thứ ba tỉ lệ thuận).

Chúng ta thấy rằng rA = 2, và là phần nhỏ cơ bản của ma trận Một.

b. Chúng ta tìm thấy .

Đủ cơ bản cho trẻ vị thành niên М2 ′ ma trận Một biên giới với một cột gồm các thành viên tự do và tất cả các dòng (chúng tôi chỉ có dòng cuối cùng).

. Nó tiếp theo từ điều này mà М3 ′ ′ vẫn là phần nhỏ cơ bản của ma trận https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)

Như М2 ′- cơ sở nhỏ của ma trận Một hệ thống (2) , thì hệ thống này tương đương với hệ thống (3) , bao gồm hai phương trình đầu tiên của hệ thống (2) (vì М2 ′ nằm trong hai hàng đầu tiên của ma trận A).

(3)

Vì phần nhỏ cơ bản là https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

Trong hệ thống này, hai ẩn số miễn phí ( x2 và x4 ). Cho nên FSR hệ thống (4) bao gồm hai giải pháp. Để tìm chúng, chúng tôi chỉ định các ẩn số miễn phí cho (4) giá trị đầu tiên x2 = 1 , x4 = 0 , và sau đó - x2 = 0 , x4 = 1 .

Tại x2 = 1 , x4 = 0 chúng tôi nhận được:

.

Hệ thống này đã có điều duy nhất giải pháp (nó có thể được tìm thấy bằng quy tắc Cramer hoặc bằng bất kỳ phương pháp nào khác). Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

Quyết định của cô ấy sẽ là x1 = -1 , x3 = 0 . Đưa ra các giá trị x2 và x4 , mà chúng tôi đã đưa ra, chúng tôi có được giải pháp cơ bản đầu tiên của hệ thống (2) : .

Bây giờ chúng tôi đưa vào (4) x2 = 0 , x4 = 1 . Chúng tôi nhận được:

.

Chúng tôi giải quyết hệ thống này bằng cách sử dụng định lý Cramer:

.

Chúng tôi có được giải pháp cơ bản thứ hai của hệ thống (2) : .

Các giải pháp β1 , β2 và trang điểm FSR hệ thống (2) . Sau đó, giải pháp chung của nó sẽ là

γ= C1 β1 + С2β2 = С1 (-1, 1, 0, 0) + С2 (5, 0, 4, 1) = (- С1 + 5С2, С1, 4С2, С2)

Đây C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

4. Tìm một riêng quyết định hệ thống không đồng nhất(1) . Như trong đoạn văn 3 , thay vì hệ thống (1) xem xét hệ thống tương đương (5) , bao gồm hai phương trình đầu tiên của hệ thống (1) .

(5)

Chúng tôi chuyển các ẩn số miễn phí sang phía bên phải x2 và x4.

(6)

Hãy đưa ra những ẩn số miễn phí x2 và x4 giá trị tùy ý, ví dụ, x2 = 2 , x4 = 1 và cắm chúng vào (6) . Hãy lấy hệ thống

Hệ thống này có một giải pháp duy nhất (bởi vì yếu tố quyết định của nó М2′0). Giải nó (sử dụng định lý Cramer hoặc phương pháp Gauss), chúng ta thu được x1 = 3 , x3 = 3 . Đưa ra các giá trị của ẩn số miễn phí x2 và x4 , chúng tôi nhận được giải pháp cụ thể của một hệ thống không đồng nhất(1)α1 = (3,2,3,1).

5. Bây giờ nó vẫn còn để viết nghiệm tổng quát α của một hệ không đồng nhất(1) : nó bằng tổng quyết định riêng hệ thống này và giải pháp chung của hệ thống đồng nhất giảm của nó (2) :

α = α1 + γ = (3, 2, 3, 1) + (- С1 + 5С2, С1, 4С2, С2).

Nó có nghĩa là: (7)

6. Kiểm tra.Để kiểm tra xem bạn đã giải quyết đúng hệ thống chưa (1) , chúng tôi cần một giải pháp chung (7) thay thế trong (1) . Nếu mỗi phương trình trở thành một định danh ( C1 và C2 nên bị phá hủy), sau đó giải pháp được tìm thấy chính xác.

Chúng tôi sẽ thay thế (7) ví dụ, chỉ trong phương trình cuối cùng của hệ thống (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Ta được: (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1

(С1 – С1) + (5С2 + 4С2–9С2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

Trong đó -1 = -1. Chúng tôi có một danh tính. Chúng tôi làm điều này với tất cả các phương trình khác của hệ thống (1) .

Nhận xét. Việc xác minh thường khá rườm rà. Chúng tôi có thể đề xuất "xác minh từng phần" sau: trong giải pháp tổng thể của hệ thống (1) gán một số giá trị cho các hằng số tùy ý và chỉ thay thế nghiệm cụ thể thu được vào các phương trình bị loại bỏ (tức là vào các phương trình đó từ (1) không được bao gồm trong (5) ). Nếu bạn nhận được danh tính, thì nhiều khả năng, giải pháp của hệ thống (1) được tìm thấy chính xác (nhưng việc kiểm tra như vậy không đảm bảo đầy đủ về tính đúng đắn!). Ví dụ, nếu trong (7) đặt C2 =- 1 , C1 = 1, khi đó ta được: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0. Thay vào phương trình cuối cùng của hệ (1), ta có: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tức là –1 = –1. Chúng tôi có một danh tính.

Ví dụ 2 Tìm một nghiệm tổng quát cho một hệ phương trình tuyến tính (1) , thể hiện những ẩn số chính dưới dạng những ẩn số tự do.

Quyết định. Như trong ví dụ 1, soạn ma trận Một và https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> trong số các ma trận này. Bây giờ chúng ta chỉ để lại những phương trình của hệ thống (1) , các hệ số được bao gồm trong hệ số nhỏ cơ bản này (tức là chúng ta có hai phương trình đầu tiên) và xem xét hệ bao gồm chúng, tương đương với hệ (1).

Hãy để chúng tôi chuyển ẩn số tự do sang vế phải của các phương trình này.

hệ thống (9) chúng tôi giải quyết bằng phương pháp Gaussian, coi các phần bên phải là thành viên tự do.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "width =" 202 height = 106 "height =" 106 ">

Lựa chọn 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

Lựa chọn 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

Tùy chọn 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "width =" 179 height = 106 "height =" 106 ">

Tùy chọn 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

Một hệ phương trình tuyến tính trong đó tất cả các số hạng tự do đều bằng 0 được gọi là đồng nhất :

Bất kỳ hệ thống đồng nhất nào cũng luôn nhất quán, vì nó luôn có số không (không đáng kể ) sự hòa tan. Câu hỏi đặt ra trong những điều kiện nào thì một hệ thống đồng nhất sẽ có một nghiệm không tầm thường.

Định lý 5.2.Một hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ khi hạng của ma trận cơ sở nhỏ hơn số ẩn số của nó.

Hậu quả. Một hệ thuần nhất vuông có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ khi định thức của ma trận chính của hệ không bằng không.

Ví dụ 5.6. Xác định các giá trị của tham số l mà hệ thống có các nghiệm không đáng kể và tìm các nghiệm sau:

Quyết định. Hệ thống này sẽ có một nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận chính bằng 0:

Do đó, hệ thống là không tầm thường khi l = 3 hoặc l = 2. Với l = 3, hạng của ma trận chính của hệ là 1. Sau đó, chỉ để lại một phương trình và giả sử rằng y=một và z=b, chúng tôi nhận được x = b-a, I E.

Với l = 2, hạng của ma trận chính của hệ là 2. Sau đó, chọn làm ma trận phụ cơ bản:

chúng tôi nhận được một hệ thống đơn giản hóa

Từ đây chúng tôi thấy rằng x = z/4, y = z/ 2. Giả định z=4một, chúng tôi nhận được

Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ thuần nhất có một thuộc tính tuyến tính : nếu X cột 1 và X 2 - nghiệm của hệ thuần nhất AX = 0, sau đó bất kỳ kết hợp tuyến tính nào của chúng một X 1 + b X 2 cũng sẽ là giải pháp của hệ thống này. Thật vậy, bởi vì CÂY RÌU 1 = 0 và CÂY RÌU 2 = 0 , sau đó Một(một X 1 + b X 2) = a CÂY RÌU 1 + b CÂY RÌU 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Do tính chất này, nếu một hệ tuyến tính có nhiều hơn một nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm trong số đó.

Các cột độc lập tuyến tính E 1 , E 2 , E k, là các nghiệm của một hệ thống đồng nhất, được gọi là hệ thống quyết định cơ bản Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu nghiệm tổng quát của hệ này có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các cột sau:

Nếu một hệ thống đồng nhất có N biến và thứ hạng của ma trận chính của hệ thống bằng r, sau đó k = n-r.

Ví dụ 5.7. Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính sau:

Quyết định. Tìm hạng của ma trận chính của hệ thống:

Do đó, tập nghiệm của hệ phương trình này tạo thành một không gian con tuyến tính có chiều n - r= 5 - 2 = 3. Chúng tôi chọn là nhóm phụ cơ bản

.

Sau đó, chỉ để lại các phương trình cơ bản (phần còn lại sẽ là một tổ hợp tuyến tính của các phương trình này) và các biến cơ bản (chúng ta chuyển phần còn lại, được gọi là các biến tự do sang bên phải), chúng ta sẽ có một hệ phương trình đơn giản:

Giả định x 3 = một, x 4 = b, x 5 = c, chúng ta tìm thấy

, .

Giả định một= 1, b = c= 0, chúng ta thu được nghiệm cơ bản đầu tiên; giả định b= 1, a = c= 0, chúng ta thu được nghiệm cơ bản thứ hai; giả định c= 1, a = b= 0, chúng ta thu được nghiệm cơ bản thứ ba. Kết quả là, hệ thống giải pháp cơ bản thông thường có dạng

Sử dụng hệ thức cơ bản, nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất có thể được viết là

X = aE 1 + là 2 + cE 3. một

Chúng ta hãy lưu ý một số tính chất của nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất AX = B và mối quan hệ của chúng với hệ phương trình thuần nhất tương ứng AX = 0.

Giải pháp chung của một hệ thống không đồng nhấtbằng tổng nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng AX = 0 và nghiệm riêng tùy ý của hệ không thuần nhất. Thật vậy, hãy Y 0 là một nghiệm cụ thể tùy ý của một hệ thống không đồng nhất, tức là AY 0 = B, và Y là giải pháp chung của một hệ thống không đồng nhất, tức là AY = B. Trừ đi một bằng nhau, chúng ta nhận được Một(Y-Y 0) = 0, tức là Y-Y 0 là nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng CÂY RÌU= 0. Vì thế, Y-Y 0 = X, hoặc Y = Y 0 + X. Q.E.D.

Cho một hệ không thuần nhất có dạng AX = B 1 + B 2 . Khi đó nghiệm tổng quát của một hệ như vậy có thể được viết là X = X 1 + X 2 , nơi AX 1 = B 1 và AX 2 = B 2. Thuộc tính này thể hiện tính chất phổ quát của bất kỳ hệ thống tuyến tính nào nói chung (đại số, vi phân, hàm, v.v.). Trong vật lý, thuộc tính này được gọi là Nguyên lý chồng chất, trong kỹ thuật điện và vô tuyến - nguyên tắc lớp phủ. Ví dụ, trong lý thuyết về mạch điện tuyến tính, dòng điện trong bất kỳ mạch nào có thể nhận được dưới dạng tổng đại số của các dòng điện gây ra bởi mỗi nguồn năng lượng riêng biệt.

Dữ liệu ma trận

Tìm: 1) aA - bB,

Quyết định: 1) Chúng tôi tìm một cách tuần tự, sử dụng các quy tắc để nhân một ma trận với một số và cộng các ma trận ..

2. Tìm A * B nếu

Quyết định: Sử dụng quy tắc nhân ma trận

Trả lời:

3. Đối với một ma trận đã cho, hãy tìm M 31 nhỏ nhất và tính định thức.

Quyết định: M nhỏ nhất 31 là định thức của ma trận thu được từ A

sau khi xóa hàng 3 và cột 1. Tìm

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Hãy biến đổi ma trận A mà không thay đổi định thức của nó (hãy tạo các số không ở hàng 1)

-3*, -, -4*
-10	-15
-20	-25
-4	-5

Bây giờ chúng ta tính định thức của ma trận A bằng cách khai triển dọc theo hàng 1

Trả lời: M 31 = 0, detA = 0

Giải bằng phương pháp Gauss và phương pháp Cramer.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Quyết định: Hãy kiểm tra

Bạn có thể sử dụng phương pháp của Cramer

Giải hệ: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Chúng tôi áp dụng phương pháp Gauss.

Ta giảm ma trận mở rộng của hệ thống thành dạng tam giác.

Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng tôi hoán đổi các dòng:

Nhân hàng thứ 2 với (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) và thêm vào cái thứ 3:

1 / 2

7 / 2

Nhân hàng thứ nhất với (k = -2 / 2 = -1 ) và thêm vào cái thứ 2:

Bây giờ hệ thống ban đầu có thể được viết là:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Từ dòng thứ 2, chúng tôi thể hiện

Từ dòng đầu tiên, chúng tôi thể hiện

Giải pháp là như nhau.

Đáp số: (2; -5; 3)

Tìm giải pháp chung của hệ thống và FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Quyết định: Áp dụng phương pháp Gauss. Ta giảm ma trận mở rộng của hệ thống thành dạng tam giác.

-4	-1	-4	-6
-2	-2	-3
x 1	x2	x 3	x4	x5

Nhân hàng thứ nhất với (-11). Nhân hàng thứ 2 với (13). Hãy thêm dòng thứ 2 vào dòng thứ nhất:

-2

-2

-3

Nhân hàng thứ 2 với (-5). Nhân hàng thứ 3 với (11). Hãy thêm dòng thứ 3 vào dòng thứ 2:

Nhân hàng thứ 3 với (-7). Nhân hàng thứ 4 với (5). Hãy thêm dòng thứ 4 vào dòng thứ 3:

Phương trình thứ hai là sự kết hợp tuyến tính của phần còn lại

Tìm hạng của ma trận.

-18	-24	-18	-27
x 1	x2	x 3	x4	x5

Phần tử được chọn có bậc cao nhất (trong số tất cả các phần tử có thể có) và khác 0 (nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo tương hỗ), do đó rang (A) = 2.

Vị thành niên này là cơ bản. Nó bao gồm các hệ số cho x 1, x 2 chưa biết, có nghĩa là x 1, x 2 chưa biết là phụ thuộc (cơ bản) và x 3, x 4, x 5 là miễn phí.

Hệ với các hệ số của ma trận này tương đương với hệ ban đầu và có dạng:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Bằng phương pháp loại bỏ ẩn số, chúng tôi nhận thấy quyết định chung:

x 2 = - 3/4 x 3 - x 4 - 2/3 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Chúng tôi tìm thấy hệ thống giải pháp cơ bản (FSR), bao gồm (n-r) giải pháp. Trong trường hợp của chúng ta, n = 5, r = 2, do đó, hệ nghiệm cơ bản bao gồm 3 nghiệm và các nghiệm này phải độc lập tuyến tính.

Để các hàng độc lập tuyến tính, cần và đủ rằng hạng của ma trận bao gồm các phần tử của các hàng phải bằng số hàng, tức là 3.

Chỉ cần cung cấp cho các ẩn số tự do các giá trị x 3, x 4, x 5 từ các hàng của định thức bậc 3, khác 0 và tính x 1, x 2.

Định thức khác 0 đơn giản nhất là ma trận nhận dạng.

Nhưng ở đây thuận tiện hơn để lấy

Chúng tôi sử dụng giải pháp chung:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - LẦN THỨ 4

Tôi quyết định FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 THỨ TỰ

Quyết định của II FSR: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 THỨ TỰ

III Quyết định FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Cho: z 1 \ u003d -4 + 5i, z 2 \ u003d 2 - 4i. Tìm: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Quyết định: a) z 1 - 2z 2 = -4 + 5i + 2 (2-4i) = -4 + 5i + 4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Đáp số: a) -3i b) 12 + 26i c) -1,4 - 0,3i

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên một trường

ĐỊNH NGHĨA. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình (1) là một hệ độc lập tuyến tính khác rỗng với các nghiệm của nó có nhịp tuyến tính trùng với tập tất cả các nghiệm của hệ (1).

Lưu ý rằng một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có nghiệm 0 thì không có hệ cơ bản.

ĐỀ XUẤT 3.11. Bất kỳ hai hệ nghiệm cơ bản nào của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đều chứa cùng một số nghiệm.

Bằng chứng. Thật vậy, hai hệ nghiệm cơ bản bất kỳ của hệ phương trình thuần nhất (1) là tương đương và độc lập tuyến tính. Do đó, theo Mệnh đề 1.12, cấp bậc của họ là ngang nhau. Do đó, số lượng giải pháp có trong một hệ thống cơ bản bằng số lượng giải pháp có trong bất kỳ hệ thống giải pháp cơ bản nào khác.

Nếu ma trận chính A của hệ phương trình thuần nhất (1) bằng 0 thì vectơ bất kỳ từ là nghiệm của hệ (1); trong trường hợp này, bất kỳ tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính nào từ đều là một hệ thống giải pháp cơ bản. Nếu hạng cột của ma trận A là, thì hệ (1) chỉ có một nghiệm - không; do đó, trong trường hợp này, hệ phương trình (1) không có hệ nghiệm cơ bản.

LÝ THUYẾT 3.12. Nếu hạng của ma trận chính của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) nhỏ hơn số biến thì hệ (1) có một hệ cơ bản gồm các nghiệm.

Bằng chứng. Nếu hạng của ma trận chính A của hệ thuần nhất (1) bằng 0 hoặc thì định lý trên đã chỉ ra rằng đúng. Do đó, giả sử dưới đây Giả sử, chúng ta sẽ giả sử rằng các cột đầu tiên của ma trận A là độc lập tuyến tính. Trong trường hợp này, ma trận A tương đương với ma trận bậc giảm và hệ (1) tương đương với hệ phương trình bậc giảm sau:

Dễ dàng kiểm tra rằng bất kỳ hệ giá trị nào của các biến tự do của hệ (2) đều tương ứng với một và chỉ một nghiệm của hệ (2) và do đó, của hệ (1). Trong đó, chỉ có nghiệm bằng không của hệ (2) và hệ (1) tương ứng với hệ có giá trị bằng không.

Trong hệ thống (2), chúng tôi sẽ gán giá trị bằng 1 cho một trong các biến tự do và giá trị bằng 0 cho các biến khác. Kết quả là, chúng ta nhận được các nghiệm của hệ phương trình (2), mà chúng ta viết dưới dạng các hàng của ma trận C sau:

Hệ thống hàng của ma trận này là độc lập tuyến tính. Thật vậy, đối với bất kỳ đại lượng vô hướng nào từ đẳng thức

bình đẳng theo sau

và do đó bình đẳng

Hãy chứng minh rằng khoảng tuyến tính của hệ các hàng của ma trận C trùng với tập tất cả các nghiệm của hệ (1).

Giải pháp tùy tiện của hệ thống (1). Sau đó, vectơ

cũng là một giải pháp cho hệ thống (1), và