Khai Triển Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion) | Trang 4

Trang chủ » Khai Triển Maclaurin Hàm Arcsin » Khai Triển Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion) | Trang 4

Có thể bạn quan tâm

Ví dụ 4: Tìm công thức Maclaurin của hàm số f(x) =arctanx đến số hạng x^7

Nhận xét: (arctanx)' = \dfrac{1}{1+x^2} = (1+x^2)^{-1}

Vậy để khai triển arctanx đến bậc 7, ta chỉ cần khai triển (1+x^2)^{-1} đến bậc 6. Sau đó, lấy nguyên hàm 2 vế.

Ta có: (1+x^2)^{-1} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + 0(x^6)

Vậy: arctanx = \int \dfrac{dx}{1+x^2} = \int (1 - x^2 + x^4 - x^6 + 0(x^6)) dx

Hay: arctanx = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + 0(x^7) + C

Trong trường hợp này, ta cần phải chọn giá trị C thích hợp.

Với x =0 ta có: C = 0.

Vậy: arctanx = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + 0(x^7)

Nhận xét: từ công thức trên ta có thể suy ra công thức khai triển tổng quát của arctanx như sau:

arctanx = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + ... + (-1)^{m-1}\dfrac{x^{2m-1}}{(2m-1)!} + 0(x^{2m})

3.2 Tính gần đúng giá trị hàm số và đánh giá sai số:

Trong công thức khai triển Taylor, ta có:

f(x) \approx P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k

Ta có thể sử dụng công thức này để tính gần đúng giá trị của hàm f(x) tại những điểm lân cận của x_0 , với sai số phạm phải là:

R_n(x) = \dfrac{f^{n+1}(x_0+t(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ; 0 \le t \le 1

Nếu f^{(n+1)}(x) bị chặn trên [a,b], nghĩa là: \left| f^{(n+1)}(x) \right| \le M ; x \in [a;b] thì với x, x_0 \in [a;b] , sai số R_n có thể được đánh giá bởi:

R_n(x) \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}

Ví dụ: Lập công thức gần đúng của cosx khi |x| \le \dfrac{\pi}{4} chính xác đến 10^{-6}

Theo công thức phần dư ta có:

\left| R_{2m}(x) \right| \ge \dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}

Với |x| \le \dfrac{\pi}{4} và độ chính xác đến 10^{-6} , thì:

\dfrac{\left( \dfrac{\pi}{4} \right)^{2m+1}}{(2m+1)!} \le 10^{-6} \Rightarrow m \ge 4

Vậy: cosx \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \dfrac{x^8}{8!} ; |x| \le \dfrac{\pi}{4} (với độ chính xác đến 10^{-6} )

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • Email
  • In
  • Facebook
Thích Đang tải... Trang: 1 2 3 4

Từ khóa » Khai Triển Maclaurin Hàm Arcsin