Hệ Sinh, Cơ Sở Và Tổ Hợp Tuyến Tính Trong Không Gian Vecto
Bỏ qua nội dung
- HỆ SINH
- Một hệ vecto S là hệ sinh của một không gian vecto U khi tất cả các vecto thuộc U đều có thể biểu diễn thông qua các vecto của S
- Ví dụ: Cho S = {x1, x2} và Không gian vecto R^2. Chứng minh hệ S là hệ sinh của R^2
- Hệ S:
- x1 (1, 2)
- x2 (3, 1)
- Trước tiên cần nhớ lại đinh nghĩa về “biểu diến thông qua các vecto” là gì?
- Cụ thể là vecto C được biểu diến thông qua 2 vecto A và B khi C = k.A + p.B ( phép cộng 2 vecto).
- Vậy bây giờ ta gọi vecto A thuộc KGVT R^2 và A = (x, y)
- Nếu S là hệ sinh của KGVT R^2 thì Vecto A sẽ biểu diễn được thông qua 2 vecto x1 và x2 thuộc hệ S.
- Tức là ta có phép tính A = k.x1 +p.x2 hoặc (x, y) = k.(1, 2) + p(3, 1)
- Ta cần chứng minh có tồn tại k và p để A = k.x1 + p.x2
- Xét hệ pt:
- x = k.1 + p.3
- y = k.2 + p.1
- <=>
- k = (3y – x)/5
- p = (2x – y)/5
- Với mọi tọa độ x và y thuộc KGVT R^2 thì ta luôn tìm được 2 giá trị k và p thỏa mãn hệ:
- x = k.1 + p.3
- y = k.2 + p.1
- Vì vậy luôn tồn tại k và p để A = k.x1 + p.x2. Hay nói cách khác là vecto A luôn có thể biểu diễn được qua 2 vecto x1 và x2
- Vậy hệ S là hệ sinh là KGVT R^2
- Hệ S:
- CƠ SỞ
- Một hệ S được gọi là cơ sở của một không gian vecto U khi nó đáp ứng đủ 2 điều kiện:
- 1. Các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính
- 2. S là hệ sinh của không gian vecto U
- Chú ý: Nếu số vecto trong hệ S = số chiều của KGVT U thì ta chỉ cần chứng minh 1 trong 2 điều kiện trên
- Ví dụ: Cho không gian vecto R^3 (dim = 3) và hệ S = {x1, x2, x3}
- Hệ S:
- x1 (1, 2, 0)
- x2 (2, 1, 0)
- x3 (3, 0, 1)
- Chứng minh S là cơ sở của KGVT R^3
- Giải:
- Ta cần chứng minh 2 điều kiện:
- 1 là các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính
- S là hệ sinh của không gian vecto R^3
- Tuy nhiên xét thấy số vecto của hệ S = dim R^3 = 3 vậy nên ta chỉ cần chứng minh 1 trong 2 điều kiện trên là được.
- Ta sẽ chứng minh các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính.
- Thấy số vecto của hệ S = dim R^3 = 3 vậy ta xét định thức của ma trận A =
- (1 2 0)
- (2 1 0)
- (3 0 1)
- Det(A) = 1.1.1 + 2.0.3 + 0.2.0 – (3.1.0 + 0.0.1 + 1.2.2) = 2 != 0.
- Vậy các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính
- => Hệ S là cơ sở của KGVT R^3
- Ta cần chứng minh 2 điều kiện:
- Hệ S:
- Một hệ S được gọi là cơ sở của một không gian vecto U khi nó đáp ứng đủ 2 điều kiện:
- TỔ HỢP TUYẾN TÍNH
- Vecto C được biểu diến thông qua 2 vecto A và B khi C = k.A + p.B ( phép cộng 2 vecto)
- Vậy vecto C là tổ hợp tuyến tính của vecto A và vecto B
- Ví dụ ứng dụng:
- Tìm k để vecto y = (3, -1, 11, k) là tổ hợp tuyến tính của hệ vecto S (x1, x2, x3)
- Hệ S:
- x1 (2, 1, 3, 8)
- x2(1, 3, 0, 5)
- x3(-1, 2, 2, 2)
- Vậy để vecto y là tổ hợp tuyến tính của hệ S thì ta có phép toán:
- y = a.x1 + b.x2 + c.x3
- Cụ thể hơn là
- (3, -1, 11, k) = a.(2, 1, 3, 8) + b.(1, 3, 0, 5) + c.(-1, 2, 2, 2)
- Biến đổi thành hệ phương trình (*)
- 3 = a.2 + b.1 + c.(-1)
- -1 = a.1 + b.3 + c.2
- 11 = a.3 + b.0 + c.2
- k = a.8 + b.5 + c.2
- Nhiệm vụ của chúng ta là tìm k để hệ trên có nghiệm.
- Sử dụng phương pháp GAU ta lấy các hệ số thành 2 ma trận rồi so sánh rank của chúng với nhau.
- Nếu rank bằng nhau thì hệ phương trình (*) có nghiệm
- Từ hệ (*) ta có ma trận:
- (1 3 2 -1)
- (2 1 -1 3)
- (3 0 2 11)
- (8 5 2 k)
- Sau khi biến đổi thành ma trận hình thang ta được
- (1 3 2 -1)
- (0 -1 -1 1)
- (0 0 1 1)
- (0 0 0 k-16)
- Xét thấy ma trận tạo từ 3 cột đầu có rank = 3. Để ma trận tạo từ cả 4 cột có rank = 3 thì k-16 =0 <=> k = 16.
- Vậy k =16 thì rank của 2 ma trận tạo từ các hệ số của hệ phương trình (*) bằng nhau.
- Mà rank bằng nhau thì suy ra hệ phương trình (*) đó có nghiệm. Mà hệ đó có nghiệm thì tồn tại phép toán:
- (3, -1, 11, k) = a.(2, 1, 3, 8) + b.(1, 3, 0, 5) + c.(-1, 2, 2, 2)
- Hoặc là:
- y = a.x1 + b.x2 + c.x3
- Vậy kết luận vecto Y (3, -1, 11, k) với k = 16 là tổ hợp tuyến tính của hệ S.
Chia sẻ:
Có liên quan
Đăng bởi Bạch Tuấn
Machine Learning Tùy Bút Xem tất cả bài viết bởi Bạch Tuấn
Điều hướng bài viết
Bài trước Không gian vecto – Độc lập tuyến tínhBài tiếp theoÁNH XẠBình luận về bài viết này Hủy trả lời
Trang này sử dụng cookie. Tìm hiểu cách kiểm soát ở trong: Chính Sách Cookie- Bình luận
- Đăng lại
- Theo dõi Đã theo dõi
- Machine Learning Tùy Bút Theo dõi ngay
- Đã có tài khoản WordPress.com? Đăng nhập.
-
- Machine Learning Tùy Bút
- Tùy biến
- Theo dõi Đã theo dõi
- Đăng ký
- Đăng nhập
- URL rút gọn
- Báo cáo nội dung
- Xem toàn bộ bài viết
- Quản lý theo dõi
- Ẩn menu
Từ khóa » Hệ S Là Cơ Sở Của Kgvt V Nếu
-
Cơ Sở Của Không Gian Véctơ | Học Toán Online Chất Lượng Cao 2022
-
Hệ Sinh, Cơ Sở, Số Chiều Và Hạng Của Một Hệ Vectơ Hệ Sinh: 1 Định ...
-
Cơ Sở (đại Số Tuyến Tính) – Wikipedia Tiếng Việt
-
[PDF] CHƯƠNG 3
-
[PDF] CHƯƠNG 3
-
Cơ Sở, Số Chiều,toạ độ Không Gian Vecto - TTnguyen
-
Hệ Sinh, Cơ Sở, Số Chiều Và Hạng Của Một Hệ Vectơ - TaiLieu.VN
-
Cơ Sở Và Số Chiều Của Không Gian Vectơ - 123doc
-
Xác định Số Chiều Và Cơ Sở Trong Không Gian Vector
-
Cơ Sở Và Chiều Của Không Gian Vectơ - YouTube
-
Chứng Minh Một Hệ Vector Là Cơ Sở Của 1 Không Gian Vector
-
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long - SlideShare
-
Khong Gian Vecto (chuong 3) - SlideShare
-
Bài 14. Bài Tập Về Không Gian Véctơ (tiếp Theo)