Tìm Nghiệm Của Ma Trận Nghịch đảo. Ma Trận Nghịch đảo Và Các Tính ...

Một ma trận nghịch đảo của một ma trận đã cho là một ma trận như vậy, phép nhân với ma trận ban đầu với ma trận nhận dạng: Điều kiện bắt buộc và đủ để có sự hiện diện của ma trận nghịch đảo là bất đẳng thức của định thức của ma trận ban đầu (mà lần lượt ngụ ý rằng ma trận phải là hình vuông). Nếu định thức của ma trận bằng 0 thì nó được gọi là suy biến và ma trận như vậy không có nghịch đảo. Trong toán học cao hơn, ma trận nghịch đảo là quan trọng và được sử dụng để giải quyết một số vấn đề. Ví dụ, trên tìm ma trận nghịch đảo một phương pháp ma trận để giải hệ phương trình được xây dựng. Trang web dịch vụ của chúng tôi cho phép tính toán nghịch đảo ma trận trực tuyến hai phương pháp: phương pháp Gauss-Jordan và sử dụng ma trận của phép cộng đại số. Cách đầu tiên ngụ ý một số lượng lớn các phép biến đổi cơ bản trong ma trận, phép thứ hai - phép tính định thức và phép cộng đại số cho tất cả các phần tử. Để tính định thức của ma trận trực tuyến, bạn có thể sử dụng dịch vụ khác của chúng tôi - Tính định thức của ma trận trực tuyến

.

Tìm ma trận nghịch đảo trên trang web

trang mạng cho phép bạn tìm thấy ma trận nghịch đảo trực tuyến nhanh chóng và miễn phí. Trên trang web, các tính toán được thực hiện bởi dịch vụ của chúng tôi và kết quả được hiển thị cùng với một giải pháp chi tiết để tìm kiếm ma trận nghịch đảo. Máy chủ luôn chỉ đưa ra câu trả lời chính xác và chính xác. Trong nhiệm vụ theo định nghĩa ma trận nghịch đảo trực tuyến, điều cần thiết là yếu tố quyết định ma trận khác 0, ngược lại trang mạng sẽ báo cáo không thể tìm thấy ma trận nghịch đảo do thực tế là định thức của ma trận ban đầu bằng không. Tìm kiếm nhiệm vụ ma trận nghịch đảođược tìm thấy trong nhiều nhánh của toán học, là một trong những khái niệm cơ bản nhất của đại số và một công cụ toán học trong các bài toán ứng dụng. Độc lập định nghĩa ma trận nghịch đảođòi hỏi nỗ lực đáng kể, nhiều thời gian, tính toán và cẩn thận để không xảy ra sai sót hoặc một sai sót nhỏ trong tính toán. Do đó, dịch vụ của chúng tôi tìm ma trận nghịch đảo trực tuyến sẽ tạo thuận lợi rất nhiều cho công việc của bạn và sẽ trở thành một công cụ không thể thiếu để giải các bài toán. Ngay cả khi bạn tìm ma trận nghịch đảo, chúng tôi khuyên bạn nên kiểm tra giải pháp của mình trên máy chủ của chúng tôi. Nhập ma trận ban đầu của bạn trên Tính toán ma trận nghịch đảo trực tuyến của chúng tôi và kiểm tra câu trả lời của bạn. Hệ thống của chúng tôi không bao giờ sai và tìm thấy ma trận nghịch đảo thứ nguyên nhất định trong chế độ Trực tuyến ngay lập tức! Trực tuyến trang mạng các mục ký tự được phép trong các phần tử ma trận, trong trường hợp này ma trận nghịch đảo trực tuyến sẽ được trình bày dưới dạng ký hiệu chung.

Đối với bất kỳ ma trận nonsingular A nào, tồn tại một ma trận A -1 duy nhất sao cho

A * A -1 = A -1 * A = E,

trong đó E là ma trận đồng nhất của cùng bậc với A. Ma trận A -1 được gọi là nghịch đảo của ma trận A.

Nếu ai đó quên, trong ma trận nhận dạng, ngoại trừ đường chéo được điền đầy, tất cả các vị trí khác đều được lấp đầy bởi các số không, một ví dụ về ma trận nhận dạng:

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp ma trận liền kề

Ma trận nghịch đảo được xác định bởi công thức:

trong đó A ij - phần tử a ij.

Những thứ kia. Để tính nghịch đảo của ma trận, bạn cần tính định thức của ma trận này. Sau đó, tìm các phép cộng đại số cho tất cả các phần tử của nó và tạo một ma trận mới từ chúng. Tiếp theo, bạn cần vận chuyển ma trận này. Và chia từng phần tử của ma trận mới cho định thức của ma trận ban đầu.

Hãy xem một vài ví dụ.

Tìm A -1 cho ma trận

Lời giải Tìm A -1 bằng phương pháp ma trận ghép. Ta có det A = 2. Tìm phần phụ đại số của các phần tử của ma trận A. Trong trường hợp này, phần phụ đại số của các phần tử của ma trận sẽ là phần tử tương ứng của chính ma trận, được lấy với dấu phù hợp với công thức.

Ta có A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Ta lập ma trận liền kề

Chúng tôi vận chuyển ma trận A *:

Chúng ta tìm ma trận nghịch đảo theo công thức:

Chúng tôi nhận được:

Sử dụng phương pháp ma trận liền kề để tìm A -1 nếu

Lời giải Trước hết, ta tính ma trận đã cho để đảm bảo rằng ma trận nghịch đảo tồn tại. Chúng ta có

Ở đây chúng tôi đã thêm vào các phần tử của hàng thứ hai các phần tử của hàng thứ ba, trước đó nhân với (-1), và sau đó mở rộng định thức cho hàng thứ hai. Vì định nghĩa của ma trận này khác 0, nên ma trận nghịch đảo với nó tồn tại. Để xây dựng ma trận liền kề, chúng ta tìm các phần bù đại số của các phần tử của ma trận này. Chúng ta có

Theo công thức

chúng ta vận chuyển ma trận A *:

Sau đó theo công thức

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi cơ bản

Ngoài phương pháp tìm ma trận nghịch đảo từ công thức (phương pháp ma trận liên kết), còn có một phương pháp tìm ma trận nghịch đảo, gọi là phương pháp biến đổi cơ bản.

Các phép biến đổi ma trận cơ bản

Các phép biến đổi sau đây được gọi là phép biến đổi ma trận cơ bản:

1) hoán vị các hàng (cột);

2) nhân một hàng (cột) với một số khác 0;

3) thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác, trước đó đã được nhân với một số nhất định.

Để tìm ma trận A -1, chúng ta xây dựng ma trận chữ nhật B \ u003d (A | E) bậc (n; 2n), gán cho ma trận A ở bên phải ma trận đồng dạng E qua đường phân chia:

Hãy xem xét một ví dụ.

Sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản, tìm A -1 nếu

Lời giải. Chúng tôi tạo thành ma trận B:

Kí hiệu các hàng của ma trận B qua α 1, α 2, α 3. Hãy thực hiện các phép biến đổi sau trên các hàng của ma trận B.

Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo đối với ma trận A, nếu A * A -1 \ u003d E, trong đó E là ma trận đồng nhất của bậc n. Ma trận nghịch đảo chỉ có thể tồn tại đối với ma trận vuông.

Phân công dịch vụ. Sử dụng dịch vụ này trực tuyến, bạn có thể tìm các phép cộng đại số, ma trận chuyển vị A T, ma trận liên hiệp và ma trận nghịch đảo. Giải pháp được thực hiện trực tiếp trên trang web (trực tuyến) và miễn phí. Kết quả tính toán được trình bày dưới dạng báo cáo ở định dạng Word và định dạng Excel (nghĩa là có thể kiểm tra lời giải). xem ví dụ thiết kế.

Hướng dẫn. Để có được một giải pháp, bạn phải xác định kích thước của ma trận. Tiếp theo, trong hộp thoại mới, hãy điền vào ma trận A.

Kích thước ma trận 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Xem thêm Ma trận nghịch đảo theo phương pháp Jordan-Gauss

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo

1. Tìm ma trận chuyển vị A T.
2. Định nghĩa phép cộng đại số. Thay mỗi phần tử của ma trận bằng phần bù đại số của nó.
3. Lập ma trận nghịch đảo từ phép cộng đại số: mỗi phần tử của ma trận kết quả được chia cho định thức của ma trận ban đầu. Ma trận kết quả là nghịch đảo của ma trận ban đầu.

Kế tiếp thuật toán ma trận nghịch đảo tương tự như phần trước, ngoại trừ một số bước: đầu tiên, các phần bù đại số được tính toán, và sau đó ma trận liên hợp C được xác định.

1. Xác định xem ma trận có vuông không. Nếu không, thì không có ma trận nghịch đảo cho nó.
2. Tính định thức của ma trận A. Nếu nó không bằng 0 thì ta tiếp tục giải, ngược lại thì không tồn tại ma trận nghịch đảo.
3. Định nghĩa phép cộng đại số.
4. Điền vào ma trận liên hiệp (tương hỗ, liền kề) C.
5. Lập ma trận nghịch đảo từ phép cộng đại số: mỗi phần tử của ma trận liền kề C được chia cho định thức của ma trận ban đầu. Ma trận kết quả là nghịch đảo của ma trận ban đầu.
6. Kiểm tra: nhân ma trận ban đầu và kết quả. Kết quả phải là một ma trận nhận dạng.

Ví dụ 1. Ta viết ma trận dưới dạng:

Phép cộng đại số.

A 1,1 = (-1) 1 + 1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1 + 2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1 + 3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2.1 = (-1) 2 + 1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2 + 2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2.3 = (-1) 2 + 3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3 + 1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3 + 2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3 + 3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3 sau đó ma trận nghịch đảo có thể được viết như:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Một thuật toán khác để tìm ma trận nghịch đảo

Chúng tôi trình bày một sơ đồ khác để tìm ma trận nghịch đảo.

1. Tìm định thức của ma trận vuông A đã cho.
2. Ta tìm phép cộng đại số cho tất cả các phần tử của ma trận A.
3. Chúng tôi viết phần bổ sung đại số của các phần tử của các hàng vào các cột (chuyển vị).
4. Ta chia mỗi phần tử của ma trận kết quả cho phần tử xác định của ma trận A.

Như bạn thấy, phép toán chuyển vị có thể được áp dụng cả ở phần đầu, trên ma trận ban đầu và ở phần cuối, trên các phép cộng đại số thu được.

Một trường hợp đặc biệt: Nghịch đảo, đối với ma trận nhận dạng E, là ma trận nhận dạng E.

Định nghĩa 1: Một ma trận được gọi là suy biến nếu định thức của nó bằng không.

Định nghĩa 2: Một ma trận được gọi là không số ít nếu định thức của nó không bằng 0.

Ma trận "A" được gọi là ma trận nghịch đảo, nếu điều kiện A * A-1 = A-1 * A = E (ma trận nhận dạng) được thỏa mãn.

Một ma trận vuông chỉ có thể nghịch đảo nếu nó không phải là ma trận.

Sơ đồ để tính toán ma trận nghịch đảo:

1) Tính định thức của ma trận "A" nếu ∆ A = 0 thì không tồn tại ma trận nghịch đảo.

2) Tìm tất cả các phần phụ đại số của ma trận "A".

3) Soạn một ma trận của các phép cộng đại số (Aij)

4) Chuyển vị ma trận của các phần phụ đại số (Aij) T

5) Nhân ma trận đã chuyển vị với nghịch đảo của định thức của ma trận này.

6) Chạy séc:

Thoạt nghe có vẻ khó nhưng thực tế mọi thứ lại rất đơn giản. Tất cả các cách giải đều dựa trên các phép toán số học đơn giản, điều chính yếu khi giải là không được nhầm lẫn với các dấu "-" và "+", và không được làm mất dấu.

Và bây giờ hãy cùng bạn giải quyết một nhiệm vụ thực tế bằng cách tính ma trận nghịch đảo.

Nhiệm vụ: tìm ma trận nghịch đảo "A", được hiển thị trong hình dưới đây:

Chúng tôi giải quyết mọi thứ chính xác như được chỉ ra trong kế hoạch tính toán ma trận nghịch đảo.

1. Việc đầu tiên cần làm là tìm định thức của ma trận "A":

Giải trình:

Chúng tôi đã đơn giản hóa yếu tố quyết định của mình bằng cách sử dụng các chức năng chính của nó. Đầu tiên, chúng tôi thêm vào hàng thứ 2 và thứ 3 các phần tử của hàng đầu tiên, nhân với một số.

Thứ hai, chúng tôi đã thay đổi cột thứ 2 và thứ 3 của định thức, và theo thuộc tính của nó, chúng tôi đã thay đổi dấu hiệu phía trước nó.

Thứ ba, chúng tôi lấy ra thừa số chung (-1) của hàng thứ hai, do đó thay đổi dấu một lần nữa, và nó trở thành dương. Chúng tôi cũng đơn giản hóa dòng 3 theo cách tương tự như ở phần đầu của ví dụ.

Chúng ta có một định thức tam giác, trong đó các phần tử bên dưới đường chéo bằng 0, và theo tính chất 7, nó bằng tích các phần tử của đường chéo. Kết quả là, chúng tôi đã ∆ A = 26, do đó tồn tại ma trận nghịch đảo.

A11 = 1 * (3 + 1) = 4

A12 \ u003d -1 * (9 + 2) \ u003d -11

A13 = 1 * 1 = 1

A21 = -1 * (- 6) = 6

A22 = 1 * (3-0) = 3

A23 = -1 * (1 + 4) = -5

A31 = 1 * 2 = 2

A32 = -1 * (- 1) = -1

A33 = 1+ (1 + 6) = 7

3. Bước tiếp theo là biên dịch ma trận từ các phép cộng kết quả:

5. Chúng tôi nhân ma trận này với nghịch đảo của định thức, nghĩa là, với 1/26:

6. Vâng, bây giờ chúng ta chỉ cần kiểm tra:

Trong quá trình xác minh, chúng tôi nhận được một ma trận nhận dạng, do đó, quyết định được đưa ra hoàn toàn chính xác.

2 cách tính ma trận nghịch đảo.

1. Phép biến đổi cơ bản của ma trận

2. Ma trận nghịch đảo thông qua một bộ chuyển đổi sơ cấp.

Phép biến đổi ma trận cơ bản bao gồm:

1. Nhân một chuỗi với một số khác không.

2. Thêm vào dòng bất kỳ của dòng khác, nhân với một số.

3. Hoán đổi các hàng của ma trận.

4. Áp dụng một chuỗi các phép biến đổi cơ bản, ta thu được một ma trận khác.

NHƯNG -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2. A -1 * A = E

Hãy xem xét điều này trong một ví dụ thực tế với số thực.

Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo.

Quyết định:

Hãy kiểm tra:

Làm rõ một chút về giải pháp:

Đầu tiên, chúng tôi hoán đổi hàng 1 và 2 của ma trận, sau đó chúng tôi nhân hàng đầu tiên với (-1).

Sau đó, hàng đầu tiên được nhân với (-2) và thêm vào hàng thứ hai của ma trận. Sau đó, chúng tôi nhân hàng thứ 2 với 1/4.

Giai đoạn cuối cùng của phép biến đổi là phép nhân hàng thứ hai với 2 và phép cộng từ hàng đầu tiên. Kết quả là, chúng ta có một ma trận nhận dạng ở bên trái, do đó, ma trận nghịch đảo là ma trận ở bên phải.

Sau khi kiểm tra, chúng tôi đã bị thuyết phục về tính đúng đắn của giải pháp.

Như bạn thấy, việc tính toán ma trận nghịch đảo rất đơn giản.

Trong phần kết của bài giảng này, tôi cũng muốn dành một chút thời gian cho các tính chất của một ma trận như vậy.

Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ,. Xem xét một ma trận vuông

Kí hiệu Δ = det A.

Ma trận vuông A được gọi là không thoái hóa, hoặc không đặc biệt nếu định thức của nó khác 0, và thoái hóa, hoặc đặc biệt, nếuΔ = 0.

Ma trận vuông B tồn tại cho ma trận vuông A cùng bậc nếu tích của chúng A B = B A = E, trong đó E là ma trận đồng dạng cùng bậc với ma trận A và B.

Định lý . Để ma trận A có ma trận nghịch đảo, thì điều kiện cần và đủ là định thức của nó khác không.

Ma trận nghịch đảo thành ma trận A, ký hiệu là A- 1 nên B = A - 1 và được tính bằng công thức

, (1)

trong đó А i j - phần bù đại số của các phần tử a i j của ma trận A..

Tính A -1 theo công thức (1) đối với ma trận bậc cao rất tốn công sức, do đó trong thực tế tìm A -1 bằng phương pháp biến đổi cơ bản (EP) rất tiện lợi. Bất kỳ ma trận không đơn lẻ A nào cũng có thể được EP giảm chỉ các cột (hoặc chỉ các hàng) thành ma trận nhận dạng E. Nếu các EP hoàn thiện trên ma trận A được áp dụng theo cùng một thứ tự cho ma trận nhận dạng E, thì kết quả là một ma trận nghịch đảo. Thật tiện lợi khi thực hiện một EP trên ma trận A và E đồng thời, viết cả hai ma trận cạnh nhau qua dòng. Chúng tôi lưu ý một lần nữa rằng khi tìm kiếm dạng chính tắc của ma trận, để tìm được nó, người ta có thể sử dụng các phép biến đổi hàng và cột. Nếu bạn cần tìm ma trận nghịch đảo, bạn chỉ nên sử dụng hàng hoặc chỉ cột trong quá trình biến đổi.

Ví dụ 2.10. Đối với ma trận tìm A -1.

Quyết định.Đầu tiên chúng ta tìm định thức của ma trận A vì vậy ma trận nghịch đảo tồn tại và chúng ta có thể tìm nó bằng công thức: , trong đó A i j (i, j = 1,2,3) - phần phụ đại số của các phần tử a i j của ma trận ban đầu.

Ở đâu .

Ví dụ 2.11. Sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản, hãy tìm A -1 để ma trận: A =.

Quyết định.Chúng tôi gán một ma trận nhận dạng có cùng thứ tự cho ma trận ban đầu ở bên phải: . Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cột cơ bản, chúng tôi giảm “nửa” bên trái thành một nửa đồng nhất, đồng thời thực hiện chính xác các phép biến đổi như vậy trên ma trận bên phải. Để thực hiện việc này, hãy hoán đổi cột đầu tiên và cột thứ hai: ~ . Chúng tôi thêm cột đầu tiên vào cột thứ ba và cột đầu tiên nhân với -2 đến cột thứ hai: . Từ cột đầu tiên, chúng tôi trừ đi nhân đôi thứ hai, và từ thứ ba - thứ hai nhân với 6; . Hãy thêm cột thứ ba vào cột đầu tiên và cột thứ hai: . Nhân cột cuối cùng với -1: . Ma trận vuông thu được ở bên phải thanh dọc là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Vì vậy, .