Mômen Quán Tính Truyền Qua Khối Tâm. Ruột Thừa

Mômen của lực và mômen quán tính

Trong động học của chuyển động tịnh tiến của một chất điểm, ngoài các đặc điểm động học, người ta đã đưa ra các khái niệm về lực và khối lượng. Khi nghiên cứu động học của chuyển động quay, các đại lượng vật lý được giới thiệu: momen xoắn và lực quán tính, ý nghĩa vật lý của nó sẽ được thảo luận bên dưới.

Để một vật nào đó chịu tác dụng của một lực tại một điểm NHƯNG, chuyển động quay quanh trục OO ”(Hình 5.1).

Hình 5.1 - Kết luận về khái niệm mômen lực

Lực tác dụng trong mặt phẳng vuông góc với trục. Vuông góc R, rớt khỏi điểm O(nằm trên trục) đối với phương của lực, gọi là vai của sức mạnh. Tích của lực trên vai xác định môđun thời điểm của lực lượng liên quan đến điểm O:

(5.1)

Khoảnh khắc của quyền lực là một vectơ được xác định bởi tích vectơ của bán kính-vectơ của điểm tác dụng lực và vectơ lực:

(5.2)

Đơn vị của mômen lực - máy đo newton(H . m). Phương của vectơ mômen lực được tìm thấy bằng cách sử dụng các quy tắc vít đúng.

Một đơn vị đo quán tính của các vật trong chuyển động tịnh tiến là khối lượng. Quán tính của các vật thể trong quá trình chuyển động quay không chỉ phụ thuộc vào khối lượng mà còn phụ thuộc vào sự phân bố của nó trong không gian so với trục quay. Số đo quán tính trong quá trình chuyển động quay là đại lượng gọi là mômen quán tính của cơ thể về trục quay.

Mômen quán tính của một chất điểm so với trục quay - tích của khối lượng của điểm này bằng bình phương khoảng cách từ trục:

mômen quán tính của cơ thể về trục quay - tổng các mômen quán tính của các điểm vật chất tạo nên vật thể này:

(5.4)

Trong trường hợp chung, nếu vật rắn và là tập hợp các điểm có khối lượng nhỏ dm, mômen quán tính được xác định bằng tích phân:

, (5.5)

ở đâu r- khoảng cách từ trục quay đến phần tử khối lượng d m.

Nếu cơ thể là đồng nhất và mật độ của nó ρ = m/V, thì mômen quán tính của cơ thể

(5.6)

Mômen quán tính của một vật phụ thuộc vào việc nó quay theo trục nào và khối lượng của vật đó được phân bố như thế nào trong toàn bộ thể tích.

Mômen quán tính của các vật thể có dạng hình học chính xác và sự phân bố đều của khối lượng trên thể tích được xác định một cách đơn giản nhất.

Mômen quán tính của thanh đồng chất về trục đi qua tâm quán tính và vuông góc với thanh,

Mômen quán tính của một hình trụ đồng chất về một trục vuông góc với cơ sở của nó và đi qua tâm quán tính,

(5.8)

Mômen quán tính của hình trụ hoặc vòng có thành mỏng về một trục vuông góc với mặt phẳng của đáy và đi qua tâm của nó,

Mômen quán tính của quả bóng liên quan đến đường kính

(5.10)

Hãy xác định mômen quán tính của đĩa về trục đi qua tâm quán tính và vuông góc với mặt phẳng quay. Cho khối lượng của đĩa là m và bán kính của nó là R.

Khu vực của vòng (Hình 5.2) được bao quanh giữa r và, bằng với.

Hình 5.2 - Kết luận về mômen quán tính của đĩa

Vùng đĩa. Với độ dày vòng đệm không đổi,

từ đâu hoặc .

Khi đó mômen quán tính của đĩa,

Để rõ ràng hơn, Hình 5.3 cho thấy các chất rắn đồng nhất có nhiều hình dạng khác nhau và chỉ ra mômen quán tính của các vật thể này về trục đi qua khối tâm.

Hình 5.3 - Mômen quán tính Tôi C một số chất rắn đồng đẳng.

Định lý Steiner

Các công thức trên cho mômen quán tính của các vật thể được đưa ra với điều kiện trục quay đi qua tâm quán tính. Để xác định mômen quán tính của một vật đối với một trục tùy ý, người ta nên sử dụng Định lý Steiner : Mômen quán tính của vật đối với một trục quay bất kỳ bằng tổng mômen quán tính J 0 đối với trục song song với trục đã cho và đi qua tâm quán tính của vật, và giá trị md 2:

(5.12)

ở đâu m- khối lượng cơ thể, d- khoảng cách từ khối tâm đến trục quay đã chọn. Đơn vị của mômen quán tính - kilogam-mét bình phương (kg . m 2).

Vì vậy, mômen quán tính của một thanh đồng chất có chiều dài lĐối với trục đi qua điểm cuối của nó, theo định lý Steiner bằng

Hãy xem xét vấn đề bây giờ xác định mômen quán tính các cơ quan khác nhau. Chung công thức tính momen quán tínhđối tượng so với trục z có dạng

Nói cách khác, bạn cần cộng tất cả các khối lượng, nhân mỗi khối lượng với bình phương khoảng cách của nó với trục (x 2 i + y 2 i). Lưu ý rằng điều này đúng ngay cả đối với vật thể ba chiều, mặc dù khoảng cách có "hình dạng hai chiều" như vậy. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, chúng ta sẽ giới hạn bản thân trong các cơ thể hai chiều.

Như một ví dụ đơn giản, hãy xem xét một thanh quay quanh một trục đi qua đầu của nó và vuông góc với nó (Hình 19.3). Bây giờ chúng ta cần tính tổng tất cả các khối lượng nhân với bình phương của khoảng cách x (trong trường hợp này, tất cả y đều bằng không). Tất nhiên, bằng tổng, ý tôi là tích phân của x 2 nhân với "phần tử" của khối lượng. Nếu chúng ta chia thanh thành các phần có chiều dài dx, thì phần tử khối lượng tương ứng sẽ tỷ lệ với dx, và nếu dx là chiều dài của toàn bộ thanh thì khối lượng của nó sẽ bằng M.

Thứ nguyên của mômen quán tính luôn bằng khối lượng nhân với bình phương chiều dài, vì vậy giá trị có ý nghĩa duy nhất mà chúng ta tính được là hệ số 1/3.

Và mômen quán tính I sẽ như thế nào nếu trục quay đi qua điểm giữa của thanh? Để tìm nó, một lần nữa chúng ta cần lấy tích phân, nhưng đã nằm trong phạm vi từ -1 / 2L đến + 1 / 2L. Tuy nhiên, lưu ý một đặc điểm của trường hợp này. Một thanh có trục đi qua tâm như vậy có thể coi như hai thanh có trục đi qua đầu mút, mỗi thanh có khối lượng M / 2 và chiều dài L / 2. Mômen quán tính của hai thanh đó bằng nhau và được tính theo công thức (19.5). Do đó, mômen quán tính của toàn bộ thanh là

Do đó, thanh xoắn ở giữa dễ dàng hơn nhiều so với ở cuối.

Tất nhiên, chúng ta có thể tiếp tục tính toán mômen quán tính của các vật thể khác mà chúng ta quan tâm. Nhưng vì những phép tính như vậy đòi hỏi rất nhiều kinh nghiệm trong việc tính tích phân (bản thân nó rất quan trọng), do đó chúng ít được chúng ta quan tâm. Tuy nhiên, có một số định lý rất thú vị và hữu ích ở đây. Hãy để có một số cơ thể và chúng tôi muốn biết nó mômen quán tính đối với trục nào đó. Điều này có nghĩa là chúng ta muốn tìm quán tính của nó khi quay quanh trục này. Nếu chúng ta di chuyển vật bằng thanh đỡ khối tâm của nó để nó không quay trong quá trình quay quanh trục (trong trường hợp này, không có mômen quán tính nào tác dụng lên nó, vì vậy vật sẽ không quay khi chúng ta bắt đầu chuyển động) , thì để quay nó, bạn cần một lực chính xác như thể tất cả khối lượng đều tập trung vào tâm của khối lượng và mômen quán tính sẽ đơn giản bằng I 1 = MR 2 c.m. , trong đó R c.m là khoảng cách từ khối tâm đến trục quay. Tuy nhiên, công thức này tất nhiên là không chính xác. Nó không cung cấp mômen quán tính chính xác của cơ thể. Rốt cuộc, trong thực tế, khi quay, cơ thể quay. Không chỉ khối tâm quay (sẽ cho giá trị I 1), bản thân vật thể cũng phải quay so với khối tâm. Như vậy, đến mômen quán tính I 1 bạn cần thêm I c - mômen quán tính về khối tâm. Câu trả lời đúng là mômen quán tính đối với bất kỳ trục nào là

Định lý này được gọi là định lý tịnh tiến theo trục song song. Nó được chứng minh rất dễ dàng. Mômen quán tính đối với bất kỳ trục nào bằng tổng khối lượng nhân với tổng bình phương của x và y, tức là I \ u003d Σm i (x 2 i + y 2 i). Bây giờ chúng ta sẽ tập trung sự chú ý vào x, nhưng điều tương tự cũng có thể nói với y. Gọi tọa độ x là khoảng cách của một điểm cụ thể đã cho từ gốc tọa độ; Tuy nhiên, hãy xem mọi thứ thay đổi như thế nào nếu chúng ta đo khoảng cách x` từ khối tâm thay vì x từ điểm gốc. Để tìm hiểu, chúng ta phải viết x i = x` i + X c.m. Bình phương biểu thức này, chúng tôi thấy x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 c.m.

Điều gì xảy ra nếu bạn nhân nó với m i và tổng trên tất cả r? Lấy các hằng số ra khỏi dấu tổng kết, chúng ta thấy

I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Tôi là tôi

Tổng thứ ba rất dễ tính; nó chỉ là MX 2 ts.m. . Số hạng thứ hai bao gồm hai thừa số, một trong số đó là Σm i x` i; nó bằng với tọa độ x` của khối tâm. Nhưng điều này phải bằng 0, vì x` được đo từ tâm khối lượng, và trong hệ tọa độ này, vị trí trung bình của tất cả các hạt, tính theo khối lượng của chúng, bằng không. Số hạng đầu tiên, rõ ràng, là một phần của x từ I c. Do đó, chúng ta đi đến công thức (19,7).

Hãy kiểm tra công thức (19.7) với một ví dụ. Hãy chỉ kiểm tra xem nó sẽ được áp dụng cho thanh. Chúng ta đã thấy rằng mômen quán tính của thanh so với đầu của nó phải bằng ML 2/3. Và khối tâm của thanh, tất nhiên, ở khoảng cách L / 2. Vì vậy, chúng ta sẽ nhận được rằng ML 2/3 = ML 2/12 + M (L / 2) 2. Vì một phần tư + một phần mười hai = một phần ba, chúng tôi đã không mắc sai lầm nào.

Nhân tiện, để tìm mômen quán tính (19.5), không cần thiết phải tính tích phân. Người ta có thể đơn giản giả sử rằng nó bằng giá trị của ML 2 nhân với một hệ số γ nào đó chưa biết. Sau đó, người ta có thể sử dụng lý luận về hai nửa và nhận được hệ số 1 / 4γ cho mômen quán tính (19,6). Sử dụng định lý phép tịnh tiến theo trục song song, chúng ta chứng minh rằng γ = 1 / 4γ + 1/4, khi đó γ = 1/3. Bạn luôn có thể tìm thấy một số đường vòng!

Khi áp dụng định lý trục song song, điều quan trọng cần nhớ là trục I phải song song với trục mà chúng ta muốn tính mômen quán tính.

Có lẽ cần nhắc đến một đặc tính nữa, thường rất hữu ích trong việc tìm ra mômen quán tính của một số loại vật thể. Nó bao gồm như sau: nếu chúng ta có một hình phẳng và một bộ ba trục tọa độ với gốc tọa độ nằm trong mặt phẳng này và hướng trục z vuông góc với nó, thì mômen quán tính của hình này đối với trục z là bằng thành tổng các mômen quán tính đối với các trục x và y. Nó được chứng minh khá đơn giản. thông báo rằng

Ví dụ, mômen quán tính của một tấm hình chữ nhật đồng chất, có khối lượng M, chiều rộng ω và chiều dài L cách trục vuông góc với nó và đi qua tâm của nó đơn giản là

vì mômen quán tính của một trục nằm trong mặt phẳng của tấm và song song với chiều dài của nó bằng Mω 2/12, tức là giống hệt như đối với một thanh có chiều dài ω, và mômen quán tính đối với một trục khác trong cùng một mặt phẳng bằng ML 2/12, giống như đối với một thanh có chiều dài L.

Vì vậy, hãy liệt kê các đặc tính của mômen quán tính đối với một trục nhất định, mà chúng ta sẽ gọi là trục z:

1. Mômen quán tính là

2. Nếu một vật gồm nhiều bộ phận và biết mômen quán tính của mỗi bộ phận đó thì tổng mômen quán tính bằng tổng mômen quán tính của các bộ phận này. 3. Mômen quán tính đối với một trục bất kỳ bằng mômen quán tính đối với một trục song song qua khối tâm, cộng với tích của tổng khối lượng nhân với bình phương khoảng cách của trục đó từ khối tâm. 4. Mômen quán tính của một hình phẳng đối với một trục vuông góc với mặt phẳng của nó bằng tổng mômen quán tính của hai trục bất kỳ khác vuông góc với nhau nằm trong mặt phẳng của hình và cắt với trục vuông góc.

Trong bảng. 19.1 trình bày mômen quán tính của một số hình cơ bản có mật độ khối lượng đồng đều, và trong bảng. 19.2 - mômen quán tính của một số hình, có thể lấy trong bảng. 19.1 bằng cách sử dụng các thuộc tính được liệt kê ở trên.

Tên thông số	Nghĩa
Chủ đề bài viết:	Lực quán tính
Phiếu tự đánh giá (danh mục chuyên đề)	Cơ học

Xét một chất điểm có khối lượng m, cách trục cố định một khoảng r (Hình 26). Mômen quán tính J của một chất điểm quanh một trục thường được gọi là đại lượng vật lý vô hướng bằng tích của khối lượng m và bình phương khoảng cách r đến trục này:

J = mr 2(75)

Mômen quán tính của hệ gồm N chất điểm sẽ bằng tổng mômen quán tính của các chất điểm riêng lẻ.

(76)

Để xác định mômen quán tính của một chất điểm

Nếu khối lượng được phân bố liên tục trong không gian, thì tính tổng được thay thế bằng tích phân. Cơ thể được chia thành các khối sơ cấp dv, mỗi khối có khối lượng dm. Kết quả là biểu thức sau:

(77)

Đối với một vật thể đồng nhất về thể tích, mật độ ρ là không đổi, và đã viết khối lượng cơ bản dưới dạng

dm = ρdv, ta biến đổi công thức (70) như sau:

(78)

Chiều của mômen quán tính - kg * m 2.

Mômen quán tính của một vật là đại lượng quán tính của vật trong chuyển động quay, cũng như khối lượng của vật là đơn vị đo quán tính của nó trong chuyển động tịnh tiến.

Mômen quán tính là đại lượng đo tính chất quán tính của vật rắn trong quá trình chuyển động quay, phụ thuộc vào sự phân bố của khối lượng so với trục quay. Nói cách khác, mômen quán tính phụ thuộc vào khối lượng, hình dạng, kích thước của vật thể và vị trí của trục quay.

Bất kỳ vật thể nào, bất kể nó quay hay đứng yên, đều có momen quán tính đối với bất kỳ trục nào, giống như một vật thể có khối lượng, bất kể nó đang chuyển động hay đang dừng lại. Giống như khối lượng, momen quán tính là một đại lượng phụ.

Trong một số trường hợp, tính toán lý thuyết của mômen quán tính khá đơn giản. Dưới đây là mômen quán tính của một số vật rắn có dạng hình học đều về một trục đi qua trọng tâm.

Mômen quán tính của một đĩa phẳng vô hạn bán kính R một khoảng có trục vuông góc với mặt phẳng đĩa:

Mômen quán tính của một quả cầu bán kính R:

Mômen quán tính của thanh có chiều dài L so với trục đi qua giữa thanh vuông góc với nó:

Mômen quán tính của một vòng bán kính mỏng vô hạn R về một trục vuông góc với mặt phẳng của nó:

Mômen quán tính của một vật đối với một trục tùy ý được tính bằng cách sử dụng định lý Steiner:

Mômen quán tính của một vật đối với một trục tùy ý bằng tổng mômen quán tính của một trục đi qua khối tâm song song với trục đã cho, và tích của khối lượng của vật nhân với bình phương khoảng cách giữa các trục.

Sử dụng định lý Steiner, ta tính được mômen quán tính của một thanh có chiều dài L về trục đi qua đầu cuối vuông góc với nó (Hình 27).

Để tính mômen quán tính của thanh

Theo định lý Steiner, mômen quán tính của thanh đối với trục O 'bằng mômen quán tính đối với trục OO cộng với md 2. Từ đây chúng tôi nhận được:

Rõ ràng: mômen quán tính không giống nhau đối với các trục khác nhau và liên quan đến điều này, khi giải các bài toán về động học của chuyển động quay, mômen quán tính của vật so với trục mà chúng ta quan tâm mỗi lần có để được tìm kiếm riêng. Vì vậy, ví dụ, khi thiết kế các thiết bị kỹ thuật có chứa các bộ phận quay (trong vận tải đường sắt, trong chế tạo máy bay, kỹ thuật điện, v.v.), cần phải có kiến ​​thức về giá trị mômen quán tính của các bộ phận này. Với một hình dạng phức tạp của vật thể, việc tính toán lý thuyết về mô men quán tính của nó có thể khó thực hiện. Trong những trường hợp này, tốt hơn là đo mômen quán tính của bộ phận phi tiêu chuẩn theo kinh nghiệm.

Mômen của lực F so với điểm O

Mômen quán tính - khái niệm và các loại. Phân loại và đặc điểm của loại "Mô men quán tính" 2017, 2018.

- Mômen quán tính của vật đối với một trục tùy ý.

Hình.35 Chúng ta hãy vẽ các trục tùy ý Cx "y" z "qua khối tâm C của vật thể, và qua bất kỳ điểm O nào trên trục Cx" - các trục Oxyz, sao cho Oy½½Сy ", Oz½½Cz" (Hình 35 ). Chúng tôi biểu thị khoảng cách giữa các trục Cz "và Oz bằng d. Sau đó, như có thể thấy trong hình, đối với bất kỳ điểm nào của cơ thể hoặc a. Thay thế ....

- Mômen quán tính của cơ thể

Mômen quán tính của vật là đại lượng xác định quán tính của vật đó trong chuyển động quay. Trong động học của chuyển động tịnh tiến, quán tính của một vật hoàn toàn được đặc trưng bởi khối lượng của nó. Ảnh hưởng của các đặc tính riêng của cơ thể đến động lực học của chuyển động quay hóa ra phức tạp hơn, ....

- Bài giảng 4-5. Mômen của lực đối với một điểm cố định và một trục. Mômen quán tính, mômen động lượng của một chất điểm và một hệ cơ học so với một điểm cố định và một trục.

Bài giảng 3. Các lực lượng. Khối lượng, động lượng của một chất điểm và một hệ cơ học. Động lực học của chuyển động tịnh tiến trong hệ quy chiếu quán tính. Định luật biến thiên động lượng của một hệ cơ học. Định luật bảo toàn động lượng. Động lực học nghiên cứu chuyển động của các vật thể, xem xét các nguyên nhân, ...

- Mômen quán tính của vật cứng.

Hãy phân tích công thức mômen quán tính của vật cứng. Mômen quán tính phụ thuộc vào 1) khối lượng của vật thể, 2) hình dạng và kích thước của vật thể, 3) vị trí của trục quay so với vật thể (Hình 2). 2a Hình 2b Như vậy, mômen quán tính là đại lượng đo quán tính của cơ thể trong quá trình chuyển động quay, ....

- Mômen quán tính đối với trục chính giữa gọi là mômen quán tính trung tâm.

Mômen quán tính đối với trục bất kỳ bằng mômen quán tính đối với trục trung tâm song song với trục đã cho, cộng với tích của diện tích của hình vẽ và bình phương khoảng cách giữa các trục. Từ công thức có thể thấy mômen quán tính đối với trục trung tâm nhỏ hơn mômen quán tính ...

Lực quán tính Để tính momen quán tính, ta phải nhẩm chia cơ thể thành các phần tử vừa đủ nhỏ, các điểm này có thể coi là nằm cách trục quay một khoảng bằng nhau, sau đó tìm tích khối lượng của mỗi phần tử bằng bình phương. khoảng cách của nó so với trục, và cuối cùng, tính tổng tất cả các sản phẩm thu được. Rõ ràng, đây là một nhiệm vụ rất tốn công sức. Để đếm Mômen quán tính của các vật thể có dạng hình học đều, trong một số trường hợp có thể sử dụng các phương pháp tính tích phân. Việc tìm tổng hữu hạn các mômen quán tính của các phần tử của vật thể sẽ được thay thế bằng tổng của một số lượng lớn vô hạn các mômen quán tính được tính cho các phần tử nhỏ vô hạn: lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (tại ∆m → 0). Hãy tính mômen quán tính của một đĩa đồng chất hoặc một hình trụ đặc có chiều cao là h về trục đối xứng của nó

Chúng ta hãy chia đĩa thành các phần tử dưới dạng các vòng mỏng đồng tâm với các tâm nằm trên trục đối xứng của nó. Các vòng kết quả có đường kính trong r và bên ngoài r + dr, và chiều cao h. Như dr