Hệ Phương Trình Tuyến Tính Thuần Nhất - Vted

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng $\left\{ \begin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_1} = 0 \hfill \\ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + ... + {a_{mn}}{x_n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right),X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right),O = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ {...} \\ 0 \end{array}} \right).$

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận $AX=O.$

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng véctơ ${{x}_{1}}A_{1}^{c}+{{x}_{2}}A_{2}^{c}+...+{{x}_{n}}A_{n}^{c}=O.$

Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bằng nhau do đó nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}=0,$ nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.

Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

Ví dụ 1: Tìm $a$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} (a + 5)x + 3y + (2a + 1)z = 0\\ ax + (a - 1)y + 4z = 0\\ (a + 5)x + (a + 2)y + 5z = 0 \end{array} \right.$ có nghiệm không tầm thường.

Giải. Ta có yêu cầu bài toán tương đương với $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 5}&3&{2a + 1}\\ a&{a - 1}&4\\ {a + 5}&{a + 2}&5 \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow - 3{a^2} - 3a = 0 \Leftrightarrow a = 0;a = - 1.$

Ví dụ 2: Tìm $m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - m{x_2} + {x_3} - (m + 3){x_4} = 0\\ 2{x_1} + {x_2} - 4{x_3} + 7{x_4} = 0\\ m{x_1} + 4{x_2} + 2{x_3} - m{x_4} = 0\\ {x_1} - {x_2} - m{x_3} - 2({m^2} + 1){x_4} = 0 \end{array} \right.$ có nghiệm không tầm thường.

Giải. Ta có yêu cầu bài toán tương đương với \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - m}&1&{ - m - 3}\\ 2&1&{ - 4}&7\\ m&4&2&{ - m}\\ 1&{ - 1}&{ - m}&{ - 2({m^2} + 1)} \end{array}} \right| = 0.\]

Ta có biến đổi định thức:

\[\begin{gathered} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - m}&1&{ - m - 3} \\ 2&1&{ - 4}&7 \\ m&4&2&{ - m} \\ 1&{ - 1}&{ - m}&{ - 2({m^2} + 1)} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - m}&1&{ - m - 3} \\ 0&{2m + 1}&{ - 6}&{2m + 13} \\ 0&{{m^2} + 4}&{ - m + 2}&{{m^2} + 2m} \\ 0&{m - 1}&{ - m - 1}&{ - 2{m^2} + m + 1} \end{array}} \right|\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}} \\ {{\mathbf{ - m}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}} \\ {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}} \end{array}} \right) \hfill \\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2m + 1}&{ - 6}&{2m + 13} \\ {{m^2} - 4}&{ - m + 2}&{{m^2} + 2m} \\ {m - 1}&{ - m - 1}&{ - 2{m^2} + m + 1} \end{array}} \right| = - 8{m^4} - 14{m^3} - 58{m^2} - 52m. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy \[-8{{m}^{4}}-14{{m}^{3}}-58{{m}^{2}}-52m=0\Leftrightarrow m=0;m=-1.\]

Ví dụ 3: Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

$\left\{ \begin{array}{l} 2{x_1} + 3{x_2} - 2{x_3} = (m + 1){x_1} - (4 - m){x_2} + (m + 3){x_3}\\ {x_1} + {x_2} + 2{x_3} = (m + 3){x_1} + (m - 1){x_2} + (m + 2){x_3}\\ - {x_1} + 2{x_2} - {x_3} = (m + 2){x_1} - (2 - m){x_2} + m{x_3} \end{array} \right..$

Giải. Hệ tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l} (m - 1){x_1} + (m - 7){x_2} + (m + 5){x_3} = 0\\ (m + 2){x_1} + (m - 2){x_2} + m{x_3} = 0\\ (m + 3){x_1} + (m - 4){x_2} + (m + 1){x_3} = 0 \end{array} \right..$

Vậy $ycbt \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1}&{m - 7}&{m + 5}\\ {m + 2}&{m - 2}&m\\ {m + 3}&{m - 4}&{m + 1} \end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow 6 - 24m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{4}.$

Cấu trúc tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Tập $\ker (A) = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right) \in {\mathbb{R}^n}|AX = O} \right\}$ là một không gian con của không gian véctơ ${{\mathbb{R}}^{n}}$ và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O$ hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

Mỗi cơ sở của $\ker (A)$ được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất $\dim\left( \ker (A) \right)=n-r(A).$

Vậy $r(A)=r<n$ thì hệ thuần nhất có vô số nghiệm phụ thuộc $n-r$ tham số.

Ví dụ 1: Tìm $m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + 2{x_2} + m{x_3} + (m + 1){x_4} = 0\\ 2{x_1} + (m + 2){x_2} + (2m + 1){x_3} + (2m + 4){x_4} = 0\\ {x_1} + (4 - m){x_2} + (m - 1){x_3} + (2m - 4){x_4} = 0 \end{array} \right.$ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số.

Giải. Xét ma trận hệ số $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{m + 1}\\ 2&{m + 2}&{2m + 1}&{2m + 4}\\ 1&{4 - m}&{m - 1}&{2m - 4} \end{array}} \right).$

Hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số $\Leftrightarrow 4-r(A)=2\Leftrightarrow r(A)=2.$

Biến đổi ma trận hệ số:

$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{m + 1} \\ 2&{m + 2}&{2m + 1}&{2m + 4} \\ 1&{4 - m}&{m - 1}&{2m - 4} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{m + 1} \\ 0&{m - 2}&1&2 \\ 0&{2 - m}&{ - 1}&{m - 5} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{m + 1} \\ 0&{m - 2}&1&2 \\ 0&0&0&{m - 3} \end{array}} \right) \Rightarrow r(A) = 2 \Leftrightarrow m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3. \hfill \\ \end{gathered} $

Ví dụ 2: Tìm một hệ nghiệm cơ bản và số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất

$\left\{ \begin{array}{l} 2{x_1} - {x_2} + 5{x_3} + 7{x_4} = 0\\ 4{x_1} - 2{x_2} + 7{x_3} + 5{x_4} = 0\\ 2{x_1} - {x_2} + {x_3} - 5{x_4} = 0 \end{array} \right..$

Giải. Ta có $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&5&7 \\ 4&{ - 2}&7&5 \\ 2&{ - 1}&1&{ - 5} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&5&7 \\ 0&0&{ - 3}&{ - 9} \\ 0&0&{ - 4}&{ - 12} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{ - }}\frac{{\mathbf{4}}}{{\mathbf{3}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&5&7 \\ 0&0&{ - 3}&{ - 9} \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right).$

Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: $\left\{ \begin{gathered} 2{x_1} - {x_2} + 5{x_3} + 7{x_4} = 0 \hfill \\ - 3{x_3} - 9{x_4} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_2} = 2{x_1} - 8{x_4} \hfill \\ {x_3} = - 3{x_4} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Nghiệm tổng quát của hệ là $({{x}_{1}},2{{x}_{1}}-8{{x}_{4}},-3{{x}_{4}},{{x}_{4}})=({{x}_{1}},2{{x}_{1}},0,0)+(0,-8{{x}_{4}},-3{{x}_{4}},{{x}_{4}})={{x}_{1}}(1,2,0,0)+{{x}_{4}}(0,-8,-3,1).$

Vậy $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}} \right\},{{P}_{1}}=(1,2,0,0),{{P}_{2}}=(0,-8,-3,1)$ là một hệ nghiệm cơ bản của hệ đã cho và số chiều của không gian nghiệm của hệ là $2.$

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} - {x_1} + 3{x_2} + 4{x_3} + 3{x_4} = 0 \hfill \\ 2{x_1} - 5{x_2} + 2{x_4} = 0 \hfill \\ {x_1} - 2{x_2} + 4{x_3} + 5{x_4} = 0 \hfill \\ 2{x_1} - 4{x_2} + 8{x_3} + (m - 4){x_4} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

a) Tìm một hệ nghiệm cơ bản và xác định số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình đã cho khi $m=2.$

b) Tìm $m$ để không gian nghiệm của hệ phương trình đã cho có số chiều bằng 1.

Giải. Biến đổi ma trận hệ số:

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3&4&3 \\ 2&{ - 5}&0&2 \\ 1&{ - 2}&4&5 \\ 2&{ - 4}&8&{m - 5} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3&4&3 \\ 0&1&8&8 \\ 0&1&8&8 \\ 0&2&{16}&{m + 1} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3&4&3 \\ 0&1&8&8 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&{m - 15} \end{array}} \right).$

Không gian nghiệm của hệ có số chiều $4-r(A)=1\Leftrightarrow r(A)=3\Leftrightarrow m-15\ne 0\Leftrightarrow m\ne 15.$

Khi $m=2$ hệ phương trình tương đương với $\left\{ \begin{gathered} - {x_1} + 3{x_2} + 4{x_3} + 3{x_4} = 0 \hfill \\ {x_2} + 8{x_3} + 8{x_4} = 0 \hfill \\ - 13{x_4} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = - 20{x_3} \hfill \\ {x_2} = - 8{x_3} \hfill \\ {x_4} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Nghiệm tổng quát của hệ là $\left( -20{{x}_{3}};-8{{x}_{3}};{{x}_{3}};0 \right)={{x}_{3}}\left( -20;-8;1;0 \right).$ Do đó ${{P}_{1}}=\left( -20;-8;1;0 \right)$ là một hệ nghiệm của cơ bản của hệ và không gian nghiệm của hệ có số chiều bằng 1.

Ví dụ 4: Cho hệ phương trình:

$\left\{ \begin{gathered} - {x_1} + 3{x_2} + {x_3} - 2{x_4} = 1 \hfill \\ 2{x_1} + 2{x_2} - 5{x_3} + {x_4} = 3 \hfill \\ - 5{x_1} - {x_2} + 11{x_3} - 4{x_4} = - 5 \hfill \\ 3{x_1} + 7{x_2} - 9{x_3} = 7 \hfill \\ {x_1} + 13{x_2} - 7{x_3} - 4{x_4} = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}(*).$

a) Giải hệ phương trình (*)

b) Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ (*)

Giải. Xét ma trận hệ số mở rộng:

$\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3&1&{ - 2}&1 \\ 2&2&{ - 5}&1&3 \\ { - 5}&{ - 1}&{11}&{ - 4}&{ - 5} \\ 3&7&{ - 9}&0&7 \\ 1&{13}&{ - 7}&{ - 4}&9 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{gathered} {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 5}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ {\mathbf{3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \hfill \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{5}}} \hfill \\ \end{gathered} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3&1&{ - 2}&1 \\ 0&8&{ - 3}&{ - 3}&5 \\ 0&{ - 16}&6&6&{ - 10} \\ 0&{16}&{ - 6}&{ - 6}&{10} \\ 0&{16}&{ - 6}&{ - 6}&{10} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{5}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3&1&{ - 2}&1 \\ 0&8&{ - 3}&{ - 3}&5 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

+) Vậy hệ phương trình tuyến tính tương đương với: $\left\{ \begin{gathered} - {x_1} + 3{x_2} + {x_3} - 2{x_4} = 1, \hfill \\ 8{x_2} - 3{x_3} - 3{x_4} = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = \dfrac{{17}}{8}{x_3} - \dfrac{7}{8}{x_4} + \dfrac{7}{8} \hfill \\ {x_2} = \dfrac{3}{8}{x_3} + \dfrac{3}{8}{x_4} + \dfrac{5}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

+) Nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ đã cho là

$\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \right)=\left( \dfrac{17}{8}{{x}_{3}}-\dfrac{7}{8}{{x}_{4}},\dfrac{3}{8}{{x}_{3}}+\dfrac{3}{8}{{x}_{4}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \right)={{x}_{3}}\left( \dfrac{17}{8},\dfrac{3}{8},1,0 \right)+{{x}_{4}}\left( -\dfrac{7}{8},\dfrac{3}{8},0,1 \right).$

Hệ nghiệm cơ bản là $\left\{ \left( \dfrac{17}{8},\dfrac{3}{8},1,0 \right),\left( -\dfrac{7}{8},\dfrac{3}{8},0,1 \right) \right\}.$

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $\left\{ \begin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_1} = 0 \hfill \\ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ {a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + ... + {a_{nn}}{x_n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ trong đó $n\ge 4$ và ${{a}_{ij}}=ij+i+j,\forall i,j=1,2,...,n.$

Giải. Xét ma trận hệ số của hệ phương trình $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}&{...}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right).$

Ta có ${{a}_{ij}}-{{a}_{i-1,j}}=ij+i+j-\left( \left( i-1 \right)j+\left( i-1 \right)+j \right)=j+1,\forall i=2,3,...,n;j=1,2,...,n.$

Lấy $-{{d}_{i-1}}+{{d}_{i}},i=2,3,...,n$ ta được

$A \to B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{...}&{{b_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{b_{n1}}}&{{b_{n2}}}&{...}&{{b_{nn}}} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{,i = 3,...,n}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{...}&{{b_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&0 \end{array}} \right)$ trong đó ${{b}_{ij}}=j+1,\forall i=2,3,...,n;j=1,2,...,n.$

Ta có ${{a}_{1j}}=j+1+j=2j+1;{{b}_{2j}}=j+1,\forall j=1,2,...,n$ nên hệ tương đương với

$\left\{ \begin{gathered} 3{x_1} + 5{x_2} + ... + \left( {2n + 1} \right){x_n} = 0\left( 1 \right) \hfill \\ 2{x_1} + 3{x_2} + ... + \left( {n + 1} \right){x_n} = 0\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\overset {2 \times \left( 1 \right) - 3 \times \left( 2 \right)} \longleftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_2} + 2{x_3} + 3{x_4} + ... + \left( {n - 1} \right){x_n} = 0 \hfill \\ 2{x_1} + 3{x_2} + ... + \left( {n + 1} \right){x_n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_2} = - 2{x_3} - 3{x_4} - ... - \left( {n - 1} \right){x_n} \hfill \\ {x_1} = {x_3} + 2{x_4} + ... + \left( {n - 2} \right){x_n} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy nghiệm tổng quát của hệ là $\left( {{x}_{3}}+2{{x}_{4}}+...+\left( n-2 \right){{x}_{n}},-2{{x}_{3}}-3{{x}_{4}}-...-\left( n-1 \right){{x}_{n}},{{x}_{3}},{{x}_{4}},...,{{x}_{n}} \right),{{x}_{3}},{{x}_{4}},...,{{x}_{n}}\in \mathbb{R}$

Mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến tính tổng quát và hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát $AX=B$ có $n$ ẩn số. Khi đó hệ phương trình $AX=O$ được gọi là hệ thuần nhất liên kết với hệ phương trình tổng quát đã cho.

+) Gọi ${{X}_{0}}$ là một nghiệm riêng của hệ phương trình tuyến tính tổng quát;

+) Gọi $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n-r(A)}} \right\}$ là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất liên kết;

Khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính tổng quát là $X={{X}_{0}}+{{t}_{1}}{{P}_{1}}+{{t}_{2}}{{P}_{2}}+...+{{t}_{n-r(A)}}{{P}_{n-r(A)}}.$

>>Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính

>>Xem thêm Các dạng toán về ma trận nghịch đảo và phương pháp giải

>>Xem thêm Phép nhân ma trận và các tính chất

>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận

>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức

>> Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch

>>Cơ sở của không gian véctơ

>> Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số cho bởi tham số

>> Khai triển Taylor và ứng dụng

>> Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình tuyến tính 10 phương trình và 11 ẩn số. Biết rằng:

a) Bộ số $(1992,1993,...,2002)$ là một nghiệm của hệ phương trình;

b) Khi xoá đi cột thứ j trong ma trận hệ số của hệ thì được một ma trận vuông có định thức đúng bằng j (j = 1, 2, …, 11).

Hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

i) Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ đã cho có bao nhiêu véctơ?

ii) Hãy tìm một nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ đã cho

iii) Hãy tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải. Xét ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{10\times 11}}.$ Hệ phương trình đã cho là $AX=B.$

Ta có $r(A) \leqslant \min \left\{ {10,11} \right\} = 10$ và theo giả thiết b) thì $D_{12...10}^{12...10}=11\ne 0\Rightarrow r(A)=10.$ Do đó hệ phương trình thuần nhất $AX=O$ có hệ nghiệm cơ bản chỉ gồm một véctơ ${{P}_{1}}=({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{11}}).$ Mặt khác theo giả thiết a) bộ số $(1992,1993,...,2002)$ là một nghiệm riêng của hệ phương trình $AX=B.$ Do đó mọi nghiệm của hệ phương trình $AX=B$ có dạng $({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{11}})=(1992,1993,...,2002)+({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{11}})t,t\in \mathbb{R}.$

Gọi $C$ là ma trận nhận được từ ma trận $A$ bằng cách thêm dòng thứ $i$ của ma trận $A$ vào ngay phía trên dòng đầu tiên của ma trận $A.$

Ta có $C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{i1}}}&{{a_{i2}}}&{...}&{{a_{i11}}} \\ {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{111}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{211}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{101}}}&{{a_{102}}}&{...}&{{a_{1011}}} \end{array}} \right).$

Khai triển định thức ma trận $C$ theo dòng đầu tiên và khai thác giả thiết b) ta có:

$\det (C)=1.{{a}_{i1}}-2.{{a}_{i2}}+3.{{a}_{i3}}+...-10.{{a}_{i10}}+11.{{a}_{i11}}.$

Mặt khác $C$ có hai dòng giống nhau nên $\det (C)=0\Leftrightarrow 1.{{a}_{i1}}-2.{{a}_{i2}}+3.{{a}_{i3}}+...-10.{{a}_{i10}}+11{{a}_{i11}}=0.$

Điều đó chứng tỏ $(1,-2,3,...,-10,11)$ là một nghiệm của hệ phương trình thuần nhất $AX=O.$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{11}})=(1992,1993,...,2002)+(1,-2,...,11)t=(19992+t,1993-2t,...,2002+11t),t\in \mathbb{R}.$

*Chú ý ta sử dụng kiến thức sau:

Xét hai hệ phương trình $AX=B(1);AX=O(2)$ có $A={{({{a}_{ij}})}_{m\times n}},r(A)=r.$

+) ${{X}_{0}}$ là một nghiệm riêng của (1);

+) $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n-r}} \right\}$ là một hệ nghiệm cơ bản của (2);

Khi đó nghiệm của (1) là $X={{X}_{0}}+{{t}_{1}}{{P}_{1}}+{{t}_{2}}{{P}_{2}}+...+{{t}_{n-r}}{{P}_{n-r}}.$

Đề và đáp án chi tiết của đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2020 - 2021 bảng A tỉnh Nghệ An bạn đọc tải về tại đây

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5