Hỏi Hàm Số Nào Sau đây Luôn Nghịch Biến Trên RA H( X )= X^4

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K ⇔f⁢(x2)-f⁢(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).

f(x) nghịch biến trên K ⇔f⁢(x2)-f⁢(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a) y = x2 + 2x – 10;

b) y=x+ 52⁢x-3.

Lời giải:a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈⁢R.

Ta cóđạo hàm y’ = 2x + 2

Và y’ = 0 khi x = – 1.

Lập bảng biến thiên:

x	-∞	– 1	+∞
f’(x)	–	0	+
f(x)	– 11

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;+∞) vànghịch biến trên khoảng (-∞;-1).

b) y=x+ 52⁢x-3

Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32

Ta có: y'=-13(2⁢x-3)2<0⁢∀x≠32

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞;32) và (32;+∞).

- Chú ý:

Ta có định lí mở rộng sau đây:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K

Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Ví dụ 2.Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x∈⁢R.

Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2

Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2.

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

1. Quy tắc

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàmf’(x). Tìm các điểm xi( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 4x3 – 4x

y’ = 0 ⇔[x=0x=±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞)

Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1).

Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6⁢x2-  9⁢x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9

Và y’ = 0 ⇔[x=  1x= 3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞;  1) và (3;+∞).