Ma Trận Nghịch đảo (khả Nghịch) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n

Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau:

Ma trận đơn vị cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai ma trận đơn vị I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị nên I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại, có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có:

Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1 dòng không (hoặc cột không) đều không khả nghịch.

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ chứng minh kết quả trên nhé)

3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (hay cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp dòng.

Ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0

Ma trận sơ cấp dạng 1

Ma trận sơ cấp dạng 2: cộng hàng i đã nhân với λ vào dòng j

Ma trận sơ cấp dạng 2

Ma trận sơ cấp dạng 3: Đổi chỗ dòng i và dòng j

Ma trận sơ cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột)

3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch khi và chỉ khi dạng chính tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột); đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên phải ma trận A

Lập ma trận chi khối cấp n x 2n

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A’ | B ], trong đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc.

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không cần phải đưa A’ về dạng chính tắc) và kết thúc thuật toán.

Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:

$\left ( \begin{array}{c c c} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \\ \end{array} \right )$

Từ đó suy ra $A^{2008}$

Giải:

Vì vậy, ta có: A khả nghịch và:

$A^{-1} =$ $\left ( \begin{array}{c c c} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \\ \end{array} \right )$ ${= A}$

Từ $A^{-1} = A$ ta có: $A^2 = I_3$ . Do đó: $A^{2008} = (A^2)^{1004} = I_3^{1004} = I_3$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

95 bình luận về “Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)”

cách tìm ma trận giao hoán của một ma trận khác

ThíchThích
Posted by nguyen ngoc quy | 26/10/2009, 10:22 Reply to this comment
Thưa thầy!Thầy có thể nój cho chúng e kinh nghiệm tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp G được khog ạ?E cám ơn

ThíchThích
Posted by Phog | 24/10/2009, 23:36 Reply to this comment
- Có 4 bước đây nè B1: tìm định thức của ma trận A. Nếu det(A) = 0 thì không có ma trận nghịch đảo và nếu #0 thì có B2: Lập ma trận chuyển vị A’ của A B3: Lập ma trận liên hợp của A’ được định nghĩa là: A* = (A’ij)n.m , với A’ij là phần bù đại số của phần tử ở dòng i cột j trong ma trận A B4:tinh ma tran A^-1=A*/det(A) Nếu làm đúng thì Ok thôi. Mấy câu này mình gặp suốt. Có gì trao đổi, mình sẽ giải đáp cho. Mình là SV năm nhất nà.
  
  ThíchThích
  Posted by nguyen ngoc quy | 26/10/2009, 10:31 Reply to this comment
Em hỏi ngoài lề 1 chút. Có phương pháp nào tách 1 ma trận A thành 2 ma trận BxC không thưa Thầy?

ThíchThích
Posted by ioi | 24/10/2009, 09:38 Reply to this comment
- Để tách A thành tích 2 ma trận, sau này em sẽ có nhiều cách: dùng trị riêng, vecto riêng, hay ma trận Joocdan,…
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 24/10/2009, 21:41 Reply to this comment
và cho em hỏi . Thầy em bắt vẽ các đường cong trong toạ độ cực. em chưa hiểu cách vẽ ví dụ như xoán áckimét r=a.phi . em vẽ bằng cách lấy từng giá trị của phi tương ứng như còn a thì sao ạ.?

ThíchThích
Posted by Kiennt | 24/10/2009, 09:04 Reply to this comment
- a là hằng số cố định. Ví dụ: a = 1 em có đường cong $r = \varphi$ giống như em vẽ parabol $y = ax^2$
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 24/10/2009, 21:35 Reply to this comment
  - tức là em phải vẽ với a là TH cụ thể ạ.
    
    ThíchThích
    Posted by jm | 24/10/2009, 22:41 Reply to this comment
em thưa thầy nhưng em vẫn chưa hiểu rõ là : vd như ở định thức thì biến đổi dựa vô tính chất và || = ….= || . định thức cuối = định thức ban đầu.

còn ở hạng của ma trận ( hay là tìm ma trận nghịch đảo = biến đổi ) thì biến đổi rất vô tư ko gượng ép như ở định thức . và chỉ được –> —> chứ ko =. đó là dựa vào đâu mà được ạ nó ko thay đổi cái gì ạ. Hay cái cuối tương đương với cái đầu về cái gì ? . ( đều là biến đổi sơ cấp mà)

ThíchThích
Posted by kiennt | 24/10/2009, 08:51 Reply to this comment
- Phép biến đổi sơ cấp là biến ma trận này thành ma trận khác tương đương. Tương đương ở đây là 2 ma trận này có cùng tính chất. Hai ma trận này ko thể bằng nhau. Vì sao thì em nên xem lại khi nào 2 ma trận bằng nhau. Còn tạo sao khi tính định thức là dấu bằng. Để trả lời câu hỏi này, em nên xem lại định nghĩa và các tính chất của định thức. Các thay đổi của định thức ra sao khi sử dụng các phép biến đổi sơ cấp. Ví dụ: đổi chỗ hai dòng (cột) cho nhau thì định thức đổi dấu; có thể rút nhân tử chung của 1 dòng (cột) ra ngoài định thức.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 24/10/2009, 21:34 Reply to this comment
  - Quan trọng ở đây. sau một phép biến đổi sơ cấp trên ma trận ta được một ma trận (hai ma trận này không bằng nhau-theo đn). Còn định thức khi tính ra nó chỉ là 1 số. (các số này bằng nhau – dựa vào các tính chất của định thức).
    
    ThíchThích
    Posted by tano | 10/04/2012, 15:51 Reply to this comment
e hỏi ngoài lề 1 tí Thầy ơi: có phương pháp nào để tách ma trận A thành ma trận B.C k thưa thầy? Trước giờ em chỉ đoán và làm thôi. Không có phương pháp cụ thể nên gặp bài khó là bí. Thầy chỉ giúp em.

ThíchThích
Posted by ioio | 24/10/2009, 08:49 Reply to this comment
thầy ơi. Cho em hỏi: 1. tìm ma trận nghịch đảo bằng Gausβ – Jordan thì ta ghép như vậy chỉ được dùng trên dòng phải ko ạ. ? 2. tìm hạng của ma trận cũng biến đổi về ma trận bậc thang. Nhưng có kiểu nhận biết nào để ta dừng lại ko làm cho các pt = 0 nữa ko ạ. còn cái này thì cả dòng và cột phải ko ạ?

ThíchThích
Posted by jm | 23/10/2009, 23:56 Reply to this comment
- 1.Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng cách ghép ma trận đơn vị vào bên phải (trái) thì ta chỉ dùng được pbdsc trên dòng. Bởi nếu chỉ dùng pbdsc trên cột, ta vẫn có thể đưa ma trận A về ma trận đơn vị, còn ma trận đơn vị bên phải vẫn ko thay đổi gì. 2. Khi em tìm hạng của ma trận bằng pbdcs thì hạng chính là số dòng (cột) khác không của ma trận bậc thang dòng (cột) tương ứng của ma trận đó, nên em chỉ cần đưa về ma trận bậc thang dòng (cột) là đủ.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 24/10/2009, 06:23 Reply to this comment
thua thay vay phuong phap thay trinh bay tren chu yeu la dua A ve dang don vi rui ket luan ma tran ben kia la nghich dao cua A phai ko

ThíchThích
Posted by nguyen tien anh | 13/10/2009, 10:30 Reply to this comment
- đúng vậy. Nhưng nếu ghép bên phải (hoặc bên trái) thì em chỉ được sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng mà thôi
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 14/10/2009, 20:46 Reply to this comment
Thua thay ngoai cach thong thuong la doan mo` thay co’ the chi em cach dua ma tran ve ma tran don vi theo phuong phap khoa hoc.Cam on thay !

ThíchThích
Posted by ngochuy | 15/09/2009, 07:09 Reply to this comment
- Cách đoán mò là cách thế nào vậy em, chỉ Thầy với, Thầy chưa biết cách này. Còn em muốn biết cách chính quy thì em xem tại: https://thunhan.wordpress.com/bai-giang/dai-so-tuyen-tinh/thuat-toan-tim-ma-tran-bac-thang/
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 15/09/2009, 14:05 Reply to this comment
  - thầy trả lời hay quá!,em thấy bạn nói cũng có ý đúng đấy chứ. Bởi vì, khi em xem cách làm của thầy thì em thấy chẳng có 1 quy tắc chung nào cả,có chăng là thầy làm nhiều nên quen tay.Vậy thì em phải nên làm “mò” thật nhiều, khi đó em sẽ thấy nó dễ hơn đúng không thầy?
    
    ThíchThích
    Posted by emMui | 19/01/2010, 13:50 Reply to this comment
    - Em xem thuật toán tìm ma trận bậc thang thì sẽ biết rõ quy tắc tính như thế nào nha.
      
      ThíchThích
      Posted by 2Bo02B | 19/01/2010, 23:22
thầy ơi.thầy cho em hỏi:vậy khi mình tính được ma trận nghịch đảo rồi co cách nào để kiểm tra lại là kết quả đó đã đúng được hay chưa không thầy

ThíchThích
Posted by trinh | 23/06/2009, 19:34 Reply to this comment
- Để biết đúng hay sai, em lấy 2 ma trận nhân lại với nhau xem có ra ma trận đơn vị hay không. Nếu không thì mình đã làm sai.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 23/06/2009, 20:37 Reply to this comment
Thưa thầy, cho e hỏi là nếu dùng các phép biến đổi sơ cấp trên cột để tìm ma trận nghịch đảo thì có gì khác so với khi áp dụng các phép biến đổi trên hàng. Em cảm ơn thầy.

ThíchThích
Posted by Hoa | 18/06/2009, 19:59 Reply to this comment
- Nếu dùng pbdsc trên cột thì phải ghép ma trận đơn vị ở phía dưới ma trận A. Khi đó em chỉ được sử dụng pbdsc trên cột mà không thể dùng pbdsc trên hàng. Còn nếu em ghép ma trận đơn vị ở bên phải ma trận A thì em chỉ có thể sử dụng pbdsc trên hàng mà không thể dùng pbdsc trên cột.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 18/06/2009, 22:49 Reply to this comment
Mình có bài toán nhỏ mong bà con coi giải giúp mình nhé! Cho các hoán vị $P= \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ \end{array} \right)$ , $Q=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ \end{array} \right)$ Xác định $PQ, QP, P^{-1}, Q^{-1}$

ThíchThích
Posted by chuatethegioi18 | 01/06/2009, 18:24 Reply to this comment
- Ta có P(1) = 3, P(2) = 4, P(3) = 1, P(4) = 2 ; Q(1) = 2, Q(2) = 4, Q(3) = 1, Q(4) = 3 Nên: PQ(1) = P(Q(1)) = P(2) = 4 PQ(2) = P(Q(2)) = P(4) = 2 PQ(3) = P(Q(3)) = P(1) = 3 PQ(4) = P(Q(4)) = P(3) = 1 Vậy: $PQ = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right)$ Bạn làm tương tự cho các trường hợp còn lại nhé
  
  ThíchThích
  Posted by Tường Huy | 03/06/2009, 07:10 Reply to this comment
  - mình cảm ơn Tường Huy nhiều lắm lắm!!!!!!!!!!!!! bạn có thể jải júp mình thêm fần P-1&Q-1 được ko?bởi vì chưa thực sự hỉu rõ lắm về fần này lắm mà thầy mình lại hối tụi mình ghê quá!!!!!!!!bạn có thể chuyển hồi âm của Huy đến mail của mình:chuatethegioi18@yahoo.com.vn được ko?THANKS VERY “IT”
    
    ThíchThích
    Posted by chuatethegioi18 | 05/06/2009, 21:37 Reply to this comment
    - $P^{-1}$ là ánh xạ ngược của P. Do đó, nếu P(1) = 4 thì em sẽ có: $P^{-1}(4) = 1$ Cái này nó cũng giống như hình ảnh của hàm ngược, ánh xạ ngược vậy.
      
      ThíchThích
      Posted by 2Bo02B | 05/06/2009, 22:06