Tìm Ma Trận Nghịch đảo

Tìm ma trận nghịch đảo- một vấn đề thường được giải quyết bằng hai phương pháp:

• phương pháp bổ sung đại số, trong đó yêu cầu tìm định thức và chuyển ma trận;
• phương pháp loại bỏ gauss không xác định, trong đó nó được yêu cầu để thực hiện các phép biến đổi cơ bản của ma trận (thêm hàng, nhân các hàng với cùng một số, v.v.).

Đối với những người đặc biệt tò mò, có những phương pháp khác, ví dụ, phương pháp biến đổi tuyến tính. Trong bài học này, chúng ta sẽ phân tích 3 phương pháp đã nêu và các thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng các phương pháp này.

ma trận nghịch đảo NHƯNG, một ma trận như vậy được gọi là

NHƯNG . (1)

ma trận nghịch đảo , bắt buộc phải tìm cho một ma trận vuông nhất định NHƯNG, một ma trận như vậy được gọi là

sản phẩm mà ma trận NHƯNGở bên phải là ma trận nhận dạng, tức là . (1)

Ma trận nhận dạng là một ma trận đường chéo trong đó tất cả các mục nhập đường chéo đều bằng một.

Định lý.Đối với mọi ma trận vuông không kỳ dị (không suy biến, không kỳ dị), người ta có thể tìm thấy một ma trận nghịch đảo, và hơn nữa, chỉ một ma trận. Đối với một ma trận vuông đặc biệt (suy biến, số ít), ma trận nghịch đảo không tồn tại.

Ma trận vuông được gọi là không đặc biệt(hoặc không thoái hóa, không số ít) nếu định thức của nó không bằng 0, và đặc biệt(hoặc thoái hóa, số ít) nếu định thức của nó bằng không.

ma trận nghịch đảo chỉ có thể được tìm thấy cho một ma trận vuông. Đương nhiên, ma trận nghịch đảo cũng sẽ là hình vuông và cùng bậc với ma trận đã cho. Ma trận mà ma trận nghịch đảo có thể được tìm thấy được gọi là ma trận khả nghịch.

Vì ma trận nghịch đảo có sự tương tự apt với nghịch đảo của một số. Cho mọi số một, không bằng 0, tồn tại một số b rằng công việc một và b bằng một: ab= 1. Con số bđược gọi là nghịch đảo của một số b. Ví dụ, đối với số 7, nghịch đảo là số 1/7, vì 7 * 1/7 = 1.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp cộng đại số (ma trận liên hợp)

Đối với một ma trận vuông không kỳ dị NHƯNG nghịch đảo là ma trận

đâu là yếu tố quyết định ma trận NHƯNG, а là ma trận liên kết với ma trận NHƯNG.

Liên minh với ma trận vuông Một là một ma trận có cùng bậc có các phần tử là phép cộng đại số các phần tử tương ứng của định thức của ma trận được hoán vị đối với ma trận A. Do đó, nếu

sau đó

và

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp cộng đại số

1. Tìm định thức của ma trận này Một. Nếu định thức bằng 0, việc tìm ma trận nghịch đảo sẽ dừng lại, vì ma trận là suy biến và không có nghịch đảo đối với nó.

2. Tìm một ma trận được chuyển đổi liên quan đến Một.

3. Tính toán các phần tử của ma trận liên hợp dưới dạng phần phụ đại số của marita được tìm thấy ở bước 2.

4. Áp dụng công thức (2): nhân số, định thức nghịch đảo ma trận Một, vào ma trận liên hợp được tìm thấy trong bước 4.

5. Kiểm tra kết quả thu được ở bước 4 bằng cách nhân ma trận này Một vào ma trận nghịch đảo. Nếu tích của các ma trận này bằng ma trận đồng nhất, thì ma trận nghịch đảo được tìm thấy đúng. Nếu không, hãy bắt đầu lại quy trình giải pháp.

ví dụ 1Đối với ma trận

tìm ma trận nghịch đảo.

Quyết định. Để tìm ma trận nghịch đảo, cần tìm định thức của ma trận NHƯNG. Chúng tôi tìm thấy theo quy tắc của tam giác:

Do đó, ma trận NHƯNG là không số ít (không suy biến, không số ít) và có một nghịch đảo cho nó.

Hãy tìm ma trận liên kết với ma trận đã cho NHƯNG.

Hãy tìm ma trận được hoán vị đối với ma trận Một:

Chúng tôi tính toán các phần tử của ma trận liên hợp dưới dạng phần bổ sung đại số của ma trận được hoán vị đối với ma trận Một:

Do đó, ma trận liên hợp với ma trận Một, có dạng

Nhận xét. Thứ tự tính toán các phần tử và chuyển vị của ma trận có thể khác nhau. Đầu tiên người ta có thể tính toán phần bổ sung đại số của ma trận Một, và sau đó chuyển ma trận của các phần phụ đại số. Kết quả phải là các phần tử giống nhau của ma trận liên hợp.

Áp dụng công thức (2), ta nhận thấy ma trận nghịch đảo với ma trận NHƯNG:

Tìm ma trận nghịch đảo của Gaussian Loại bỏ những điều chưa biết

Bước đầu tiên để tìm ma trận nghịch đảo bằng cách khử Gaussian là gán cho ma trận Một ma trận đơn vị cùng thứ tự, ngăn cách chúng bằng một thanh dọc. Chúng tôi nhận được một ma trận kép. Nhân cả hai phần của ma trận này với, sau đó chúng tôi nhận được

,

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng phép loại bỏ ẩn số Gaussian

1. Đến ma trận Một gán một ma trận nhận dạng có cùng thứ tự.

2. Biến đổi ma trận kép thu được để ma trận nhận dạng nhận được ở phần bên trái của nó, sau đó ma trận nghịch đảo sẽ tự động nhận được ở phần bên phải thay cho ma trận nhận dạng. Ma trận Mộtở phía bên trái được chuyển đổi thành ma trận nhận dạng bởi biến đổi cơ bản ma trận.

2. Nếu trong quá trình biến đổi ma trận Một vào ma trận nhận dạng trong bất kỳ hàng nào hoặc trong bất kỳ cột nào sẽ chỉ có các số không, khi đó định thức của ma trận bằng 0, và do đó, ma trận Một sẽ suy biến, và nó không có ma trận nghịch đảo. Trong trường hợp này, việc tìm kiếm thêm ma trận nghịch đảo sẽ dừng lại.

Ví dụ 2Đối với ma trận

tìm ma trận nghịch đảo.

và chúng ta sẽ biến đổi nó để thu được ma trận nhận dạng ở phía bên trái. Hãy bắt đầu chuyển đổi.

Nhân hàng đầu tiên của ma trận bên trái và bên phải với (-3) và thêm nó vào hàng thứ hai, sau đó nhân hàng đầu tiên với (-4) và cộng nó vào hàng thứ ba, sau đó chúng ta nhận được

.

Để tránh, nếu có thể số phân số trong các phép biến đổi tiếp theo, trước tiên chúng ta sẽ tạo một đơn vị ở hàng thứ hai ở phía bên trái của ma trận kép. Để làm điều này, nhân hàng thứ hai với 2 và trừ hàng thứ ba với nó, sau đó chúng tôi nhận được

.

Hãy cộng hàng đầu tiên với hàng thứ hai, sau đó nhân hàng thứ hai với (-9) và cộng nó vào hàng thứ ba. Sau đó, chúng tôi nhận được

.

Chia hàng thứ ba cho 8, sau đó

.

Nhân hàng thứ ba với 2 và thêm nó vào hàng thứ hai. Hóa ra:

.

Trao đổi vị trí của dòng thứ hai và thứ ba, cuối cùng chúng ta nhận được:

.

Chúng ta thấy rằng ma trận đồng nhất nhận được ở phía bên trái, do đó, ma trận nghịch đảo nhận được ở phía bên phải. Như vậy:

.

Bạn có thể kiểm tra tính đúng đắn của các phép tính bằng cách nhân ma trận ban đầu với ma trận nghịch đảo tìm được:

Kết quả phải là một ma trận nghịch đảo.

Ví dụ 3Đối với ma trận

tìm ma trận nghịch đảo.

Quyết định. Biên dịch ma trận kép

và chúng tôi sẽ biến đổi nó.

Chúng ta nhân hàng đầu tiên với 3, và hàng thứ hai với 2, và trừ cho hàng thứ hai, sau đó chúng ta nhân hàng đầu tiên với 5, và hàng thứ ba với 2 và trừ vào hàng thứ ba, thì chúng ta được

.

Chúng tôi nhân hàng đầu tiên với 2 và cộng nó với hàng thứ hai, sau đó trừ hàng thứ hai với hàng thứ ba, sau đó chúng tôi nhận được

.

Chúng ta thấy rằng trong dòng thứ ba ở phía bên trái, tất cả các phần tử hóa ra đều bằng không. Do đó, ma trận là suy biến và không có ma trận nghịch đảo. Chúng tôi ngừng tìm kiếm thêm về maria ngược.

Chủ đề này là một trong những chủ đề bị học sinh ghét nhất. Tệ hơn nữa, có lẽ, chỉ có yếu tố quyết định.

Bí quyết là chính khái niệm về phần tử nghịch đảo (và bây giờ tôi không chỉ nói về ma trận) đề cập đến phép toán của phép nhân. Thậm chí ở chương trình giáo dục phép nhân được coi là hoạt động phức tạp, và phép nhân ma trận nói chung là một chủ đề riêng biệt, mà tôi có cả một đoạn văn và một video hướng dẫn dành cho chủ đề đó.

Hôm nay chúng ta sẽ không đi tìm hiểu chi tiết về các phép tính ma trận. Chỉ cần nhớ: cách các ma trận được biểu thị, cách chúng được nhân và những gì tiếp theo từ điều này.

Xem lại: Phép nhân ma trận

Trước hết, chúng ta hãy thống nhất về ký hiệu. Ma trận $ A $ có kích thước $ \ left [m \ times n \ right] $ chỉ đơn giản là một bảng số với chính xác $ m $ hàng và $ n $ cột:

\ = \ underbrace (\ left [\ begin (matrix) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) \\ (( a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & ((a) _ (2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (m1)) & ((a) _ (m2)) & ... & ((a) _ (mn)) \\\ end (matrix) \ right]) _ (n) \]

Để không vô tình nhầm lẫn các hàng và cột ở các vị trí (tin tôi đi, trong bài kiểm tra, bạn có thể nhầm lẫn giữa hàng và cột - chúng ta có thể nói gì về một số dòng ở đó), chỉ cần nhìn vào hình ảnh:

Xác định chỉ số cho các ô ma trận

Chuyện gì đang xảy ra vậy? Nếu chúng ta đặt hệ tọa độ chuẩn $ OXY $ ở bên trái góc trên và hướng các trục sao cho chúng bao phủ toàn bộ ma trận, sau đó mỗi ô của ma trận này có thể được liên kết duy nhất với các tọa độ $ \ left (x; y \ right) $ - đây sẽ là số hàng và số cột.

Tại sao hệ tọa độ lại được đặt chính xác ở góc trên bên trái? Có, bởi vì chính từ đó mà chúng ta bắt đầu đọc bất kỳ văn bản nào. Nó rất dễ nhớ.

Tại sao trục $ x $ lại hướng xuống chứ không phải ở bên phải? Một lần nữa, rất đơn giản: lấy hệ tọa độ chuẩn (trục $ x $ sang phải, trục $ y $ đi lên) và xoay nó để nó bao quanh ma trận. Đây là một vòng quay 90 độ theo chiều kim đồng hồ - chúng ta thấy kết quả của nó trong hình.

Nói chung, chúng tôi đã tìm ra cách xác định chỉ số của các phần tử ma trận. Bây giờ chúng ta hãy đối phó với phép nhân.

Sự định nghĩa. Ma trận $ A = \ left [m \ times n \ right] $ và $ B = \ left [n \ times k \ right] $, khi số cột trong đầu tiên khớp với số hàng trong thứ hai, là gọi là nhất quán.

Nó theo thứ tự đó. Người ta có thể mơ hồ và nói rằng các ma trận $ A $ và $ B $ tạo thành một cặp có thứ tự $ \ left (A; B \ right) $: nếu chúng nhất quán theo thứ tự này thì $ B là không cần thiết. $ và $ A $, những cái đó. cặp $ \ left (B; A \ right) $ cũng nhất quán.

Chỉ các ma trận nhất quán mới có thể được nhân lên.

Sự định nghĩa. Tích của ma trận nhất quán $ A = \ left [m \ times n \ right] $ và $ B = \ left [n \ times k \ right] $ là ma trận mới $ C = \ left [m \ times k \ right ] $, ​​có các phần tử $ ((c) _ (ij)) $ được tính theo công thức:

\ [((c) _ (ij)) = \ sum \ limit_ (k = 1) ^ (n) (((a) _ (ik))) \ cdot ((b) _ (kj)) \]

Nói cách khác: để lấy phần tử $ ((c) _ (ij)) $ của ma trận $ C = A \ cdot B $, bạn cần lấy $ i $ -row của ma trận đầu tiên, $ j $ -cột thứ của ma trận thứ hai, rồi nhân theo cặp phần tử từ hàng và cột này. Cộng các kết quả.

Vâng, đó là một định nghĩa khắc nghiệt. Một số sự kiện ngay sau đó:

1. Nói chung, phép nhân ma trận là không giao hoán: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $;
2. Tuy nhiên, phép nhân có tính chất kết hợp: $ \ left (A \ cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $;
3. Và phân phối đều: $ \ left (A + B \ right) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $;
4. Và phân phối lại: $ A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C $.

Phân phối của phép nhân phải được mô tả riêng biệt cho phép nhân-tổng bên trái và bên phải chỉ vì tính không giao hoán của phép nhân.

Tuy nhiên, nếu $ A \ cdot B = B \ cdot A $, các ma trận như vậy được gọi là có thể hoán vị.

Trong số tất cả các ma trận được nhân với một thứ ở đó, có những ma trận đặc biệt - những ma trận mà khi nhân với bất kỳ ma trận nào $ A $, lại cho $ A $:

Sự định nghĩa. Một ma trận $ E $ được gọi là đồng nhất nếu $ A \ cdot E = A $ hoặc $ E \ cdot A = A $. Trong trường hợp của một ma trận vuông $ A $, chúng ta có thể viết:

Ma trận nhận dạng là một khách hàng thường xuyên trong việc giải quyết phương trình ma trận. Và nói chung, một khách thường xuyên trong thế giới của ma trận. :)

Và vì $ E $ này, ai đó đã nghĩ ra tất cả trò chơi sẽ được viết tiếp theo.

Ma trận nghịch đảo là gì

Vì phép nhân ma trận là một hoạt động rất tốn thời gian (bạn phải nhân một loạt các hàng và cột), nên khái niệm ma trận nghịch đảo cũng không phải là đơn giản nhất. Và nó cần một số lời giải thích.

Định nghĩa chính

Vâng, đã đến lúc biết sự thật.

Sự định nghĩa. Ma trận $ B $ được gọi là nghịch đảo của ma trận $ A $ nếu

Ma trận nghịch đảo được ký hiệu là $ ((A) ^ (- 1)) $ (đừng nhầm với bậc!), Vì vậy định nghĩa có thể được viết lại như sau:

Có vẻ như mọi thứ đều cực kỳ đơn giản và rõ ràng. Nhưng khi phân tích một định nghĩa như vậy, một số câu hỏi ngay lập tức nảy sinh:

1. Có luôn tồn tại ma trận nghịch đảo không? Và nếu không phải luôn luôn, thì làm thế nào để xác định: khi nào nó tồn tại và khi nào nó không?
2. Và ai đã nói rằng một ma trận như vậy chính xác là một? Điều gì sẽ xảy ra nếu đối với một số ma trận ban đầu $ A $ có một đám đông đảo ngược?
3. Tất cả những "sự đảo ngược" này trông như thế nào? Và bạn thực sự đếm chúng như thế nào?

Đối với các thuật toán tính toán - chúng ta sẽ nói về điều này sau một chút. Nhưng chúng tôi sẽ trả lời phần còn lại của các câu hỏi ngay bây giờ. Chúng ta hãy sắp xếp chúng dưới dạng các khẳng định-bổ đề riêng biệt.

Các tính chất cơ bản

Hãy bắt đầu với ma trận $ A $ sẽ trông như thế nào để nó có $ ((A) ^ (- 1)) $. Bây giờ chúng ta sẽ đảm bảo rằng cả hai ma trận này phải là hình vuông và có cùng kích thước: $ \ left [n \ times n \ right] $.

Bổ đề 1. Cho ma trận $ A $ và nghịch đảo của nó $ ((A) ^ (- 1)) $. Khi đó cả hai ma trận này đều vuông và có cùng thứ tự $ n $.

Bằng chứng. Mọi thứ đều đơn giản. Cho ma trận $ A = \ left [m \ times n \ right] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ left [a \ times b \ right] $. Vì tích $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $ tồn tại theo định nghĩa, ma trận $ A $ và $ ((A) ^ (- 1)) $ nhất quán theo thứ tự đó:

\ [\ begin (align) & \ left [m \ times n \ right] \ cdot \ left [a \ times b \ right] = \ left [m \ times b \ right] \\ & n = a \ end ( căn chỉnh)\]

Đây là hệ quả trực tiếp của thuật toán nhân ma trận: các hệ số $ n $ và $ a $ là "quá cảnh" và phải bằng nhau.

Đồng thời, phép nhân nghịch đảo cũng được xác định: $ ((A) ^ (- 1)) \ cdot A = E $, do đó ma trận $ ((A) ^ (- 1)) $ và $ A $ là cũng nhất quán theo thứ tự này:

\ [\ begin (align) & \ left [a \ times b \ right] \ cdot \ left [m \ times n \ right] = \ left [a \ times n \ right] \\ & b = m \ end ( căn chỉnh)\]

Do đó, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng $ A = \ left [m \ times n \ right] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ left [n \ times m \ right] $. Tuy nhiên, theo định nghĩa của $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = ((A) ^ (- 1)) \ cdot A $, vì vậy kích thước của ma trận hoàn toàn giống nhau:

\ [\ begin (align) & \ left [m \ times n \ right] = \ left [n \ times m \ right] \\ & m = n \ end (align) \]

Vì vậy, nó chỉ ra rằng cả ba ma trận - $ A $, $ ((A) ^ (- 1)) $ và $ E $ - là kích thước vuông$ \ left [n \ times n \ right] $. Bổ đề được chứng minh.

Chà, vậy là tốt rồi. Chúng ta thấy rằng chỉ có ma trận vuông là khả nghịch. Bây giờ hãy đảm bảo rằng ma trận nghịch đảo luôn giống nhau.

Bổ đề 2. Cho ma trận $ A $ và nghịch đảo của nó $ ((A) ^ (- 1)) $. Khi đó ma trận nghịch đảo này là duy nhất.

Bằng chứng. Hãy bắt đầu từ điều ngược lại: để ma trận $ A $ có ít nhất hai trường hợp nghịch đảo - $ B $ và $ C $. Khi đó, theo định nghĩa, các giá trị bằng nhau sau đây là đúng:

\ [\ begin (align) & A \ cdot B = B \ cdot A = E; \\ & A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \ end (căn chỉnh) \]

Từ Bổ đề 1, chúng ta kết luận rằng cả bốn ma trận $ A $, $ B $, $ C $ và $ E $ là bình phương có cùng thứ tự: $ \ left [n \ times n \ right] $. Do đó, sản phẩm được định nghĩa:

Vì phép nhân ma trận có tính chất kết hợp (nhưng không có tính chất giao hoán!), Chúng ta có thể viết:

\ [\ begin (align) & B \ cdot A \ cdot C = \ left (B \ cdot A \ right) \ cdot C = E \ cdot C = C; \\ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ left (A \ cdot C \ right) = B \ cdot E = B; \\ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ Rightarrow B = C. \\ \ end (căn chỉnh) \]

Chỉ nhận được biến thể có thể: hai thể hiện của ma trận nghịch đảo là bằng nhau. Bổ đề được chứng minh.

Lập luận trên hầu như lặp lại nguyên văn bằng chứng về tính duy nhất của phần tử nghịch đảo đối với tất cả số thực$ b \ ne 0 $. Sự bổ sung quan trọng duy nhất là tính đến thứ nguyên của ma trận.

Tuy nhiên, chúng tôi vẫn chưa biết bất cứ điều gì về việc bất kỳ Ma trận vuông có thể đảo ngược. Ở đây, định thức có ích cho chúng ta - đây là đặc điểm chính cho tất cả các ma trận vuông.

Bổ đề 3. Cho ma trận $ A $. Nếu tồn tại ma trận $ ((A) ^ (- 1)) $ nghịch đảo với nó, thì định thức của ma trận ban đầu là khác không:

\ [\ left | A \ right | \ ne 0 \]

Bằng chứng. Chúng ta đã biết rằng $ A $ và $ ((A) ^ (- 1)) $ là các ma trận vuông có kích thước $ \ left [n \ times n \ right] $. Do đó, với mỗi chúng có thể tính được định thức: $ \ left | A \ right | $ và $ \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | $. Tuy nhiên, yếu tố quyết định sản phẩm bằng với sản phẩm yếu tố quyết định:

\ [\ left | A \ cdot B \ right | = \ left | A \ right | \ cdot \ left | B \ right | \ Rightarrow \ left | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ right | = \ left | A \ right | \ cdot \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | \]

Nhưng theo định nghĩa của $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $, và định thức của $ E $ luôn bằng 1, vì vậy

\ [\ begin (align) & A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E; \\ & \ left | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ right | = \ left | E \ đúng |; \\ & \ left | A \ right | \ cdot \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | = 1. \\ \ end (căn chỉnh) \]

Tích của hai số chỉ bằng một nếu mỗi số này khác 0:

\ [\ left | A \ right | \ ne 0; \ quad \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | \ ne 0. \]

Vì vậy, nó chỉ ra rằng $ \ left | A \ right | \ ne 0 $. Bổ đề được chứng minh.

Trên thực tế, yêu cầu này khá logic. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích thuật toán tìm ma trận nghịch đảo - và nó sẽ trở nên hoàn toàn rõ ràng tại sao về nguyên tắc, không có ma trận nghịch đảo nào có thể tồn tại với định thức bằng không.

Nhưng trước tiên, hãy hình thành một định nghĩa "phụ trợ":

Sự định nghĩa. Ma trận suy biến là ma trận vuông có kích thước $ \ left [n \ times n \ right] $ có định thức bằng 0.

Do đó, chúng ta có thể khẳng định rằng bất kỳ ma trận khả nghịch nào là không sinh.

Cách tìm ma trận nghịch đảo

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một thuật toán phổ quát để tìm ma trận nghịch đảo. Nói chung, có hai thuật toán thường được chấp nhận và chúng ta cũng sẽ xem xét thuật toán thứ hai hôm nay.

Ma trận sẽ được xem xét bây giờ rất hiệu quả đối với ma trận có kích thước $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ và - một phần - có kích thước $ \ left [3 \ times 3 \ right] $. Nhưng bắt đầu từ kích thước $ \ left [4 \ times 4 \ right] $ thì tốt hơn là không nên sử dụng nó. Tại sao - bây giờ bạn sẽ hiểu mọi thứ.

Phép cộng đại số

Chuẩn bị. Bây giờ sẽ có đau đớn. Không, đừng lo lắng: một cô y tá xinh đẹp trong chiếc váy, tất có ren không đến với bạn và sẽ không tiêm vào mông cho bạn. Mọi thứ trở nên đơn giản hơn nhiều: các bổ sung đại số và "Ma trận Liên minh" của Nữ hoàng đang đến với bạn.

Hãy bắt đầu với cái chính. Cho ma trận vuông có kích thước $ A = \ left [n \ times n \ right] $ có các phần tử được đặt tên là $ ((a) _ (ij)) $. Sau đó, đối với mỗi phần tử như vậy, người ta có thể xác định một phần bù đại số:

Sự định nghĩa. Phần bù đại số $ ((A) _ (ij)) $ cho phần tử $ ((a) _ (ij)) $ trong hàng $ i $ -th và cột $ j $ -th của ma trận $ A = \ left [n \ times n \ right] $ là một cấu trúc của biểu mẫu

\ [((A) _ (ij)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (i + j)) \ cdot M_ (ij) ^ (*) \]

Trong đó $ M_ (ij) ^ (*) $ là định thức của ma trận thu được từ $ A $ ban đầu bằng cách xóa cùng hàng $ i $ -th và cột $ j $ -th.

Lần nữa. Phần bù đại số cho phần tử ma trận có tọa độ $ \ left (i; j \ right) $ được ký hiệu là $ ((A) _ (ij)) $ và được tính theo sơ đồ:

1. Đầu tiên, chúng ta xóa cột $ i $ -row và cột $ j $ -th khỏi ma trận ban đầu. Chúng tôi nhận được một ma trận vuông mới và chúng tôi ký hiệu định thức của nó là $ M_ (ij) ^ (*) $.
2. Sau đó, chúng ta nhân định thức này với $ ((\ left (-1 \ right)) ^ (i + j)) $ - thoạt đầu biểu thức này có vẻ khó hiểu, nhưng trên thực tế, chúng ta chỉ tìm ra dấu ở phía trước $ M_ (ij) ^ (*) $.
3. Chúng tôi đếm - chúng tôi nhận được con số cụ thể. Những thứ kia. phép cộng đại số chỉ là một số, không phải một số ma trận mới, v.v.

Bản thân ma trận $ M_ (ij) ^ (*) $ được gọi là phần phụ bù cho phần tử $ ((a) _ (ij)) $. Và theo nghĩa này, định nghĩa ở trên về phần bù đại số là một trường hợp đặc biệt của phần nhiều hơn định nghĩa phức tạp- những gì chúng ta đã xem xét trong bài học về định thức.

Lưu ý quan trọng. Trên thực tế, trong toán học "người lớn", phép cộng đại số được định nghĩa như sau:

1. Chúng ta lấy $ k $ hàng và $ k $ cột trong một ma trận vuông. Tại giao điểm của chúng, chúng ta nhận được một ma trận có kích thước $ \ left [k \ times k \ right] $ - định thức của nó được gọi là số nhỏ của bậc $ k $ và được ký hiệu là $ ((M) _ (k)) $.
2. Sau đó, chúng tôi gạch bỏ các hàng $ k $ "đã chọn" và các cột $ k $ này. Một lần nữa, chúng ta nhận được một ma trận vuông - định thức của nó được gọi là phần phụ bù và được ký hiệu là $ M_ (k) ^ (*) $.
3. Nhân $ M_ (k) ^ (*) $ với $ ((\ left (-1 \ right)) ^ (t)) $, trong đó $ t $ là (chú ý ngay!) Tổng các số của tất cả các hàng đã chọn và các cột. Đây sẽ là phép cộng đại số.

Hãy xem bước thứ ba: thực sự có tổng các điều khoản $ 2k $! Một điều nữa là với $ k = 1 $, chúng ta chỉ nhận được 2 số hạng - chúng sẽ giống nhau $ i + j $ - "tọa độ" của phần tử $ ((a) _ (ij)) $, mà chúng ta là tìm kiếm một phần bù đại số.

Vì vậy, hôm nay chúng tôi sử dụng một định nghĩa đơn giản hơn một chút. Nhưng như chúng ta sẽ thấy ở phần sau, nó sẽ là quá đủ. Điều quan trọng hơn nhiều là những điều sau:

Sự định nghĩa. Ma trận liên hợp $ S $ với ma trận vuông $ A = \ left [n \ times n \ right] $ là một ma trận mới có kích thước $ \ left [n \ times n \ right] $, thu được từ $ A $ bằng cách thay $ ((a) _ (ij)) $ bằng phần bổ sung đại số $ ((A) _ (ij)) $:

\\ Rightarrow S = \ left [\ begin (matrix) ((A) _ (11)) & ((A) _ (12)) & ... & ((A) _ (1n)) \\ (( A) _ (21)) & (A) _ (22)) & ... & (A) _ (2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A) _ (n1)) & ((A) _ (n2)) & ... & ((A) _ (nn)) \\\ end (matrix) \ right] \]

Suy nghĩ đầu tiên nảy sinh tại thời điểm nhận ra định nghĩa này là "đây là tổng số bạn phải đếm!" Thư giãn: bạn phải đếm, nhưng không quá nhiều. :)

Chà, tất cả những điều này rất hay, nhưng tại sao nó lại cần thiết? Nhưng tại sao.

Định lý chính

Hãy quay lại một chút. Hãy nhớ rằng, Bổ đề 3 đã phát biểu rằng một ma trận khả nghịch $ A $ luôn không phải là số ít (nghĩa là, định thức của nó khác 0: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $).

Vì vậy, điều ngược lại cũng đúng: nếu ma trận $ A $ không suy biến thì nó luôn khả nghịch. Và thậm chí còn có một lược đồ tìm kiếm $ ((A) ^ (- 1)) $. Kiểm tra nó ra:

Định lý ma trận nghịch đảo. Cho ma trận vuông $ A = \ left [n \ times n \ right] $ cho trước và định thức của nó là số khác: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $. Khi đó ma trận nghịch đảo $ ((A) ^ (- 1)) $ tồn tại và được tính theo công thức:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ left | A \ right |) \ cdot ((S) ^ (T)) \]

Và bây giờ - tất cả đều giống nhau, nhưng ở dạng chữ viết tay dễ đọc. Để tìm ma trận nghịch đảo, bạn cần:

1. Tính định thức $ \ left | A \ right | $ và đảm bảo rằng nó khác 0.
2. Biên dịch ma trận liên hợp $ S $, tức là đếm 100500 phép cộng đại số $ ((A) _ (ij)) $ và đặt chúng vào vị trí $ ((a) _ (ij)) $.
3. Hoán vị ma trận này $ S $ rồi nhân nó với một số $ q = (1) / (\ left | A \ right |) \; $.

Và đó là nó! Ma trận nghịch đảo $ ((A) ^ (- 1)) $ được tìm thấy. Hãy xem các ví dụ:

\ [\ left [\ begin (matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end (matrix) \ right] \]

Quyết định. Hãy kiểm tra khả năng đảo ngược. Hãy tính định thức:

\ [\ left | A \ right | = \ left | \ begin (ma trận) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end (ma trận) \ right | = 3 \ cdot 2-1 \ cdot 5 = 6-5 = 1 \]

Định thức khác 0. Vì vậy, ma trận là khả nghịch. Hãy tạo một ma trận liên hợp:

Hãy tính các phép cộng đại số:

\ [\ begin (align) & (A) _ (11)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ left | 2 \ đúng | = 2; \\ & ((A) _ (12)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ left | 5 \ đúng | = -5; \\ & ((A) _ (21)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ left | 1 \ đúng | = -1; \\ & ((A) _ (22)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (2 + 2)) \ cdot \ left | 3 \ đúng | = 3. \\ \ end (căn chỉnh) \]

Chú ý: định thức | 2 |, | 5 |, | 1 | và | 3 | là các yếu tố quyết định của ma trận có kích thước $ \ left [1 \ times 1 \ right] $, không phải là mô-đun. Những thứ kia. nếu các yếu tố quyết định là số âm, không nhất thiết phải loại bỏ "dấu trừ".

Tổng cộng, ma trận liên minh của chúng tôi trông giống như sau:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ left | A \ right |) \ cdot ((S) ^ (T)) = \ frac (1) (1) \ cdot ( (\ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ end (array) \ right]) ^ (T)) = \ left [\ begin (mảng) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end (mảng) \ phải] \]

Đó là nó. Vấn đề đã được giải quyết.

Trả lời. $ \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end (array) \ right] $

Nhiệm vụ. Tìm ma trận nghịch đảo:

\ [\ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Quyết định. Một lần nữa, chúng tôi xem xét yếu tố quyết định:

\ [\ begin (align) & \ left | \ begin (array) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right | = \ begin (matrix ) \ left (1 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ left (-1 \ right) \ cdot \ left (-1 \ right) \ cdot 1 + 2 \ cdot 0 \ cdot 0 \ right) - \\ - \ left (2 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ left (-1 \ right) \ cdot 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot \ left (-1 \ right) \ cdot 0 \ right) \\\ end (matrix) = \ \ & = \ left (2 + 1 + 0 \ right) - \ left (4 + 0 + 0 \ right) = - 1 \ ne 0. \\ \ end (align) \]

Định thức khác 0 - ma trận khả nghịch. Nhưng bây giờ nó sẽ là nhỏ nhất: bạn phải đếm bao nhiêu là 9 (chín, chết tiệt!) Các phép cộng đại số. Và mỗi người trong số họ sẽ chứa vòng loại $ \ left [2 \ times 2 \ right] $. Flew:

\ [\ begin (matrix) ((A) _ (11)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right | = 2; \\ ((A) _ (12)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ end (matrix) \ right | = -1; \\ ((A) _ (13)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ left | \ begin (ma trận) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ end (ma trận) \ right | = -2; \\ ... \\ ((A) _ (33)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (3 + 3)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ end (matrix) \ right | = 2; \\ \ end (ma trận) \]

Nói tóm lại, ma trận liên hợp sẽ trông như thế này:

Do đó, ma trận nghịch đảo sẽ là:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (- 1) \ cdot \ left [\ begin (matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ end (matrix) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) - 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\ end (mảng) \ phải] \]

Vâng đó là tất cả. Đây là câu trả lời.

Trả lời. $ \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ end (array) \ right ] $

Như bạn có thể thấy, ở cuối mỗi ví dụ, chúng tôi đã thực hiện kiểm tra. Về vấn đề này, một lưu ý quan trọng:

Đừng lười kiểm tra. Nhân ma trận ban đầu với nghịch đảo tìm được - bạn sẽ nhận được $ E $.

Việc kiểm tra này dễ dàng và nhanh hơn nhiều so với việc tìm kiếm lỗi trong các phép tính tiếp theo, chẳng hạn khi bạn giải một phương trình ma trận.

Thay đổi phương pháp

Như tôi đã nói, định lý ma trận nghịch đảo hoạt động tốt cho các kích thước $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ và $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ (trong trường hợp cuối cùng- nó không còn là "hoàn hảo" nữa), nhưng đối với ma trận kích thước lớn, nỗi buồn bắt đầu.

Nhưng đừng lo lắng: có một thuật toán thay thế có thể được sử dụng để tìm ra nghịch đảo một cách bình thường ngay cả đối với ma trận $ \ left [10 \ times 10 \ right] $. Tuy nhiên, như thường lệ, để xem xét thuật toán này, chúng ta cần một chút nền tảng lý thuyết.

Các phép biến đổi cơ bản

Trong số các phép biến đổi khác nhau của ma trận, có một số phép biến đổi đặc biệt - chúng được gọi là cơ bản. Có chính xác ba phép biến đổi như vậy:

1. Phép nhân. Bạn có thể lấy hàng (cột) $ i $ -th và nhân nó với bất kỳ số nào $ k \ ne 0 $;
2. Phép cộng. Thêm vào hàng $ i $ -th (cột) bất kỳ hàng $ j $ -th nào khác (cột) nhân với bất kỳ số nào $ k \ ne 0 $ (tất nhiên, $ k = 0 $ cũng được, nhưng vấn đề là ở đâu của điều đó?? Không có gì sẽ thay đổi mặc dù).
3. Hoán vị. Lấy các hàng (cột) $ i $ -th và $ j $ -th và hoán đổi chúng.

Tại sao các phép biến đổi này được gọi là sơ cấp (đối với các ma trận lớn, chúng trông không quá sơ đẳng) và tại sao chỉ có ba phép biến đổi trong số đó - những câu hỏi này nằm ngoài phạm vi của bài học hôm nay. Do đó, chúng tôi sẽ không đi vào chi tiết.

Một điều quan trọng khác: chúng ta phải thực hiện tất cả các thao tác này trên ma trận liên quan. Vâng, vâng, bạn đã nghe đúng. Bây giờ sẽ có một định nghĩa nữa - định nghĩa cuối cùng trong bài học hôm nay.

Ma trận đính kèm

Chắc chắn ở trường bạn đã giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng. Vâng, ở đó, trừ đi một dòng khác, nhân một dòng với một số - thế thôi.

Vì vậy: bây giờ mọi thứ sẽ giống nhau, nhưng đã “theo cách của người lớn”. Sẵn sàng?

Sự định nghĩa. Cho ma trận $ A = \ left [n \ times n \ right] $ và ma trận nhận dạng $ E $ có cùng kích thước $ n $ cho trước. Sau đó, ma trận liên kết $ \ left [A \ left | E \ đúng. \ right] $ là một ma trận $ \ left [n \ times 2n \ right] $ mới trông giống như sau:

\ [\ left [A \ left | E \ đúng. \ right] = \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & ((a) _ (2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (n1)) & ((a) _ (n2)) & ... & ((a) _ (nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Tóm lại, chúng tôi lấy ma trận $ A $, ở bên phải chúng tôi gán cho nó ma trận nhận dạng $ E $ có kích thước cần thiết, chúng tôi phân tách chúng bằng một thanh dọc cho đẹp - đây là hình đính kèm. :)

Bắt được là gì? Và đây là những gì:

Định lý. Cho ma trận $ A $ khả nghịch. Xét ma trận liền kề $ \ left [A \ left | E \ đúng. \ right] $. Nếu sử dụng biến đổi chuỗi cơ bảnđưa nó về dạng $ \ left [E \ left | Sáng chói. \ right] $, tức là bằng cách nhân, trừ và sắp xếp lại các hàng để thu được từ $ A $ ma trận $ E $ ở bên phải, sau đó ma trận $ B $ thu được ở bên trái là nghịch đảo của $ A $:

\ [\ left [A \ left | E \ đúng. \ right] \ to \ left [E \ left | Sáng chói. \ right] \ Rightarrow B = ((A) ^ (- 1)) \]

Nó đơn giản mà! Tóm lại, thuật toán tìm ma trận nghịch đảo có dạng như sau:

1. Viết ma trận liên quan $ \ left [A \ left | E \ đúng. \ right] $;
2. Thực hiện chuyển đổi chuỗi cơ bản cho đến khi bên phải thay vì $ A $ xuất hiện $ E $;
3. Tất nhiên, một cái gì đó cũng sẽ xuất hiện ở bên trái - một ma trận $ B $ nhất định. Đây sẽ là điều ngược lại;
4. LỢI NHUẬN! :)

Tất nhiên, nói thì dễ hơn làm. Vì vậy, hãy xem xét một vài ví dụ: cho các kích thước $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ và $ \ left [4 \ times 4 \ right] $.

Nhiệm vụ. Tìm ma trận nghịch đảo:

\ [\ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ end (array) \ right] \ ]

Quyết định. Chúng tôi soạn ma trận đính kèm:

\ [\ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ end (mảng) \ phải] \]

Vì cột cuối cùng của ma trận ban đầu được lấp đầy bởi các cột, hãy trừ hàng đầu tiên khỏi phần còn lại:

\ [\ begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ end (mảng) \ phải] \ begin (matrix) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Không có đơn vị nào nữa, ngoại trừ dòng đầu tiên. Nhưng chúng tôi không chạm vào nó, nếu không các đơn vị mới được loại bỏ sẽ bắt đầu "nhân lên" trong cột thứ ba.

Nhưng chúng ta có thể trừ dòng thứ hai hai lần cho dòng cuối cùng - chúng ta nhận được một đơn vị ở góc dưới bên trái:

\ [\ begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \ begin (matrix) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ end (matrix) \ to \\ & \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Bây giờ chúng ta có thể trừ hàng cuối cùng với hàng đầu tiên và hai lần từ hàng thứ hai - theo cách này, chúng ta sẽ "loại bỏ" cột đầu tiên:

\ [\ begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (mảng) \ right] \ begin (matrix) -1 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ end (matrix) \ to \\ & \ sang \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (mảng) \ phải] \\ \ end (căn chỉnh) \]

Nhân hàng thứ hai với −1 rồi trừ đi 6 lần với hàng đầu tiên và cộng 1 lần vào hàng cuối cùng:

\ [\ begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (mảng) \ phải] \ begin (ma trận) \ \\ \ left | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ \ \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (mảng) \ right] \ begin (matrix) -6 \\ \ updownarrow \\ +1 \\\ end (ma trận) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Nó vẫn chỉ để hoán đổi dòng 1 và 3:

\ [\ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\ end (mảng) \ phải] \]

Sẵn sàng! Ở bên phải là ma trận nghịch đảo bắt buộc.

Trả lời. $ \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ end (array) \ right ] $

Nhiệm vụ. Tìm ma trận nghịch đảo:

\ [\ left [\ begin (ma trận) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\ end (ma trận) \ right] \]

Quyết định. Một lần nữa, chúng tôi soạn tệp đính kèm:

\ [\ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Đi vay một chút, lo lắng xem bây giờ phải đếm bao nhiêu ... rồi bắt đầu tính. Để bắt đầu, chúng tôi "loại bỏ" cột đầu tiên bằng cách trừ hàng 1 cho hàng 2 và 3:

\ [\ begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end (mảng) \ right] \ begin (matrix) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Chúng tôi quan sát thấy quá nhiều "minuses" trong các dòng 2-4. Nhân cả ba hàng với −1, rồi ghi cột thứ ba bằng cách lấy phần còn lại trừ hàng 3:

\ [\ begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end (mảng) \ phải] \ begin (ma trận) \ \\ \ left | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ \ left | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ \ left | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \ end (array) \ right] \ begin (matrix) -2 \\ -1 \\ \ updownarrow \\ -2 \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) ( rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Bây giờ đã đến lúc "xào" cột cuối cùng của ma trận ban đầu: trừ hàng 4 khỏi phần còn lại:

\ [\ begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (mảng ) \ right] \ begin (matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Cuộn cuối cùng: "đốt cháy" cột thứ hai bằng cách trừ hàng 2 cho hàng 1 và 3:

\ [\ begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end ( array) \ right] \ begin (matrix) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \ \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Và một lần nữa, ma trận nhận dạng ở bên trái, vì vậy nghịch đảo ở bên phải. :)

Trả lời. $ \ left [\ begin (matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ end (matrix) \ right] $

Định nghĩa 1: Một ma trận được gọi là suy biến nếu định thức của nó bằng không.

Định nghĩa 2: Một ma trận được gọi là không số ít nếu định thức của nó không bằng 0.

Ma trận "A" được gọi là ma trận nghịch đảo, nếu điều kiện A * A-1 = A-1 * A = E (ma trận nhận dạng) được thỏa mãn.

Một ma trận vuông chỉ có thể nghịch đảo nếu nó không phải là ma trận.

Sơ đồ tính toán ma trận nghịch đảo:

1) Tính định thức của ma trận "A" nếu ∆ A = 0 thì không tồn tại ma trận nghịch đảo.

2) Tìm tất cả các phần phụ đại số của ma trận "A".

3) Soạn một ma trận của các phép cộng đại số (Aij)

4) Chuyển vị ma trận của các phần phụ đại số (Aij) T

5) Nhân ma trận đã chuyển vị với nghịch đảo của định thức của ma trận này.

6) Chạy séc:

Thoạt nghe có vẻ khó nhưng thực tế mọi thứ lại rất đơn giản. Tất cả các giải pháp đều dựa trên sự đơn giản các phép tính toán học, điều chính khi giải là không bị nhầm lẫn với các dấu "-" và "+", và không để mất chúng.

Bây giờ chúng ta hãy cùng nhau quyết định nhiệm vụ thực tế, tính toán ma trận nghịch đảo.

Nhiệm vụ: tìm ma trận nghịch đảo "A", được hiển thị trong hình dưới đây:

Chúng tôi giải quyết mọi thứ chính xác như được chỉ ra trong kế hoạch tính toán ma trận nghịch đảo.

1. Việc đầu tiên cần làm là tìm định thức của ma trận "A":

Giải trình:

Chúng tôi đã đơn giản hóa yếu tố quyết định của mình bằng cách sử dụng các chức năng chính của nó. Đầu tiên, chúng tôi thêm vào hàng thứ 2 và thứ 3 các phần tử của hàng đầu tiên, nhân với một số.

Thứ hai, chúng tôi đã thay đổi cột thứ 2 và thứ 3 của định thức, và theo thuộc tính của nó, chúng tôi đã thay đổi dấu hiệu phía trước nó.

Thứ ba, chúng tôi lấy ra thừa số chung (-1) của hàng thứ hai, do đó thay đổi dấu một lần nữa, và nó trở thành dương. Chúng tôi cũng đơn giản hóa dòng 3 theo cách tương tự như ở phần đầu của ví dụ.

Chúng ta có một định thức tam giác, trong đó các phần tử bên dưới đường chéo bằng 0, và theo tính chất 7, nó bằng tích các phần tử của đường chéo. Kết quả là, chúng tôi đã ∆ A = 26, do đó tồn tại ma trận nghịch đảo.

A11 = 1 * (3 + 1) = 4

A12 \ u003d -1 * (9 + 2) \ u003d -11

A13 = 1 * 1 = 1

A21 = -1 * (- 6) = 6

A22 = 1 * (3-0) = 3

A23 = -1 * (1 + 4) = -5

A31 = 1 * 2 = 2

A32 = -1 * (- 1) = -1

A33 = 1+ (1 + 6) = 7

3. Bước tiếp theo là biên dịch ma trận từ các phép cộng kết quả:

5. Chúng tôi nhân ma trận này với nghịch đảo của định thức, nghĩa là, với 1/26:

6. Vâng, bây giờ chúng ta chỉ cần kiểm tra:

Trong quá trình xác minh, chúng tôi nhận được một ma trận nhận dạng, do đó, quyết định được đưa ra hoàn toàn chính xác.

2 cách tính ma trận nghịch đảo.

1. Phép biến đổi cơ bản của ma trận

2. Ma trận nghịch đảo thông qua một bộ chuyển đổi sơ cấp.

Phép biến đổi ma trận cơ bản bao gồm:

1. Nhân một chuỗi với một số khác không.

2. Thêm vào dòng bất kỳ của dòng khác, nhân với một số.

3. Hoán đổi các hàng của ma trận.

4. Áp dụng một chuỗi các phép biến đổi cơ bản, ta thu được một ma trận khác.

NHƯNG -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2. A -1 * A = E

Hãy xem xét nó trên ví dụ thực tế với số thực.

Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo.

Quyết định:

Hãy kiểm tra:

Làm rõ một chút về giải pháp:

Đầu tiên, chúng tôi hoán đổi hàng 1 và 2 của ma trận, sau đó chúng tôi nhân hàng đầu tiên với (-1).

Sau đó, hàng đầu tiên được nhân với (-2) và thêm vào hàng thứ hai của ma trận. Sau đó, chúng tôi nhân hàng thứ 2 với 1/4.

màn cuối các phép biến đổi là phép nhân hàng thứ hai với 2 và phép cộng từ hàng thứ nhất. Kết quả là, chúng ta có một ma trận nhận dạng ở bên trái, do đó, ma trận nghịch đảo là ma trận ở bên phải.

Sau khi kiểm tra, chúng tôi đã bị thuyết phục về tính đúng đắn của quyết định.

Như bạn thấy, việc tính toán ma trận nghịch đảo rất đơn giản.

Trong phần kết luận bài giảng này, tôi cũng muốn dành một chút thời gian cho các tính chất của một ma trận như vậy.

Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ,. Xem xét một ma trận vuông

Kí hiệu Δ = det A.

Ma trận vuông A được gọi là không thoái hóa, hoặc không đặc biệt nếu định thức của nó khác 0, và thoái hóa, hoặc đặc biệt, nếuΔ = 0.

Ma trận vuông B tồn tại cho ma trận vuông A cùng bậc nếu tích của chúng A B = B A = E, trong đó E là ma trận đồng dạng cùng bậc với ma trận A và B.

Định lý . Để ma trận A có ma trận nghịch đảo, thì cần và đủ rằng định thức của nó là khác không.

Ma trận nghịch đảo thành ma trận A, ký hiệu là A- 1 nên B = A - 1 và được tính bằng công thức

, (1)

trong đó А i j - phần bù đại số của các phần tử a i j của ma trận A..

Tính A -1 theo công thức (1) cho ma trận bậc cao rất tốn công nên trong thực tế ta có thể thuận tiện tìm A -1 bằng phương pháp biến đổi cơ bản (EP). Bất kỳ ma trận không đơn lẻ A nào cũng có thể được EP giảm chỉ các cột (hoặc chỉ các hàng) thành ma trận nhận dạng E. Nếu các EP hoàn thiện trên ma trận A được áp dụng theo cùng một thứ tự cho ma trận nhận dạng E, thì kết quả là một ma trận nghịch đảo. Thật tiện lợi khi thực hiện một EP trên ma trận A và E đồng thời, viết cả hai ma trận cạnh nhau qua dòng. Chúng tôi lưu ý một lần nữa rằng khi tìm kiếm dạng chính tắc của ma trận, để tìm được nó, người ta có thể sử dụng các phép biến đổi hàng và cột. Nếu bạn cần tìm ma trận nghịch đảo, bạn chỉ nên sử dụng hàng hoặc chỉ cột trong quá trình biến đổi.

Ví dụ 2.10. Đối với ma trận tìm A -1.

Quyết định.Đầu tiên chúng ta tìm định thức của ma trận A vì vậy ma trận nghịch đảo tồn tại và chúng ta có thể tìm nó bằng công thức: , trong đó A i j (i, j = 1,2,3) - phần phụ đại số của các phần tử a i j của ma trận ban đầu.

Ở đâu .

Ví dụ 2.11. Sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản, hãy tìm A -1 để ma trận: A =.

Quyết định.Chúng tôi gán một ma trận nhận dạng có cùng thứ tự cho ma trận ban đầu ở bên phải: . Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cột cơ bản, chúng tôi giảm “nửa” bên trái thành một nửa đồng nhất, đồng thời thực hiện chính xác các phép biến đổi như vậy trên ma trận bên phải. Để thực hiện việc này, hãy hoán đổi cột đầu tiên và cột thứ hai: ~ . Chúng tôi thêm cột đầu tiên vào cột thứ ba và cột đầu tiên nhân với -2 đến cột thứ hai: . Từ cột đầu tiên, chúng tôi trừ đi nhân đôi thứ hai, và từ thứ ba - thứ hai nhân với 6; . Hãy thêm cột thứ ba vào cột đầu tiên và cột thứ hai: . Nhân cột cuối cùng với -1: . Ma trận vuông thu được ở bên phải thanh dọc là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Vì vậy, .

Bất cứ gì ma trận không sinh Và tồn tại và hơn nữa, một ma trận A -1 duy nhất sao cho

A * A -1 = A -1 * A = E,

trong đó E là ma trận đồng nhất của cùng bậc với A. Ma trận A -1 được gọi là nghịch đảo của ma trận A.

Nếu ai đó quên, trong ma trận nhận dạng, ngoại trừ đường chéo được điền đầy, tất cả các vị trí khác đều được lấp đầy bởi các số không, một ví dụ về ma trận nhận dạng:

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp ma trận liền kề

Ma trận nghịch đảo được xác định bởi công thức:

trong đó A ij - phần tử a ij.

Những thứ kia. Để tính nghịch đảo của ma trận, bạn cần tính định thức của ma trận này. Sau đó, tìm các phép cộng đại số cho tất cả các phần tử của nó và tạo một ma trận mới từ chúng. Tiếp theo, bạn cần vận chuyển ma trận này. Và chia từng phần tử của ma trận mới cho định thức của ma trận ban đầu.

Hãy xem một vài ví dụ.

Tìm A -1 cho ma trận

Lời giải Tìm A -1 bằng phương pháp ma trận ghép. Ta có det A = 2. Tìm các phần phụ đại số của các phần tử của ma trận A. Trong trường hợp này phần phụ đại số của các phần tử ma trận sẽ là phần tử tương ứng của chính ma trận, được lấy với một dấu phù hợp với công thức

Ta có A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Ta lập ma trận liền kề

Chúng tôi vận chuyển ma trận A *:

Chúng ta tìm ma trận nghịch đảo theo công thức:

Chúng tôi nhận được:

Sử dụng phương pháp ma trận liền kề để tìm A -1 nếu

Lời giải Trước hết, ta tính ma trận đã cho để đảm bảo rằng ma trận nghịch đảo tồn tại. Chúng ta có

Ở đây chúng tôi đã thêm vào các phần tử của hàng thứ hai các phần tử của hàng thứ ba, trước đó nhân với (-1), và sau đó mở rộng định thức cho hàng thứ hai. Vì định nghĩa của ma trận này khác 0, nên ma trận nghịch đảo với nó tồn tại. Để xây dựng ma trận liền kề, chúng ta tìm các phần bù đại số của các phần tử của ma trận này. Chúng ta có

Theo công thức

chúng ta vận chuyển ma trận A *:

Sau đó theo công thức

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi cơ bản

Ngoài phương pháp tìm ma trận nghịch đảo từ công thức (phương pháp ma trận liên kết), còn có một phương pháp tìm ma trận nghịch đảo, gọi là phương pháp biến đổi cơ bản.

Các phép biến đổi ma trận cơ bản

Các phép biến đổi sau đây được gọi là phép biến đổi ma trận cơ bản:

1) hoán vị của các hàng (cột);

2) nhân một hàng (cột) với một số khác 0;

3) thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác, trước đó đã được nhân với một số nhất định.

Để tìm ma trận A -1, ta xây dựng ma trận hình chữ nhật B = (A | E) bậc (n; 2n), gán cho ma trận A ở bên phải ma trận đồng dạng E qua đường phân chia:

Hãy xem xét một ví dụ.

Sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản, tìm A -1 nếu

Lời giải. Chúng tôi tạo thành ma trận B:

Kí hiệu các hàng của ma trận B qua α 1, α 2, α 3. Hãy thực hiện các phép biến đổi sau trên các hàng của ma trận B.