Tích Phân Suy Rộng Của Hàm Dưới Dấu Tích Phân Chứa “ln” | Giải Tích

Trang chủ » Tính Tích Phân Suy Rộng Ln/x^3 » Tích Phân Suy Rộng Của Hàm Dưới Dấu Tích Phân Chứa “ln” | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Trong phần phản hồi của bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/06/08/m%E1%BB%99t-s%E1%BB%91-cach-tinh-tich-phan-suy-r%E1%BB%99ng/

một số bạn hỏi tôi các tích phân

\int\limits_1^\infty \dfrac{\ln^a x}{(1+x)^2}dx

hay

\int\limits_0^\infty \ln(\sin x)dx.

Tôi cũng có trả lời, song các câu trả lời có lẽ không làm người hỏi thỏa mãn. Dưới đây tôi thử viết một số cách trả lời khác.

Ta có thể tính

I_1=\int\limits_1^\infty\dfrac{\ln x}{(1+x)^2}dx

bằng tích phân từng phần với u=\ln x, dv=\dfrac{dx}{(1+x)^2}. Khi đó

I_1=\int\limits_1^\infty\dfrac{1}{x(x+1)}dx=\ln 2.

Cần lưu ý

I_1\not= \int\limits_1^\infty\dfrac{1}{x}dx-\int\limits_1^\infty \dfrac{1}{x+1}dx.

Ta thử làm tương tự với

I_2=\int\limits_1^\infty\dfrac{\ln^2 x}{(1+x)^2}dx

với u=\ln^2 x, dv=\dfrac{dx}{(1+x)^2}.

Khi đó

I_2=2\int\limits_1^\infty\dfrac{\ln x}{x(x+1)}dx.

Đến đây dường như không có móc nối gì với I_1. Tôi thử dùng một số chương trình để tính. Chẳng hạn

http://www.wolframalpha.com/

là chương trình online khá tốt.

Các bạn có thể tự thử hoặc xem

http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427esk7def42ro

Kết quả

I_2=\dfrac{\pi^2}{6}.

Các bạn cũng có thể xem kết quả I_3

http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427ee6oq0k6hnk

I_3=\dfrac{9\zeta(3)}{4}.

với hàm zeta Riemann

\zeta(3)=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^3}.

Ta cũng có thể thấy I_2 chính bằng

\zeta(2)=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.

Câu hỏi đặt ra:

– Làm thế nào để máy tính được kết quả như vậy?

– Nếu a là số tự nhiên bất kỳ thì I_a=?

– Có mối liên hệ gì giữa I_a và \zeta(a)?

Để trả lời các câu hỏi trên ta cần

– hàm zeta Riemann

\zeta(a)=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^a}, Re \; a>1,

– khai triển Taylor của

\dfrac{1}{(x+1)^2}=1-\dfrac{2}{1+\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{(1+\frac{1}{x})^2}

tại x=+\infty

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n(n-1)}{x^n},

– với a\in\mathbb N, n\ge 2 có

\int\limits_1^\infty \dfrac{\ln^a x}{x^n}dx=\dfrac{a!}{(n-1)^{a}}\int\limits_1^\infty \dfrac{1}{x^n}dx (tích phân từng phần)

=\dfrac{a!}{(n-1)^{a+1}}.

Từ đó ta có, với a\in\mathbb N, a>1,

I_a=\sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{(-1)^n(n-1)a!}{(n-1)^{a+1}}

=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}a!}{n^a}

=\dfrac{(2^a-2)a!\zeta(a)}{2^a}.

Câu hỏi tiếp: liệu với a không là số tự nhiên ta có kết quả gì không?

Quay trở lại việc tính, với n\ge 2, a>0

I=\int\limits_1^\infty\dfrac{\ln^a x}{x^n}dx,

ta đặt t=\ln x^{n-1}=(n-1)\ln x có

I=\int\limits_0^\infty \dfrac{t^a}{(n-1)^{a}}e^{-t}dt

=\dfrac{1}{(n-1)^a}\Gamma(a+1).

Tương tự với trường hợp a\in\mathbb N, a>1 ta có

I_a=\dfrac{(2^a-2)\Gamma(a+1)\zeta(a)}{2^a}, a>1.

Các bạn có thể tham khảo thêm các kết quả của các tích phân dạng này, chẳng hạn

\int\limits_0^1\dfrac{\ln^a x}{x+1}dx,

\int\limits_0^1\dfrac{\ln^a x}{1-x}dx

trong cuốn

“Table of Integrals, Series, and Products, Seventh Edition 2007”

của I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik.

Đường link

http://lib.freescienceengineering.org/view.php?id=63138

Tiếp đến ta quan tâm tích phân

\int\limits_0^\infty \ln(\sin x)dx.

Như tôi đã trả lời: tích phân này không xác định. Có hai cách điều chỉnh

\int\limits_0^u \ln(\sin x)dx, 0\le u\le \pi,

hoặc

\int\limits_0^u \ln|\sin x|dx.

Nguyên hàm của hàm \ln(\sin x)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integate+ln%28sin+x%29dx

hay của \ln|\sin x|

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integate+ln%7Csin+x%7Cdx

là các hàm rất phức tạp.

Tuy nhiên có điều khá thú vị

nguyên hàm của \sin(\ln x) lại khá đơn giản như sau

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integate+sin%28ln+x%29dx

Ngoài ra:

– không khó khăn tích phân \int\limits_0^\infty \ln|\sin x|dx=\sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi}\ln|\sin x|dx=+\infty,

– với chú ý \sin x=2\sin(x/2)\cos(x/2), \cos t=\sin(\pi/2 -t) ta có

\int\limits_0^{\pi/2}\ln(\sin x)dx=-\dfrac{\pi\ln 2}{2}.

Trong cuốn sách của I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik còn đề cập khá nhiều tích phân dạng này, chẳng hạn

\int\limits_0^{\pi/2}\ln(\cos x)dx,

\int\limits_0^{\pi/2}(\ln(\sin x))^2dx.

Các bạn cũng có thể so sánh với

http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eiikivptjbl

http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eo5jiv61a53

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Tính Tích Phân Suy Rộng Ln/x^3