Khai Triển Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion) | Toán Cho Vật Lý

Có thể bạn quan tâm

2. Các khai triển Maclaurin quan trọng:

1. $e^x = \sum\limits_{k=0}^{n}{ \dfrac{x^k}{k!}}+ \dfrac{e^{{\theta}x}x^{n+1}}{(n+1)!} ; (0 \le \theta \le 1)$

Thật vậy: ta có: $f(x) = e^x ; f^{(k)}(x) = e^x ; \forall k = 1, 2, ....$

Do đó: $f(0) = 1 ; f^{(k)}(0) = 1; k = 1,2, ..., n$

Nên:

$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + ... + \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{e^{{\theta}x}}{(n+1)!}x^{n+1}$

2. ${\sin}x = x - { \dfrac{x^3}{3!}} + { \dfrac{x^5}{5!}} + ... + (-1)^{m-1}{ \dfrac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}} + 0(x^{2m})$

Ta có: $f(x) = sinx \Rightarrow f(0) = 0$

$f'(x) = {\cos}x = {\sin}\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f'(0) = 1$

$f''(x) = {\cos}\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) = {\sin}\left( x + 2.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f''(0) = 0$

$f^{(3)}(x) = {\cos}\left( x + 2.\dfrac{\pi}{2} \right) = {\sin}\left( x + 3.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(3)}(0) = -1$

$f^{(4)}(x) = {\sin}\left( x + 4.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(4)}(0) = 0$

Theo quy nạp ta có:

$f^{(2m)}(x) = {\sin}\left( x +2m.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(2m)}(0) = sin(m{\pi}) = 0$

$f^{(2m+1)}(x) = {\sin}\left( x + (2m+1).\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(2m+1)}(0) = {\sin}\left( \dfrac{\pi}{2} + m{\pi} \right) = (-1)^m$

Vậy:

$sinx \approx x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - ... + (-1)^m\dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}$

Sai số:

$R_{2m+1}(x) = \dfrac{f^{(2m+2)}({\theta}x)}{(2m+2)!}x^{2m+2} = \dfrac{sin({\theta}x+(m+1){\pi})}{(2m+2)!}x^{2m+2} \le \dfrac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}$

3. ${\cos}x = 1 - { \dfrac{x^2}{2!}} + { \dfrac{x^4}{4!}} + ... + (-1)^{m}{ \dfrac{x^{2m}}{(2m)!}} + 0(x^{2m+1})$

Tương tự như hàm sinx, ta có: $f^{(k)}(x) = {\cos} \left( x + k.\dfrac{\pi}{2} \right)$

Ta có: $f^{(2m-1)}(0) = {\cos}\left( -\dfrac{\pi}{2} + m{\pi} \right) = 0$

$f^{(2m)}(0) = {\cos}(m{\pi}) = (-1)^m$

Vậy:

${\cos}x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{4!} - ... + (-1)^m.\dfrac{x^{2m}}{(2m)!} + 0(x^{2m+1})$

4. $ln(1+x) = x - { \dfrac{x^2}{2}} + { \dfrac{x^3}{3}} - { \dfrac{x^4}{4}} + ... + (-1)^{n-1}{ \dfrac{x^n}{n}} + 0(x^n) (-1 \rm{<} x \rm{<} 1)$

Ta có:

– $f(x) = ln(1+x) \Rightarrow f(0) = ln(1) = 0$

– $f'(x) = \dfrac{1}{1+x} \Rightarrow f'(0) = 1$

– $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2} \Rightarrow f''(0) = -1$

– $f'''(x) = \dfrac{2(1+x)}{(1+x)^4} = \dfrac{2}{(1+x)^3} \Rightarrow f'''(0) = 2$

– $f^{(4)}(x) = \dfrac{-2.3}{(1+x)^4} \Rightarrow f^{(4)}(0) = - 3!$

– $f^{(5)}(x) = \dfrac{2.3.4}{(1+x)^5} \Rightarrow f^{(5)}(0) = 4!$

Từ đó ta có: $f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1}.\dfrac{(k-1)!}{(1+x)^k} \Rightarrow f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1}.(k-1)!$

Vậy:

$ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + ... + (-1)^{k-1}\dfrac{x^k}{k} +0(x^k)$

Sai số:

$R_n(x) = \dfrac{f^{(k+1)}({\theta}x)}{(k+1)!}x^{k+1} =\dfrac{(-1)^k.k!}{(1+{\theta}x)^{k+1}.(k+1)!}.x^{k+1} = \dfrac{(-1)^k}{(1+{\theta}x)^{k+1}}.\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$

Ta nhận thấy, sai số sẽ rất lớn khi $|x| \ge 1$ . Do đó, ta chỉ xét $x \in (-1;1)$

5. $\begin{array}{r}(1+x)^{\alpha} = 1 + {\alpha}x + { \dfrac{{\alpha}({\alpha}-1)}{2!}}x^2 + ... + { \dfrac{{\alpha}({\alpha}-1)...({\alpha}-n+1)}{n!}}x^n + \\ 0(x^n) \\ \end{array} (-1 \rm{<} x \rm{<} 1)$

Trưởng hợp đặc biệt:

– $\dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 +... + (-1)^nx^n + 0(x^n)$

– $\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} -\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \dfrac{5x^4}{128} + \dfrac{7x^5}{256} - \dfrac{21x^6}{1024} + ....$

Nhận xét:

-Từ công thức khai triển của $sinx, cosx, ln(1+x) , \dfrac{1}{1+x}$ ta nhận thấy nếu $f(x) = P_n(x) + 0(x^n) \Rightarrow f'(x) = P_n^{'}(x) + 0(x^{n-1})$ .

– Từ 5 công thức khai triển trên, ta thấy nếu đạo hàm có tính chất truy hồi thì ta mới có thể tính đạo hàm cấp k một cách dễ dàng. Trong trường hợp hàm bất kỳ việc tìm khai triển theo công thức tổng quát sẽ khá khó khăn.

– Trong thực hành, thay vì ta đi tính các đạo hàm để tìm công thức khai triển Taylor – Maclaurin, thì ta có thể đổi biến hoặc biến đổi biểu thức về các dạng trên, hoặc áp dụng các tính chất sau:

Nếu $f(x) \approx P_n(x) ; g(x) \approx Q_n(x)$ thì:

$f(x){\pm}g(x) \approx P_n(x){\pm}Q_n(x)$

$f(x).g(x) \approx P_n(x).Q_n(x)$

$f'(x) \approx P_n^{'}(x)$

$\int f(x) dx \approx \int P_n(x) dx$

Đánh giá:

Chia sẻ:

Email
In
Facebook

Thích Đang tải... Trang: 1 2 3 4

152 responses to “Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)”

thay oi khi khai trien maclaurin ham so ln(x+(1+x^2)^1/2) den x^5 ngoai cach dung cong thuc tong quat( dung dao ham) thi con cach bien doi nao khac khong a? thay lam mau giup em bai nay luon nha thay(ap dung cong thuc khai trien taylor- maclaurin) lim(1/x)((1/x)-cosx) x tien toi 0
Thầy ơi con thấy có chỗ không ổn. Nếu ta được phép ngắt bỏ hay thêm vao những vcb bậc cao trong khai triển thì không lẽ khi tính giói hạn thì ta se thay đổi kết quả tuỳ ý??? Xin cảm ơn thầy!
- Giới hạn sẽ không thể có kết quả tùy ý. Không mất tính tổng quát, ta xét bài toán sau: $L = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^m}$ (có dạng 0/0) Giả sử khai triển Maclaurin của f(x) có bậc nhỏ nhất là n thì $f(x) = a_n.x^n + a_{n+1}x^{n+1}+ ... = a_nx^n + 0(x^n)$ Nếu không ngắt bỏ VCB thì ta chia tử và mẫu cho $x^n$ ta có 3 TH sau: – Nếu n m thì $L = 0$ 3 kết quả này vẫn không thay đổi nếu ta ngắt bỏ $0(x^n)$ . Nghĩa là, kết quả giới hạn là duy nhất, nó chỉ phụ thuộc vào bậc thấp nhất trong khai triển của f(x).
Thưa thầy giả sử cho 1 hàm F(x)=(1+X^2)cosx kêu tính đạo hàm cấp 10 của F(pi/6), ta có x=pi/6 chứ đề bài không đề cập tới x0 vậy ta dùng công thức maclorin có dc không? khi nào ta biết nên dùng maclorin? vì trong các bài tìm lim chỉ cho x tiến tới 0 chứ đâu có x0 tiên tới 0
em chào thầy ạ! em mới học về khai triển Taylor nên em chưa biết làm bài tập dạng này như thế nào nên em mong thầy giải giup em 1 bài làm mẫu.Bài đó là:khai triển hàm f(x)=e^(2x) với lũy thừa x-2. Em xin cảm ơn thầy!
- Cách 1: dùng công thức Taylor tổng quát. Em có: $f(x) = f(2) + \dfrac{f'(1)}{1!}(x-2) + \dfrac{f''(2)}{2!}(x-2)^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(2)}{n!}(x-2)^n$ (*) với: $f(2) = e^4 ; f'(2) = 2e^4 ; f''(2) = 2^2.e^4 ; ... ; f^{(n)}(2) = 2^n.e^4$ Khi đó, thế vào (*), em sẽ có kết quả. Tuy nhiên, với cách này em phải tính đạo hàm đến cấp n. Với nhiều hàm số, việc tính đạo hàm cấp cao sẽ rất phức tạp nhất là không tìm được quy luật. Cách 2: biến đổi đưa về những hàm đã biết công thức khai triển. Em xem thêm ở phía trên nhé. Với bài này đặt t = x – 2 Thì khai triển tại x = 2 tương ứng với khai triển tại t = 0. Khi đó: $e^{2x} = e^{2(t+2)} = e^4.e^{2t}$ . Em chỉ cần dùng công thức khai triển Maclaurin cho $e^u$ (u = 2t) sẽ có kết quả.
em xin cám ơn thầy ạ!
em chao thay a.thay oi trong khai trien tay-lor khai trien mot ham den bac may thi dc a?
cho em hỏi số hạng dư lagrange dùng để làm gì ạ.Em chưa thấy ứng dụng của cái này.Mong thầy cho vài ví dụ giúp em
- Em xem mục 3.2 tính gần đúng và đánh giá sai số ở trang thứ 4 của phần trên nhé,
thưa thầy,do chỉ mới học sơ về công thức này nên ở bài giải trên em không hiểu vài điều phần cuối.thầy giảng lại cho em được không ạ? 1.”số hạng của cùng gọi là số hạng dư của nó” nghĩa là sao ạ? 2.”là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư Rn(x)”?? 3.a và x0 có phải là 2 giá trị khác nhau? 4.dòng cuối,”Đặc biệt x=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin” vậy tại sao trong công thức dưới đó vẫn còn ẩn x ạ? 5.trong sách giáo khoa của em có công thức taylor: f(x)=∑(k=0->n)[(f^k)(x0).(x-x0)^k]/k! + [(x-x0).(f^(n+1))(c)]/(n+1)! .công thức này em thấy không giống trong định nghĩa cũng như trong định lý của thầy nên em rất thắc mắc. em cảm ơn thầy.
Cho e hỏi là nếu đề bài yêu cầu khai triển maclaurin tới cấp 3 thì mình phải làm đạo hàm tới cấp mấy ạ?
Cho em hỏi tại sao $(1 + x^3)^{-1} = 1 - x^3 + 0(x^5)$
- Em chú ý công thức khai triển sau: Nếu $u(x) \to 0$ thì: $(1+u(x))^{\alpha} \approx 1 + {\alpha}.u(x) + \dfrac{{\alpha}({\alpha}-1)}{2}.[u(x)]^2 + ...$
thưa thầy,cho e hỏi việc chứng minh điều kiện đủ của hàm 2 biến bằng công thức taylor như thế nào ạ
Cảm ơn Thầy nhiều ạ!

Điều hướng bình luận « Trang trước 1 … 5 6 7

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Toán cho Vật lý

Trắc nghiệm online

1. Trắc nghiệm Giải tích 1 biến.

2. Trắc nghiệm chuỗi số – chuỗi hàm

3. Trắc nghiệm phương trình vi phân

4. 20 câu trắc nghiệm về định thức.

5. 12 câu trắc nghiệm ánh xạ tuyến tính

Theo dõi blog qua email

Nhập địa chỉ email của bạn để đăng ký theo dõi blog này và nhận thông báo về các bài mới qua email.

Tham gia cùng 38 người đăng ký khác Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Các địa chỉ thay thế khi bạn không vào được website này:

1. toanchovatly.byethost11.com

2. toanchovatly.wordpress.com

Bài viết mới

Vẻ đẹp của Toán học
KenKen – trò chơi giải trí thú vị
Tem thư và toán học
Các vấn đề lịch sử của chuỗi số – chuỗi hàm
7 bài toán thiên niên kỷ (Millennium Problems)
Các bài giảng về hàm nhiều biến
Mẹo phân tích nhanh 1 phân thức
Những mốc quan trọng nhất của Lịch sử Lý thuyết xác suất
Theo dòng lịch sử của định thức
Hệ thống toán học Aztec cổ được giải mã
Toán học trong các ngôi đền Nhật Bản
Mẹo tính nhanh tích phân từng phần
Thuật toán chia đa thức bậc n cho tam thức bậc 2.
Giải phương trình bậc 4 tổng quát
Ứng dụng số phức, giải phương trình bậc ba
Điều bí mật quanh sự ra đời của Công thức L'Hospital
Ai là người tìm ra công thức Taylor – Maclaurin?

Top RatedTrang

Bài viết
Bài giảng
- Giải tích 1
  - Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol
  - Chia một đa thức cho tam thức bậc 2
  - Giới hạn của hàm số (Limit of a function)
  - Vô cùng bé (infinitesimal)
  - Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function)
  - Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)
  - Khảo sát đường cong tham số
  - Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)
  - Tích phân hàm vô tỉ (Integrals involving roots)
  - Tích phân suy rộng (Improper Integrals)
  - Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)
  - Chuỗi số dương (Infinitive Series)
  - Chuỗi Fourier
  - Chuỗi Fourier Sine và Cosine
- Giải tích 2
  - Khái niệm mở đầu về hàm nhiều biến
  - Giới hạn của hàm hai biến số
  - Đạo hàm riêng
  - Hàm số khả vi và vi phân toàn phần
  - Đạo hàm của hàm hợp
  - Đạo hàm hàm số ẩn
  - Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến
  - Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)
  - Các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân
  - Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1
  - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second-order ordinary differential equation)
  - Ứng dụng chuỗi số giải phương trình vi phân
  - Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
  - Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến
  - Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)
  - Số phức (Complex Number)
- Đại số tuyến tính (Linear Algebra)
  - Tập hợp
  - Khái niệm về ma trận
  - Ma trận bậc thang (Echelon matrix)
  - Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
  - Thuật toán tìm ma trận bậc thang
  - Định thức (Determinants)
  - Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)
  - Khái niệm về ánh xạ tuyến tính
  - Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)
  - Trị riêng, vectơ riêng của ma trận (Eigenvalues and Eigenvectors)
  - Dạng toàn phương
- Xác suất thống kê
  - Bổ túc về Giải tích Tổ hợp
  - Biến cố và quan hệ giữa các biến cố
  - Các định nghĩa của xác suất
  - Xác suất có điều kiện
  - Đại lượng ngẫu nhiên 1 chiều
  - Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc
  - Ước lượng tham số của tổng thể
  - Kiểm định giả thiết
Bài tập
Trắc nghiệm
Video bài giảng
- Bài giảng sơ lược về đường cong tham số
- Video Bài giảng sơ lược về tọa độ cực
- Video Bài giảng sơ lược về đạo hàm riêng
Thảo luận
- Thảo luận (tiếp theo)
- Thảo luận chung (tt)
- Thảo luận về giải tích
  - Thảo luận Giải tích – Trang 2
- Thảo luận ĐSTT
  - Trang 2
  - Trang 3
- Thảo luận XSTK
  - Trang 2
- Thảo luận về tích phân bội
Ebooks
- Maths Ebooks
  - Giải tích – Đại số
  - XSTK – Phương pháp tính
  - Hàm phức – PDEs
  - Tài liệu khác
Softwares
Sitemap

Tìm Sổ blog

Discuss
Get Inspired
Get Polling
Get Support
Learn WordPress.com
WordPress Planet
WordPress.com News

Khai Triển Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion) | Toán Cho Vật Lý

Đánh giá:

Chia sẻ:

152 responses to “Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)”

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Khai Triển Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion)

Khai Triển Taylor Và ứng Dụng | Học Toán Online Chất Lượng Cao 2022

Khai Triển Maclaurin Của Một Số Hàm Sơ Cấp

Bai7 Khai Trien_taylor - SlideShare

Khai Triển Taylor - Maclaurin - Theza2

Khai Triển Taylor - Maclaurin - đáp án - KHÓA HỌC: TOÁN CAO CẤP

Giải Tích 1 - Khai Triển Maclaurin - YouTube

Công Thức Khai Triển Maclaurin Cơ Bản - TopLoigiai

Khai Triển Của E X Trong Chuỗi Taylor. Chuỗi Maclaurin Và Mở Rộng ...

(PDF) KHAI TRIỂN TAYLOR | Mạnh Long Nguyễn

Bài Tập Khai Triển Taylor – Maclaurin

[PDF] Công Thức Khai Triển Taylor Với Phần Dư Lagrange - F Có đạo Hàm ...

Liên Hệ