Hệ Sinh, Cơ Sở, Số Chiều Và Hạng Của Một Hệ Vectơ - TaiLieu.VN

Trang chủ » Hệ S Là Cơ Sở Của Kgvt V Nếu » Hệ Sinh, Cơ Sở, Số Chiều Và Hạng Của Một Hệ Vectơ - TaiLieu.VN

Có thể bạn quan tâm

OPTADS360 intTypePromotion=1 zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn tailieu.vn NÂNG CẤP Đăng Nhập | Đăng Ký Chủ đề »
  • Công thức lượng giác
  • Khảo sát hàm số
  • Soạn bài Tràng Giang
  • Công thức tích phân
  • Hóa học 11
  • Sinh học 11
    • Toán lớp 10
    • Vật lý 12
  • HOT
    • TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
    • FORM.04: Bộ 240+ Biểu Mẫu Chứng Từ Kế...
    • CEO.29: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
    • CMO.03: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
    • FORM.08: Bộ 130+ Biểu Mẫu Thống Kê...
    • LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên...
    • CEO.27: Bộ Tài Liệu Dành Cho StartUp...
    • LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y...
    • FORM.07: Bộ 125+ Biểu Mẫu Báo Cáo...
    CEO.24: Bộ 240+ Tài Liệu Quản Trị Rủi Ro Doanh...
TUYỂN SINH YOMEDIA ADSENSE Trang Chủ » Tài Liệu Phổ Thông » Trung học phổ thông Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ

Chia sẻ: Nguyen Van | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:12

Thêm vào BST Báo xấu 3.389 lượt xem 94 download Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

________________________________________________ 1. Hệ sinh: 1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S được gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh. Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều....

AMBIENT/ Chủ đề:
  • kiến thức vật lý căn bản
  • giải bài tập vật lí
  • công thức vật lí
  • bài tập vật lí nâng cao
  • hệ vectơ
  • không gian véc tơ

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Đăng nhập để gửi bình luận! Lưu

Nội dung Text: Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ

  1. Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ ________________________________________________ 1. Hệ sinh: 1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S được gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh. Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều. Do đó, nếu cho S = {u1 , u2 ,..., un } V , S là hệ sinh của V khi và chỉ khi: ∀u � , ∃(α1 , α 2 ,..., α n ) �ﾡ n : u = α1u1 + α 2u2 + ... + α nun . V Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu V = S = {u1 , u2 ,..., un } . 1.2 Ví dụ: 1. Nếu S = { } thì E ( S ) = { } . 2. Đối với không gian vectơ ﾡ n , hệ vectơ gồm các vectơ e1 = (1, 0,..., 0); e2 = (0,1, 0,..., 0);...; en = (0, 0,....,1) là một cơ sở của không gian vectơ ﾡ n . 3. Tập các đơn thức {t n | n 0} là một hệ sinh của không gian các đa thức K[t]. 4. Nếu S là hệ sinh của V, thì mọi tập chứa nó đều là hệ sinh của V. Nói riêng V là hệ sinh của V. 1.3 Nhận xét: Để chứng minh S là một hệ sinh của V ta chứng minh mọi tập con hữu hạn v1 , v2 ,.., vn là hệ sinh của V. Khi đó, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng minh với mọi vector v thuộc V thì có các số α1 , α 2 ,..., α n thuộc trường K sao cho v = α1v1 + α 2 v2 + ... + α n vn . Trong không gian vector K m với n m điều này tương đương với hệ phương trình: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 luôn có nghiệm với v = (b1 , b2 ,..., bm ) K m trong đó ... am1 x1 + a2 x2 + ... + amn xn = bm vi = (a1i , a2i ,..., ami ), ∀i = 1,.., n . Phương pháp 2: Nếu biết trước 1 hệ sinh u1 , u2 ,..., um của V thì cần chứng tỏ mỗi vector ui biểu diễn được qua các vector v1 , v2 ,..., vm với i = 1, …, m.
  2. Ví dụ: Chứng minh rằng hệ 4 vector u = (1, 2,3); v = (0, 2,1); w = (0, 0, 4); z = (2; 4;5) là hệ sinh của không gian vector ﾡ 3 . Giải: 1.x1 + 0.x2 + 0 x3 + 2 x4 = b1 Xét hệ phương trình 2.x1 + 2.x2 + 0 x3 + 4 x4 = b2 3.x1 + 1.x2 + 4.x3 + 5 x4 = b3 Hệ này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng với hạng của ma trận hệ số mở rộng và nghiệm của hệ phương trình là: x1 = b1 b2 x2 = − b1 2 x3 = (b3 − 3b1 ) / 4 x4 = 0 1.4 Định lý: E(S) là không gian con của V và là không gian con nhỏ nhất của V chứa tập S. 1.5 Định lý: S là hệ sinh tối tiểu của E(S) khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính. 2. Cơ sở, số chiều và hạng của hệ vectơ: 2.1 Định nghĩa: Ta gọi hệ vectơ S V là cơ sở của V nếu S là hệ sinh tối tiểu của V. Nói cách khác S là cơ sở của V nếu và chỉ nếu S là hệ sinh của V và S là hệ vectơ độc lập tuyến tính. Nếu tập được sắp thứ tự S = {ui | i I } là cơ sở của V và u V thì bộ các số (α i )i I được gọi là tọa độ của u theo S nếu u = α i ui . iI Ví dụ: Trong ﾡ 4 xét cơ sở chính tắc gồm 4 vector sau đây: u1 = (1, 0, 0, 0); u2 = (0,1, 0, 0); u3 = (0, 0,1, 0); u4 = (0,0, 0,1) khi đó vector u = (1, 2,3, 4) ﾡ 4 được biểu thị tuyến tính qua các vector u1 , u2 , u3 , u4 như sau: u = u1 + 2u2 + 3u3 + 4u4 . Suy ra tọa độ của vector u đối với cơ sở trên là u = (1, 2, 3, 4). Mặt khác, trong ﾡ 4 xét cơ sở gồm các vector sau: v1 = (1, 0, 0,1); v2 = (0,1, 0, 0); v3 = (0, 0,1, 0); v4 = (1,1, 0, 0) thì khi đó vector u = (1, 2,3, 4) ﾡ 4 được biểu thị tuyến tính qua các vector trên như sau: u = −2v1 − v2 + 3v3 + 3v4 . Khi đó, tọa độ của u đối với cơ sở này là u = (-2, -1, 3, 3). 2.2 Định lý: Nếu V là không gian hữu hạn sinh thì số vectơ trong mọi cơ sở của V là như nhau. Số này gọi là số chiều của V. Ký hiệu là dimV.
  3. 2.3 Ví dụ: - Các vectơ e1 = (1, 0, 0,..., 0); e2 = (0,1, 0,..., 0);...; en = (0, 0,....,1) lập thành một cơ sở của không gian vectơ ﾡ n . Ta gọi đây là cơ sở chính tắc (cơ sở tự nhiên) của ﾡ n , vậy dim ﾡ n = n . Một vectơ x = ( x1 , x2 ,..., xn ) có tọa độ với hệ {e1 , e2 ,..., en } là ( x1 , x2 ,..., xn ) . Tuy nhiên, tọa độ của x theo hệ {e2 , e1 ,..., en } lại là ( x2 , x1 ,..., xn ) � 0� 1 � 1� 0 � 0� 0 � 0� 0 - Các ma trận I1 = � �I 2 = � �I 3 = � �I 4 = � ; ; ; �lập thành một cơ sở � 0� 0 � 0� 0 � 0� 1 � 1� 0 � b� a của không gian các ma trận M(2;K). Một ma trận A = � � ẽ có tọa độ đối với hệ cơ s � d� c sở này là (a, b, c, d). - Trong không gian vectơ các ma trận M ( m n; ﾡ ) , ta có thể lập một hệ cơ sở bao gồm các ma trận Eij trong đó các phần tử tương ứng ở dòng i và cột j với 1 i m;1 j n bằng 1 còn các phần tử còn lại của ma trận Eij này đều bằng 0. Khi đó, dim M (m n; K ) = mn . - ﾡ n ( x) là tập hợp các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn hay bằng n với các phép toán thông thường là một không gian vectơ. Trong đó, hệ 1, x, x 2 ,..., x n là một cơ sở của không gian vectơ này. Do đó, dim ﾡ n ( x) = n + 1 . 2.4 Định lý: Cho S là một hệ vectơ của không gian vectơ V. Khi đó, các điều kiện sau tương đương: i) S là cơ sở của V; ii) Mỗi vectơ của V có thể biểu diễn duy nhất qua các vectơ của hệ S; iii) S là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V. Khi ta có dimV = n thì các đi ều kiện trên tương đương với: iv) S là một hệ sinh có đúng n phần tử; v) S là một hệ độc lập tuyến tính có n phần tử; vi) S có đúng n phần tử và ma trận các cột (dòng) là các vectơ tọa độ của các phần tử của S theo một cơ sở đã biết có định thức khác không. 2.5 Nhận xét: Đối với không gian hữu hạn chiều (giả sử dim V = n ) thì để chứng minh một hệ vector gồm n vector là cơ sở của không gian V ta chỉ cần chứng minh hệ vector này là độc lập tuyến tính. 2.6 Hệ quả 1: i) Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V. ii) Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ đ ể trở thành cơ sở. 2.7 Hệ quả 2: i) Không gian con của không gian hữu hạn chiều là không gian có số chiều hữu hạn. ii) Không gian chứa một không gian vô hạn chiều là vô hạn chiều.
  4. 2.8 Định nghĩa: Cho một hệ hữu hạn vectơ { xi } i I trong không gian vectơ V. Số phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của { xi } i I là một hằng số (không phụ thuộc vào cách chọn hệ con, chỉ phụ thuộc vào bản chất của hệ {xi } ). Hằng số này được gọi là hạng của hệ vectơ { xi } i I . Ta ký hiệu hạng của hệ { xi } i I là rank ( xi )i I . 2.9 Định lý: Gọi A là ma trận có các dòng (cột) là các tọa độ của các vectơ xi khi đó ta có rank ( A) = rank ( xi )i I . Nhận xét: Từ định lý trên muốn tìm hạng của một hệ vectơ ta có thể lập ma trận gồm có các dòng là tọa độ của các vectơ và tìm hạng của ma trận đó. Ví dụ: Xét hệ vector u1 = (1, 0, 0,1); u2 = (0,1, 0, 0); u3 = (0, 0,1, 0); u4 = (1,1, 0, 0) . Khi đó, rank (ui )i =1,4 = rankA = 4 với A là ma trận có các dòng là tọa độ của các vector ui trong cơ sở chính tắc của ﾡ 4 . 1 0 0 1� 1 0 0 1� 1 0 0 1� � � � � 0� � 0 0� � 0 0� 0 1 0 0 1 0 1 A=� � � � � � d 4 − d1 d4 −d2 d4 d4 � 0� � 1 0� � 1 0� 0 0 1 0 0 0 0 � � � � � � 0 −1� 0 −1� 1 1 0 0� 0 1 0 0 � � � 3. Không gian hữu hạn chiều: 3.1 Định nghĩa: Không gian vectơ V được gọi là không gian vectơ n chiều nếu cơ sở của V có n vectơ. 3.2 Tính chất: Cho V là một không gian hữu hạn chiều, dimV = n. Khi đó: (a) Mọi hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. (b) Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V. (c) Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V. (d) Mọi hệ độc lập tuyến tính có k vectơ đều có thể bổ sung thêm n-k vectơ để lập thành một cơ sở của V. Chú ý: Từ tính chất (b) và (c) ta suy ra, nếu biết dimV = n thì để chứng minh một hệ n vectơ là cơ sở thì ta cần chứng minh đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc đó là hệ sinh.
  5. Bài tập 3.2.trong các trường hợp sau đây, xét xem W có phải là không gian con của không gian vectơ R3 {( x , x , x )γ R } 0) 3 : x1 a) W = 1 2 3 b)W = { ( x1 , x2 , x3 ) �R : x1 + 2 x2 = x3 } 3 C)w = { ( x1 , x2 , x3 ) �R : x1 = x2 = 0} 3 Bài giải Với u = (1,2,3) u W , Ta có -3u = (-3,-6, -9) W( Vì -3≤ 0) a) Do đó W không là không gian con của R3 b) ta có 0 = (0,0,0) W ( vì 0 + 2.0 = 0 ). Suy ra W với mọi u = ( x1,x2,x3) W nghĩa là x1 + 2x2 = x3 và v = (y1, y2,y3 ) W nghĩa là y1 + 2y2 = y3 suy ra x3 + y3 = x1 +y1 + 2x2 + 2y2 = x1 + y1 + 2(x2 + y2) ta có u + v = (x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3 ) = (x1 + y1,x2 + y2, x1 + y1 + 2(x2 + y2) ) vậy u + v W (1) mặt khác, ta lại có với mọi α R α u = ( α x1, α x2, α x3) = ( α x1, α x2, α (x1 + 2x2)) = ( α x1, α x2, α x1 + 2 α x2) vậy α u W (2)
  6. Từ (1) và (2) ta suy ra W≤ R c) ta có 0 = (0,0,0) W suy ra W với mọi u = ( x1,x2,x3) W nghĩa là u = (0,0,x3) và v = (y1, y2,y3 ) W nghĩa là v = (0,0,y3 ) ta có u + v = (0,0,x3 + y3) vậy u + v W(1) mặt khác ta lại có với mọi α R α u = (0,0, α x3) vậy α u W (2) Từ (1) và (2) ta suy ra W≤ R 3.7trong không gian R4 cho các tập W1 = {( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 + x2 = x3,x1 - x2 + x3 = 2x4} W2 = {( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 = x2 = x3} W3 = {( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 = x2 = 0} a)Chứng minh W1, W2, W3 là các không gian con của R4 b) tìm một cơ sở của W1, W2, W3 bài giải a) Xét W1. Ta có 0 =(0,0,0,0) W1 ( vì 0 + 0 = 0 và 0+0+0= 2.0) • Suy ra W1 Từ để bài ta có thể viết : x1 + x2 – x3 = 0 và x1 – x2 + x3 – 2x4 = 0 với mọi u = ( x1,x2,x3,x4) W nghĩa là x1 + x2 –x3 = 0 và x1 –x2 + x3 -2x4 = 0 và v = (y1,y2,y3,y4) W nghĩa là y1 + y2 –y3 = 0 và y1 – y2 + y3 -2y4 = 0
  7. ta có u + v = ( x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4) vì (x1+y1) + (x2+y2) – (x3+y3) = (x1 + x2 –x3) + (y1 + y2 –y3) = 0 + 0 = 0 và (x1+y1) – (x2+y2) + (x3+y3) -2(x4+y4) = (x1–x2+x3–2x4) + (y1-y2+y3-2y4) = 0+0 = 0 Do đó u+v W (1) Mặt khác với mọi α R α u = ( α x1, α x2, α x3, α x4) Vì αx1 + αx2 – αx3 = α(x1 + x2 – x3 ) = α.0 = 0 và αx1 – αx2 + αx3 -2αx4 = α(x1 – x2 +x3 -2x4) = α.0 = 0 do đó αu W (2) Từ (1) và (2) ta suy ra W1≤ R Xét W2 ta có 0 = ( 0, 0, 0, 0 ) � 2vi0 = 0 = 0 W • Với mọi u = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) W2 nghĩa là x1 = x2 =x3 (1) Và v = ( y1 , y2 , y3 , y4 ) W2 nghĩa là y1 =y2 =y3 (2) Ta có u + v = (x1+y1,x2 +y2,x3+y3,x4+y4) Từ (1) và (2) ta có x1+y1 = x2+y2 = x3+y3 Do đó u + v W2 (3) Mặt khác với mọi α R α u = (α x1 , α x2 , α x3 , α x4 ) từ (1) ta có α x1 = α x2 = α x3 Do đó α u R (4) Từ (3) và (4) suy ra W2 ≤R Xét W3 dễ thấy •
  8. Với mọi u = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) W3 nghĩa là u = (0,0,x3, x4) Và v = ( y1, y2 , y3 , y4 ) W3 nghĩa là v = (0,0,y3,y4) Ta có u+v = (0,0, x3+y3,x4+y4) Do đó u + v W3 (1) R α u = ( 0, 0, α x3 , α x4 ) Mặt khác với mọi α Do đó α u W3 (2) Từ (1) và (2) suy ra W3 ≤R b) Tìm một cơ sở của W1 • Ta có x1 + x2 = x3 và x1 – x2 +x3 = 2x4 nên x1 − x2 + x3 (x1,x2,x3,x4) = ( x1,x2, x1+x2, ) = (x1,x2x1+x2,x1) 2 =(x1,0,x1,x1) + (0,x2,x2,0) = x1(1,0,1,1) + x2(0,1,1,0) Vậy 2 vecto u = (1,0,1,1) và v = (01,1,0) là tập sinh của W1 1011 Xét ma trận A = r(A) =2 = Số dòng của A 0110 Suy ra u và v độc lập tuyến tính Vậy u và v là một cơ sở của W1 Tìm một cơ sở của W2 • Ta có x1 = x2 = x3 nên (x1,x2,x3,x4) = (x1,x1,x1,x4) = (x1,x1,x1,0) + (0,0,0,x4) = x1(1,1,1,0) + x4(0,0,0,1)
  9. Vậy 2 vectơ u = (1,1,1,0) và v = (0,0,0,1) là tập sinh của W2 1110 Xét ma trận A = r(A) =2 = Số dòng của A 0001 Suy ra u và v độc lập tuyến tính Vậy B = { u = ( 1,1,1, 0 ) , v = ( 0, 0,0.1) } là một cơ sở của W2 Tìm một cơ sở của W3 • Ta có x1 = x2 = 0 nên (x1,x2,x3,x4) = (0,0,x3,x4) = (0,0,x3,0) + (0,0,0,x4) = x3(0,0,1,0) + x4(0,0,0,1) Vậy 2 vectơ u = (0,0,1,0) và v =(0,0,0,1) là tập sinh của W3 0010 Xét ma trận A = r(A) = 2 = số dòng của A 0001 Suy ra u và v độc lập tuyến tính Vậy B = { u = ( 0, 0,1, 0 ) , v = ( 0, 0, 0,1) } là một cơ sở của W3 3.10 a) chứng minh B là cơ sở của R3 u1 1 0 1 L ập A = u 2 = 1 2 2 0 −1 −1 u3 Ta có detA = 1 Suy ra B độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của B bằng 3 = dimR3 nên B là cơ sở của R3 Chứng minh E là cơ sở của R3
  10. 0 −1 u1 1 L ập A = u 2 = 1 1 1 −1 2 u3 2 Ta có detA = -3 suy ra E độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của E bằng 3 = dimR3 Nên E là cơ sở của R3 b) tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E • Lâp ma trận mở rộng 1 −1 1 0 0 −1 0 11 01 0 (v1T,v2T,v3T│u1T,u2T,u3T) → 0 2 −1 0 1 −1 2 →0 1 02 1 1 2 −1 −1 1 1 −4 2 0 0 14 −1 0 0 1 −1 Vậy P(B→E) = 2 1 −4 4 Cho u = (1,2,3) tìm [ u ] B , [ u ] E • 11 01 1 0 01 0 2 −1 2 0 1 00 Lập ma trận mở rộng (v1T,v2T,v3T│uT) → 1 2 −1 3 0 0 1 −2 1 �� �� Vậy [ u ] B =� � 0 − �2 � �� 1 −1 1 � 0 0 −1� 1 1 � � 01 22 0 1 0 2� Lập ma trân mở rộng (u1T,u2T,u3T│uT) = � � 0 1 0� −1 1 23 0 � �
  11. − �1� =� � [ u] E 2 Vậy �� �� 0 �� b) • Tìm P(E→ B) � � − �1 0� 0 � � 4 4 1� E) � = � −1 Ta có P(E → B) = � ( B − P � � �3 3� 3 �2 1� 1 � −� − �3 3� 3 3 �� = � �tìm v Cho [ v ] B 2 • �� − �1� �� 3 �� = � �suy ra v = 3v1 + 2v2 – v3 = 3(1,0,1) + 2(1,2,2) – (0,-1,-1) Ta có [ v ] B 2 �� − �1� �� = (5,5,8) [ v] E Tìm • Lập ma trận mở rộng � 1 −1 5� � 0 0 −3� 1 1 � �� � (u1T,u2T,u3T│vT ) = � 1 2 5� � 1 0 7 � 0 0 �1 1 2 8� � 0 1 −1� − 0 � �� � − �3� �� Vậy [ v ] E −1 = � � P( B E) � 7�� � −� �1� �
  12. Tài liệu tham khảo Bài giảng môn học đại số A1 – Lê Văn Luyện – Đại học Khoa Học  Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh  Bài tâp toán cao cấp - tập 1 – Nguyển Thuỷ Thanh – nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội Chuơng 4: không gian vectơ -  http://linearalgebra1.wikispaces.com/file/view/Chuong+4- Khong+gian+vector.doc Bài giảng toán cao cấp A2 – C2 – Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm  Thành Phố Hồ Chí Minh
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

  • Lý thuyết và suy luận trong mạch điện xoay chiều

    doc 9 p | 1392 | 589

  • Tổng hợp Công thức Sinh Học 12

    doc 63 p | 1487 | 424

  • Tổng hợp 12 định lý công phá cực trị điện xoay chiều

    pdf 4 p | 1036 | 72

  • Bài giảng Công nghệ 12 bài 25: Máy điện xoay chiều ba pha - Máy biến áp ba pha

    ppt 19 p | 543 | 67

  • Bài giảng Vật lý 12 bài 15: Công suất điện tiêu thụ của mạch điện xoay chiều. Hệ số công suất

    pdf 23 p | 398 | 64

  • Bài giảng Vật lý 7 bài 21: Sơ đồ mạch điện – Chiều dòng điện

    ppt 24 p | 495 | 61

  • Cơ sở lý thuyết hóa học _Chương 2

    pdf 0 p | 164 | 46

  • SKKN: Phân loại và cách giải một số bài tập điện xoay chiều

    pdf 40 p | 203 | 45

  • Giáo án Vật lý 12 bài 15: Công suất điện tiêu thụ của mạch điện xoay chiều. Hệ số công suất

    doc 8 p | 471 | 29

  • Các phép chiếu hình bản đồ cơ bản

    pdf 8 p | 198 | 22

  • Đề kiểm tra 1 tiết môn Công nghệ lớp 11 năm 2015 - THPT DTNT Tỉnh (Bài số 1)

    pdf 10 p | 194 | 19

  • Bài giảng Vật lý 9 bài 33: Dòng điện xoay chiều

    ppt 20 p | 288 | 17

  • Giáo án Vật lý 9 bài 33: Dòng điện xoay chiều

    doc 5 p | 346 | 14

  • Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để giải các bài toán trong chương dao động cơ

    pdf 27 p | 42 | 6

  • Chuyên đề môn Toán lớp 9: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

    doc 20 p | 100 | 4

  • Đề thi học kì 2 môn Sinh học lớp 11 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Bình Chiểu

    pdf 8 p | 21 | 2

  • SKKN: Hướng dẫn học sinh giải bài tập chương dòng điện xoay chiều dạng bài tìm giá trị cực đại của điện áp hiệu dụng khi thay đổi thông L hoặc C hoặc f

    doc 22 p | 51 | 1

Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn: Đồng ý Thêm vào bộ sưu tập mới: *Tên bộ sưu tập Mô Tả: *Từ Khóa: Tạo mới Báo xấu
  • Hãy cho chúng tôi biết lý do bạn muốn thông báo. Chúng tôi sẽ khắc phục vấn đề này trong thời gian ngắn nhất.
  • Không hoạt động
  • Có nội dung khiêu dâm
  • Có nội dung chính trị, phản động.
  • Spam
  • Vi phạm bản quyền.
  • Nội dung không đúng tiêu đề.
Hoặc bạn có thể nhập những lý do khác vào ô bên dưới (100 ký tự): Vui lòng nhập mã xác nhận vào ô bên dưới. Nếu bạn không đọc được, hãy Chọn mã xác nhận khác.. Đồng ý LAVA AANETWORK THÔNG TIN
  • Về chúng tôi
  • Quy định bảo mật
  • Thỏa thuận sử dụng
  • Quy chế hoạt động
TRỢ GIÚP
  • Hướng dẫn sử dụng
  • Upload tài liệu
  • Hỏi và đáp
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
  • Liên hệ
  • Hỗ trợ trực tuyến
  • Liên hệ quảng cáo
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

Đang xử lý... Đồng bộ tài khoản Login thành công! AMBIENT

Từ khóa » Hệ S Là Cơ Sở Của Kgvt V Nếu