Lý Thuyết Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong ... - TopLoigiai
Có thể bạn quan tâm
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: b2 = a.b'; c2 = a.c'
2. Một số hệ thức liên quan đến đường cao
a) Định lý 1
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: h2 = b'.c'.
b) Định lý 2
Trong một tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với đường cao tương ứng
Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: a.h = b.c
c) Định lý 3
Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
Trong tam giác ABC vuông tại A ta có:
3. Các dạng toán thường gặp về một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông
Phương pháp giải: Cho tam giácABC vuông tại A, đường cao AH. Nếu biết độ dài hai trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn lại bằng việc vận dụng các hệ thức (1)→(5)
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo hướng:
Bước 1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.
Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao.
Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh.
Chú ý: Có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vuông hoặc tạo thành đường cao trong tam giác vuông từ đó vận dụng các hệ thức.
4. Ví dụ cụ thể
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 21cm.
a) Tính các cạnh của tam giác ABC.
b) Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH.
Hướng dẫn:
Do đó AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225, suy ra BC = 15cm
b) Tam giác ABC vuông tại A, ta có AH.BC = AB.AC, suy ra
AH2 = BH.HC. Đặt BH = x (0 < x < 9) thì HC = 15 - x, ta có:
(7,2)2 = x(15 - x) ⇔ x2 - 15x + 51,84 = 0 ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0 ⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)
Vậy BH = 5,4cm. Từ đó HC = BC - BH = 9,6 (cm).
Chú ý: Có thể tính BH như sau:
AB2 = BH.BC suy ra
5. Bài tập tự luận
Bài 1: Tính x, y trong các trường hợp sau
Hướng dẫn giải
a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:
BC2= AB2+ AC2
BC2= 52+ 72
BC2= 74
Suy ra BC = √74
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC
=> BD = AB2/BC => x = 25/√74
DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74
Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74
b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 hay x = 4.
AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 hay y = √48
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
AC2 = CH.BC = 16.BC
AB2 + AC2 = BC2
⇔ 152 + 16.BC = BC2
⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0
⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0
⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0
⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)
=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400
=> AC = 20
+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)
Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ dài phân giác giác góc C
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC, ta có
BC2 = 502 = 2500
AB2 + AC22 = 142 + 482 = 2500
=> BC2 = AB2 + AC2
=> Tam giác ABC vuông tại A
Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)
=> DB = 25/7 DA.
Ta có DA + DB = AB
⇔ DA + 25/7 DA = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ DA = 10,5cm
Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có
CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác vuông ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 ( theo định lý py-ta-go)
BC2 = 242+ 322
BC2 = 1600
BC = 40(cm)
EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)
Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:
Có ∠A = ∠E = 90o
∠C chung
=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)
=> AC/EC = AB/ED
=> ED = AB.EC/AC = 15cm
Vậy ED = 15cm
Từ khóa » Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông
-
Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông - Toán 9
-
Bài 1: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông
-
Lý Thuyết Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong ...
-
5.1. Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông
-
Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông - Bài 1
-
Lý Thuyết: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông
-
Giải Bài 1: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông
-
Bài 1. Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông
-
Bài 1. Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông
-
Hình Học 9 Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác ...
-
Bài 1. Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông
-
Lý Thuyết Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác ...
-
Toán 9 Bài 1: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác ...