Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần để Tính Tích Phân Bất định

Có thể bạn quan tâm

Phương pháp nguyên hàm từng phần được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm phức tạp như hàm vừa chứa hàm lượng giác và hàm vô tỉ, hay hàm vừa chứa hàm vô tỉ và hàm logarit cơ số e, hay hàm mũ e. Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

I. Cách tính tích phân bất định bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

- Nếu 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì:

small int u(x)v'(x)dx=u(x).v(x)-int u'(x)v(x)dx

- Công thức nguyên hàm từng phần viết gọn: small int udv=uv-int vdu

II. Một số dạng toán tính tính phân bất định (tìm nguyên hàm) sử dụng nguyên hàm từng phần

• Dạng 1: $small int f(x)e^{ax+b}dx;$ hoặc small int f(x)sin(ax+b)dx hoặc small int f(x)cos(ax+b)dx trong đó small f(x) là đa thức.

* Phương pháp: Đặt small u=f(x); $small dv= e^{ax+b}dx$ hoặc small dv=sin(ax+b)dx hoặc small dv=cos(ax+b)dx

• Dạng 2: small int f(x)ln(ax+b)dx hoặc $small small int f(x)log_{a}(bx+c)dx$ trong đó small f(x) là đa thức.

* Phương pháp: Đặt small u=ln(ax+b) hoặc $small u = log_{a}(bx+c)$ ; small dv=f(x)dx

• Dạng 3: $small int e^{ax}sin(bx)dx$ hoặc $small int e^{ax}cos(bx)dx$ trong đó small a,b eq 0

* Phương pháp: Đặt small u=sinbx hoặc small u=cosbx ; $small dv=e^{ax}dx$

• Lưu ý khi sử dụng nguyên hàm từng phần:

- Ưu tiên đặt u là 'nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ' phần còn lại đặt là dv.

- Đối với nguyên hàm có chứa lượng giác và mũ có thể đặt u và dv theo thứ tự lượng giác - mũ hoặc người lại đều được và phải sử dụng 2 lần tích phân từng phần và phải thống nhất theo cùng thứ tự, nếu không sẽ xảy ra trường hợp đi vòng I = I.

- Số lần thực hiện tích phân từng phần phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức cụ thể:

◊ Nếu trong biểu thức tính nguyên hàm có $small log_{a}^{n}f(x); ln^{n}f(x);$ thì phải tính tính phân từng phần n lần.

◊ Nếu trong biểu thức tích phân có đa thức bậc n (không có hàm logarit) thì cũng phải tính tích phân từng phần n lần.

Ví dụ 1 (áp dụng Dạng 1): Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) $small I=int xe^{x}dx$

* Lời giải:

Đặt $small left{egin{matrix} u=x dv=e^{x}dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=dx v=e^{x} end{matrix} ight.$

- Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có: small I=uv-int vdu

⇔ $small dpi{100} fn_cm small I=xe^{x}-int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C$

b) small I=int xsin2xdx

* Lời giải:

Đặt $small left{egin{matrix} u=x dv=sin2xdx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=dx v=-frac{1}{2}cos2x end{matrix} ight.$

- Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$small I=-frac{1}{2}xcos2x-int left ( -frac{1}{2} ight )cos2xdx$ $small =-frac{1}{2}xcos2x+frac{1}{2}int cos2xdx$ $small =-frac{1}{2}xcos2x+frac{1}{4}sin2x+C$

c) $small I=int x^{2}e^{2x}dx$

* Lời giải:

Đặt $small left{egin{matrix} u=x^{2} dv=e^{2x}dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=2xdx v=frac{1}{2}e^{2x} end{matrix} ight.$

⇒ $small I=frac{1}{2}x^{2}e^{2x}-int left ( frac{1}{2}e^{2x} ight )2xdx$ $small =frac{1}{2}x^{2}e^{2x}-int xe^{2x}dx=frac{1}{2}x^{2}e^{2x}-I_{1}$

Với $small I_{1}=int xe^{2x}dx$ ta áp dụng tiếp tích phân từng phần với $small I_{1}$

Đặt: $small dpi{100} fn_cm small left{egin{matrix} u=x dv=e^{2x}dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=dx v=frac{1}{2}e^{2x} end{matrix} ight.$

⇒ $small I=int frac{1}{2}xe^{2x}-frac{1}{2}int e^{2x}dx$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{1}{2}xe^{2x}-frac{1}{4}e^{2x}+C$

- Thay $small I_{1}$ vào small I ta được kết quả:

$small I=frac{1}{2}x^{2}e^{2x}-frac{1}{2}xe^{2x}+frac{1}{4}e^{2x}+C$ $small =frac{1}{4}(2x^{2}-2x+1)e^{2x}+C$

* Nhận xét: Ta thấy tích phân chứa đa thức bậc 2 (x2) nên ta phải tính tính phân từng phần 2 lần.

d) $small I=int (2x^{2}+x+1)e^{x}dx$

* Lời giải:

Đặt $small dpi{100} fn_cm small left{egin{matrix} u=2x^{2}+x+1 v=e^{x}dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=(4x+1)dx v=e^{x} end{matrix} ight.$

⇒ $small dpi{100} fn_cm small I=(2x^{2}+x+1)e^{x}-int (4x+1)e^{x}dx$ $small =(2x^{2}+x+1)e^{x}-I_{1}$

- Với $small dpi{100} fn_cm small I_{1}=int (4x+1)e^{x}dx$ ta tiếp tục áp dụng tích phân từng phần cho $small I_{1}$

Đặt: $small dpi{100} fn_cm small left{egin{matrix} u= (4x+1) dv=e^{x}dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=4dx v=e^{x} end{matrix} ight.$

⇒ $small dpi{100} fn_cm small I_{1}=(4x+1)e^{x}-4int e^{x}dx$ $small dpi{100} fn_cm small =(4x+1)e^{x}-4e^{x}+C$ $small =(4x-3)e^{x}+C$

- Thế $small I_{1}$ vào small I ta được kết quả: $small dpi{100} fn_cm small I=(2x^{2}+x+1)e^{x}-(4x-3)e^{x}+C$ $small dpi{100} fn_cm small =(2x^{2}-3x+4)e^{x}+C$

e) $small I=int xcos^{2}2xdx$

* Lời giải:

Đối với bài toán này ta cần hạ bậc hàm lượng giác trước để đưa và dạng cơ bản áp dụng tích phân từng phần, ta có:

$small I=int xcos^{2}2xdx$ $small =int xfrac{1+cos4x}{2}dx$ $small =frac{1}{2} int xdx+frac{1}{2}int xcos4xdx$ $small =frac{1}{4}x^{2}+I_{1}$

- Ta có: $small I_{1}=int left ( frac{1}{2}xcos4x ight )dx$ áp dụng tích phân từng phần:

Đặt: $small left{egin{matrix} u=frac{1}{2}x dv=cos4xdx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=frac{1}{2}dx v=frac{1}{4}sin4x end{matrix} ight.$

⇒ $small I_{1}=frac{1}{2}x.frac{1}{4}sin4x-frac{1}{8}int sin4xdx$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{1}{8}xsin4x-frac{1}{8}int sin4xdx$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{1}{8}xsin4x+frac{1}{32}cos4x+C$

- Thế $small I_{1}$ vào small I ta được kết quả: $small I=frac{1}{4}x^{2}+frac{1}{8}xsin4x+frac{1}{32}cos4x+C$

Ví dụ 2 (áp dụng Dạng 2): Dùng phương nguyên hàm từng phần tính tích phân bất định của các nguyên hàm sau:

a) $small dpi{100} fn_cm small I=int xlnxdx$

* Lời giải:

Đặt $small left{egin{matrix} u=lnx dv=xdx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=frac{1}{x}dx v=frac{x^{2}}{2} end{matrix} ight.$

⇒ $small I=frac{x^{2}}{2}lnx-frac{1}{2}int xdx$ $small =frac{x^{2}}{2}lnx-frac{x^{2}}{4}+C$

b) $small I=int (x^{2}-3x)lnxdx$

* Lời giải:

Đặt $small small left{egin{matrix} u=lnx dv=(x^{2}-3x)dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=frac{1}{x}dx v=frac{1}{3}x^{3}-frac{3}{2}x^{2} end{matrix} ight.$

⇒ $small I=left ( frac{1}{2}x^{3}-frac{3}{2}x^{2} ight )lnx-int (frac{1}{3}x^{2}-frac{3}{2}x)dx$ $small =(frac{1}{3}x^{3}-frac{3}{2}x^{2})lnx -frac{1}{9}x^{3}+frac{3}{4}x^{2}+C$

c) $small I= int frac{xln(x+sqrt{x^{2}+1})}{sqrt{x^{2}+1}}dx$

* Lời giải:

- Ta có: $small I= int frac{xln(x+sqrt{x^{2}+1})}{sqrt{x^{2}+1}}dx$ $small =int ln(x+sqrt{x^{2}+1})frac{x}{sqrt{x^{2}+1}}dx$

- Đặt: $small left{egin{matrix} u=ln(x+sqrt{x^{2}+1}) dv=frac{x}{sqrt{x^{2}+1}}dx end{matrix} ight.$ $small Rightarrow left{egin{matrix} du=frac{1+frac{x}{sqrt{x^{2}+1}}}{x+sqrt{x^{2}+1}}dx=frac{dx}{sqrt{x^{2}+1}} v=sqrt{x^{2}+1} end{matrix} ight.$

⇒ $small I=sqrt{x^{2}+1}ln(x+sqrt{x^{2}+1})-int dx$ $small =sqrt{x^{2}+1}ln(x+sqrt{x^{2}+1})-x+C$

d) $small I=int frac{ln(cosx)}{cos^{2}x}dx$

* Lời giải:

- Ta có: $small I=int frac{ln(cosx)}{cos^{2}x}dx$ $small =int ln(cosx)frac{dx}{cos^{2}x}$

- Đặt: $small left{egin{matrix} u=ln(cosx) dv=frac{1}{cos^{2}x}dx end{matrix} ight.$ $small dpi{100} fn_cm small Rightarrow left{egin{matrix} du=frac{-sinx}{cosx}=-tanxdx v=tanx end{matrix} ight.$

⇒ $small dpi{100} fn_cm small I=tanxln(cosx)+int tan^{2}xdx$ $small =tanxln(cosx)+int left ( frac{1}{cos^{2}x}-1 ight )dx$ $small dpi{100} fn_cm small =tanx.ln(cosx)+tanx-x+C$

Ví dụ 3 (áp dụng dạng 3): Tìm nguyên hàm của các hàm sau:

a) $small I=int e^{x}cosxdx$

* Lời giải:

Bài toán này sẽ vận dụng linh hoạt tích phân từng phần

- Đặt: $small left{egin{matrix} u=cosx dv=e^{x}dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=-sinxdx v=e^{x} end{matrix} ight.$

⇒ $small I=e^{x}cosx+int e^{x}sinxdx=e^{x}cosx+J$

- Áp dụng tích phân từng phần cho J

Đặt: $small left{egin{matrix} u=sinx dv=e^{x}dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=cosxdx v=e^{x} end{matrix} ight.$

⇒ $small J=e^{x}sinx-int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-I$

⇒ $small I=e^{x}cosx+e^{x}sinx-I$

$small Leftrightarrow 2I=e^{x}cosx+e^{x}sinx$

$small Leftrightarrow I=frac{1}{2}(cosx+sinx)e^{x}$ +C

b) $small int e^{2x}sin^{2}xdx$

* Lời giải:

- Ta có: $small I= int e^{2x}sin^{2}xdx$ $small =int e^{2x}frac{1-cos2x}{2}dx$ $small =frac{1}{2}int e^{2x}dx-frac{1}{2}int e^{2x}cos2xdx$ $small =frac{1}{4}e^{2x}-J$

- áp dụng nguyên hàm từng phần với $small J=frac{1}{2}int e^{2x}cos2xdx$ :

- Đặt: $small left{egin{matrix} u=cos2x dv=frac{1}{2}e^{2x}dx end{matrix} ight.$ $small Rightarrow left{egin{matrix} du=-2sin2xdx v=frac{1}{4}e^{2x} end{matrix} ight.$

⇒ $small J=frac{1}{4}e^{2x}cos2x+frac{1}{2}int e^{2x}sin2xdx$ $small =frac{1}{4}e^{2x}cos2x+K$

- áp dụng nguyên hàm từng phần với $small K=frac{1}{2}int e^{2x}sin2xdx$

- Đặt: $small left{egin{matrix} u=sin2x dv=frac{1}{2}e^{2x}dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=2cos2xdx v=frac{1}{4}e^{2x} end{matrix} ight.$

⇒ $small K=frac{1}{4}e^{2x}sin2x-frac{1}{2}int e^{2x}cos2xdx$ $small =frac{1}{4}e^{2x}sin2x-J$

⇒ $small J =frac{1}{4}e^{2x}cos2x+K$ $small =frac{1}{4}e^{2x}cos2x+frac{1}{4}e^{2x}sin2x-J$

⇒ $small 2J=frac{1}{4}e^{2x}cos2x+frac{1}{4}e^{2x}sin2x$

⇒ $small J=frac{1}{8}e^{2x}(cos2x+sin2x)$

⇒ $small I =frac{1}{4}e^{2x}-J$ $small =frac{1}{4}e^{2x}- frac{1}{8}e^{2x}(cos2x+sin2x)+C$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{1}{8}(2-sin2x-cos2x)e^{2x}+C$

c) small I=int sinsqrt{x}dx

* Lời giải:

Bài này áp dụng cả phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần

- Đặt: $small t=sqrt{x}Rightarrow t^{2}=xRightarrow dx=2dt$ small Rightarrow I=int sint(2tdt)=int 2tsintdt

- Đặt: small left{egin{matrix} u=2t dv=sintdt end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=2dt v=-cost end{matrix} ight.

- Ta có: small I=-2tcost+2int costdt $small dpi{100} fn_cm small =-2tcost+2sint+C$

- Thay small t=sqrt{x} ta được: small I=-2sqrt{x}costsqrt{x}+2sinsqrt{x}+C

III. Bài tập tìm nguyên hàm sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Bài 4 trang 103 SGK giải tích 12: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính

a) small int xln(1+x)dx

b) $small int (x^{2}+2x-1)e^{x}dx$

c) small int xsin(2x+1)dx

d) small int (1-x)cosxdx

* Lời giải Bài 4 trang 103 SGK giải tích 12:

a) small int xln(1+x)dx

- Đặt: $small left{egin{matrix} u=ln(1+x) dv=xdx end{matrix} ight.Rightarrowleft{egin{matrix} du=frac{1}{1+x}dx v=frac{1}{2}x^{2} end{matrix} ight.$

⇒ small int xln(1+x)dx $small =frac{x^{2}}{2}ln(1+x)-frac{1}{2}int frac{x^{2}}{x+1}dx$ $small =frac{x^{2}}{2}ln(1+x)-frac{1}{2}int left ( frac{x^{2}-1}{x+1}+frac{1}{x+1} ight )dx$

$small =frac{x^{2}}{2}ln(1+x)-frac{1}{2}int left ( x-1+frac{1}{x+1} ight )dx$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{x^{2}}{2}ln(1+x)-frac{1}{2}left ( frac{x^{2}}{2}-x+lnleft ( x+1 ight ) ight )+C$

$small =frac{x^{2}}{2}ln(1+x)-frac{x^{2}}{4}+frac{x}{2}-frac{ln(1+x)}{2}+C$ $small =frac{1}{2}(x^{2}-1)ln(1+x)-frac{x^{2}}{4}+frac{x}{2}+C$

b) $small int (x^{2}+2x-1)e^{x}dx$

- Đặt: $small left{egin{matrix} u=x^{2}+2x-1 dv=e^{x}dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=(2x+2)dx v=e^{x} end{matrix} ight.$

⇒ $small I= int (x^{2}+2x-1)e^{x}dx$ $small =(x^{2}+2x-1)e^{x}-int (2x+2)e^{x}dx$ $small =(x^{2}+2x-1)e^{x}-J$

- áp dụng nguyên hàm từng phần cho $small J=int (2x+2)e^{x}dx$ :

- Đặt: $small left{egin{matrix} u=2x+2 dv=e^{x}dx end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} du=2dx v=e^{x} end{matrix} ight.$

⇒ $small J=(2x+2)e^{x}-2int e^{x}dx$ $small =(2x+2)e^{x}-2e^{x}+C$ $small =2xe^{x}+C$

⇒ $small I=(x^{2}+2x-1)e^{x}-2xe^{x}+C$ $small =(x^{2}-1)e^{x}+C$

c) small int xsin(2x+1)dx

- Đặt: $small dpi{100} fn_cm small left{egin{matrix} u=x dv=sin(2x+1)dx end{matrix} ight.$ $small Rightarrow left{egin{matrix} du=dx v=-frac{1}{2}cos(2x+1) end{matrix} ight.$