Một Số Cách Tính Tích Phân Suy Rộng

Có thể bạn quan tâm

Cách tính tích phân suy rộng đơn thuần nhất xuất phát từ định nghĩa. Chẳng hạn ta tính các tích phân sau

$I_c=\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)dx, \; I_s=\int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)\; (a>0).$

Dùng tích phân từng phần hai lần ta có được các nguyên hàm

$\int e^{-ax}\cos(bx)dx=\dfrac{e^{-ax}(b\sin(bx)-a\cos(bx))}{a^2+b^2}+C,$

$\int e^{-ax}\sin(bx)dx=-\dfrac{e^{-ax}(a\sin(bx)+b\cos(bx))}{a^2+b^2}+C$

nên

$I_c=\lim_{A\to+\infty}\dfrac{e^{-ax}(b\sin(bx)-a\cos(bx))}{a^2+b^2}\Big|_{x=0}^A=\dfrac{a}{a^2+b^2},$

$I_s=\lim_{A\to+\infty}\dfrac{e^{-ax}(-a\sin(bx)-b\cos(bx))}{a^2+b^2}\Big|_{x=0}^A=\dfrac{b}{a^2+b^2}.$

Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng viết tường minh được nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân, chẳng hạn một số hàm:

$e^{-x^2}, \cos(x^2), \dfrac{\sin(x)}{x}, .v.v.$

Lúc này công cụ khá hữu hiệu để tính chính là tích phân phụ thuộc tham số.

Dưới đây tôi sẽ trình bày một số phương pháp để tính tích phân dạng:

$I(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}\dfrac{\sin(bx)}{x}dx \; (a>0).$

Trước hết dễ có tích phân $I(a,b)$ hội tụ từ Định lý Abel:

+) $\dfrac{1}{x}$ là hàm đơn điệu giảm theo $x$ và bị chặn dưới bởi $0,$

+) $\int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)dx$ hội tụ.

Cách 1: (Dùng đạo hàm) Ta có thể đạo hàm theo $a$ hoặc $b.$ Muốn dùng được cách này ta cần biết giá trị của $I(a, b)$ tại một điểm đặc biệt chẳng hạn

$I(a, 0)=0.$

Ta cũng có thể nghĩ đến

$I(0, b)=\int_0^\infty \dfrac{\sin(bx)}{x}dx.$

Tuy nhiên trong bài này tôi sẽ tính $I(0, b)$ và không coi đó là kết quả đã biết.

Với gợi ý trên ta cố định $a>0$ và sẽ xem xét đạo hàm $I_b(a, b).$ Ta dùng khái niệm hội tụ đều để đẩy đạo hàm vào bên trong dấu tích phân.

Có:

$|e^{-ax}\cos(bx)|\le e^{-ax}, \forall x\in (0, +\infty), b\in\mathbb R,$

$\int_0^\infty e^{-ax}dx$ hội tụ khi $a>0$

nên theo Weierstrass có tích phân

$\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)dx$ hội tụ đều theo $b$ trên $\mathbb R.$

Như vậy ta có thể chuyển phép lấy đạo hàm theo $b$ qua dấu tích phân, nghĩa là

$I_b(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)dx=\dfrac{a}{a^2+b^2}.$

Từ đó, ta tích phân trở lại

$I(a, b)=I(a, 0)+\int_0^b I_b(a, c)dc=\int_0^b \dfrac{a}{a^2+c^2}dc=\arctan(b/a).$

Cách 2: (Dùng tích phân) Ta có thể nhìn cách trên qua cách nhìn tích phân như sau.

Để ý rằng:

$\dfrac{\sin(bx)}{x}=\int_0^b \cos(xy)dy$

nên

$I(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}dx\int_0^b \cos(xy)dy.$

Ta lại dùng khái niệm hội tụ đều để chuyển dấu tích phân qua dấu tích phân.

Như trên có $J(y)=\int_0^\infty e^{-ax}\cos(xy)dx$ hội tụ đều theo $y$ trên $\mathbb R$ và hàm $e^{-ax}\cos(x, y)$ liên tục theo $y$ nên hàm $J(y)$ liên tục, do đó khả tích và ta có thể dấu tích phân qua dấu tích phân, nghĩa là

$\int_0^b J(y)dy=I(a, b).$

Cũng bằng cách tính tích phân ta có thể xuất phát từ

$\dfrac{e^{-ax}}{x}=\int_a^\infty e^{-xy}dy.$

Khi đó

$I(a, b)=\int_0^\infty \sin(bx)dx\int_a^\infty e^{-xy}dy.$

Do $H(y)=\int_0^\infty e^{-xy}\sin(bx)dx$ hội tụ đều theo $y$ trên $\mathbb R$ nên tương tự trên, với mọi $A>a$ có

$\int_a^A dy \int_0^\infty e^{-xy}\sin(bx)dx=\int_0^\infty dx \int_a^A e^{-xy}\sin(bx)dy.$

Có $\int_0^\infty g(A, x)dx,$ với $g(A, x)=\sin(bx)\dfrac{e^{-ax}-e^{-Ax}}{x},$ hội tụ đều theo $A$ trên $(0, +\infty).$

Bạn đọc thử viết tiếp các lý do để ta có đẳng thức sau

$\int_a^\infty dy \int_0^\infty e^{-xy}\sin(bx)dx=\int_0^\infty dx \int_a^\infty e^{-xy}\sin(bx)dy$

hay

$\int_a^\infty H(y)dy =I(a, b).$

Mà ta có $H(y)=\dfrac{b}{b^2+y^2}$ nên

$I(a, b)=\dfrac{\pi}{2}-\arctan(a/b).$

Ta sẽ dùng kết quả trên để tính $I(0, b)$ nhờ quá trình lấy giới hạn.

TH1: $b=0$ ta có ngay $I(0, 0)=0.$

TH2: $b\not=0,$ do tích phân

$I(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}\dfrac{\sin(bx)}{x}dx$

hội tụ đều theo $a$ trên $[0, +\infty)$

nên $I(0, b)=\lim\limits_{a\to 0^+} I(a, b)=\dfrac{\pi}{2}$

hay $\int_0^\infty \dfrac{\sin(bx)}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}\; (b\not=0).$

Như vậy ta có cách thứ 3 để tính tích phân suy rộng.

Người ta còn có cách khác không dùng tích phân phụ thuộc tham số để tính tích phân suy rộng. Cách này đòi hỏi kiến thức về Hàm biến phức một biến. Dưới đây tôi sẽ trình bày cách tính tích phân

$I(0, 1)=\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx$