Lý Thuyết Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác ...

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

A. Lý thuyết

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AB2 = BC . BH; AC2 = BC . HC.

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AH2 = BH . HC.

Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Ví dụ 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AB . AC = BC . AH.

Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm độ dài x, y trong mỗi hình sau:

a)

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Ta có: BH = BC – HC = 16 – 7 = 9 (đvđd).

AB2 = BC . BH = 16 . 9 = 144

Suy ra: AB = 12 (đvđd).

Vậy x = 12 (đvđd).

b) Tam giác MNP vuông tại M, đường cao MK.

Ta có: AH . BC = AB . AC

Suy ra: MK=MN . MPNP=9 . 1215=7,2(đvđd).

Vậy y = 7,2 (đvđd).

Bài 2.Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : BC = 3 : 5 và AB + BC = 16 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải:

Theo giả thiết: AB : BC = 3 : 5 nên AB3=BC5.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

AB3=BC5=AB+BC3+5=168=2.

Do đó AB = 2.3 = 6 (cm); BC = 2.5 = 10 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

Suy ra AC2 = BC2 − AC2 = 102 − 62 = 64.

Do đó AC = 8 cm.

Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC là: AB = 6 cm; AC = 8 cm; BC = 10 cm.

Bài 3.Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3 cm, BC = 5 cm. AH là đường cao. Tính độ dài các cạnh AC, AH, BH, CH.

Lời giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

⇔ AC2 = BC2 – AB2 = 52 – 32 = 16

⇔ AC = 4 (cm).

Ta có:

Vậy độ dài các cạnh AC = 4 cm, AH = 2,4 cm, BH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm.

Trắc nghiệm Toán lớp 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Câu 1: Tìm x, y trong hình vẽ sau:

A. x = 7,2; y = 11,8

B. x = 7; y = 12

C. x = 7,2; y = 12,8

D. x = 7,2; y = 12

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Nhận thấy ah = bc nên phương án C là sai

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, chiều cao AH và AB = 5; AC = 12.

Đặt BC = y, AH = x. Tính x, y

A. x = 4; y = 119

B. y=6013; x = 13

C. x = 4; y = 13

D.x=6013 ; y = 13

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 4: Tìm x, y trong hình vẽ sau:

A. x= 6,5; y = 9,5

B. x = 6,25; y = 9,75

C. x = 9,25; y = 6,75

D. x = 6; y = 10

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

AB2 = BH.BC

⇔BH=AB2BC=10016=6,25

⇒CH = BC – BH = 16 – 6,25 = 9,75

Vậy x = 6,25; y = 9,75

Câu 5: Tính x, y trong hình vẽ sau:

A. x = 3,6; y = 6,4

B. y = 3,6; x = 6,4

C. x = 4; y = 6

D. x = 2,8; y = 7,2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Theo định lý Py-ta-go ta có

BC2 = AB2 + AC2

⇔BC2 = 100 BC = 10

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

AB2 = BH.BC

⇒BH=AB2BC=6210=3,6 hay x = 3,6

⇒CH = BC – BH = 10 – 3,6 = 6,4

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH⊥BC (H thuộc BC).

Cho biết AB : AC = 4 : 5 và BC = 41 cm.

Tính độ dài đoạn thẳng CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A. CH≈2,5

B. CH≈4

C. CH≈3,8

D. CH≈3,9

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có AB : AC = 4 : 5

⇔AB4=AC5⇒AB216=AC225=AB2+AC216+25=4141=1

(Vì theo định lý Py-ta-go ta có

AB2 + AC2 = BC2

⇔ AB2 + AC2 = 412= 41)

Nên AB216=1⇒ AB2 = 16

⇒AB = 4; AC225=1⇒AC = 5

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

AC2 = CH.BC

⇒CH=AC2BC=2541≈3,9

Vậy CH≈3,9

Câu 7: Tính x, y trong hình vẽ sau:

A. x = 3,2; y = 1,8

B. x = 1,8; y = 3,2

C. x = 2; y = 3

D. x = 3; y = 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Theo định lý Py-ta-go ta có

BC2 = AB2 + AC2

⇔ BC2 = 25 BC = 5

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Câu 8: Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm.

A. 150cm2

B. 300cm2

C. 125cm2

D. 200cm2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E.

Gọi BH là đường cao của hình thang.

Ta có BE // AC, AC⊥BD nên BE⊥BD

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông BDH,

ta có: BH2 + HD2 = BD2

⇒122 + HD2 = 152

⇒ HD2 = 81⇒HD = 9cm

Xét tam giác BDE vuông tại B:

BD2 = DE.DH⇒152 = DE.9

⇒DE = 25cm

Ta có: AB = CE nên:

AB + CD = CE + CD = DE = 25cm

Do đó SABCD = 25.12 : 2 = 150(cm2)

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. AH2 = AB. AC

B. AH2 = BH.CH

C. AH2 = AB.BH

D. AH2 = CH.BC

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức

HA2 = HB.HC

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21

A. AB = 9; AC = 10; BC = 15

B. AB = 9; AC = 12; BC = 15

C. AB = 8; AC = 10; BC = 15

D. AB = 8; AC = 12; BC = 15

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Theo giả thiết AB : AC = 3 : 4

Suy ra AB3=AC4=AB+AC3+4=3

Do đó AB = 3.3 = 9 (cm);

AC = 3.4 = 12 (cm)

Tam giác ABC vuông tại A,

theo định lý Pytago ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225,

suy ra BC = 15cm

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn