Lý Thuyết Sử Dụng Phương Pháp Nguyên Hàm Từng ...

Mục Lục - Lý thuyết Toán 12

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

• Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Bài 2: Cực trị của hàm số
• Bài 3: Phương pháp giải một số bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản
• Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Bài 5: Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
• Bài 6: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập
• Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức bậc ba
• Bài 8: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức bậc bốn trùng phương
• Bài 9: Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương
• Bài 10: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỷ
• Bài 11: Phương pháp giải một số bài toán về hàm phân thức có tham số
• Bài 12: Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị
• Bài 13: Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong
• Bài 14: Ôn tập chương I

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

• Bài 1: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ - Định nghĩa và tính chất
• Bài 2: Phương pháp giải các bài toán liên quan đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ
• Bài 3: Lũy thừa với số mũ thực
• Bài 4: Hàm số lũy thừa
• Bài 5: Các công thức cần nhớ cho bài toán lãi kép
• Bài 6: Logarit - Định nghĩa và tính chất
• Bài 7: Phương pháp giải các bài toán về logarit
• Bài 8: Số e và logarit tự nhiên
• Bài 9: Hàm số mũ
• Bài 10: Hàm số logarit
• Bài 11: Phương trình mũ và một số phương pháp giải
• Bài 12: Phương trình logarit và một số phương pháp giải
• Bài 13: Hệ phương trình mũ và logarit
• Bài 14: Bất phương trình mũ
• Bài 15: Bất phương trình logarit
• Bài 16: Ôn tập chương 2

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

• Bài 1: Nguyên hàm
• Bài 2: Sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm
• Bài 3: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm
• Bài 4: Tích phân - Khái niệm và tính chất
• Bài 5: Tích phân các hàm số cơ bản
• Bài 6: Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân
• Bài 7: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân
• Bài 8: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
• Bài 9: Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
• Bài 10: Ôn tập chương III

CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC

• Bài 1: Số phức
• Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
• Bài 3: Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
• Bài 4: Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức
• Bài 5: Dạng lượng giác của số phức

CHƯƠNG 5: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

• Bài 1: Khái niệm về khối đa diện
• Bài 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện
• Bài 3: Khối đa diện đều. Phép vị tự
• Bài 4: Thể tích của khối chóp
• Bài 5: Thể tích khối hộp, khối lăng trụ
• Bài 6: Ôn tập chương Khối đa diện và thể tích

CHƯƠNG 6: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

• Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay – Mặt nón, mặt trụ
• Bài 2: Diện tích hình nón, thể tích khối nón
• Bài 3: Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ
• Bài 4: Lý thuyết mặt cầu, khối cầu
• Bài 5: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện
• Bài 6: Ôn tập chương VI

CHƯƠNG 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

• Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian – Tọa độ điểm
• Bài 2: Tọa độ véc tơ
• Bài 3: Tích có hướng và ứng dụng
• Bài 4: Phương pháp giải các bài toán về tọa độ điểm và véc tơ
• Bài 5: Phương trình mặt phẳng
• Bài 6: Phương pháp giải các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng
• Bài 7: Phương trình đường thẳng
• Bài 8: Phương pháp giải các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng
• Bài 9: Phương pháp giải các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng
• Bài 10: Phương trình mặt cầu
• Bài 11: Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng
• Bài 12: Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và đường thẳng

1. Trang chủ
2. Lý thuyết toán học
3. Lý thuyết Toán 12
4. CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
5. Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm Trang trước Mục Lục Trang sau

1. Kiến thức cần nhớ

- Công thức nguyên hàm từng phần: \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \)

2. Bài toán

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( x \right).h\left( x \right)dx} \)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = g\left( x \right)\\dv = h\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = g'\left( x \right)dx\\v = \int {h\left( x \right)dx} \end{array} \right.\) (\(v\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(h\left( x \right)\))

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx} = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln x\).

Giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

Do đó \(\int {\ln xdx} = uv - \int {vdu} = x.\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx} = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x + C\)

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Hàm số logarit.

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \) với $f(x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\ln x$

Giải: Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {x\ln xdx} $.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

$F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^2}\ln x - \dfrac{1}{2}\int {xdx} = \dfrac{1}{2}{x^2}\ln x - \dfrac{1}{4}{x^2} + C$

Dạng 2: Hàm số mũ.

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \) với $f(x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tính $I = \int {x{e^x}{\rm{d}}x} $

Giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

$I = \int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} $$ = x{e^x} - \int {d\left( {{e^x}} \right)} = x{e^x} - {e^x} + C$

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \).

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tính \(I = \int {x\sin xdx} \)

Giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

\(I = - x\cos x + \int {\cos xdx} = - x\cos x + \sin x + C\)

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính nguyên hàm \(\int {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(uv - \int {vdu} \).

Lưu ý:

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.

- Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)

Ví dụ: Tính nguyên hàm $I = \int {\sin x.{e^x}{\rm{d}}x} $

Giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \cos xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\).

Khi đó \(I = {e^x}\sin x - \int {\cos x{e^x}dx} = {e^x}\sin x - J\)

Tính \(J = \int {\cos x{e^x}dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - \sin xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Suy ra \(J = {e^x}\cos x + \int {\sin x{e^x}dx} = {e^x}\cos x + I.\)

Do đó \(I = {e^x}\sin x - J = {e^x}\sin x - \left( {{e^x}\cos x + I} \right) \Leftrightarrow 2I = {e^x}\sin x - {e^x}\cos x\)

Vậy \(I = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x}\sin x - {e^x}\cos x} \right) + C\)

Trang trước Mục Lục Trang sau

Có thể bạn quan tâm:

• Ôn tập chương III
• Phương trình bậc nhất hai ẩn
• Lý thuyết Toán 12
• Tích phân các hàm số cơ bản
• Sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm

Tài liệu

Bài thi mẫu đánh giá năng lực của Đại học Quốc gia TP HCM

Sử dụng liên hợp hằng số giải phương trình chứa căn (liên hợp 2) – Lương Tuấn Đức

Sử dụng hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng (ẩn căn bậc ba) – Lương Tuấn Đức

Sử dụng hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng (ẩn căn bậc hai) – Lương Tuấn Đức

Sử dụng hai ẩn phụ đồng bậc giải phương trình chứa căn (ẩn phụ 4)- Lương Tuấn Đức

Top