Một Số định Lý Về Khối đa Diện - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (77 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Thể loại khác
>>
3. Tài liệu khác

Một số định lý về khối đa diện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.43 MB, 77 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN VĂN THÁIMỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ KHỐI ĐA DIỆNLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCThái Nguyên, năm 2015ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN VĂN THÁIMỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ KHỐI ĐA DIỆNChuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤPMã số: 60 46 01 13LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học:TS. NGUYỄN VĂN MINHThái Nguyên, năm 2015iLời cảm ơnLuận văn được hoàn thành tại trường Đại học khoa học - Đại họcThái Nguyên với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Minh - Trưởng khoaCơ bản trường Đại học Kinh tế và Quản trị kinh doanh- Đại học TháiNguyên. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâmhướng dẫn của Thầy, tới các thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng đào tạotrường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên.Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K7Q Trường Đại học khoa học đã động viên, giúp đỡ trong quá trình học tậpvà nghiên cứu.Tác giả xin cảm ơn Sở giáo dục - Đào tạo tỉnh Quảng Ninh, Ban giámhiệu và đồng nghiệp trường THPT Vũ Văn Hiếu thành phố Hạ Long đãtạo điều kiện cho tác giả học tập và hoàn thành khóa học.Tác giả xin chân thành cảm ơn.Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015Tác giảNguyễn Văn TháiiiMục lụcLời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .iiii11 Các1.11.21.3kiến thức cơ bản3Một số tiên đề của hình học không gian . . . . . . . . . . . .3Một số cách xác định mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . .3Quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.3.1 Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . .41.3.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . . . .41.3.3 Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . .51.4 Quan hệ vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.4.1 Góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc 51.4.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữađường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . .61.4.3 Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc .61.4.4 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.5 Thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Khối tứ diện2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Các định lý về khối tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Bất đẳng thức liên quan đến tứ diện . . . . . . . . . . . . . .8817323 Khối đa diện3.1 Đa diện - Khối đa diện . . . . . . . . . . . . .3.2 Định lý Euler về khối đa diện . . . . . . . . .3.3 Định lý về khối đa diện . . . . . . . . . . . . .3.4 Một số bài toán và hệ quả của định lý Euler3.5 Thể tích của các khối đa diện . . . . . . . . .3.5.1 Phân hoạch của khối đa diện . . . . .3.5.2 Thể tích của khối đa diện . . . . . . .Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . .39394346546262637172.................................................................................iiiBảng kí hiệu△ :Tam giácS :Diện tích đa giácp :Số đỉnh của đa diệna :f :Số cạnh của đa diệnSố mặt của đa diệnV :h :R :Thể tíchChiều cao đa diệnBán kính cầu ngoại tiếpr :Bán kính cầu nội tiếpd :Khoảng cáchE :D :Khối đa diệnMiền đa giácX (E ) :Đặc số Euler của đa diện E .1Lời mở đầuTrong vật lý, hóa học, sinh học ta đều học được một bài học: nếu biếtrõ thành phần nhỏ nhất cấu tạo nên vật chất, ta sẽ hiểu rõ được bản chấtcủa vật chất. Trong hình học cũng vậy, nếu biết rõ thành phần cơ bản cấutạo nên hình học, ta sẽ hiểu rõ hình học. Ý nghĩa căn bản của hình họctừ thời nguyên thủy đã sống lại: hình học không phải là sản phẩm thuầntúy của tư duy, mà là bức tranh của tự nhiên do con người vẽ ra theo khảnăng nhận thức, và vì thế sự phản ánh đó không bao giờ đầy đủ và chínhxác tuyệt đối.Tuy nhiên, nhận thức và trải nghiệm của con người ngày càng sâusắc để nhận ra rằng tự nhiên tuy đa dạng, phức tạp, nhưng được cấu trúctheo những mô hình xác định. Khám phá cấu trúc ấy chính là bản chấtcủa hình học. Trong hình học, thành phần đơn giản nhất là điểm, đườngthẳng và mặt phẳng. Vì thế việc nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm, đườngvà mặt mang ý nghĩa nền tảng của hình học. Hệ tiên đề hình học chính làtập hợp những mệnh đề về những mối quan hệ nền tảng đó. Trên nền tảngấy, trong không gian 3 chiều, hình đơn giản nhất là tứ diện. Mọi hình khối3 chiều đều có thể coi là tổ hợp của các tứ diện. Vì thế việc nghiên cứu tứdiện là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình trong không gian 3 chiều. Cácbài toán và định lý về tứ diện đóng vai trò cốt lõi trong nghiên cứu hìnhhọc 3 chiều.Điều đặc biệt lý thú là bài toán 3 chiều bài toán về khối đa diện. Điềunày nói lên rằng vũ trụ được xây dựng theo cấu trúc tầng tầng lớp lớp lặpđi lặp lại những cấu trúc nhất định. Các tầng cao hơn, rộng hơn, tuy phứctạp hơn nhưng thực ra cũng được xây dựng trên những nguyên lý cấu trúcnhất quán. Điều này có thể ví như sự sống tuy có cấu trúc vô cùng phứctạp và đa dạng, nhưng tất cả đều dựa trên cấu trúc DNA. “Phân tử DNA”của hình học 3 chiều là Tứ diện (Tetrahedron). Tứ diện là một hình khônggian 3 chiều khép kín được giới hạn bởi 4 mặt. Không gian ấy được xácđịnh bởi 4 điểm không đồng phẳng. Mỗi điểm là một đỉnh của tứ diện.Mỗi đỉnh ứng với một góc tam diện. 3 đỉnh xác định một mặt của tứ diện.Mỗi cặp 2 mặt của tứ diện xác định một nhị diện. Cạnh của nhị diện chínhlà cạnh của tứ diện. Tứ diện có 6 cạnh, chia làm 3 cặp, mỗi cặp gồm 2cạnh chéo nhau, gọi là 2 cạnh đối. Giống như tam giác có 4 đường chủ yếulà trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao, tứ diện cũng có nhữngđường và mặt chủ yếu. Việc khảo sát những đường và mặt chủ yếu ấy sẽcung cấp một cái nhìn toàn cảnh và sâu rộng về tứ diện.2Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:Chương 1. Các kiến thức cơ bản.Trong chương này, tôi trình bày các khái niệm trong hình học không gian.Chương 2. Khối tứ diện.Chương này trình bày một số khái niệm về khối tứ diện, các tứ diệnđặc biệt, một số định lý về khối tứ diện và một số bài toán được dịch ratừ tài liệu tiếng Nga, một số bài thi vô địch các nước, khu vực.Chương 3. Khối đa diện.Chương này trình bày về định nghĩa khối đa diện tổng quát, tính chấtcủa khối đa diện. Định lý Euler về khối đa diện, định lý A.Đ. Alechxandropvà thể tích của khối đa diện.3Chương 1Các kiến thức cơ bản1.1Một số tiên đề của hình học không gianTiên đề 1.1.1. Qua hai điểm phân biệt trong không gian có một và chỉmột đường thẳng duy nhất.Tiên đề 1.1.2. Qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặtphẳng duy nhất.Tiên đề 1.1.3. Một đường thẳng có hai điểm nằm trong một mặt phẳngthì nó nằm trong mặt phẳng ấy.Tiên đề 1.1.4. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có mộtđường thẳng chung đi qua điểm ấy.Chú ý. Người ta gọi đường thẳng chung của hai mặt phẳng là giao tuyếncủa hai mặt phẳng.1.2Một số cách xác định mặt phẳng❼ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất được một mặtphẳng.❼ Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất được một mặtphẳng.❼ Qua hai đường thẳng song song xác định duy nhất được một mặtphẳng.❼ Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó xácđịnh duy nhất được một mặt phẳng.41.31.3.1Quan hệ song songHai đường thẳng song song❼ Hai đường thẳng được gọi là song song với một đường thẳng nếuchúng đồng phẳng và không có điểm chung.❼ Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằmtrong một mặt phẳng.❼ Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳng cắt nhautheo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặcđôi một song song.❼ Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng songsong thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳngđó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó .❼ Ba đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện của một tứ diệnđồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó còn được gọi làtrọng tâm của tứ diện.❼ Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua hai đường thẳng songsong.1.3.2Đường thẳng song song với mặt phẳng❼ Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với nhaunếu chúng không có điểm chung.❼ Một đường thẳng (Không nằm trên mặt phẳng (P )) song song với(P ) khi và chỉ khi nó song song với một đường thẳng nằm trong (P ).❼ Nếu mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a, a song song với mặt phẳng(P ), thì giao tuyến của (P ) và (Q) (nếu có) song song với a.❼ Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giaotuyến của chúng song song với đường thẳng đó.❼ Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó, luôn tồn tại duy nhấtmặt phẳng (P ) chứa a song song với b.51.3.3Hai mặt phẳng song song❼ Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không cóđiểm chung.❼ Nếu mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng cắt nhau và song song vớimặt phẳng (Q) thì (P ) song song với (Q).❼ Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, tồn tại duy nhất một mặtphẳng song song với mặt phẳng đó.❼ Cho hai mặt phẳng song song với nhau, nếu một mặt phẳng cắt mặtphẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song songvới nhau.❼ Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thìchúng song song với nhau.Định lý Thales.❼ Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạntương ứng tỷ lệ.❼ Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a′ lần lượt lấy thứ tự cácđiểm A, B, C và A′ , B ′ , C ′ sao cho:ABBCCA==A′ B ′ B ′ C ′ C ′ A′(1.1)Khi đó ba đường AA′ , BB ′ , CC ′ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng songsong, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.1.41.4.1Quan hệ vuông gócGóc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc❼ Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong không gian là góc giữa haiđường thẳng a1 và a2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song songhoặc trùng với d1 và d2 .❼ Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúngbằng 900 .61.4.2Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữa đườngthẳng và mặt phẳng❼ Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nóvuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng ấy.❼ Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P ) khi và chỉ khi a vuônggóc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc (P ).Định lý ba đường vuông góc.Cho đường thẳng a có hình chiếu lên mặt phẳng (P ) là đường thẳngKhi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P ) vuông góc với akhi và chỉ khi nó vuông góc với a′ .a′ .❼ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hìnhchiếu của nó lên mặt phẳng (nếu hình chiếu đó là một điểm thì xemgóc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 900 ).1.4.3Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc❼ Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳnglần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó .❼ Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳngđó bằng 900 .❼ Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặtphẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.❼ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳngthứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.1.4.4Khoảng cách❼ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc một đườngthẳng) là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặtphẳng (hoặc đường thẳng).❼ Khoảng cách từ đường thẳng a tới mặt phẳng (P ) song song với a làkhoảng cách từ một điểm nào đó của a lên (P ).❼ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ mộtđiểm nào đó trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.7❼ Đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường thẳngcắt cả hai đường thẳng và vuông góc với hai đường thẳng đó .❼ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b bằng:i) Độ dài đường vuông góc chung.ii) Khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng songsong với nó và chứa đường thẳng còn lại.iii) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa haiđường thẳng đó.1.5Thể tích khối đa diệnCông thức tính thể tích khối chóp1V = .S.h3(1.2)Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao.Công thức tính thể tích khối lăng trụV = S.h(1.3)Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao.Công thức tính thể tích khối chóp cụtV =√1(S + S ′ + SS ′ ) .h3(1.4)Trong đó: S là diện tích đáy lớn, S ′ là diện tích đáy nhỏ, h là chiềucao của chóp cụt.8Chương 2Khối tứ diện2.1Một số khái niệm cơ bản❼ Đường cao khối tứ diện: Đường thẳng hạ từ một đỉnh bất kỳ tới mặtđối diện với đỉnh đó và vuông góc với mặt phẳng đó.❼ Mặt trung trực của một cạnh: Mặt phẳng đi qua trung điểm của cạnhvà vuông góc với cạnh đó được gọi là mặt phẳng trung trực của cạnhđó.❼ Mặt cầu nội, ngoại tiếp, bàng tiếp khối tứ diện:i) Sáu mặt phẳng trung trực của sáu cạnh tứ diện cắt nhau tại mộtđiểm, điểm đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.ii) Sáu mặt phẳng phân giác của sáu nhị diện tương ứng với sáucạnh tứ diện cắt nhau tại một điểm, điểm đó là tâm mặt cầu nộitiếp tứ diện.iii) Sáu mặt phẳng phân giác của sáu nhị diện tương ứng với ba cạnhtứ diện và ba cạnh đáy cắt nhau tại một điểm, điểm đó là tâmmặt cầu bàng tiếp tứ diện.❼ Tứ diện vuông: Tứ diện SABC gọi là tứ diện vuông đỉnh S , nếu nhưSA, SB, SC từng đôi một vuông góc với nhau.❼ Tứ diện trực tâm: Tứ diện ABCD gọi là tứ diện trực tâm, nếu cáccạnh đối vuông góc với nhau, tức là AB CD; AC BD; AD BC .❼ Tứ diện đều: Tứ diện ABCD gọi là tứ diện đều, nếu như tất cả cáccạnh của nó bằng nhau tức là: AB = CD = AC = BD = AD = BC.❼ Tứ diện gần đều: Tứ diện ABCD gọi là tứ diện gần đều, nếu như tấtcả các cặp cạnh đối của nó bằng nhau tức là: AB = CD, AC = BD,AD = BC.9Bài toán 2.1.1. Chứng minh rằng một hình tứ diện không thể có tâmđối xứng.Bài giải. Giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng là O.Nếu O thuộc một mặt phẳng chứa một mặt của tứ diện thì mặt đólà hình có tâm đối xứng. Điều này không thể xảy ra vì mặt của tứ diện làmột tam giác mà tam giác là hình không có tâm đối xứng.Hình 2.1Vậy O không thuộc các mặt phẳng chứa mặt của tứ diện. Gọi A′ , B ′lần lượt là hai điểm đối xứng của A và B qua O thì A′ , B ′ lần lượt thuộchai mặt phẳng BCD và ACD của tứ diện (Hình 2.1).Vì đoạn A′ B ′ là hình đối xứng của đoạn AB qua O nên A′ B ′ ∥= AB .Suy ra tứ giác ABB ′ A′ là hình bình hành, suy ra BA′ ∥ AB ′ .Nếu A′ không trùng với B thì B ′ không trùng với A, khi đó hai mặtphẳng (BCD) và (ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song BA′và AB ′ nên giao tuyến CD của chúng cũng song song với BA′ , điều nàykhông thể xảy ra vì A′ thuộc tam giác BCD do đó A′ trùng B và B ′ trùngA, khi đó O là trung điểm của AB tức là O thuộc một mặt của tứ diện(điều này mâu thuẫn). Vậy tứ diện không có tâm đối xứng.Bài toán 2.1.2. Cho tứ diện và sáu mặt phẳng sao cho mỗi mặt đi quatrung điểm mỗi cạnh của tứ diện và vuông góc với cạnh đối diện. Chứngminh rằng sáu mặt phẳng đó đồng quy.Bài giải. Giả sử G là trọng tâm của tứ diện ABCD; khi đó G là trungđiểm của đoạn M N , nối các trung điểm của đoạn AB và CD. Giả sử Olà tâm mặt cầu ngoại tiếp, khi đó O thuộc mặt phẳng trung trực của cạnhCD, (Hình 2.2) .10Hình 2.2Mặt phẳng qua M và vuông góc với CD, song song với mặt phẳngtrung trực của CD. Hai mặt phẳng này cắt mặt phẳng (OGN ) theo haigiao tuyến song song: ON ∥ M H (H ∈ OG). Từ hai tam giác bằng nhauGM H và GN O suy ra GH = GO, hay H là ảnh đối xứng của O qua G.Lập luận tương tự, năm mặt phẳng còn lại cũng đi qua H . Suy ra sáumặt phẳng trên đồng quy tại H .Bài toán 2.1.3. Chứng minh rằng sáu mặt phẳng, mỗi mặt phẳng đi quatrung điểm của mỗi cạnh của tứ diện và song song với mặt phân giác củanhị diện cạnh đối diện thì đồng quy.Bài giải. Gọi G và O lần lượt là trọng tâm và tâm mặt cầu nội tiếp tứdiện ABCD, (Hình 2.3)Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng(M N O) cắt mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh (AB ) theo giao tuyếnOM . Giả sử OG cắt mặt phẳng qua N và song song với mặt phẳng nóitrên tại H , khi đó: M O ∥ N H và GO = GH.Vậy H là ảnh đối xứng của O qua G, từ đó năm mặt phẳng còn lạiđi qua H .Bài toán 2.1.4. Chứng minh rằng bốn đường thẳng, mỗi đường đi quađỉnh của một tứ diện và tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện, đồng quykhi và chỉ khi tích độ dài các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.Bài giải.Xét điều kiện để hai đường thẳng tương ứng nối các đỉnh B và C củatứ diện ABCD lần lượt với các tâm các đường tròn nội tiếp các tam giácABC và ACD thuộc một mặt phẳng. (Hình 2.4)11Hình 2.3Hình 2.4Điều kiện đó tương đương với các phân giác của các góc ABD vàACD cắt nhau trên cạnh AD của tứ diện. Điều kiện cuối cùng xảy ra khivà chỉ khi:BA AC=⇔ BA.CD = AC.BD.BD CDLập luận tương tự để dẫn tới: Bốn đường thẳng, không có ba đườngnào nêu trong bài toán là đồng phẳng, đôi một cắt nhau. Như thế chúngđồng quy.Bài toán 2.1.5. Một mặt phẳng cắt ba cạnh xuất phát từ một đỉnh củamột tứ diện. Chứng minh rằng mặt phẳng này chia diện tích xung quanhcủa tứ diện thành hai phần tương ứng tỷ lệ với các phần thể tích của tứdiện do mặt phẳng này phân chia tứ diện khi và chỉ khi mặt phẳng nóitrên đi qua tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.12Bài giải.Ta kí hiệu V, S, r lần lượt là thể tích, diện tích xung quanh và bánkính mặt cầu nội tiếp tứ diện.(Hình 2.5)Một phần của tứ diện được phân chia là hình chóp với đáy thuộc mặtphẳng (α) cắt tứ diện. Ta lại kí hiệu V1 , S1 , r1 lần lượt là thể tích, diệntích các mặt bên của hình chóp và bán kính mặt cầu có tâm thuộc đáy,tiếp xúc với các mặt bên. Đáy của hình chóp đi qua tâm mặt cầu nội tiếptứ diện khi và chỉ khi r = ri .Hình 2.511Từ công thức: V = S.r; V1 = S1 .r1 và điều kiện bài toán, suy ra :33SV − V1S − S1V=⇔=V1 S 1V1S1(2.1)Từ đó ta có điều phải chứng minh.Bài toán 2.1.6. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh DA, DB, DC lấy mộtcách tùy ý các điểm A′ , B ′ , C ′ . Xét các điểm P1 , P2 , P3 lần lượt thuộc cácđoạn thẳng AB, BC, CA và các điểm P1′ , P2′ , P3′ lần lượt thuộc các đoạnA′ B ′ , B ′ C ′ , C ′ A′ sao cho:AP3 A′ P3 AA′ P1 B P1 B ′ BB ′ P2 C P2 C ′ CC ′=;= ′ =;= ′ =.′ =BP3 B ′ P3 BB ′ P1 C P1 C ′ CC ′ P2 A P2 A′ AA′′′′(2.2)Chứng minh rằnga) Các đường thẳng AP1 , BP2 , CP3 cắt nhau tại một điểm P và A′ P1 ,′′B ′ P2 , C ′ P3 cắt nhau tại P ′ .′13b) Nếu các điểm A′ , B ′ , C ′ thay đổi trên các cạnh DA, DB, DC thì P P ′luôn luôn song song với một đường thẳng cố định.Bài giải.a) Từ giả thiết suy raP A′ P B ′ P C ′P3 A P 1 B P2 C..= 3′ ′ . 1′ ′ . 2′ ′ = 1 .P3 B P1 C P2 AP3 B P 1 C P2 A′′′(2.3)Do đó theo định lý Ceva thì P1 A, P2 B, P3 C đồng quy tại điểm P ,′′′còn P1 A′ , P2 B ′ , P3 C ′ đồng quy tại P ′ .b) Ta sử dụng định lý Menelaus trong △BCP3 với cát tuyến AP P1 vàkết quả câu a) ta tính được:CC ′ CC ′P C P2 C P 1 C+=+=P P 3 P2 A P1 BBB ′ AA′(2.4)Hoàn toàn tương tự ta cũng cóPCP ′C ′= ′ ′P P3P P3(2.5)Dựng các hình bình hành AA′ P3 E và BBP3′ F , từ giả thiết suy ra ba′điểm E, P3 , F thẳng hàng. Trong △P3 EF có:′P ′EP3 E= 3′ ⇒ P3′ PP3 FP3 F′̂là phân giác của góc EP3 F và song song với phân giác DD3 của△DAB . Mặt khác từ (2.5) suy ra tồn tại duy nhất 3 mặt phẳngα, β, γ song song với nhau sao cho:P3 P3 ⊂ α, P P ′ ⊂ β, CC ′ ⊂ γ.′Do đó P3 P3 không song song với CC ′ và P3 P3 // DD3 suy ra (γ )trùngmặt phẳng (CDD3 ) và P P ′ //(CDD3 ).′′̂ trong tam giác DBC , thìNếu gọi DD1 là phân giác của góc BDChoàn toàn tương tự ta cũng có P P ′ ∥ (ADD1 ). Vậy P P ′ song songvới giao tuyến của 2 mặt phẳng (ADD1 ) và (ADD3 ) cố định .14Bài toán 2.1.7. Trên các cạnh AB, AC, AD của khối tứ diện ABCDcho trước, với mỗi giá trị n ∈ N ta lấy các điểm Kn , Ln , Mn tương ứngsao cho:AB = n.AKn , AC=(n+1)ALn , AD=(n+2)AMn .Chứng minh rằng: Tất cả các mặt phẳng (Kn Ln Mn ) cùng đi qua mộtđường thẳng.Bài giải.Ta sẽ chứng minh rằng tất cả các đường thẳng Kn Ln với n ∈ N điqua điểm O cố định nằm trên đường thẳng đi qua đỉnh A và song song vớiđường thẳng BC.Thật vậy, nếu đường thẳng Kn Ln cắt đường thẳng BC tại P (nằmtrên tia CB ), thì từ sự đồng dạng của các tam giác tương ứng ta có :BKnCLnPCPB=== n−1 ,= n.OAAKnOAALnTừ đó ta có OA = nOA − (n − 1).OA = P C − P B = BC.Tương tự ta chứng minh được rằng tất cả các đường thẳng Ln Mn vớin ∈ N đi qua điểm cố định Q nằm trên đường thẳng đi qua đỉnh A và songsong với đường thẳng CD. Suy ra tất cả các mặt phẳng (Kn Ln Mn ) vớin ∈ N cùng đi qua đường thẳng OQ.Bài toán 2.1.8. Cho tứ diện ABCD bất kỳ. Chứng minh rằng:1) Bốn đường thẳng trung tuyến và 3 đường trung bình của tứ diệnABCD gặp nhau tại G (G là trọng tâm tứ diện).2) Gọi GA , GB , GC , GD là trọng tâm của các mặt đối diện với các gócA, B, C, D chứng minh rằng:GGA GGD GA GD 1===GAGDDA3(2.6)(G là trọng tâm tứ diện).Bài giải.1) Ta gọi GD là trọng tâm ∆ABC , nối AGD kéo dài và cắt BC tại A′ ,nối CGD kéo dài và cắt AB tại C ′ , ta có các trung tuyến AA′ , CC ′và DGD là trung tuyến của tứ diện. Gọi GA là trọng tâm △BCD,nối CGA suy ra CGA ∩ DB = C ′′ . Gọi CGA ∩ DGD = G. Tương tự ta15Hình 2.6gọi GB là trọng tâm △ADC, GC là trọng tâm △ADB . Vì vai trò củaAGA , BGB , CGC , DGD cắt nhau từng đôi một, mà chúng khôngđồng phẳng, suy ra bốn trung tuyến đồng quy tại G.(Hình 2.6)Gọi B là trung điểm AD, ta phải chứng minh B, G, A′ thẳng hàng.Thật vậy ta có B, G, A′ thuộc mặt phẳng (AA′ D), ta lại có B, G, A′thuộc mặt phẳng (BCB). Gọi A là trung điểm của DC , hoàn toàntương tự ta cũng chứng minh được A, G, C ′ cũng thẳng hàng, suy raB, C ′ , A′ , A đồng phẳng.Mà ta lại có:11C ′ A′ ∥= AC và A′′ B ′′ ∥= AC ⇒ C ′ A′ = B”C”.22Vậy suy ra G là trung điểm A′ B ′′ và C ′ A′′ .Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được các cặp còn lại.Vậy bốn đường thẳng trung tuyến và 3 đường trung bình của tứ diệnABCD gặp nhau tại G.2) Nối GA GD , (Hình 2.7) ta cóA′ GA A′ GD GA GD 1= ′ == .A′ DAADA3Bài toán 2.1.9. Chứng minh rằng các mặt phẳng phân giác của nhị diệncủa tam diện cắt nhau theo một đường thẳng (đồng trục).Bài giải.(Hình 2.8)16Hình 2.7Xét tam diện Oxyz mặt phẳng phân giác αx của nhị diện cạnh Ox làquỹ tích (tập hợp) những điểm cách đều hai mặt phẳng (Oxy ) và (Oxz ).Mặt phẳng phân giác (αz ) của nhị diện cạnh Oz là quỹ tích những điểmcách đều hai mặt phẳng (Ozy ) và (Ozx).Hình 2.8Hai mặt phẳng phân giác (αx ) ∩ (αz ) = Ot. Vậy Ot là quỹ tích nhữngđiểm cách đều.Bài toán 2.1.10. Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua cạnh của góc tamdiện và đi qua các phân giác của góc các mặt đối thì cắt nhau theo mộtđường thẳng.Bài giải.Xét tam diện Oxyz .(Hình 2.9) Trên tia Ox, Oy, Oz lấy A, B, C saocho OA = OB = OC . Gọi A′ là trung điểm của BC, C’ là trung điểm củaAB.17Hình 2.9̂ , C ′ là chân đườngSuy ra A′ là chân đường cao, phân giác của yOẑ , Nối CC ′ ; AA′ ta có CC ′ cắt AA′ tại H . Suy racao, phân giác của xOyBH cũng là trung tuyến; BH cắt AC tại B ′ (AB ′ = B ′ C ) suy ra OB ′cũng là phân giác (vì tam giác AOC cân tại O). Vậy suy ra OH là trụccủa 3 mặt phẳng.2.2Các định lý về khối tứ diệnĐịnh lý 2.2.1. (Định lý Ceva) Trong không gian cho tứ diện ABCD.Gọi X là điểm trên AB , Y là điểm trên BC , Z là điểm trên CD và W làđiểm trên DA. Bốn mặt phẳng (AZB ), (BW C ), (CXD) và (DY A) cắtnhau tại một điểm khi và chỉ khiAX BY CZ DW...= 1.XB Y C ZD W A(2.7)Chứng minh.Gọi A′ = BZ ∩ DY, C ′ =BW ∩ DX. (Hình 2.10) Khi đó(AZB ) ∩ (AY D) = AA′ , (CXD) ∩ (DYA)=CC ′ .Dựng mặt phẳng chứa cả AA′ và CC ′ . Gọi T = AC ′ ∩ CA′ . Áp dụng địnhlý Ceva cho tam giác ADB và tam giác CDB ta nhận được kết quả sau:AW DT BXBT DZ CY..= 1,..= 1.W D T B XAT D ZC Y BNhân hai vế đẳng thức trên ta cóAW DT BX BT DZ CYAX BY CZ DW.....=1⇔...= 1.W D T B XA T D ZC Y BXB Y C ZD W A18Hình 2.10∎Định lý 2.2.2. (Định lý Ptolemy)Với mỗi khối tứ diện ABCD ta có các bất đẳng thức :AB.CD < AC.BD + AD.BCAC.BD < AB.CD + AD.BCAD.BC < AC.BD + AB.CD(2.8)(2.9)(2.10)Chứng minh.Hình 2.11Trong mặt phẳng (BCD) ta lấy điểm E sao cho B và E khác phíavới đường thẳng CD và AC = CE, AD = DE . (Hình 2.11)19Từ đó ta có ∆ACD = ∆ECD. Suy ra AP = P E , trong đó P là giaođiểm của BE và CD. Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác BCED,ta có BE.CD ≤ CE.BD + BC.DE .Mặt khácAB.CD ≤ (AP +P B ).CD = AP.CD+AP.CD = P E.CD+P B.CD = BE.CD.VậyAB.CD ≤ BE.CD ≤ CE.BD + BC.DE = AC.BD + AD.BC.Ngoài ra dấu đẳng thức không xảy ra.Hoàn toàn tương tự cho các cặp còn lạiAC.BD < AB.CD + AD.BCAD.BC < AC.BD + AB.CD.∎Bài toán 2.2.3. (Omlypic 30/4, Việt Nam 2000) Cho hình chóp tam giácABCD. Giả sử các trung tuyến của các tam giác ABC, ABD, ADC kẻ từA tạo với những cạnh đáy BC, BD, CD các góc bằng nhau. Chứng minhdiện tích một mặt bên của hình chóp nhỏ hơn tổng diện tích các mặt bêncòn lại.Bài giải. (Hình 2.12)Hình 2.12Gọi α là góc tạo bởi các trung tuyến AM, AK, AL với các cạnh đáyBC, DC, BD. Vì vai trò của các mặt bên là như nhau nên ta chỉ cần chứngminh diện tích SABC < SACD + SABD . Thật vậy, áp dụng định lý Ptolemy20(2.9) cho tứ diện AM KL ta có AM.KL < AK.M L + AL.M K . Bất đẳngthức trên tương đương với các bất đẳng thứcAM.BC < AK.DC + AL.BD⇔ AM.BC. sin α < AK.DC. sin α + AL.BD. sin α⇔ SABC < SACD + SABD .Bài toán 2.2.4. (Tạp chí Toán học tuổi trẻ, số 264)Trên cạnh CD của hình tứ diện ABCD lấy điểm N (N khác C, D).Ký hiệu c(XY Z ) là chu vi tam giác XY Z . Chứng minh rằngN C.c(DAB ) + N D.c(CAB ) > CD.c(N AB ).Bài giải. Xét bất đẳng thức Ptolemy (2.9) cho bốn bộ điểm (N, A, C, D)và (N, C, B, D) ta có:N C.DA + N D.CA > CD.N A,N C.DB + N D.CB > CD.N B.(2.11)(2.12)Mặt khác, vì N thuộc đoạn CD nên N C + N D = CD. Do đóN C.AB + N D.AB = CD.AB.(2.13)Cộng theo vế ba đẳng thức (2.11), (2.12) và (2.13) ta được bất đẳng thứccần chứng minh.Định lý 2.2.5. (Công thức Crelle)Với mỗi khối tứ diện ABCD đều tồn tại ít nhất một tam giác mà sốđo các cạnh của nó bằng tích số đo các cặp đối của tứ diện đó. Hơn nữa,nếu gọi V là thể tích, R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDthì ta có công thức số đoS = 6V.R(2.14)Bổ đề 2.2.6. Cho tứ diện ABCD với BC = a; AD = m; AC = b; BD =n; AB = c; CD = p. Ta có thể lấy am, bn, cp là độ dài ba cạnh của tamgiác.Chứng minh. (Hình 2.13)Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Kẻ OO1 ⊥ (ABCD),thì O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Gọi π là tiếp diện của mặtcầu ngoại tiếp nói trên tại A, tức là OA ⊥ (π ).Giả sử (π ) ∩ (ABC ) = Ax. Do OA ⊥ (π ) ⇒ OA ⊥ Ax, vì thế theođịnh lý ba đường vuông góc suy ra Ax ⊥ OO1 ⇒ Ax là tiếp tuyến vớiđường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại A (tiếp tuyến này nằm trong (ABC )) .

Tài liệu liên quan

• luận văn tốt nghiệp ĐHSP: sử dụng phần mềm GSP để thiết kế bài giảng một số nội dung dạy học về khối đa diện và mặt tròn xoay
  • 89
  • 3
  • 29
• Một số định lý cổ điển và họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức nhiều biến
  • 48
  • 881
  • 3
• Một số định lý cổ điển và họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức nhiều biến .pdf
  • 48
  • 890
  • 0
• Tài liệu ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ pdf
  • 5
  • 2
  • 11
• Luận văn: MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN potx
  • 48
  • 364
  • 0
• Bài 4: Định nghĩa và một số định lý về giới hạn của hàm số potx
  • 9
  • 1
  • 4
• Giáo án đại số 12: BÀI TẬP KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN ppt
  • 8
  • 793
  • 0
• Giáo án đại số 12: §1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN pptx
  • 12
  • 421
  • 0
• Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng
  • 70
  • 290
  • 0
• Một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1: Khóa luận toán học
  • 44
  • 2
  • 7

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(1.43 MB - 77 trang) - Một số định lý về khối đa diện Tải bản đầy đủ ngay ×