Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai | SGK Toán Lớp 10
Có thể bạn quan tâm
A. Lý thuyết
1. Tam thức bậc hai (một ẩn)
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$. Trong đó \(a,b,c\) là nhũng số cho trước với \(a \ne 0\).
Nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$; \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$.
2. Dấu của tam thức bậc hai
Định lí:
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c(a \ne 0)\) có biệt thức \(∆ = b^2– 4ac\).
- Nếu \(∆ < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in R\).
- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
Khi đó \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x ≠ -\dfrac{b}{2a}\).
- Nếu \(∆ > 0, f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in ({x_1};{x_2})\)
Chú ý:
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau
Khi xét dấu tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể nhớ theo quy tắc “Trong trái ngoài cùng”, nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với \(a\), ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với \(a\)
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$.
$a{x^2} + bx + c > 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c \ge 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c < 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c \le 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
B. Bài tập vận dụng
Bài 1:
a) Xét dấu tam thức \(3{x^2} - 2x + 1\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta < 0\\a = 3 > 0\end{array} \right.\) suy ra \(3{x^2} - 2x + 1 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
b) Xét dấu tam thức \( - {x^2} + 4x + 5\).
Phương trình \( - {x^2} + 4x + 5 = 0\) có \(\Delta > 0\), a = -1 < 0, hai nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 5.
Bảng xét dấu:
Suy ra \( - {x^2} + 4x + 5 > 0\) khi \(x \in ( - 1;5)\) và \( - {x^2} + 4x + 5 < 0\) khi \(x \in ( - \infty ; - 1) \cup (5; + \infty )\).
c) Xét dấu tam thức \( - 4{x^2} + 12x - 9\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\a = - 4 < 0\end{array} \right.\), phương trình \( - 4{x^2} + 12x - 9 = 0\) có nghiệm kép \(x = \frac{3}{2}\).
Suy ra \( - 4{x^2} + 12x - 9 < 0\) \(\forall x \ne \frac{3}{2}\).
Bài 2: Tìm m để biểu thức \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) luôn âm.
Với \(m = 0\) thì \(f(x) = - x - 1\) vẫn có thể đạt giá trị dương nên loại m.
Với \(m \ne 0\) thì \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) là tam thức bậc hai.
Để \(f(x) < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta = 1 + 4m < 0\end{array} \right.\) hay \( - \frac{1}{4} < m < 0\).
Vậy để biểu thức \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) luôn âm thì \( - \frac{1}{4} < m < 0\).
Bài 3: Tìm m để \(3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Cần \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_1} \le 0\\{a_1} = 3 > 0\end{array} \right.\)
Ta có \(\Delta {'_1} = {(m + 1)^2} + 3(2{m^2} - 3m + 2) \le 0\) hay \(7{m^2} - 7m + 7 \le 0\).
Xét biểu thức \(7{m^2} - 7m + 7\) có \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _2} = {( - 7)^2} - 4.7.7 = - 147 < 0\\{a_2} = 7 > 0\end{array} \right.\) nên \(7{m^2} - 7m + 7 > 0\).
Suy ra không có giá trị m nào để \(7{m^2} - 7m + 7 \le 0\), hay \(\Delta {'_1} \le 0\).
Vậy không có giá trị m để \(3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Bài 4: Chứng minh hàm số \(y = \sqrt {{m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi m.
ĐKXĐ: \({m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5 \ge 0\) (*)
Với \(m = 0\) thì (*) đúng với mọi x.
Với \(m \ne 0\), xét tam thức bậc hai \(f(x) = {m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = {m^2} > 0\\\Delta ' = 4{m^2} - 8(2{m^2} + 1) = - 12{m^2} - 8 < 0\end{array} \right.\)
Suy ra \({m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5 > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số \(y = \sqrt {{m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi m.
Từ khóa » định Lý Xét Dấu Của Tam Thức Bậc Hai
-
Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Các Bài Tập Vận Dụng
-
Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Các Dạng Bài Tập
-
Lý Thuyết Và Bài Tập Dấu Tam Thức Bậc Hai - O2 Education
-
Tam Thức Bậc 2 Là Gì ? Xét Dấu Tam Thức Bậc 2 Toán Lớp 8, Lớp 9 ...
-
Cách Xét Dấu Của Tam Thức Bậc 2 Và Bài Tập áp Dụng
-
Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Lý Thuyết Và Dạng Toán Liên Quan - VOH
-
Lý Thuyết Toán 10 Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Cách Xét Dấu
-
Công Thức Liên Quan Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và ứng Dụng để So ...
-
Xét Dấu Tam Thức Bậc Hai
-
Hướng Dẫn 4 Cách Xét Dấu Của Tam Thức Bậc Hai (có Ví Dụ)
-
Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Chuẩn Nhất - CungHocVui
-
Dấu Của Tam Thức Bậc Hai – Môn Toán Lớp 10 – Thầy Giáo - YouTube
-
Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Hay, Chi Tiết - Toán Lớp 10
-
Cách Xét Dấu Của Tam Thức Bậc 2 - Học Toán 123