Một Số Kiến Thức Về Hình Học Phẳng Trong Các Cuộc Thi OLYMPIC ...

Tải bản đầy đủ (.pdf) (70 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Khoa Học Tự Nhiên
>>
3. Toán học

Một số kiến thức về hình học phẳng trong các cuộc thi OLYMPIC TOÁN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.15 MB, 70 trang )

Mục lụcLời nói đầu6Các thành viên tham gia biên soạn71 Một số định nghĩa, định lý, điểm và đường đặc biệt không duy nhất1.1 Định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Mở rộng định lý Menelaus theo diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Định lý Menelaus cho tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Định lý Céva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Định lý Céva dạng sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Định lý Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Định lý Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8 Một trường hợp đặc biệt của định lý Pappus qua góc nhìn hình học xạ ảnh . . . . . . .1.9 Bất đẳng thức Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.10 Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.11 Định lý Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.12 Định lý Miquel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.13 Công thức Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.14 Định lý Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.15 Khái niệm về hai tam giác trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.16 Định lý Brocard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.17 Định lý Euler về khoảng cách giữa tâm 2 đường tròn nội, ngoại tiếp của tam giác . . .1.18 Định lý Euler về khoảng cách giữa tâm 2 đường tròn nội, ngoại tiếp của tứ giác (ĐịnhFuss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.19 Định lý Casey (định lý Ptolemy mở rộng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.20 Định lý Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.21 Định lý Feuerbach–Luchterhand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.22 Định lý Lyness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.23 Định lý Lyness mở rộng (Bổ đề Sawayama) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.24 Định lý Thébault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.25 Công thức Jacobi liên quan đến tâm tỉ cự, định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . .1.26 Định lý Newton cho tứ giác ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.27 Định lý Breichneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.28 Định lý con nhím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.29 Định lý Gergonne–Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.30 Định lý Peletier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.31 Định lý Viviani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.32 Công thức Lagrange mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.33 Đường thẳng Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.34 Đường thẳng Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.35 Định lý Collings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.36 Định lý Napoleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.37 Định lý Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.38 Định lý con bướm với đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.39 Định lý con bướm với cặp đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.40 Định lý Blaikie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.41 Đường tròn Apollonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.42 Định lý Blanchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.43 Định lý Blanchet mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.44 Định lý Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.45 Định lý Kiepert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .lý. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .888999101011121214141515161617181819192020212222232324242424252526272828292930303131324MATHSCOPE.ORG1.461.471.481.491.501.511.521.531.541.551.561.571.581.591.601.611.621.631.641.651.661.671.681.691.701.711.721.731.741.751.761.771.781.791.801.811.82Định lý Kariya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cực trực giao (khái niệm mở rộng của trực tâm tam giác) . . . . . . . . . . . . .Khái niệm tam giác hình chiếu, công thức Euler về diện tích tam giác hình chiếu .Khái niệm hai điểm liên hợp đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Reim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Khái niệm tứ giác toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Đường thẳng Droz–Farny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Đường tròn Droz–Farny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Van Aubel về tứ giác và các hình vuông dựng trên cạnh . . . . . . . . . .Hệ thức Van Aubel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Pithot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Johnson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Bài toán Langley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Eyeball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Bổ đề Haruki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Paul Yiu về đường tròn bàng tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Brahmagupta về tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc . . . . . . .Định lý Schooten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Bottema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Zaslavsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Urquhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Poncelet về bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp trong tam giác vuôngĐịnh lý Marion Walter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Hansen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Steinbart suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Monge & d’Alembert 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Monge & d’Alembert 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Steiner về bán kính các đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Steiner-Lehmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Bất đẳng thức Erd¨os – Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Bellavitis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý Gossard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Định lý M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Đường tròn Hagge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Một số điểm và đường đặc biệt được xác định duy nhất với2.1 Đường thẳng Euler của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Đường tròn và tâm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Đường đối trung, điểm Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Điểm Gergonne, điểm Nobb, đường thẳng Gergonne . . . . . .2.5 Điểm Nagel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6 Điểm Brocard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7 Điểm Schiffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8 Điểm Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9 Điểm Kosnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10 Điểm Musselman, định lý Paul Yiu về điểm Musselman . . . .2.11 Điểm Gilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.12 Khái niệm đường tròn cực của tam giác tù . . . . . . . . . . .2.13 Trục Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.14 Tâm Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .tam. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .giác. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .và. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...........................................................................tứ giác. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ............................................................................................................................................32323333353536373737383838393940414142424243434444444546474748484849505151..............5454545455565656575859596060615MỤC LỤC2.152.162.172.182.192.202.212.222.232.242.252.262.272.282.292.302.312.32Tâm Spieker và đường thẳng Nagel . . . . . .Hai điểm Fermat . . . . . . . . . . . . . . . .Điểm Parry reflection . . . . . . . . . . . . . .Đường tròn Taylor, tâm Taylor . . . . . . . .Điểm Bevan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Điểm Vecten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Điểm Mittenpunkt . . . . . . . . . . . . . . .Điểm Napoleon . . . . . . . . . . . . . . . . .Đường tròn Adam . . . . . . . . . . . . . . . .Tam giác Fuhrmann, đường tròn Fuhrmann .Hình lục giác và đường tròn Lemoine thứ nhấtHình lục giác và đường tròn Lemoine thứ hai .Hình bình hành Varignon của tứ giác . . . . .Điểm Euler của tứ giác nội tiếp . . . . . . . .Đường thẳng Steiner của tứ giác toàn phần . .Đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần . .Điểm Miquel của tứ giác toàn phần . . . . . .Đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần . ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................6162626363646465656667676868696969706LỜI NÓI ĐẦULời nói đầuHình học tạo nên cuộc sống!Hình học luôn luôn tuyệt vời!!...Có rất nhiều câu tôi muốn nói ra, chạy đến khắp ngõ ngách phố phường hét to lên để thể hiện niềm yêuthích môn hình học sơ cấp của bản thân. Bạn là người đang xem cuốn tài liệu này? Vậy có thể chính bạncũng rất hiểu những cảm xúc trong tôi vậy. Và chắc hẳn bạn cũng đồng ý rằng cứ hét oang oang lên rằngta yêu một cô gái sẽ chẳng thể ý nghĩa bằng ta làm một điều gì đó cho cô ấy, giúp cô ấy có những niềmvui nho nhỏ. . .Vâng, nói sẽ chẳng bằng làm. Chính vì vậy chúng tôi đã bắt tay làm, làm ra cuốn tài liệu này để thể hiệntình cảm của mình với hình học. Trong cuốn sách, các tác giả đã đề cập tới hơn một trăm định lý, kếtquả tiêu biểu và cực kì ấn tượng của hình học phẳng. Từ những kết quả rất quen thuộc như các định lý:Menelaus, con bướm, Ptolemy,. . . , cho tới các kết quả còn ít phổ biến tại Việt Nam như những định lýBlaikie, Gossard,. . . Các định lý, kết quả đều được phát biểu chi tiết cùng hướng dẫn chứng minh đầy đủvà nhiều khi kèm theo những nhận xét hữu ích.Khi bắt đầu thực hiện biên soạn trên diễn đàn MathScope.org, tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâmcủa các thành viên, các quản trị viên. Nhiều bạn đã góp sức trực tiếp vào quá trình biên soạn, góp ý bổsung,. . . hay gửi email trao đổi với tác giả về các chi tiết liên quan. Sự quan tâm của các bạn, hay chínhlà những thầy cô tâm huyết và các bạn học sinh ham hiểu biết chứng tỏ rằng việc biên soạn cuốn tài liệunày là cần thiết,đáng viết đáng làm. Và sự quan tâm lớn lao ấy cũng chính là một nguồn động viên rất cóý nghĩa với tác giả để có thể "sản xuất" ra một cuốn tài liệu hay và đẹp lên từng ngày.Bây giờ đây, khi mà mọi công việc biên soạn đã coi như được hoàn tất, bạn đang sở hữu nó trong tầmtay. Chúng tôi hy vọng tập tài liệu nhỏ này sẽ thỏa mãn phần nào nhu cầu tra cứu, hoàn thiện kiến thứccủa bản thân cũng như tăng thêm sự hứng thú, vui thích khi học tập hình học nói riêng và toán học nóichung của các bạn.Tập tài liệu chưa hoàn hảo, đó là một sự thật chắc chắn mà mỗi chúng ta đều cảm nhận được. Một phầnlà do sự hạn chế của người viết nên sẽ tồn tại những sai sót, cũng như còn rất rất nhiều kết quả hay và đẹpchưa được nói tới. Chính vì thế, các tác giả luôn luôn mong muốn nhận được sự cộng tác, góp ý thiết thựctừ bạn đọc. Bạn có thể góp ý trực tiếp tại hoặc liênhệ email riêng tới hòm thư Thay mặt nhóm biên soạn, tôi xin chân thành cảm ơn!Hoàng Quốc Khánh - ma 29MỤC LỤCCác thành viên tham gia biên soạnNội dung1. Hoàng Quốc Khánh - ma 292. Phan Đức Minh - novae3. Phạm Minh Khoa - nbkschool4. Lê Phúc Lữ - huynhcongbang5. Đinh Trung Anh - trung anh6. Lê Đức Tâm - thamtuhoctro, leductam7. Lê Bảo Long - long148938. baliLATEX1. Thầy Châu Ngọc Hùng - hungchng2. Phan Đức Minh - novae7811.1MATHSCOPE.ORGMột số định nghĩa, định lý, điểm và đường đặc biệt khôngduy nhấtĐịnh lý MenelausTrong ∆ABC, cho các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đóF A DB ECD, E, F thẳng hàng ⇔..= 1.F B DC EAChứng minh:Thuận:Giả sử D, E, F thẳng hàng. Từ C, kẻ CI//AB (I ∈ DF ), áp dụng định lý Thales, ta có:ECIC DBFBF A DB EC=;=⇒..=1EAF A DCICF B DC EAĐảo:F A DB ECGiả sử các điểm D, E, F thỏa mãn..= 1, lấy F ∈ AB sao cho D, E, F thẳng hàng. TheoF B DC EAF A DB ECFAFA..= 1, suy ra=hay 2 điểm F và F cùng chiachiều thuận định lý Menelaus, ta có:F B DC EAFBFBđoạn AB theo cùng tỉ số. Vậy F ≡ F , hay D, E, F thẳng hàng (đpcm)1.2Mở rộng định lý Menelaus theo diện tíchCho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đóS[M N P ]BM .CN .AP − CM .AN .BP=.S[ABC]AB.BC.CAChứng minh:Ta có S[ABC] = S[M AB] + S[M CA] = S[P M A] + S[P BM ] + S[N M C] + S[N AM ] = S[M N P ] + S[BM P ] + S[CN M ] + S[AP N ]S[BM P ]BM .BP S[CN M ]CN .CM S[AP N ]AP .ANMặt khác=;=;=S[ABC]BC.BA S[ABC]CA.CB S[ABC]AB.ACS[M N P ]S[BM P ] S[CN M ] S[AP N ]BM .CN .AP − CM .AN .BPSuy ra=1−−−=(đpcm)S[ABC]S[ABC]S[ABC]S[ABC]AB.BC.CA1MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ, ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT KHÔNG DUY NHẤT1.39Định lý Menelaus cho tứ giácCho tứ giác ABCD và đường thẳng d cắt AB, BC, CD, DA lần lượt ở M, N, P, Q. Khi đóM A N B P C QD...= 1.M B N C P D QAChứng minh:Trên d lấy I, J sao cho AI//BJ//CD.MAIA N BJB QDPD=;=;=. Từ đó suy ra đpcm.Theo định lý Thales, ta cóMBJB N CP C QAIAChú ý: dạng đảo của định lý trên không đúng và định lý trên có thể mở rộng ra cho đa giác bất kì.1.4Định lý CévaCho tam giác ABC, các điểm E, F, G tương ứng nằm trên BC, CA, AB. Ba đường thẳng AE, BF, CGGA EB F C..= −1.đồng quy tại một điểm O khi và chỉ khiGB EC F AChứng minh:Thuận:Giả sử ba đường thẳng AE, BF, CG đồng quy tại một điểm O. Từ A và C, kẻ các đường thẳng song songvới BF , lần lượt cắt CG và AE tại K, I tương ứng.CFCO CICOCFCIÁp dụng định lý Thales, ta có:=;=⇒=.FAOK AKOKFAAKBEBO AGAKCác cặp tam giác đồng dạng IEC và OEB, AKG và BOG:=;=CECI BGBOGA EB F CAK BO −CIDo đó:..=..= −1 (đpcm)GB EC F ABO CI AKĐảo: chứng minh tương tự định lý Menelaus.1.5Định lý Céva dạng sinCho tam giác ABC, các điểm E, F, G tương ứng nằm trên BC, CA, AB. Ba đường thẳng AE, BF, CGsin ABF sin BCG sin CAEđồng quy tại một điểm O khi và chỉ khi..sin CBF sin ACG sin BAE10MATHSCOPE.ORGChứng minh:BESABEAB. sin BAE CFBC. sin CBF AGCA. sin ACGTa có:==;=;=. Nhân theo vế 3 đẳngCESACEAC. sin CAE AFBA. sin ABF BGCB. sin BCGthức trên, ta có đpcm.1.6Định lý DesarguesCho 2 tam giác ABC và M N P có AM, BN, CP đồng quy tại O. Gọi I, J, K theo thứ tự là giao điểmcủa các cặp đường thẳng (AB, M N ), (BC, N P ), (CA, P M ). Khi đó 3 điểm I, J, K thẳng hàng.Chứng minh:Áp dụng định lý Menelaus cho các tam giác OAB, OBC, OCA, ta có:IA N B M OJB P C N OKC M A P O..= 1;..= 1;..=1IB N O M AJC P O N BKA M O P CIA JB KCNhân theo vế 3 đẳng thức trên, ta có..= 1 ⇒ I, J, K thẳng hàng (đpcm)IB JC KCĐịnh lý đảo của định lý Desargues được phát biểu như sau: Cho 2 tam giác ABC và M N P có AB ∩M N =I, BC ∩ N P = J, CA ∩ P M = K và I, J, K thẳng hàng. Khi đó AM, BN, CP đồng quy tại O.Chứng minh:Gọi O là giao điểm của AM và CP . Áp dụng định lý Menelaus cho các tam giác CP K, P KJ, JKC, ta có:OC M P AKN P IJ M KBJ AC IK..= 1;..= 1;..=1OP M K ACN J IK M PBC AK IJOC N P BJNhân theo vế 3 đẳng thức trên, ta có..= 1 ⇒ O, N, B thẳng hàng ⇒ AM, BN, CP đồngOP N J BCquy tại O (đpcm)1.7Định lý PappusCho 2 đường thẳng a, b. Trên a lấy các điểm A, B, C; trên b lấy các điểm X, Y, Z. Gọi M là giao điểmcủa AX và BY , N là giao điểm của AZ và CX, P là giao điểm của BZ và CY . Khi đó M, N, P thẳnghàng. Định lý Pappus là một trường hợp riêng của định lý Pascal khi conic suy biến thành cặp đườngthẳng (xem mục 1.11).1MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ, ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT KHÔNG DUY NHẤT11Chứng minh:Gọi D, E, F là giao điểm của các cặp đường thẳng (AZ, CY ), (AZ, BX), (BX, CY ). Áp dụng định lýN D XE CFNDCD XFMenelaus cho tam giác DEF với cát tuyến CN X, ta có..=1⇒=.. TươngN E XF CDNECF XEPFZE BF M EAE Y DND ME P FCD XF ZE BF AE Y Dtự, ta có=.,=.⇒..=.....PDZD BE M FAD Y FNE MF P DCF XE ZD BE AD Y FAE CD BFMặt khác, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác DEF với các cát tuyến ABC, XY Z, ta có..=AD CF BEXF ZE Y DND ME P F..= 1. Suy ra..= 1. Do đó M, N, P thẳng hàng (đpcm)XE ZD Y FNE MF P D1.8Một trường hợp đặc biệt của định lý Pappus qua góc nhìn hình học xạảnhỞ phần này chỉ dùng hình học xạ ảnh để dẫn dắt đến kết quả, còn cách chứng minh hoàn toàn phùhợp với THCS. Ta có kết quả sau liên quan đến hình xạ ảnh: Các đường thẳng song song với nhau thì gặpnhau tại một điểm ở vô cực và ngược lại .Vận dụng vào định lý Pappus ở trên, cho các điểm A, B, C ra vô cực thì theo kết quả về hình xạ ảnh tacó Y M//ZN (vì cùng đi qua điểm A ở vô cực), XN//Y P, XM//ZP . Và khi ấy M, N, P vẫn thẳng hàng.Ta phát biểu lại được một định lý đơn giản và hữu dụng sau đây:Định lý: Trên mặt phẳng cho 3 điểm X, Y, Z thẳng hàng và 3 điểm M, N, P thỏa mãn XN//Y P, Y M//ZN,XM//ZP . Khi đó M, N, P thẳng hàng.Chứng minh:Trường hợp M P//XY Z thì đơn giản, bạn đọc tự chứng minh. Ta sẽ xét khi M P không song song vớiXY Z. Gọi S là giao điểm của M P với XY Z. Đường thẳng qua X song song với Y P cắt M P ở N . Bàitoán sẽ được gải quyết nếu ta chứng minh được rằng ZN //Y M (Vì khi ấy N trùng N ). Thật vậy, chúSYSY SXSP SMSMý Y P//XN , ZP//XM nên theo Thales ta có:=.=.=. Theo định lý ThalesSZSX SZSN SPSNđảo, ta suy ra đpcm.121.9MATHSCOPE.ORGBất đẳng thức PtolemyCho tứ giác lồi ABCD bất kỳ, ta có bất đẳng thức sau: AB.CD + BC.AD ≥ AC.BD. Đẳng thức xảyra ⇔ ABCD là tứ giác nội tiếp.Chứng minh:Trong tứ giác ABCD, lấy điểm E sao cho EAB = DAC; EBA = ACDBEAE⇒ BAC = EAD. Khi đó ∆ABE ∼ ∆ACD nên AB==⇒ AB.CD = AC.BE vàACCDADADAD∆AED ∼ ∆ABC. Suy ra=⇒ AD.BC = AC.EDACBCDo đó AB.CD + AD.BC = AC.(BE + ED) ≥ AC.BD.Đẳng thức xảy ra ⇔ E ∈ BD ⇔ ABD = ABE = ACD ⇔ ABCD là tứ giác nội tiếp.Từ đó suy ra định lý Ptolemy: Tứ giác lồi ABCD là tứ giác nội tiếp ⇔ AB.CD + BC.AD = AC.BD1.10Định lý PascalCho 6 điểm bất kì A, B, C, D, E, F cùng nằm trên một conic bất kì. Gọi G, H, K theo thứ tự là giaođiểm của các cặp đường thẳng (AB, DE), (BC, EF ), (CD, F A). Khi đó 3 điểm G, H, K thẳng hàng.Chứng minh:• Trước hết, ta xét với trường hợp conic là đường trònCách 1: Sử dụng góc định hướng của 2 đường thẳng.1MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ, ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT KHÔNG DUY NHẤT13Gọi I là giao điểm thứ 2 của 2 đường tròn (DBG) và (DF K) . Ta có:(IB, IF ) ≡ (IB, ID) + (ID, IF ) ≡ (GB, GD) + (KD, KF ) (mod π)Mặt khác:1(KD, KF ) ≡ ((OC, OA) − (OF, OD)) ≡ ((OC, OB) + (OB, OA) − (OF, OE) − (OE, OD)) (mod π)21(GB, GD) ≡ ((OA, OE) − (OD, OB)) ≡ ((OA, OF ) + (OF, OE) − (OD, OC) − (OC, OB)) (mod π)21(HB, HF ) ≡ ((OB, OF ) − (OE, OC)) (mod π)2⇒ (HB, HF ) ≡ (KD, KF ) + (GB, GD) ≡ (IB, IF ) (mod π) ⇒ B, H, I, F đồng viên.Lại có (IB, IG) ≡ (DB, DG) ≡ (F B, F E) (mod π)4 điểm B, H, I, F đồng viên ⇒ (F B, F E) ≡ (IB, IH) (mod π)Do đó (IB, IG) ≡ (IB, IH) (mod π) hay 3 điểm I, G, H thẳng hàng. Tương tự, ta có I, H, K thẳng hàng,suy ra đpcmCách 2: Áp dụng định lý MenelausGọi các giao điểm như hình vẽ. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác M N P với cát tuyến KCD, ta có:KM DN CPKMCM DP..=1⇒=.KN DP CMKNCP DNHPF N EP GNAN BMTương tự, ta có:=.;=..HMF M EN GPAM BPNhân theo vế các đẳng thức trên, kết hợp với các biểu thức phương tích sau:BM .CM = AM .F M ; DN .EN = F N .AN ; BP .CP = DP .EPKM GN HPTa suy ra..= 1 ⇒ G, H, K thẳng hàng (đpcm)KN GP HM• Ta xét với trường hợp conic bất kì:Giả sử 6 điểm A, B, C, D, E, F nằm trên conic (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P ) với mặt nón N trục∆, đỉnh S. Xét mặt phẳng (Q) vuông góc với trục ∆ của mặt nón. Khi đó thiết diện của (Q) và N làđường tròn (T ). Xét phép chiếu xuyên tâm S từ (P ) lên (Q). Gọi ảnh của điểm X qua phép chiếu trênlà X . Ta có các điểm A , B , C , D , E , F nằm trên đường tròn (T ) ⇒ G , H , K thẳng hàng theo chứngminh trên. Gọi δ là đường thẳng đi qua 3 điểm G , H , K . Ta có các điểm K, H, G tương ứng nằm trêncác đường thẳng SK , SH , SG nên K, H, G cùng nằm trên mặt phẳng (S, δ). Mà K, H, G cùng nằm trênmặt phẳng (P ); (P ) và (S, δ) là hai mặt phẳng phân biệt ⇒ G, H, K cùng nằm trên giao tuyến của (P )và (S, δ). Do đó K, H, G thẳng hàng (đpcm)14MATHSCOPE.ORGĐịnh lý đảo của định lý Pascal là định lý Braikenridge-Maclaurin, khẳng định rằng nếu 3 cặp cạnh đốicủa một lục giác cắt nhau tại 3 điểm thẳng hàng thì 6 đỉnh của lục giác đó nằm trên một conic (có thểsuy biến thành một cặp đường thẳng)1.11Định lý BrianchonCho lục giác ABCDEF ngoại tiếp một conic bất kì. Chứng minh rằng ba đường chéo lớn AD, BE, CFđồng quy.Chứng minh:• Xét với trường hợp conic là đường tròn:Ta kí hiệu các tiếp điểm của (O) trên AB, BC, CD, DE, EF, F A lần lượt là M, N, P, Q, R, S. Xét cực và đốicực đối với (O). Gọi K, I, J lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (SM, P Q), (M N, QR), (N P, RS).Vì SM và P Q là đường đối cực của A và D nên AD là đường đối cực của K. Tương tự BE và F C lầnlượt là đường đối cực của I và J.Dùng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp M N P QRS ta có I, J, K thẳng hàng. Nên ta có các đường đối cựccủa I, J, K (lần lượt là BE, CF, AD) cùng đi qua cực của đường thẳng này (đường thẳng đi qua I, J, K)nên AD, BE, CF đồng quy (đpcm).• Với trường hợp conic bất kì: Giả sử lục giác ABCDEF ngoại tiếp conic (C) là giao tuyến của mặt phẳng(P ) với mặt nón N trục δ, đỉnh S. Xét mặt phẳng (Q) vuông góc với trục δ của mặt nón. Khi đó thiếtdiện của (Q) và N là đường tròn (T ). Xét phép chiếu xuyên tâm S từ (P ) lên (Q). Gọi ảnh của điểm Xqua phép chiếu trên là X . Ta có lục giác A B C D E F ngoại tiếp đường tròn (T ) ⇒ A D , B E , C Fđồng quy tại G ⇒ AD, BE, CF đồng quy tại giao điểm của SG và (P ).1.12Định lý MiquelCho tam giác ABC và ba điểm M, N, P lần lượt nằm trên BC, CA, AB. Khi đó các đường tròn ngoạitiếp các tam giác AP N, BP M và CM N đồng quy.1MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ, ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT KHÔNG DUY NHẤT15Chứng minh:Gọi S là giao điểm của (BP M ) và (CM N ).Ta có:(SN, SP ) ≡ (SN, SM ) + (SM, SP ) ≡ (CN, CM ) + (BM, BP ) ≡ (CA, CB) + (BC, BA) ≡ (CA, BA) ≡(AN, AP ) (mod π)⇒ S ∈ (AN P ), suy ra đpcm.1.13Công thức CarnotCho ∆ABC nhọn nội tiếp (O, R), r là bán kính nội tiếp. Kí hiệu da , db , dc theo thứ tự là khoảng cáchtừ O đến các cạnh BC, CA, AB. Khi đó ta có hệ thức sau: da + db + dc = R + r.Chứng minh:Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm BC, CA, AB ⇒ OD, OE, OF ⊥ BC, CA, AB. Áp dụng định lýPtolemy cho tứ giác nội tiếp AEOF , ta có OA.EF = AF.OE + AE.OF ⇒ aR = c.db + b.dc ; tương tự:bR = a.dc + c.da , cR = a.db + b.da . Suy ra R(a + b + c) = a(db + dc ) + b(dc + da ) + c(da + db ).Mặt khác, r(a + b + c) = 2SABC = a.da + b.db + c.dc .Do đó (a + b + c)(R + r) = (a + b + c)(da + db + dc ), suy ra da + db + dc = R + r. (đpcm)Nếu tam giác ABC có A > 90o thì ta có −da + db + dc = R + rrChú ý rằng định lý Carnot tương đương với hệ thức quen thuộc sau: cos A + cos B + cos C = 1 +R1.14Định lý CarnotCho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB; dM , dN , dP làcác đường thẳng đi qua M, N, P và vuông góc với các cạnh tương ứng. Khi đó dM , dN , dP đồng quy⇔ M B 2 + N C 2 + P A2 = M C 2 + N A 2 + P B 2Chứng minh:Thuận: Gọi O là giao điểm của 3 đường thẳng. Ta có:16MATHSCOPE.ORGM B 2 + N C 2 + P A2 = M C 2 + N A 2 + P B 2⇔ M B 2 + OM 2 + N C 2 + ON 2 + P A2 + OP 2 = M C 2 + OM 2 + N A2 + ON 2 + P B 2 + OP 2⇔ OB 2 + OC 2 + OA2 = OC 2 + OA2 + OB 2Đẳng thức này luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.Đảo: Gọi O là giao điểm của dM , dN . Qua O, hạ đường vuông góc xuống AB tại P . Áp dụng định thuận,ta có P A2 − P B 2 = P A2 − P B 2 ⇒ P ≡ P ⇒ đpcm1.15Khái niệm về hai tam giác trực giaoCho tam giác ABC và tam giác A1 B1 C1 như hình vẽ. Nếu các đường thẳng qua A1 , B1 , C1 và vuônggóc với BC, CA, AB đồng quy thì các đường thẳng qua A, B, C và vuông góc B1 C1 , C1 A1 , A1 B1 đồng quyvà ngược lại. Khi đó 2 tam giác ABC và A1 B1 C1 được gọi là 2 tam giác trực giao.Chứng minh:Gọi M, N, P, M1 , N1 , P1 là chân các đường vuông góc như hình vẽ. Áp dụng định lý Carnot 1, ta có:AM1 , BN1 , CP1 đồng quy⇔ (M1 C12 − M1 B12 ) + (P1 B12 − P1 A21 ) + (N1 A21 − N1 C12 ) = 0⇔ (AC12 − AB12 ) + (CB12 − CA21 ) + (BA21 − BC12 ) = 0⇔ (A1 B 2 − A1 C 2 ) + (B1 C 2 − B1 A2 ) + (C1 A2 − C1 B 2 ) = 0⇔ (M B 2 − M C 2 ) + (N C 2 − N A2 ) + (P A2 − P B 2 ) = 0⇔ A1 M, B1 N, C1 , P đồng quy (đpcm)1.16Định lý BrocardCho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. AD giao BC tại M , AB giao CD tại N , AC giaoBD tại I. Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác M IN .Chứng minh:1MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ, ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT KHÔNG DUY NHẤT17Cách 1:Gọi H là giao thứ 2 của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác AID, BIC. Xét tứ giác DOHC, ta có:DHC = 360o − DHI − CHI = DAC + DBC = DOCTừ đó suy ra tứ giác DOHC nội tiếp. Tương tự, ta suy ra tứ giác AOHB nội tiếp. Mặt khác M A.M D =M B.M C, suy ra M nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn (AIHD), (BIHC) ⇒ M, I, H thẳnghàng.Ta có IHO = IHD − OHD = ADC + ACD − OCD = ADC + OCA = 90oTừ đó suy ra IM ⊥ ON . Tương tự, ta có IN ⊥ OM , suy ra đpcm.Cách 2:Ta chứng minh bổ đề sau, từ đó suy trực tiếp ra khẳng định của bài toán: Cho 4 điểm A, B, C, D nằm trênđường tròn tâm (O), gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (AB, CD), (AD, BC), (AC, BD),khi đó đường đối cực của P đối với (O) là đường thẳng QRChứng minh:Gọi E, F lần lượt là cực của AB, CD đối với (O), suy ra EF là đường đối cực của P đối với (O)Áp dụng định lý Pascal cho lục giác ADDCCB (CC là tiếp tuyến tại điểm C), ta có Q, F, R thẳnghàng.Tương tự, ta có Q, E, R thẳng hàng, suy ra 4 điểm E, F, Q, R thẳng hàng, do đó P là cực của đườngthẳng QR đối với (O) (đpcm)1.17Định lý Euler về khoảng cách giữa tâm 2 đường tròn nội, ngoại tiếpcủa tam giácCho ∆ABC, nội tiếp (O, R), ngoại tiếp (I, r). Khi đó OI 2 = R2 − 2Rr.Chứng minh:A. Gọi H là2chân đường vuông góc kẻ từ I xuống OD. J là trung điểm BC. Theo một kết quả quen biết, ta cóAID = BD = 2R. sin .2−→ −−→−−→ −−→ATrong ∆OID, có OI 2 = ID2 + OD2 − 2.ID.OD = 4R2 . sin2 + R2 − 2.DO.DH (công thức hình chiếu).2−−→ −−→AAMặt khác, DO.DH = DO.(DJ + JH) = R. BD. sin + r = 2R2 sin2 + Rr. Từ đó suy ra đpcm.22Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm các cung nhỏ BC và AC thì OD ⊥ BC; BAD =181.18MATHSCOPE.ORGĐịnh lý Euler về khoảng cách giữa tâm 2 đường tròn nội, ngoại tiếpcủa tứ giác (Định lý Fuss)Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp (O, R), vừa nội tiếp (I, r). Đặt d = OI. Khi đó ta có hệ thức111+=(R − d)2 (R + d)2r2Chứng minh:Gọi tiếp điểm của (I) trên AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. BI, DI cắt (O) lần lượt ở E, F . Tathấy:π(BA, BC) + (DC, DA)≡(mod π)(DE, DF ) ≡ (DE, DC) + (DC, DF ) ≡ (BE, BC) + (DC, DF ) ≡22Do đó E, O, F thẳng hàng, nên O là trung điểm của EF . Theo công thức đường trung tuyến trong tamIE 2 + IF 2 EF 2IE 2 + IF 2giác IEF ta có: d2 =−=− R2 . Suy ra:242112 (R2 + d2 )IE 2 + IF 2IE 2IF 2IE 2IF 2+===+=+222(R − d)2 (R + d)2(IE.IB)2 (IF.ID)2(R2 − d2 )2PI/(O)PI/(O)PI/(O)2 B2 Dsinsin112 +2 = 1=+=2222IBIDIMIPr21.19Định lý Casey (định lý Ptolemy mở rộng)Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O, R). Đặt các đường tròn α, β, γ, δ là các đường tròn tiếp xúc với (O)tại các đỉnh A, B, C, D. Đăt tαβ là độ dài đoạn tiếp tuyến chung của hai đường tròn α, β. Trong đó tαβ làđộ dài tiếp tuyến chung ngoài nếu hai đường tròn α, β cùng tiếp xúc trong hoặc cùng tiếp xúc ngoài với(O), và là độ dài đoạn tiếp xúc trong với trường hợp còn lại. Các đoạn tαγ , tβγ , . . . được xác định tươngtự. Khi đó ta có tαβ .tγδ + tβγ .tαδ = tαγ .tβδ .Chứng minh:1MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ, ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT KHÔNG DUY NHẤT19Ta chứng minh cho trường hợp α, β, γ, δ cùng tiếp xúc ngoài với (O), các trường hợp khác chứng minhtương tự. Gọi tâm các đường tròn trên là A , B , C , D và bán kính lần lượt là x, y, z, t. Đặt độ dài cácđoạn thẳng như hình vẽ và AC = m, BD = n. Theo định lý Pythagore: t2αβ = A B 2 − (x − y)2 . Áp dụngđịnh lý cosin, ta có:a2A B 2 = (R+x)2 +(R+y)2 −2(R+x)(R+y) cos A OB = (R+x)2 +(R+y)2 −2(R+x)(R+y) 1 −2R222aa= (R + x)2 + (R + y)2 − 2(R + x)(R + y) + (R + x)(R + y) 2 = (x − y)2 + (R + x)(R + y) 2RRa(R + x)(R + y)⇒ tαβ =RTương tự với các đoạn thẳng còn lại, ta có tαβ .tγδ + tβγ .tαδ = tαγ .tβδ ⇔ ac + bd = mn (luôn đúng theođịnh lý Ptolemy)Cho x = y = z = t = 0, ta có định lý Ptolemy.1.20Định lý StewartCho 3 điểm A, B, C thẳng hàng và điểm M bất kì. Ta có hệ thức sau: M A2 .BC +M B 2 .CA+M C 2 .AB+BC.CA.AB = 0Chứng minh:Qua M , hạ M H ⊥ ABC, ta cóM A2 .BC + M B 2 .CA + M C 2 .AB + BC.CA.AB= (M H 2 + HA2 ) BC + (M H 2 + HB 2 ) CA + (M H 2 + HC 2 ) AB + BC.CA.AB= M H 2 BC + CA + AB + HA2 .BC + HB 2 .CA + HC 2 .AB + BC.CA.AB= HA2 .BC + HB 2 .CA + HC 2 .AB + BC.CA.AB= HA2 HC − HB +HB 2 HA − HC +HC 2 HB − HA + HC − HB HA − HC HB − HA = 01.21Định lý Feuerbach–LuchterhandCho tứ giác ABCD nội tiếp, M là điểm bất kì trong mặt phẳng tứ giác. Ta có hệ thức:M A2 .BC.CD.DB − M B 2 .CD.DA.AC + M C 2 .DA.AB.BD − M D2 .AB.BC.CA = 0Chứng minh:Gọi I là giao điểm AC và BD. Áp dụng định lý Stewart, ta có:M A2 .IC + M C 2 .IA − IA.IC.AC = M I 2 .AC; M B 2 .ID + M D2 .IB − IB.ID.BD = M I 2 .BC⇒ M A2 .IC.BD + M C 2 .IA.BD − IA.IC.AC.BD = M I 2 .AC.BD = M B 2 .ID.AC + M D2 .IB.AC −IB.ID.BD.AC⇒ M A2 .IC.BD + M C 2 .IA.BD = M B 2 .ID.AC + M D2 .IB.AC(1)IASABDAD, ABCB.CDDA.DCMặt khác, ta có==⇒ IC =.IA. Tương tự: ID =.IBICSCBDCB.CDAD.ABBA.BCThay vào (1), ta có:DA.DCCB.CD.IA.BD + M C 2 .IA.BD = M B 2 ..IB.AC + M D2 .IB.ACM A2 .AD.ABBA.BC20MATHSCOPE.ORGIAIB(M A2 .BC.CD.DB + M C 2 .AB.BD.DA) =(M B 2 .AC.DC.CA + M D2 .AB.BC.CA) (2)AB.ADAB.ACIAIBLại có ∆IAD ∼ ∆IBC ⇒=, thay vào (2), ta có đpcm.ADIC⇔1.22Định lý LynessCho tam giác ABC, đường tròn ngoại tiếp (O, R), đường tròn nội tiếp (I, r). Đường tròn (O1 , ρ) tiếpxúc trong với (O) và tiếp xúc với các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D, E. Khi đó I là trung điểm DE.Chứng minh:rρ−rIO1ρ−r⇒== 1 − . Áp dụng định lý Stewart choAAAAO1ρρsinsinsin222tam giác AOO1 , ta có: OO12 .AI + OA2 .O1 I − OI 2 .AO1 = AI.O1 I.AO1 . Chú ý rằng OO1 = R − ρ, OI 2 =rIO1ρ22 A2 A2R − 2Rr, OA = R, ta tính được sin= 1 − . Suy ra= sin=⇒ IO1 .AO1 = ρ2 . Do22ρAO12AO1đó I nằm trên đường đối cực của A đối với (O1 ) ⇒ I ∈ DE ⇒ I = AO1 ∩DE ⇒ I là trung điểm DE (đpcm)Ta có AI =1.23r; AO1 =ρ⇒ IO1 =Định lý Lyness mở rộng (Bổ đề Sawayama)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M thuộc BC (có cách phát biểu khác là: cho tứ giácABDC và M là giao của BC và AD . . .; nhưng hai cách phát biểu này là tương đương). Một đường tròn(O ) tiếp xúc với hai cạnh M A và M C tại E và F đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại K. Khiđó ta có tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC nằm trên đường thẳng EF .1MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ, ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT KHÔNG DUY NHẤT21Chứng minh:Gọi G là giao điểm khác K của KF và (O). Phép vị tự biến (O ) → (O) biến F, BC → tiếp tuyến của(O) song song với BC tại G ⇒ G là trung điểm cung BC ⇒ GC 2 = GF.GK. Gọi I là giao AG và EF .Ta có IEK = IAK(= F KD) ⇒ AEIK nội tiếp⇒ AIK = EF K(= AEK) ⇒ ∆AIK ∼ ∆IF K (g.g)⇒ GKI = GIF (= EKA) ⇒ ∆GIF ∼ ∆GKI (g.g) ⇒ GI 2 = GF.GK ⇒ GI = GC ⇒ I là tâm nội tiếp∆ABC1.24Định lý ThébaultCho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). D là một điểm nằm trên cạnh BC. Đường tròn tâm Ptiếp xúc với 2 đoạn AD, DC và tiếp xúc trong với (O). Đường tròn tâm Q tiếp xúc với 2 đoạn AD, DBvà tiếp xúc trong với (O). Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC. Ta có P, I, Q thẳng hàng.Chứng minh:Gọi E, F là tiếp điểm của (P ) với BC, AD; G, H là tiếp điểm của (Q) với BC, AD. Gọi I là giao điểmcủa EF và GH ⇒ I là tâm nội tiếp ∆ABC. Gọi X là giao điểm GH và QD; Y là giao điểm EF và P D.IXYDQXTa thấy IXDY là hình chữ nhật ⇒==⇒ P, I, Q thẳng hàng (đẳng thức thứ 2 có là doPDPDQD∆QGD ∼ ∆DEP )22MATHSCOPE.ORG1.25Công thức Jacobi liên quan đến tâm tỉ cự, định lý LeibnizNếu I là tâm tỉ cự của hệ điểm Ai ứng với các hệ số ai thì với mọi điểm M trên mặt phẳng ta cónai M A2i =nai IA2i + M I 2aii=1i=1i=1nChứng minh:nVì I là tâm tỉ cự của hệ điểm nênn2i=1 ai M Ain=n=−−→ −→ai (M I + IAi )2 =i=1ai IA2i + M I 2i=1i=1n−−→ai IA2i + 2M Ii=1n−→ai .IAi = 0. Do đó:n−→ai IAi + M I 2i=1naii=1aii=1Định lý Leibniz: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Ta có:11M G2 = (M A2 + M B 2 + M C 2 ) − (AB 2 + BC 2 + CA2 )391.26Định lý Newton cho tứ giác ngoại tiếpCho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Khi đó trung điểm 2 đường chéo của tứ giác thẳng hàngvới O.Chứng minh:Cách 1:Gọi P, Q, R, S lần lượt là các tiếp điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA đối với đường tròn (O). ĐặtSA = AP = a, BP = BQ = b, CQ = CR = c, DR = DS = d. Áp dụng định lý con nhím cho tứ giácABCD ta có:−→−→−→−→(a + b)OP + (b + c)OQ + (c + d)OR + (d + a)OS = 0b −→a −−→OA +OB = 0⇔ (a + b)a+ba+b−→ −→−−→ −−→⇔ (b + d) OA + OC + (a + c) OB + OD = 0−−→−−→⇔ (b + d)OM + (a + c)ON = 0−−→ −−→Suy ra 2 vector OM , ON cùng phương ⇒ O, M, N thẳng hàng (đpcm)Cách 2:1MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ, ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT KHÔNG DUY NHẤT23Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của hai đường chéo AC, BD. Ta xét trường hợp AB cắt CD tại G.Ta có:11SOAB + SOCD = r(AB + CD); SOBC + SODA = r(AD + BC) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác).221Mà tứ giác ABCD ngoại tiếp ⇒ AB + CD = AD + BC ⇒ SOAB + SOCD = SABCD . Trên các tia GA, GD2lấy các điểm H, I theo thứ tự sao cho GH = AB, GI = CD. Khi đó SOAB = SOHG , SOCD = SOIG .1⇒ SOHI = SOHG + SOIG − SGHI = SOAB + SOCD − SGHI = SABCD − SGHI .21Mặt khác, ta cũng có SM AB + SM CD = SN AB + SN CD = SABCD . Suy ra SOHI = SM HI = SN HI ⇒2d(O, HI) = d(M, HI) = d(N, HI) ⇒ O, M, N thẳng hàng.Với trường hợp AB//CD thì d(O, AB) = d(M, AB) = d(N, AB) = r ⇒ O, M, N thẳng hàng (đpcm)1.27Định lý BreichneiderCho tứ giác lồi ABCD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n. Khi đó m2 n2 =a2 c2 + b2 d2 − 2abcd cos(A + C)Chứng minh:Trên cạnh AB ra phía ngoài dựng tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAD, và dựng ra phía ngoài cạnhbdadacAD tam giác ADM đồng dạng với tam giác CAB. Khi đó dễ thấy AN = , AM = , N B = DM =mmmvà BDM N là hình bình hành. Đồng thời có N AM = A + C.2ac 2bdac bd2Áp dụng định lý cosin cho tam giác AM N , ta có n =+− 2. . . cos(A + C), suy rammm mđpcm.Vì 0o < A + C < 360o nên ta có mn ≤ ac + bd, do đó bất đẳng thức Ptolemy là một hệ quả của định lýBreichneider.1.28Định lý con nhím−Cho đa giác A1 A2 . . . An bất kỳ, điểm M bất kỳ nằm trong đa giác. Gọi →ei là các vector đơn vị cón→−−gốc tại M , hướng ra ngoài đa giác và ei ⊥ Ai Ai+1 (coi An+1 ≡ A1 ). Khi đó ta cóAi Ai+1 .→ei = 0. Cáci=1−vector A A .→e được gọi là các “lông nhím”.ii+1iChứng minh:Giả sử đa giác A1 A2 . . . An có hướng dương (tức là chiều đi theo thứ tự chỉ số các đỉnh đa giác tăng dầnngược chiều kim đồng hồ). Gọi f là phép quay 90o ngược chiều kim đồng hồ.nn −n−−−−→−−−→−−−Ta có f (Ai Ai+1 .→ei ) = Ai Ai+1 ⇒f (Ai Ai+1 .→ei ) =Ai Ai+1 = 0 ⇒Ai Ai+1 .→ei = 0 (đpcm).i=1i=1i=1241.29MATHSCOPE.ORGĐịnh lý Gergonne–EulerCho tam giác ABC và điểm S trong mặt phẳng tam giác. AS, BS, CS cắt BC, CA, AB lần lượt tạiSDSESFD, E, F . Khi đó++= 1.AD BE CFChứng minh:S[SBD]S[SDC]S[SBD] + S[SDC]S[SBC]SDTa có====S[ABD]S[ADC]S[ABD] + S[ADC]S[ABC]ADS[SCA] SFS[SAB]SETương tự:=;=. Cộng theo vế 3 đẳng thức trên, ta có đpcm.S[ABC] CFS[ABC]BE1.30Định lý PeletierTa nói ∆ABC nội tiếp trong ∆A2 B2 C2 (nghĩa là A ∈ B2 C2 , B ∈ C2 A2 , C ∈ A2 B2 ) đồng thời ngoạitiếp ∆A1 B1 C1 (nghĩa là A1 ∈ BC, B1 ∈ CA, C1 ∈ AB) nếu A2 B2 //A1 B1 , B2 C2 //B1 C1 , C2 A2 //C1 A1 . Khiđó S 2 = S1 .S2 .Chứng minh:Ta quy ước chỉ số 1 cho ∆A1 B1 C1 , chỉ số 2 cho tam giác ∆A2 B2 C2 . Vì ∆A1 B1 C1 ∼ ∆A2 B2 C2 nênc1h1= .c2h21(c1 h2 )2 . Trong đó hi là đường cao xuất phát từ đỉnh C của các tam giác.4Mặt khác S = SAB1 C1 + SBC1 A1 + SCA1 B1 + SA1 B1 C1 . Lại có SAB1 C1 = SC2 B1 C1 ; SBA1 C1 = SC2 A1 C1 ; SC2 A1 B1 =1SC2 B1 C1 + SC2 A1 C1 + SA1 B1 C1 , suy ra S = SCA1 B1 + SC2 A1 B1 = c1 (h + h ), trong đó h và h tương ứng là21khoảng cách từ c và c2 đến A1 B1 , mà h + h = h2 nên S = c1 h2 . Từ đó suy ra đpcm.2Do đó S1 .S2 =1.31Định lý VivianiTrong tam giác đều ABC ta lấy 1 điểm S. Khi đó tổng các khoảng cách từ điểm S tới ba cạnh sẽ cóđộ dài bằng 1 đường cao của tam giác.Chứng minh:Gọi khoảng cách từ S đến BC, CA, AB lần lượt là x, y, z; gọi độ dài cạnh tam giác đều là a, độ dài đườngcao của tam giác là h. Ta có ah = 2SABC = 2 (SSBC + SSCA + SSAB ) = ax+ay+az ⇒ x+y+z = h (đpcm)1.32Công thức Lagrange mở rộngGọi I là tâm tỉ cự của hệ điểm Ai ứng với các hệ số ai thì với mọi điểm M ta cóai aj Ai A2jnn1≤i