Khai Triển Của E X Trong Chuỗi Taylor. Chuỗi Maclaurin Và Mở Rộng ...

"Tìm khai triển Maclaurin của f (x)"- đây chính xác là nhiệm vụ trong toán học cao hơn, mà một số học sinh có thể làm, trong khi những người khác không thể đối phó với các ví dụ. Có một số cách để mở rộng một chuỗi theo lũy thừa, ở đây chúng tôi sẽ đưa ra một phương pháp để mở rộng các hàm trong một chuỗi Maclaurin. Khi phát triển một hàm trong một chuỗi, bạn cần phải giỏi tính toán các đạo hàm.

Ví dụ 4.7 Khai triển một hàm thành một chuỗi theo lũy thừa của x

Tính toán: Ta thực hiện khai triển hàm theo công thức Maclaurin. Đầu tiên, chúng tôi mở rộng mẫu số của hàm thành một chuỗi Cuối cùng, chúng tôi nhân khai triển với tử số. Số hạng đầu tiên là giá trị của hàm số không f (0) = 1/3. Tìm đạo hàm của các hàm số bậc nhất f (x) và giá trị của các đạo hàm này tại điểm x = 0 Hơn nữa, với mô hình thay đổi giá trị của đạo hàm thành 0, chúng ta viết công thức cho đạo hàm cấp n Vì vậy, chúng tôi biểu thị mẫu số dưới dạng mở rộng trong chuỗi Maclaurin Chúng tôi nhân với tử số và nhận được khai triển mong muốn của hàm trong một chuỗi theo lũy thừa của x Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp ở đây. Tất cả các điểm chính đều dựa trên khả năng tính toán phái sinh và nhanh chóng tổng quát hóa giá trị phái sinh của các lệnh cao hơn bằng 0. Các ví dụ sau đây sẽ giúp bạn học cách nhanh chóng mở rộng một hàm thành một chuỗi.

Ví dụ 4.10 Tìm khai triển Maclaurin của một hàm Tính toán: Như bạn có thể đã đoán, chúng tôi sẽ mở rộng cosin trong tử số trong một chuỗi. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng công thức cho các giá trị thập phân, hoặc bạn có thể suy ra khai triển cosine về mặt đạo hàm. Kết quả là, chúng ta đến với loạt bài tiếp theo theo lũy thừa của x Như bạn có thể thấy, chúng ta có một số phép tính tối thiểu và một biểu diễn nhỏ gọn của việc mở rộng chuỗi.

Ví dụ 4.16 Khai triển một hàm thành một chuỗi theo lũy thừa của x: 7 / (12-x-x ^ 2) Phép tính: Ở dạng ví dụ này, cần mở rộng phân số thông qua tính tổng của các phân số đơn giản. Làm thế nào để làm điều này, chúng tôi sẽ không hiển thị bây giờ, nhưng với sự trợ giúp của các hệ số không xác định, chúng tôi sẽ đi đến tổng của các phân số cũ. Tiếp theo, chúng ta viết các mẫu số dưới dạng cấp số nhân Nó vẫn còn để mở rộng các điều khoản bằng cách sử dụng công thức Maclaurin. Tính tổng các số hạng có cùng lũy ​​thừa của "x", chúng tôi lập công thức cho số hạng tổng quát của khai triển hàm trong một dãy Phần cuối cùng của quá trình chuyển đổi sang chuỗi ở phần đầu rất khó thực hiện, vì rất khó để kết hợp các công thức cho các chỉ số được ghép nối và chưa được ghép đôi (lũy thừa), nhưng với việc luyện tập, bạn sẽ làm tốt hơn phần này.

Ví dụ 4.18 Tìm khai triển Maclaurin của một hàm Tính: Tìm đạo hàm của hàm số này: Chúng tôi mở rộng hàm thành một chuỗi bằng cách sử dụng một trong các công thức McLaren: Chúng tôi tóm tắt chuỗi số theo thời hạn trên cơ sở rằng cả hai đều hoàn toàn trùng khớp. Bằng cách tích phân toàn bộ số hạng của chuỗi theo số hạng, chúng ta thu được khai triển hàm thành một chuỗi theo lũy thừa của x Giữa hai dòng phân tách cuối cùng có một sự chuyển đổi mà lúc đầu bạn sẽ mất rất nhiều thời gian. Việc khái quát công thức chuỗi không phải là điều dễ dàng đối với tất cả mọi người, vì vậy đừng lo lắng về việc không thể có được một công thức đẹp và gọn nhẹ.

Ví dụ 4.28 Tìm khai triển Maclaurin của hàm: Chúng tôi viết logarit như sau Sử dụng công thức Maclaurin, chúng tôi mở rộng logarit của hàm trong một chuỗi theo lũy thừa của x Cách gấp cuối cùng thoạt nhìn phức tạp, nhưng khi xen kẽ các ký tự, bạn sẽ luôn nhận được một cái gì đó tương tự. Bài học giới thiệu về chủ đề lập lịch hàm liên tiếp đã hoàn thành. Các sơ đồ phân hủy không kém phần thú vị khác sẽ được thảo luận chi tiết trong các tài liệu sau.

Phân rã một hàm trong một loạt các Taylor, Maclaurin và Laurent trên trang web để đào tạo các kỹ năng thực hành. Việc mở rộng một hàm thành một chuỗi cung cấp cho các nhà toán học ý tưởng ước tính giá trị gần đúng của một hàm tại một số điểm trong miền định nghĩa của nó. Việc tính toán một giá trị hàm như vậy dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng bảng Bredis, bảng đã lỗi thời trong thời đại máy tính. Để khai triển một hàm thành một chuỗi Taylor có nghĩa là tính toán các hệ số đứng trước các hàm tuyến tính của chuỗi này và viết nó ở dạng chính xác. Học sinh nhầm lẫn giữa hai dãy số này, không hiểu thế nào là trường hợp tổng quát và thế nào là trường hợp đặc biệt của dãy số hai. Chúng tôi nhắc bạn một lần và mãi mãi, chuỗi Maclaurin là một trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor, nghĩa là, nó là chuỗi Taylor, nhưng tại điểm x = 0. Tất cả các bản ghi ngắn gọn về khai triển các hàm đã biết, chẳng hạn như e ^ x, Sin (x), Cos (x) và những cái khác, đây là những mở rộng trong chuỗi Taylor, nhưng ở điểm 0 cho đối số. Đối với các hàm của một đối số phức tạp, chuỗi Laurent là vấn đề phổ biến nhất trong TFKT, vì nó đại diện cho một chuỗi vô hạn hai phía. Nó là tổng của hai hàng. Chúng tôi khuyên bạn nên xem một ví dụ về phân hủy trực tiếp trên trang web của trang web, rất dễ thực hiện điều này bằng cách nhấp vào "Ví dụ" với bất kỳ số nào, sau đó nhấp vào nút "Giải pháp". Chính việc mở rộng hàm thành một chuỗi mà chuỗi lớn nhất được liên kết, điều này giới hạn hàm gốc trong một vùng nhất định dọc theo trục tung hoành, nếu biến thuộc vùng abscissa. Phân tích vectơ được so sánh với một bộ môn thú vị khác trong toán học. Vì mỗi thuật ngữ cần được điều tra, nên cần rất nhiều thời gian cho quá trình này. Bất kỳ chuỗi Taylor nào cũng có thể được liên kết với chuỗi Maclaurin bằng cách thay x0 bằng 0, nhưng đối với chuỗi Maclaurin, biểu diễn ngược lại của chuỗi Taylor đôi khi không rõ ràng. Cho dù nó không được yêu cầu thực hiện ở dạng thuần túy như thế nào thì cũng rất thú vị cho sự phát triển bản thân nói chung. Mỗi chuỗi Laurent tương ứng với một chuỗi lũy thừa vô hạn hai phía theo lũy thừa nguyên của z-a, hay nói cách khác, là một chuỗi cùng kiểu Taylor, nhưng hơi khác nhau về cách tính các hệ số. Chúng ta sẽ nói về vùng hội tụ của chuỗi Laurent sau một chút, sau một số tính toán lý thuyết. Như trong thế kỷ trước, khó có thể đạt được sự mở rộng theo từng giai đoạn của một hàm thành một chuỗi chỉ bằng cách giảm các số hạng xuống một mẫu số chung, vì các hàm trong mẫu số là phi tuyến tính. Việc tính toán gần đúng giá trị của hàm số yêu cầu xây dựng các bài toán. Hãy nghĩ về thực tế là khi đối số của chuỗi Taylor là một biến tuyến tính, thì việc khai triển diễn ra theo nhiều bước, nhưng một bức tranh hoàn toàn khác, khi một hàm phức hoặc phi tuyến hoạt động như một đối số của hàm được khai triển, thì Quá trình biểu diễn một hàm như vậy trong một chuỗi lũy thừa là hiển nhiên, bởi vì, theo cách như vậy, nó dễ dàng tính toán, mặc dù gần đúng, nhưng giá trị tại bất kỳ điểm nào của miền xác định, với một sai số tối thiểu có ít ảnh hưởng đến các tính toán tiếp theo. Điều này cũng áp dụng cho dòng Maclaurin. khi cần tính hàm tại điểm không. Tuy nhiên, bản thân chuỗi Laurent ở đây được biểu diễn bằng một phép khai triển mặt phẳng với các đơn vị tưởng tượng. Ngoài ra, không phải không có thành công sẽ là giải pháp chính xác của vấn đề trong quá trình tổng thể. Trong toán học, cách tiếp cận này không được biết đến, nhưng nó tồn tại một cách khách quan. Do đó, bạn có thể đi đến kết luận của cái gọi là tập hợp con theo chiều điểm, và khi khai triển một hàm trong một chuỗi, bạn cần áp dụng các phương pháp đã biết cho quá trình này, chẳng hạn như áp dụng lý thuyết về đạo hàm. Một lần nữa chúng tôi lại bị thuyết phục về tính đúng đắn của người thầy, người đã đưa ra những nhận định của mình về kết quả của các phép tính sau phép tính. Hãy lưu ý rằng chuỗi Taylor, thu được theo tất cả các quy tắc toán học, tồn tại và được xác định trên toàn bộ trục số, tuy nhiên, người dùng thân mến của dịch vụ trang web, đừng quên dạng của hàm ban đầu, vì nó có thể biến thành rằng ban đầu cần thiết lập miền của hàm, nghĩa là viết ra và loại trừ khỏi các xem xét thêm những điểm mà tại đó hàm không được xác định trong miền số thực. Vậy mới nói, điều này sẽ thể hiện sự nhanh nhạy của bạn trong việc giải quyết vấn đề. Việc xây dựng chuỗi Maclaurin với giá trị 0 của đối số sẽ không phải là một ngoại lệ đối với những gì đã nói. Đồng thời, không ai hủy bỏ quá trình tìm miền xác định của một hàm, và bạn phải tiếp cận hành động toán học này với tất cả sự nghiêm túc. Nếu chuỗi Laurent chứa phần chính, tham số "a" sẽ được gọi là điểm kỳ dị biệt lập, và chuỗi Laurent sẽ được mở rộng trong vòng - đây là giao điểm của các vùng hội tụ của các phần của nó, từ đó tương ứng định lý sẽ tuân theo. Nhưng không phải mọi thứ đều khó như thoạt nhìn có vẻ như đối với một sinh viên chưa có kinh nghiệm. Chỉ nghiên cứu chuỗi Taylor, người ta có thể dễ dàng hiểu chuỗi Laurent - một trường hợp tổng quát để mở rộng không gian của các con số. Mọi sự mở rộng một hàm thành một chuỗi chỉ có thể được thực hiện tại một điểm trong miền của hàm. Người ta nên tính đến các thuộc tính của các hàm như vậy, ví dụ, tính tuần hoàn hoặc khả năng phân biệt vô hạn. Chúng tôi cũng khuyên bạn nên sử dụng bảng mở rộng tạo sẵn trong chuỗi hàm cơ bản của Taylor, vì một hàm có thể được biểu diễn bằng tối đa hàng chục chuỗi lũy thừa khác nhau, có thể thấy được khi sử dụng trực tuyến của chúng tôi máy tính. Loạt bài trực tuyến của Maclaurin dễ dàng hơn bao giờ hết để xác định xem bạn có sử dụng dịch vụ trang web duy nhất hay không, bạn chỉ cần nhập đúng hàm được viết và bạn sẽ nhận được câu trả lời được trình bày trong vài giây, nó sẽ được đảm bảo chính xác và ở dạng văn bản chuẩn. . Bạn có thể viết lại kết quả ngay lập tức trong một bản sao sạch sẽ để gửi cho giáo viên. Trước tiên, sẽ đúng nếu xác định tính phân tích của hàm đang được xem xét trong các vòng, và sau đó tuyên bố rõ ràng rằng nó có thể được khai triển trong một chuỗi Laurent trong tất cả các vòng như vậy. Một thời điểm quan trọng là không để mất tầm nhìn của các thành viên của loạt Laurent có độ âm. Tập trung vào điều này càng nhiều càng tốt. Sử dụng tốt định lý Laurent về khai triển một hàm số thành một chuỗi theo lũy thừa số nguyên.

Nếu hàm f (x) có đạo hàm tất cả các bậc trên một khoảng nào đó chứa điểm a, thì công thức Taylor có thể được áp dụng cho nó: , ở đâu rn- cái gọi là số hạng dư hoặc phần còn lại của chuỗi, nó có thể được ước tính bằng công thức Lagrange: , trong đó số x nằm giữa x và a.

f (x) =

tại điểm x 0 = Số phần tử hàng 3 4 5 6 7

Sử dụng khai triển các hàm cơ bản e x, cos (x), sin (x), ln (1 + x), (1 + x) m

Quy tắc nhập hàm:

Nếu cho một số giá trị X rn→ 0 lúc N→ ∞, khi đó trong giới hạn công thức Taylor cho giá trị này trở thành hội tụ Chuỗi Taylor: , Do đó, hàm f (x) có thể được khai triển thành một chuỗi Taylor tại điểm x đang xét nếu: 1) nó có các dẫn xuất của tất cả các lệnh; 2) chuỗi đã xây dựng hội tụ tại điểm này.

Với a = 0, chúng ta nhận được một chuỗi có tên là gần Maclaurin: , Mở rộng các hàm đơn giản nhất (cơ bản) trong chuỗi Maclaurin: hàm số mũ , R = ∞ Hàm lượng giác , R = ∞ , R = ∞ , (-π / 2< x < π/2), R=π/2 Hàm actgx không mở rộng theo lũy thừa của x, bởi vì ctg0 = ∞ Hàm hyperbolic Hàm lôgarit , -1