Khai Triển Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion)

Có thể bạn quan tâm

Ví dụ 4: Tìm công thức Maclaurin của hàm số $f(x) =arctanx$ đến số hạng $x^7$

Nhận xét: $(arctanx)' = \dfrac{1}{1+x^2} = (1+x^2)^{-1}$

Vậy để khai triển arctanx đến bậc 7, ta chỉ cần khai triển $(1+x^2)^{-1}$ đến bậc 6. Sau đó, lấy nguyên hàm 2 vế.

Ta có: $(1+x^2)^{-1} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + 0(x^6)$

Vậy: $arctanx = \int \dfrac{dx}{1+x^2} = \int (1 - x^2 + x^4 - x^6 + 0(x^6)) dx$

Hay: $arctanx = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + 0(x^7) + C$

Trong trường hợp này, ta cần phải chọn giá trị C thích hợp.

Với x =0 ta có: C = 0.

Vậy: $arctanx = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + 0(x^7)$

Nhận xét: từ công thức trên ta có thể suy ra công thức khai triển tổng quát của $arctanx$ như sau:

$arctanx = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + ... + (-1)^{m-1}\dfrac{x^{2m-1}}{(2m-1)!} + 0(x^{2m})$

3.2 Tính gần đúng giá trị hàm số và đánh giá sai số:

Trong công thức khai triển Taylor, ta có:

$f(x) \approx P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k$

Ta có thể sử dụng công thức này để tính gần đúng giá trị của hàm f(x) tại những điểm lân cận của $x_0$ , với sai số phạm phải là:

$R_n(x) = \dfrac{f^{n+1}(x_0+t(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ; 0 \le t \le 1$

Nếu $f^{(n+1)}(x)$ bị chặn trên [a,b], nghĩa là: $\left| f^{(n+1)}(x) \right| \le M ; x \in [a;b]$ thì với $x, x_0 \in [a;b]$ , sai số $R_n$ có thể được đánh giá bởi:

$R_n(x) \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$

Ví dụ: Lập công thức gần đúng của cosx khi $|x| \le \dfrac{\pi}{4}$ chính xác đến $10^{-6}$

Theo công thức phần dư ta có:

$\left| R_{2m}(x) \right| \ge \dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}$

Với $|x| \le \dfrac{\pi}{4}$ và độ chính xác đến $10^{-6}$ , thì:

$\dfrac{\left( \dfrac{\pi}{4} \right)^{2m+1}}{(2m+1)!} \le 10^{-6} \Rightarrow m \ge 4$

Vậy: $cosx \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \dfrac{x^8}{8!} ; |x| \le \dfrac{\pi}{4}$ (với độ chính xác đến $10^{-6}$ )

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2 3 4

Thảo luận

191 bình luận về “Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)”

thầy giúp em khai triển Maclaurin của căn bậc 3(sin(x^3)) với ạ. Cảm ơn thầy

ThíchThích
Posted by Hoang Anh | 01/10/2017, 23:01 Reply to this comment
khai triển maclaurin ln(x^2 +1) ?

ThíchĐã thích bởi 1 người
Posted by khanh | 14/12/2016, 18:06 Reply to this comment
Gửi thầy,

Em có chút ý kiến thế này, mong được thầy xem xét. Nếu có thể, thầy thêm 1 phần nói về ứng dụng của các công thức toán học trong các ngành kỹ thuật như khoa học máy tính, điện tử viễn thông… Em nghĩ như vậy bài blog sẽ hấp dẫn hơn 🙂

ThíchThích
Posted by Dũng | 06/12/2015, 22:03 Reply to this comment
khai trien hàm sinx trong lân cận của pi/2 làm thế nào ạ giúp em với ạ

ThíchThích
Posted by phuongnhí | 19/01/2015, 21:51 Reply to this comment
giải giúp mình câu này vs ạ, mình đag cần gấp. khai triển hàm sinx thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của pi/2

ThíchThích
Posted by kmno4nh4no3 | 19/01/2015, 21:29 Reply to this comment
thầy ơi, em đang học PP tính. thầy giáo yêu cầu tụi em giải bài toán biểu diễn căn bậc n của 1 số thực ko âm bằng pp taylor mà em tìm trên mạng thì lại ko thấy có tài liệu gì? thầy có thể giúp em được ko ạ?

ThíchThích
Posted by Hảo Lưu | 05/12/2014, 21:03 Reply to this comment
thưa thầy cho em hỏi khai triển hàm theo công thức taylor y=√x , x=1 thì làm thế nào?

ThíchThích
Posted by Nguyễn Phương Thảo | 05/12/2014, 12:50 Reply to this comment
chào thầy! thầy cho em hỏi là bài tập này giải như thế nào ạ? Khai triển Taylor có điểm x0 =0, đến cấp 2n của biểu thức f(x) = 3x^2 + ln(1 +2x^2) ạ?? em cảm ơn thầy??

ThíchThích
Posted by Khánh | 01/12/2014, 20:30 Reply to this comment