Lý Thuyết Giới Hạn Của Dãy Số Toán 11

Mục Lục - Toán 11

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

• Bài 1: Các hàm số lượng giác
• Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
• Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Bài 4: Ôn tập chương 1

CHƯƠNG 2: TỔ HỢP XÁC SUẤT

• Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản
• Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Bài toán đếm
• Bài 3: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Giải phương trình
• Bài 4: Nhị thức Niu - tơn
• Bài 5: Biến cố và xác suất của biến cố
• Bài 6: Các quy tắc tính xác suất
• Bài 7: Biến ngẫu nhiên rời rạc
• Bài 8: Ôn tập chương 2

CHƯƠNG 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN

• Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
• Bài 2: Dãy số
• Bài 3: Cấp số cộng
• Bài 4: Cấp số nhân
• Bài 5: Ôn tập chương 3

CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN

• Bài 1: Giới hạn của dãy số
• Bài 2: Một số phương pháp tính giới hạn dãy số
• Bài 3: Giới hạn của hàm số
• Bài 4: Các dạng vô định
• Bài 5: Hàm số liên tục
• Bài 6: Ôn tập chương Giới hạn

CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM

• Bài 1: Khái niệm đạo hàm
• Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
• Bài 3: Vi phân và đạo hàm cấp cao
• Bài 4: Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

CHƯƠNG 6: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

• Bài 1: Mở đầu về phép biến hình
• Bài 2: Phép tịnh tiến
• Bài 3: Phép đối xứng trục
• Bài 4: Phép đối xứng tâm
• Bài 5: Phép quay
• Bài 6: Phép vị tự
• Bài 7: Phép đồng dạng
• Bài 8: Ôn tập chương phép biến hình

CHƯƠNG 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

• Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
• Bài 2: Hai đường thẳng song song
• Bài 3: Phương pháp giải các bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
• Bài 4: Đường thẳng song song với mặt phẳng
• Bài 5: Phương pháp xác định thiết diện của hình chóp
• Bài 6: Hai mặt phẳng song song
• Bài 7: Hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt
• Bài 8: Phép chiếu song song
• Bài 9: Ôn tập chương 7

CHƯƠNG 8: VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

• Bài 1: Véc tơ trong không gian
• Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc
• Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Bài 4: Phương pháp giải các bài toán đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Bài 6: Thiết diện và các bài toán liên quan
• Bài 7: Hai mặt phẳng vuông góc
• Bài 8: Góc giữa hai mặt phẳng
• Bài 9: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Bài 10: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Bài 11: Khoảng cách giữa đường thẳng, mặt phẳng song song
• Bài 12: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

1. Trang chủ
2. Lý thuyết toán học
3. Toán 11
4. CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN
5. Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số Trang trước Mục Lục Trang sau

1. Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \(0\) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0\) hoặc \(\lim {u_n} = 0\).

Một số dãy số có giới hạn \(0\) thường gặp:

\(\lim \dfrac{1}{n} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt n }} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0,..\)

Định lý 1: Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Định lý 2: Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0\).

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = L\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = L\) hoặc \(\lim {u_n} = L\).

Định lý 1: Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó:

i) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\).

ii) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \)

Định lý 2: Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và \(c\) là một hằng số. Khi đó:

i) Các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right),\left( {{u_n} - {v_n}} \right),\left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và \(\left( {c.{u_n}} \right)\) có giới hạn là:

+) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\)

+) \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M\)

+) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M\)

+) \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L\)

ii) Nếu \(M \ne 0\) thì dãy số \(\left( {\dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\) có giới hạn là \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \dfrac{L}{M}\).

3. Dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa:

a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( + \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = + \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = + \infty \) hoặc \(\lim {u_n} = + \infty \).

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( - \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = - \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = - \infty \) hoặc \(\lim {u_n} = - \infty \).

Nhận xét:

i) \(\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n = + \infty ,\) \(\lim \sqrt[3]{n} = + \infty \)

ii) Nếu \(\lim {u_n} = - \infty \) thì \(\lim \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \)

Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực:

Trang trước Mục Lục Trang sau

Có thể bạn quan tâm:

• Ôn tập chương Giới hạn
• Một số phương pháp tính giới hạn dãy số
• Ôn tập chương VI
• Ôn tập chương Khối đa diện và thể tích
• Điểm. Đoạn thẳng

Tài liệu

Toán 11: Các dạng toán giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục

Toán 12 - Tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay - Nguyễn Văn Phép

Toán 12 - Tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay - Phạm Minh Đức

Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 9

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 2

Top