Nguyên Hàm Và Tích Phân Hàm Lượng Giác - Toán Lớp 12

Trang chủ » Nguyên Hàm Tan^8x » Nguyên Hàm Và Tích Phân Hàm Lượng Giác - Toán Lớp 12

Có thể bạn quan tâm

Loga.vn
  • Khóa học
  • Trắc nghiệm
  • Bài viết
  • Hỏi đáp
  • Giải BT
  • Tài liệu
  • Games
  • Đăng nhập / Đăng ký
Loga.vn
  • Khóa học
  • Đề thi
  • Phòng thi trực tuyến
  • Đề tạo tự động
  • Bài viết
  • Câu hỏi
  • Hỏi đáp
  • Giải bài tập
  • Tài liệu
  • Games
  • Nạp thẻ
  • Đăng nhập / Đăng ký
Trang chủ / Tài liệu / Nguyên hàm và tích phân hàm lượng giác - Toán lớp 12 Nguyên hàm và tích phân hàm lượng giác - Toán lớp 12 ctvtoan5 ctvtoan5 5 năm trước 1699 lượt xem 22 lượt tải

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Nguyên hàm và tích phân hàm lượng giác - Toán lớp 12". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

Tải xuống NGUY–N H€M TCH PH N H€M L×ÑNG GIC CHINH PHÖC OLYMPIC TON Nguy¹n Minh Tu§n ft Ph¤m Vi»t Anh T„P CH V€ T× LI›U TON HÅCCh÷ìng 1 C¡c d¤ng to¡n v ph÷ìng ph¡p 1 C¡c d¤ng to¡n cì b£n D¤ng 1 T½nh t½ch ph¥n têng qu¡t sau I 1 = Z (sinx) n dx;I 2 Z (cosx) n dx Ph÷ìng ph¡p Ta chó þ c¡c cæng thùc h¤ bªc sau sin 2 x = 1cos2x 2 ;cos 2 x = 1+cos2x 2 ; sin 3 x = sin3x+3sinx 4 ;cos 3 x = cos3x+3cosx 4 N¸u n ch®n ho°c n = 3 th¼ ta s³ sû döng cæng thùc h¤ bªc tri»t º N¸u n l´ v lîn hìn 3 th¼ ta s³ sû döng ph²p bi¸n êi sau. Bi¸n êi 1. Ta câ I 1 = Z (sinx) n dx = Z (sinx) 2p+1 dx = Z (sinx) 2p sinxdx = Z 1cos 2 x  p d(cosx) = Z  C 0 p C 1 p cos 2 x+:::+(1) k C k p cos 2 x  k +:::+(1) p C p p cos 2 x  p  d(cosx) = C 0 p cosx 1 3 C 1 p cos 3 x+:::+ (1) k 2k+1 C k p (cosx) 2k+1 +:::+ (1) p 2p+1 C p p (cosx) 2p+1 ! +C Bi¸n êi 2. Ta câ I 2 = Z (cosx) n dx = Z (cosx) 2p+1 dx = Z (cosx) 2p cosxdx = Z 1sin 2 x  p d(sinx) 1Nguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC = Z  C 0 p C 1 p sin 2 x+:::+(1) k C k p sin 2 x  k +:::+(1) p C p p sin 2 x  p  d(sinx) = C 0 p sinx 1 3 C 1 p sin 3 x+:::+ (1) k 2k+1 C k p (sinx) 2k+1 +:::+ (1) p 2p+1 C p p (sinx) 2p+1 ! +C Nh¼n chung ¥y l mët d¤ng to¡n khæng khâ, c¡i khâ cõa nâ l ph²p bi¸n êi t÷ìng èi d i v cçng k·nh ,v m§u chèt l h¤ bªc d¦n d¦n º ÷a v· nguy¶n h m cì b£n. Sau ¥y ta s³ còng t¼m hiºu v½ dö v· ph¦n n y! T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z cos 6 xdx.  I = Z (sin5x) 9 dx.  I = Z (cos2x) 13 dx.  I = Z (3+cosx) 5 dx. B i 1 Líi gi£i 1. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z cos 6 xdx = Z cos 2 x  3 dx = Z  1+cos2x 2  3 dx = 1 4 Z (1+cos2x) 3 dx = 1 4 Z 1+3cos2x+3cos 2 2x+cos 3 2x  dx = 1 4 Z  1+3cos2x+ 3(1+2cos4x) 2 + cos3x+3cosx 4  dx = 1 16 Z (7+12cos2x+12cos4x+cos3x+3cosx)dx = 1 16  7x+6sin2x+3sin4x+ 1 3 sin3x+3sinx  +C 2. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (sin5x) 9 dx = Z (sin5x) 8 (sin5x)dx = 1 5 Z 1cos 2 5x  4 d(cos5x) = 1 5 Z 14cos 2 5x+6cos 4 5x4cos 6 5x+cos 8 5x  d(cos5x) Chinh phöc Olympic To¡n 2 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh = 1 5  cos5x 4 3 cos 3 5x+ 6 5 cos 5 5x 4 7 cos 7 5x+ 1 9 cos 9 5x  +C 3. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (cos2x) 13 dx = Z (cos2x) 12 cos2xdx = 1 2 Z 1sin 2 2x  6 d(sin2x) 16sin 2 2x+15sin 4 2x20sin 6 2x+15sin 8 2x6sin 10 2x+sin 12 2x  d(sin2x) = 1 2  sin2x2sin 3 2x+3sin 5 2x 20 7 sin 7 2x+ 5 3 sin 9 2x 6 11 sin 11 2x+ 1 13 sin 13 2x  +C 4. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (3+cosx) 5 dx = Z 3 5 +5:3 4 cosx+10:3 3 cos 2 x+10:3 2 cos 3 x+5:3cos 4 x+cos 5 x  dx = Z  243+405cosx+135(1+cos2x)+ 45 2 (cos3x+3cosx)+ 15 2 (1+cos2x) 2 +cos 5 x  dx = Z  378+ 945 2 cosx+135cos2x+ 45 2 cos3x+ 15 2  1+2cos2x+ 1+cos4x 2  +cos 5 x  dx = Z  1557 4 + 945 2 cosx+150cos2x+ 45 2 cos3x+ 15 4 cos4x  dx+ Z cos 4 xcosxdx = 1 4 Z (1557+1890cosx+600cos2x+90cos3x+15cos4x)dx+ Z 1sin 2 x  2 d(sinx) = 1 4  1557x+1890sinx+300sin2x+30sin3x+ 15 4 sin4x  + Z 12sin 2 x+sin 4 x  d(sinx) = 1 4  1557x+1894sinx+300sin2x+30sin3x+ 15 4 sin4x 8 3 sin 3 x+ 4 5 sin 5 x  +C Tâm l¤i. Qua 4 v½ dö tr¶n ta ¢ ph¦n n o n­m ÷ñc d¤ng to¡n n y, ri¶ng ð v½ dö 4 ta ¢ sû döng tîi cæng thùc khai triºn h» sè Newton º khai tr¶n biºu thùc trong d§u nguy¶n h m v c¡c b÷îc cán l¤i ch¿ l bi¸n êi thæng th÷íng. Chinh phöc Olympic To¡n 3 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC D¤ng 2 æi khi trong khi l m c¡c b i t½nh t½ch ph¥n ta b­t g°p c¡c b i to¡n li¶n tuan tîi t½ch c¡c biºu thùc sinx;cosx khi â ta s³ sû döng c¡c cæng thùc bi¸n t½ch th nh têng º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n n y. Sau ¥y l c¡c cæng thùc c¦n nhî I = Z (cosmx)(cosnx)dx = 1 2 Z (cos(mn)x+cos(m+n)x)dx I = Z (sinmx)(sinnx)dx = 1 2 Z (cos(mn)xcos(m+n)x)dx I = Z (sinmx)(cosnx)dx = 1 2 Z (sin(m+n)x+sin(mn)x)dx I = Z (cosmx)(sinnx)dx = 1 2 Z (sin(m+n)xsin(mn)x)dx Nh¼n chung ¥y l mët d¤ng to¡n cì b£n, sau ¥y ta s³ còng t¼m hiºu c¡c b i to¡n v· nâ. T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z (cosx) 3 sin8xdx  I = Z (cos2x) 13 dx B i 2 Líi gi£i 1. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (cosx) 3 sin8xdx = Z (3cosx+cos3x) 4 sin8xdx = 1 4 Z (3cosxsin8x+cos3xsin8x)dx = 1 4 Z (3cosxsin8x+cos3xsin8x)dx = 1 4 Z  3 2 (sin9x+sin7x)+ 1 2 (sin11x+sin5x)  dx = 1 8  3 9 cos9x+ 3 7 cos7x+ 1 11 cos11x+ 1 5 cos5x  +C 2. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (sinx) 4 (sin3x)(cos10x)dx = 1 8 Z (1cos2x) 2 (sin13x+sin7x)dx Chinh phöc Olympic To¡n 4 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh = 1 8 Z 12cos2x+cos 2 2x  (sin13x+sin7x)dx = 1 8 Z  12cos2x+ 1+cos4x 2  (sin13x+sin7x)dx = 1 16 Z (34cos2x+cos4x)(sin13x+sin7x)dx = 1 6 Z (3(sin13x+sin7x)4cos2x(sin13x+sin7x)+cos4x(sin13x+sin7x))dx = 1 6 Z (3(sin13x+sin7x)2(sin15x+sin11x+sin9x+sin5x)+ D¤ng 3 T½nh t½ch ph¥n têng qu¡tI = Z sin m xcos n xdx Ph÷ìng ph¡p Tr÷íng hñp 1. N¸u m;n l c¡c sè nguy¶n. N¸u m v n ch®n th¼ dòng cæng thùc h¤ bªc bi¸n t½ch th nh têng. N¸u m ch®n v n l´ th¼ ta bi¸n êi I = Z (sinx) m (cosx) 2p+1 dx = Z (sinx) n (cosx) 2p cosxdx = Z (sinx) m 1sin 2 x  p d(sinx) = Z (sinx) m  C 0 p C 1 p sin 2 x+:::+(1) k C k p sin 2 x  k +:::+(1) p C p p sin 2 x  p  d(sinx) =C 0 p (sinx) m1 m+1 C 1 p (sinx) m+3 m+3 +:::+(1) k C k p (sinx) 2k+1+m 2k+1+m +:::+(1) p C p p (sinx) 2p+1+m 2p+1+m +C N¸u m l´ v n ch®n th¼ ta công bi¸n êi t÷ìng tü nh÷ tr÷íng hñp tr¶n. N¸u m l´ v n l´ th¼ dòng ta s³ t¡ch ra 1 biºu thùc sinx ho°c cosx º ÷a v o trong d§u vi ph¥n. Tr÷íng hñp 2. N¸u m;n l c¡c sè húu t. Trong tr÷íng hñp n y ta s³ °t u = sinx v tòy theo tr÷íng hñp ta s³ bi¸n êi nâ º ÷a v· b i to¡n cì b£n. Ta s³ t¼m hiºu kÿ thuªt n y qua c¡c b i to¡n d÷îi. Chinh phöc Olympic To¡n 5 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z (sinx) 2 (cosx) 4 dx  I = Z (sin3x) 10 (cos3x) 5 dx  I = Z (sin5x) 9 (cos5x) 111 dx  I = Z (sin3x) 7 5 p cos 4 3x dx B i 3 Líi gi£i 1. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (sinx) 2 (cosx) 4 dx = 1 4 Z (sin2x) 2 (cosx) 2 dx = 1 16 Z (1cos4x)(1+cos2x)dx = 1 16 Z (1+cos2xcos4xcos2xcos4x)dx = 1 16 Z  1+cos2xcos4x 1 2 (cos6x+cos2x)  dx = 1 32 Z (2+cos2x2cos4xcos6x)dx = 1 32  2x+ sin2x 2 sin4x 2 sin6x 6  +C 2. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (sin3x) 10 (cos3x) 5 dx = Z (sin3x) 10 (cos3x) 4 cos3xdx = 1 3 Z (sin3x) 10 1sin 2 3x  2 d(sin3x) = 1 3 Z (sin3x) 10 12sin 2 3x+sin 4 3x  d(sin3x) = 1 3 Z 1 0 (sin3x) 10 2(sin3x) 12 +(sin3x) 14  d(sin3x) = 1 3 (sin3x) 11 11 2(sin3x) 13 13 + (sin3x) 15 15 ! +C 3. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (sin5x) 9 (cos5x) 111 dx = Z (cos5x) 111 (sin5x) 8 sin5xdx = 1 5 Z (cos5x) 111 1cos 2 5x  4 d(cos5x) Chinh phöc Olympic To¡n 6 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh = 1 5 Z (cos5x) 111 14cos 2 5x+6cos 4 5x4cos 6 5x+cos 8 5x  d(cos5x) = 1 5 (cos5x) 112 112 4(cos5x) 114 114 + 6(cos5x) 116 116 4(cos5x) 118 118 + (cos5x) 120 120 ! +C 4. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (sin3x) 7 5 p cos 4 3x dx = Z (cos3x) 1 5 (sin3x) 6 sin3xdx = 1 3 Z (cos3x) 4 5 1cos 2 3x  3 d(cos3x) = 1 3 Z (cos3x) 4 5 13cos 2 3x+3cos 4 3xcos 6 3x  d(cos3x) = 1 3  5(cos3x) 1 5 15 11 (cos3x) 11 5 + 15 21 (cos3x) 21 5 5 31 (cos3x) 31 5  +C D¤ng 4 T½nh t½ch ph¥n têng qu¡t I 1 = Z (tanx) n dx;I 2 = Z (cotx) n dx(n2N) Ph÷ìng ph¡p Trong c¡c b i to¡n nh÷ th¸ n y ta c¦n chó þ tîi c¡c cæng thùc sau Z tanxdx = Z sinx cosx dx = Z d(cosx) cosx =lnjcosxj+C; Z cotxdx = Z cosx sinx dx = Z d(sinx) sinx = lnjsinxj+c; Z 1+tan 2 x  dx = Z dx cos 2 x = Z d(tanx) = tanx+C; Z 1+cot 2 x  dx = Z dx sin 2 x = Z d(cotx) =cotx+C: º l m c¡c b i to¡n t½nh Z (tanx) n dx ta s³ c¦n cè g­ng t¡ch v· d¤ng tan m x(tan 2 x+1) ¸n cuèi còng º ÷a v· b i to¡n cì b£n. Sau ¥y chóng ta s³ còng t¼m hiºu c¡c v½ dö minh håa º hiºu rã hìn c¡c b i to¡n n y. Chinh phöc Olympic To¡n 7 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z (tanx) 8 dx  I = Z (tan2x) 13 dx  I = Z (cotx) 12 dx  I = Z (cot4x) 9 dx  I = Z (tanx+cotx) 5 dx B i 4 Líi gi£i 1. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (tanx) 8 dx = Z (tanx) 6 1+tan 2 x  (tanx) 4 1+tan 2 x  +(tanx) 2 1+tan 2 x  (tanx) 0 1+tan 2 x  +1  dx = Z  (tanx) 6 (tanx) 4 +(tanx) 2 (tanx) 0  d(tanx)+ Z dx = (tanx) 7 7 (tanx) 5 5 + (tanx) 3 3 tanx 1 +x+C 2. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (cotx) 12 dx = Z (cotx) 10 1+cot 2 x  (cotx) 8 1+cot 2 x  +(cotx) 6 1+cot 2 x  (cotx) 4 1+cot 2 x  +(cotx) 2 1+cot 2 x  (cotx) 0 1+cot 2 x  +1 = Z (cotx) 10 (cotx) 8 +(cotx) 6 (cotx) 4 +(cotx) 2 (cotx) 0  d(cotx)+ Z dx = (cotx) 11 11 (cotx) 9 9 + (cotx) 7 7 (cotx) 5 5 + (cotx) 3 5 cotx 1 ! +x+C 3. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (tan2x) 13 dx = Z (tan2x) 11 1+tan 2 2x  (tan2x) 9 1+tan 2 2x  +(tan2x) 7 1+tan 2 2x  Chinh phöc Olympic To¡n 8 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh (tan2x) 5 1+tan 2 2x  +(tan2x) 3 1+tan 2 2x  tan2x 1+tan 2 2x  +tan2x = 1 2 Z (tan2x) 11 (tan2x) 9 +(tan2x) 7 (tan2x) 5 +(tan2x) 3 tan2x  d(tan2x)+ Z tan2xdx = 1 2 (tan2x) 12 12 (tan2x) 10 10 + (tan2x) 8 8 (tan2x) 6 6 + (tan2x) 4 4 (tan2x) 2 2 lnjcos2xj ! +C 4. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (cot4x) 9 dx = Z  (cot4x) 7 1+cot 2 4x  (cot4x) 5 1+cot 2 4x  + +(cot4x) 3 1+cot 2 4x  (cot4x) 1+cot 2 4x  dx+cot4x = 1 4 Z (cot4x) 7 (cot4x) 5 +(cot4x) 3 (cot4x)  d(cot4x)+ Z cot4xdx = 1 4 (cot4x) 8 8 (cot4x) 6 6 + (cot4x) 4 4 (cot4x) 2 2 ! + 1 4 lnjsin4xj+C 5. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (tanx+cotx) 5 dx = Z  (tanx) 5 +5(tanx) 4 cotx+10(tanx) 3 (cotx) 2 +10(tanx) 2 (cotx) 3 +5tgx(cotx) 4 +(cotx) 5 = Z  (tanx) 5 +(cotx) 5 +5(tanx) 3 +5(cotx) 3 +10tanx+10cotx  dx = Z (tanx) 5 +5(tanx) 3 +10tanx  dx+ Z  (cotx) 5 +5(cotx) 3 +10cotx  dx = Z (tanx) 3 1+tan 2 x  +4tanx 1+tan 2 x  +6tanx  dx + Z (cotx) 3 1+cot 2 x  +4cotx 1+cot 2 x  +6cotx  dx = Z (tanx) 3 +4tanx  d(tanx)+6 Z tanxdx Z (cotx) 3 +4cotx  d(cotx)+6 Z cotxdx = (tanx) 4 4 +2tan 2 x6lnjcosxj (cotx) 4 4 2cot 2 x+6lnjsinxj+C Tâm l¤i. Qua 5 v½ dö tr¶n ta ¢ ph¦n n o hiºu ÷ñc ph÷ìng ph¡p l m c¡c b i tªp cõa d¤ng to¡n n y, m§u chèt l ÷a v· nguy¶n h m t½ch ph¥n h m a thùc qua c¡c ph²p bi¸n êi v th¶m bît, v çng thíi công c¦n ¡p döng linh ho¤t cæng thùc khai triºn h» thùc Newton º gi£i quy¸t b i to¡n d¹ d ng. V· ph¦n b i tªp luy»n tªp câ l³ khæng c¦n th¶m v¼ c¡c b¤n câ thº bàa b§t k¼ mët b i to¡n t÷ìng tü vîi c¡c b i m¨u! Chinh phöc Olympic To¡n 9 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC D¤ng 5 T½nh t½ch ph¥n têng qu¡t I = Z (tanx) m (cosx) n dx;I = Z (cotx) m (sinx) n dx Ph÷ìng ph¡p Ta s³ x²t d¤ng I = Z (tanx) m (cosx) n dx v¼ ¥y l 2 d¤ng t÷ìng tü nhau. Tr÷íng hñp 1. N¸u m;n ch®n ta bi¸n êi nh÷ sau I = Z (tanx) m (cosx) n dx = Z (tanx) m  1 cos 2 x  k1 dx cos 2 x = Z (tanx) m 1+tan 2 x  k1 d(tanx) = Z (tanx) m  C 0 k1 +C 1 k1 tan 2 x  1 +:::+C p k1 tan 2 x  p +:::+C k1 k1 tan 2 x  k1  d(tanx) =C 0 k1 (tanx) m+1 m+1 +C 1 k1 (tanx) m+3 m+3 +:::+C p k1 (tanx) m+2p+1 m+2p+1 +:::+C k1 k1 (tanx) m+2k1 m+2k1 +C Tr÷íng hñp 2. N¸u m v n ·u l´ th¼ ta bi¸n êi nh÷ sau I = Z (tanx) 2k+1 (cosx) 2h+1 dx = Z (tanx) 2k  1 cosx  2h tanx cosx dx = Z tan 2 x  k  1 cosx  2h sinx cos 2 x dx = Z  1 cos 2 x 1  k  1 cosx  2h d  1 cosx  = Z u 2 1  k u 2h du  u = 1 cosx  = Z u 2h  C 0 k u 2  k C 1 k u 2  k1 +:::+(1) p C p k u 2  kp +:::+(1) k C k k  du =C 0 k u 2k+2h+1 2k+2h+1 C 1 k u 2k+2h1 2k+2h1 +:::+(1) p C p k u 2k+2h2p+1 2k+2h2p+1 +:::+(1) k C k k u 2h+1 2h+1 +C Tr÷íng hñp 3. N¸u m ch®n v n l´ th¼ ta bi¸n êi nh÷ sau I = Z (tanx) 2k (cosx) 2h+1 dx = Z (sinx) 2k cosx (cosx) 2(k+h+1) dx = Z (sinx) 2k 1sin 2 x  k+h+1 d(sinx) °t u = sinx ta câ I = Z u 2k du (1u 2 ) k+h+1 = Z u 2k2 [1(1u 2 )] (1u 2 ) k+h+1 du = Z u 2k2 du (1u 2 ) k+h+1 Z u 2k2 du (1u 2 ) k+h H» thùc tr¶n l h» thùc truy hçi c¡c b¤n câ thº tham kh£o ð ph¦n sau, do â t½nh ÷ñc I. Nh¼n chung c¡c b i to¡n tr¶n mang t½nh têng qu¡t v câ l³ nh¼n v o c¡c líi gi£i têng qu¡t â ta s³ th§y nâ thªt l¬ng nh¬ng v phùc t¤p, nh÷ng khi v o c¡c v½ dö cö thº ta s³ th§y c¡ch l m c¡c d¤ng to¡n n y kh¡ d¹. Sau ¥y ta s³ i v o c¡c b i minh håa. Chinh phöc Olympic To¡n 10 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z (cot5x) 10 (sin5x) 8 dx  I = Z (tan4x) 7 (cos4x) 95 dx  I = Z (cot3x) 9 (sin3x) 41 dx  I = Z (tan3x) 7 (cos3x) 6 dx B i 5 Líi gi£i 1. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (cot5x) 10 (sin5x) 8 dx = Z (cot5x) 10  1 (sin5x) 2  3 dx (sin5x) 2 = 1 5 Z (cot5x) 10  1+cot 2 5x  3 d(cot5x) = 1 5 Z (cot5x) 10 1+3(cot5x) 2 +3(cot5x) 4 +(cot5x) 6  d(cot5x) = 1 5 " (cot5x) 11 11 +3 (cot5x) 13 13 +3 (cot5x) 15 15 + (cot5x) 17 17 # +C 2. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (tan4x) 7 (cos4x) 95 dx = Z (tan4x) 6  1 cos4x  94 tan4x cos4x dx = 1 4 Z  1 (cos4x) 2 1  3  1 cos4x  94 d  1 cos4x  = 1 4 Z u 94 u 2 1  3 du = 1 4 Z u 94 u 6 3u 4 +3u 2 1  du = 1 4  u 101 101 3 u 99 99 +3 u 97 97 u 95 95  +C 3. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (cot3x) 9 (sin3x) 41 dx = Z (cot3x) 8  1 sin3x  40 cot3x sin3x dx = 1 3 Z  1 sin 2 x 1  4  1 sin3x  40 d  1 sin3x  = 1 3 Z u 40 u 2 1  4 du Chinh phöc Olympic To¡n 11 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC = 1 3 Z u 40 u 8 4u 6 +6u 4 4u 2 +1  4 du = 1 3  u 49 49 4 u 47 47 +6 u 45 45 4 u 43 43 + u 41 41  +C 4. Bi¸n êi nguy¶n h m ta câ I = Z (tan3x) 7  1 (cos3x) 2  2 dx (cos3x) 2 = 1 3 Z (tan3x) 7 1+tan 2 3x  2 d(tan3x) = 1 3 Z (tan3x) 7  1+2(tan3x) 2 +(tan3x) 4  d(tan3x) = 1 3 " (tan3x) 8 8 +2 (tan3x) 10 10 + (tan3x) 12 10 # +C Tâm l¤i. Qua 4 v½ dö tr¶n ta th§y â, m§u chèt ch¿ l cæng thùc l÷ñng gi¡c v ph¥n t½ch hñp lþ, c¡i n y ð ph¦n h÷îng d¨n ¢ câ ¦y õ rçi. T÷ìng tü m§y ph¦n tr÷îc b i tªp tü luy»n câ l³ khæng c¦n v¼ c¡c b¤n câ thº tü ngh¾ ra mët c¥u º m¼nh l m. Ta còng chuyºn ti¸p sang ph¦n sau! 2 C¡c d¤ng to¡n bi¸n êi n¥ng cao C¡c b i to¡n nguy¶n h m t½ch ph¥n l÷ñng gi¡c r§t phong phó v do â s³ khæng døng l¤i c¡c d¤ng to¡n b¶n tr¶n. Ð ph¦n n y ta s³ còng t¼m hiºu c¡c d¤ng to¡n n¥ng cao hìn, vîi nhúng ph²p bi¸n êi phùc t¤p hìn. Sau ¥y chóng ta s³ còng i v o tøng d¤ng to¡n cö thº! D¤ng 1 T½nh t½ch ph¥n têng qu¡t I = Z dx sin(x+a)sin(x+b) Ph÷ìng ph¡p Dòng çng nh§t thùc 1 = sin(ab) sin(ab) = sin[(x+a)(x+b)] sin(ab) = sin(x+a)cos(x+b)cos(x+a)sin(x+b) sin(ab) Tø â suy ra I = 1 sin(ab) Z sin(x+a)cos(x+b)cos(x+a)sin(x+b) sin(x+a)sin(x+b) dx = 1 sin(ab) Z  cos(x+b) sin(x+b) cos(x+a) sin(x+a)  dx = 1 sin(ab) [lnjsin(x+b)jlnjsin(x+a)j]+C Chó þ. Vîi c¡ch n y, ta câ thº t¼m ÷ñc c¡c nguy¶n h m Chinh phöc Olympic To¡n 12 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh  J = Z dx cos(x+a)cos(x+b) b¬ng c¡ch dòng çng nh§t thùc 1 = sin(ab) sin(ab)  K = Z dx sin(x+a)cos(x+b) b¬ng c¡ch dòng çng nh§t thùc 1 = cos(ab) cos(ab) Sau ¥y l c¡c v½ dö minh håa cho c¡c b i to¡n n y. T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z dx sinxsin x+  6   I = Z dx cos3xcos 3x+  6   I = Z dx sin x+  3  cos x+  12  B i 1 Líi gi£i 1. Ta câ 1 = sin  6 sin  6 = sin h x+  6  x i 1 2 = 2 h sin  x+  6  cosxcos  x+  6  sinx i )I = 2 Z h sin  x+  6  cosxcos x+  6  sinx i sinxsin  x+  6  dx = 2 Z 2 4 cosx sinx cos  x+  6  sin  x+  6  3 5 dx = 2 Z d(sinx) sinx 2 Z d  sin  x+  6  sin  x+  6  = 2ln sinx sin  x+  6  +C 2. Ta câ 1 = sin  6 sin  6 = sin h 3x+  6  3x i 1 2 = 2 h sin  3x+  6  cos3xcos  3x+  6  sin3x i )I = 2 Z h sin  3x+  6  cos3xcos  3x+  6  sin3x i cos3xcos 3x+  6  dx = 2 Z sin  3x+  6  cos  3x+  6 dx2 Z sin3x cos3x dx Chinh phöc Olympic To¡n 13 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC = 2 3 Z d  cos  3x+  6  cos  3x+  6  + 2 3 Z d(cos3x) cos3x = 2 3 ln cos3x cos  3x+  6  +C 3. Ta câ 1 = cos  4 cos  4 = cos h x+  3   x+  12 i p 2 2 = p 2 h cos  x+  3  cos  x+  12  +sin  x+  3  sin  x+  12 i )I = p 2 Z cos  x+  3  cos  x+  12  +sin  x+  3  sin  x+  12  sin  x+  3  cos  x+  12  dx = p 2 Z cos  x+  3  sin  x+  3 dx+ p 2 Z sin  x+  12  cos  x+  12 dx = p 2 Z d  sin  x+  3  sin  x+  3  p 2 Z d  cos  x+  12  cos  x+  12  = p 2ln sin  x+  3  cos  x+  12  +C D¤ng 2 T½nh t½ch ph¥n têng qu¡t I = Z tan(x+a)tan(x+b)dx Ph÷ìng ph¡p Ta câ tan(x+a)tan(x+b) = sin(x+a)sin(x+b) cos(x+a)cos(x+b) = sin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b) cos(x+a)cos(x+b) 1 = cos(ab) cos(x+a)cos(x+b) 1 Tø â suy ra I = cos(ab) Z dx cos(x+a)cos(x+b) 1. ¸n ¥y ta g°p b i to¡n t¼m nguy¶n h m ð D¤ng 1. Chó þ. Vîi c¡ch n y, ta câ thº t½nh ÷ñc c¡c nguy¶n h m  J = Z cot(x+a)cot(x+b)dx  K = Z tan(x+a)tan(x+b)dx Chinh phöc Olympic To¡n 14 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh Sau ¥y l c¡c v½ dö minh håa cho c¡c b i to¡n n y. T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z cot  x+  3  cot  x+  6  dx  K = Z tan  x+  3  cot  x+  6  dx B i 2 Líi gi£i 1. Ta câ cot  x+  3  cot  x+  6  = cos  x+  3  cos  x+  6  sin  x+  3  sin  x+  6  = cos  x+  3  cos  x+  6  +sin  x+  3  sin  x+  6  sin  x+  3  sin  x+  6  1 = cos h x+  3   x+  6 i sin  x+  3  sin  x+  6  1 = p 3 2 : 1 sin  x+  3  sin  x+  6 1 Tø â ta t½nh ÷ñc I = p 3 2 Z 1 sin  x+  3  sin  x+  6 dx Z dx = p 3 2 I 1 x+C B¥y gií ta s³ i t½nh I 1 = Z dx sin  x+  3  sin  x+  6 . Ta câ 1 = sin  6 sin  6 = sin h x+  3   x+  6 i 1 2 = 2 h sin  x+  3  cos  x+  6  cos  x+  3  sin  x+  6 i Tø â suy ra I 1 = 2 Z sin  x+  3  cos  x+  6  cos  x+  3  sin  x+  6  sin  x+  3  sin  x+  6  dx = 2 Z cos  x+  6  sin  x+  6 dx2 Z cos  x+  3  sin  x+  3 dx = 2ln sin  x+  6  sin  x+  3  +C Chinh phöc Olympic To¡n 15 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC Nh÷ vªy th¼ I = p 3 2 :2ln sin  x+  6  sin  x+  3  x+C = p 3ln sin  x+  6  sin  x+  3  x+C 2. Ta câ tan  x+  3  cot  x+  6  = sin  x+  3  cos  x+  6  cos  x+  3  sin  x+  6  = sin  x+  3  cos  x+  6  cos  x+  3  sin  x+  6  cos  x+  3  sin  x+  6  +1 = sin h x+  3   x+  6 i cos  x+  3  sin  x+  6  +1 = 1 2 : 1 cos  x+  3  sin  x+  6  +1 Nh÷ vªy ta ÷ñc K = 1 2 Z 1 cos  x+  3  sin  x+  6 dx+ Z dx = 1 2 K 1 +x+C Ta t½nh ÷ñc K 1 = Z dx cos  x+  3  sin  x+  6  = 2 p 3 ln sin  x+  6  cos  x+  3  +C )K = p 3 3 ln sin  x+  6  cos  x+  3  +x+C D¤ng 3 T½nh t½ch ph¥n têng qu¡t I = Z dx asinx+bcosx Ph÷ìng ph¡p Ta bi¸n êi asinx+bcosx = p a 2 +b 2  a p a 2 +b 2 sinx+ b p a 2 +b 2 cosx  )asinx+bcosx = p a 2 +b 2 sin(x+ ) )I = 1 p a 2 +b 2 Z dx sin(x+ ) = 1 p a 2 +b 2 ln tan x+ 2 +C Chinh phöc Olympic To¡n 16 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh Sau ¥y l c¡c v½ dö minh håa cho c¡c b i to¡n n y. T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z 2dx p 3sinx+cosx  J = Z dx cos2x p 3sin2x B i 3 Líi gi£i 1. Ta câ I = Z 2dx p 3sinx+cosx = Z dx p 3 2 sinx+ 1 2 cosx = Z dx sinxcos  6 +cosxsin  6 = Z dx sin  x+  6  = Z d  x+  6  sin  x+  6  = ln tan x+  6 2 +C = ln tan  x 2 +  12  +C 2. Ta câ J = Z dx cos2x p 3sin2x = 1 2 Z dx 1 2 cos2x p 3 2 sin2x = 1 2 Z dx sin  6 cos2xcos  6 sin2x = 1 2 Z dx sin   6 2x  = 1 4 Z d   6 2x  sin   6 2x  = 1 4 ln tan  6 2x 2 +C = 1 4 ln tan   12 x  +C D¤ng 4 T½nh t½ch ph¥n têng qu¡t I = Z dx asinx+bcosx+c Chinh phöc Olympic To¡n 17 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC Ph÷ìng ph¡p °t tan x 2 =t) 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : dx = 2dt 1+t 2 sinx = 2t 1+t 2 cosx = 1t 2 1+t 2 tanx = 2t 1t 2 Sau ¥y l c¡c v½ dö minh håa cho c¡c b i to¡n n y. T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z dx 3cosx+5sinx+3  J = Z 2dx 2sinxcosx+1  K = Z dx sinx+tanx  I = Z  2 0 ln  1+sinx 1+cosx  dx B i 4 Líi gi£i 1. Ta °t tan x 2 =t) 8 > > > > > < > > > > > : dx = 2dt 1+t 2 sinx = 2t 1+t 2 cosx = 1t 2 1+t 2 Tø â ta câ I = Z 2dt 1+t 2 3: 1t 2 1+t 2 +5 2t 1+t 2 +3 = Z 2dt 33t 2 +10t+3+3t 2 = Z 2dt 10t+6 = 1 5 Z d(5t+3) 5t+3 = 1 5 lnj5t+3j+C = 1 5 ln 5tan x 2 +3 +C 2. °t tan x 2 =t) 8 > < > : dx = 2dt 1+t 2 sinx = 2t 1+t 2 ;cosx = 1t 2 1+t 2 )J = Z 2: 2dt 1+t 2 2: 2t 1+t 2 1t 2 1+t 2 +1 = Z 4dt 4t1+t 2 +1+t 2 = Z 4dt 2t 2 +4t = 2 Z dt t(t+2) Chinh phöc Olympic To¡n 18 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh = Z  1 t 1 t+2  dt = lnjtjlnjt+2j+C = ln tan x 2 ln tan x 2 +2 +C 3. °t tan x 2 =t) 8 > < > : dx = 2dt 1+t 2 sinx = 2t 1+t 2 ;tanx = 2t 1t 2 )K = Z 2dt 1+t 2 2t 1+t 2 + 2t 1t 2 = 1 2 Z 1t 2 t dt = 1 2 Z dt t 1 2 Z tdt = 1 2 lnjtj 1 4 t 2 +C = 1 2 ln tan x 2 1 4 tan 2 x 2 +C 4. Bi¸n êi gi£ thi¸t ta ÷ñc Z  2 0 ln  1+sinx 1+cosx  dx = Z  2 0 ln 0 @ sin 2  x 2  +cos 2  x 2  +2sin x 2 cos x 2 2cos 2 x 2 1 A dx = 1 2 Z  2 0 ln  tan 2 x 2 +2tan x 2 +1  dx °t tan x 2 =t)I = 1 2 Z 1 0 t 2 +1  ln t 2 +t+1  dt ¸n ¥y sû döng t½ch ch§t Z b a f (x)dx = Z b a f (a+bx)dx ta s³ t½nh ÷ñc t½ch ph¥n c¦n t½nh. C¡ch 2. Ta câ I = Z  2 0 ln(1+sinx)dx Z  2 0 ln(1+cosx)dx Sû döng t½ch ph¥n tøng ph¦n ta câ Z  2 0 ln(1+sinx)dx =  2 ln2 Z  2 0 xcosx 1+sinx dx Z  2 0 ln(1+cosx)dx = Z  2 0 xsinx 1+cosx dx )I =  2 ln2 Z  2 0 xcosx 1+sinx dx+ Z  2 0 xsinx 1+cosx dx ! Tø ¥y ta s³ i t½nh Z  2 0 xcosx 1+sinx dx. °t t =  2 x ta ÷ñc Z  2 0 xcosx 1+sinx dx =  2 Z  2 0 sinx 1+cosx dx Z  2 0 xsinx 1+cosx dx)I = 0 D¤ng 5 T½nh t½ch ph¥n têng qu¡t I = Z dx a:sin 2 x+b:sinxcosx+c:cos 2 x Chinh phöc Olympic To¡n 19 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC Ph÷ìng ph¡p Ta bi¸n êi v· d¤ng I = Z dx (atan 2 x+btanx+c):cos 2 x . Ta °t tanx =t) dx cos 2 x =dt)I = Z dt at 2 +bt+c Sau ¥y l c¡c v½ dö minh håa cho c¡c b i to¡n n y. T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z dx 3sin 2 x2sinxcosxcos 2 x  J = Z dx sin 2 x2sinxcosx2cos 2 x B i 5 Líi gi£i 1. Ta câ I = Z dx 3sin 2 x2sinxcosxcos 2 x = Z dx (3tan 2 x2tanx1)cos 2 x °t tanx =t) dx cos 2 x =dt)I = Z dt 3t 2 2t1 = Z dt (t1)(3t+1) = 1 4 Z  1 t1 3 3t+1  dt = 1 4 Z dt t1 1 4 Z d(3t+1) 3t+1 = 1 4 ln t1 3t+1 +C = 1 4 ln tanx1 3tanx+1 +C 2. Ta câ J = Z dx sin 2 x2sinxcosx2cos 2 x = Z dx (tan 2 x2tanx2)cos 2 x °ttanx =t) dx cos 2 x =dt )J = Z dt t 2 2t2 = Z d(t1) (t1) 2 p 3  2 = 1 2 p 3 ln t1 p 3 t1+ p 3 +C = 1 2 p 3 ln tanx1 p 3 tanx1+ p 3 +C Chinh phöc Olympic To¡n 20 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh D¤ng 6 X²t t½ch ph¥n têng qu¡t I = Z a 1 sinx+b 1 cosx a 2 sinx+b 2 cosx dx Ph÷ìng ph¡p Ta t¼m A; B sao cho a 1 sinx+b 1 cosx =A(a 2 sinx+b 2 cosx)+B(a 2 cosxb 2 sinx) T¼m c¡c nguy¶n h m sau  I = Z 4sinx+3cosx sinx+2cosx dx  J = Z dx sin 2 x2sinxcosx2cos 2 x B i 6 Líi gi£i 1. Ta t¼m A; B sao cho 4sinx+3cosx =A(sinx+2cosx)+B(cosx2sinx) ) 4sinx+3cosx = (A2B)sinx+(2A+B)cosx) 8 < : A2B = 4 2A+B = 3 , 8 < : A = 2 B =1 Tø â I = Z 2(sinx+2cosx)(cosx2sinx) sinx+2cosx dx = 2 Z dx Z d(sinx+2cosx) sinx+2cosx = 2xlnjsinx+2cosxj+C 2. Ta t¼m A; B sao cho 3cosx2sinx =A(cosx4sinx)+B(sinx4cosx) ) 3cosx2sinx = (A4B)cosx+(4AB)sinx) 8 < : A4B = 3 4A+B = 2 , 8 < : A = 11 17 B = 10 17 Tø â ta câ J = Z 11 17 (cosx4sinx) 10 17 (sinx4cosx) cosx4sinx dx = 11 17 Z dx 10 17 Z d(cosx4sinx) cosx4sinx = 11 17 x 10 17 lnjcosx4sinxj+C D¤ng 7 X²t t½ch ph¥n têng qu¡t I = Z a(sinx) 2 +bsinxcosx+c(cosx) 2 msinx+ncosx dx Chinh phöc Olympic To¡n 21 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC Ph÷ìng ph¡p °t S =a(sinx) 2 +bsinxcosx+c(cosx) 2 Gi£ sû S = (psinx+qcosx)(msinx+ncosx)+r sin 2 x+cos 2 x  ,S = (mp+r)(sinx) 2 +(np+mq)sinxcosx+(nq+r)(cosx) 2 , 8 > > > < > > > : mp+r =a np+mq =b nq+r =c , 8 > > > < > > > : mp+r =a np+mq =b mpnq =ac , 8 > > > > > < > > > > > : p = (ac)m+bn m 2 +n 2 q = (ac)nbm m 2 +n 2 r = an 2 +cm 2 bmn m 2 +n 2 Khi â ta câ I = Z  (ac)m+bn m 2 +n 2 sinx+ (ac)nbm m 2 +n 2 cosx  dx+ an 2 +cm 2 bmn m 2 +n 2 Z dx msinx+ncosx = (ac)nbm m 2 +n 2 sinx (ac)m+bn m 2 +n 2 cosx+ an 2 +cm 2 bmn m 2 +n 2 Z dx msinx+ncosx T½ch ph¥n cuèi còng ta ¢ ÷ñc t¼m hiºu ð d¤ng tr÷îc! Sau ¥y l c¡c v½ dö minh håa cho c¡c b i to¡n n y. T½nh c¡c t½ch ph¥n sau  I = Z  3 0 (cosx) 2 dx sinx+ p 3cosx  I = Z 3 p 32  (sinx) 2 + 4 p 3+3  sinxcosx+2(cosx) 2 3sinx+4cosx dx B i 7 Líi gi£i 1. Gi£ sû (cosx) 2 = (asinx+bcosx)  sinx+ p 3cosx  +c sin 2 x+cos 2 x  , (cosx) 2 = (a+c)(sinx) 2 +  a p 3+b  sinxcosx+  b p 3+c  (cosx) 2 ,a = 1 4 ;b = p 3 4 ;c = 1 4 ) I = 1 2 Z  3 0 p 3 2 cosx 1 2 sinx ! dx+ 1 4 Z  3 0 dx sinx+ p 3cosx Chinh phöc Olympic To¡n 22 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh = 1 2 Z  3 0  cos  6 cosxsin  6 sinx  dx+ 1 8 Z  3 0 dx cos  3 sinx+sin  3 cosx = 1 2 Z  3 0 cos  x+  6  dx+ 1 8 Z  3 0 dx sin  x+  3  =  1 2 sin  x+  6  + 1 8 ln tan  x 2 +  6    3 0 =  1 2 + 1 8 ln p 3   1 4 1 8 ln p 3  = 1 4 + 1 4 ln p 3 = 1 4  1+ln p 3  2. Gi£ sû  3 p 32  (sinx) 2 +  4 p 3+3  sinxcosx+2(cosx) 2 = (asinx+bcosx)(3sinx+4cosx)+c sin 2 x+cos 2 x  , 8 > > > < > > > : 3a+c = 3 p 32 4a+3b = 4 p 3+3 4b+c = 2 , 8 > > > < > > > : a = p 3 b = 1 c =2 )I = 1 2 Z  3 0 p 3 2 sinx+ 1 2 cosx ! dx2 Z  3 0 dx 3sinx+4cosx = 1 2 Z  3 0  sin  3 sinx+cos  3 cosx  dx 2 5 Z  3 0 dx sin arcsin 3 5  sinx+cos arcsin 3 5  cosx = 1 2 Z  3 0 cos  x  3  dx 2 5 Z  3 0 dx cos(xu) = 1 2 Z  3 0 cos  x  3  dx 2 5 Z  3 0 d[sin(xu)] 1sin 2 (xu) =  1 2 sin  x  3  1 5 ln 1+sin(xu) 1sin(xu)   3 0 = p 3 4 1 5 ln 1+sinxcosusinucosx 1sinxcosu+sinucosx  3 0 = p 3 4 + 1 5 ln 54sin  3 +3cos  3 5+4sin  3 3cos  3 1 5 ln4 = 1 5 ln 134 p 3 4 7+4 p 3  p 3 4 D¤ng 8 X²t t½ch ph¥n têng qu¡t I = Z msinx+ncosx a(sinx) 2 +2bsinxcosx+c(cosx) 2 dx Ph÷ìng ph¡p Gåi  1 ; 2 l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh a b b c = 0 , 2 (a+c)+acb 2 = 0, 1;2 = a+c q (ac) 2 +4b 2 2 Chinh phöc Olympic To¡n 23 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC Bi¸n êi mët x½u: a(sinx) 2 +2bsinxcosx+c(cosx) 2 = 1 A 2 1 + 2 A 2 2 =  1 1+ b 2 (a 1 ) 2  cosx b a 1 sinx  2 +  2 1+ b 2 (a 2 ) 2  cosx b a 2 sinx  2 °t u 1 = cosx b a 1 sinx;u 2 = cosx b a 2 sinx;k 1 = 1 a 1 ;k 2 = 1 a 2 A 1 = 1 p 1+b 2 k 2 1 (cosxbk 1 sinx);A 2 = 1 p 1+b 2 k 2 2 (cosxbk 2 sinx) º þ A 2 1 +A 2 2 = 1) 1 A 2 1 + 2 A 2 2 = ( 1  2 )A 2 1 + 2 = ( 2  1 )A 2 2 + 1 Gi£ sû msinx+ncosx =p  sinx+ b a 1 cosx  +q  sinx+ b a 2 cosx  , 8 < : p+q =m p a 1 + q a 2 = n b ,p = bmn(a 2 ) b( 2  1 ) (a 1 );q = bmn(a 1 ) b( 1  2 ) (a 2 ) )I = Z msinx+ncosx a(sinx) 2 +2bsinxcosx+c(cosx) 2 dx = Z pdu 1 ( 1  2 )A 2 1 + 2 + Z qdu 2 ( 2  1 )A 2 2 + 1 =p q 1+b 2 k 2 1 Z dA 1 ( 1  2 )A 2 1 + 2 q q 1+b 2 k 2 2 Z dA 2 ( 2  1 )A 2 2 + 1 Sau ¥y l c¡c v½ dö minh håa cho c¡c b i to¡n n y. T½nh t½ch ph¥n sau I = Z (sinx+cosx)dx 2sin 2 x4sinxcosx+5cos 2 x B i 8 Líi gi£i Gåi  1 ; 2 l 2 nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh 2 2 2 5 = 0, 1 = 1; 2 = 6 Ta câ: 2sin 2 x4sinxcosx+5cos 2 x = 1 5 (cosx+2sinx) 2 + 24 5  cosx 1 2 sinx  2 A 1 = 1 p 5 (cosx+2sinx);A 2 = 2 p 5  cosx 1 2 sinx  ;A 2 1 +A 2 2 = 1 Chinh phöc Olympic To¡n 24 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh )I = Z (sinx+cosx)dx 2sin 2 x4sinxcosx+5cos 2 x = 3 5 Z (2sinx+cosx)dx (2cosxsinx) 2 +1 1 5 Z (sinx2cosx)dx 6(cosx+2sinx) 2 = 3 5 Z d(sinx2cosx) (sinx2cosx) 2 +1 + 1 5 Z d(cosx+2sinx) 6(cosx+2sinx) 2 = 3 5 arctan(sinx2cosx)+ 1 10 p 6 ln p 6+cosx+2sinx p 6cosx2sinx +C D¤ng 9 Bi¸n êi n¥ng cao vîi 2 d¤ng t½ch ph¥n Z dx (sinx) n v R dx (cosx) n Thüc ch§t m¼nh chia d¤ng to¡n n y th nh 1 d¤ng to¡n nhä v¼ trong khi t½nh nguy¶n h m ho°c t½ch ph¥n ta s³ câ thº g°p c¡c b i to¡n kiºu th¸ n y, do â m¼nh muèn giîi thi»u cho c¡c b¤n c¡c c¡ch º xû lþ nâ. X²t b i to¡n Z dx (sinx) n  I 1 = Z dx sinx = Z dx 2sin x 2 cos x 2 = Z dx 2tan x 2 cos 2 x 2 = Z d  tan x 2  tan x 2 = ln tan x 2 +C  I 2 = Z dx sin 2 x = Z d(cotx) =cotx+C  I 3 = Z dx sin 3 x = Z dx 2sin x 2 cos x 2  3 = Z dx 8 tan x 2  3 cos x 2  6 = 1 4 Z 1+tan 2x 2  2 d tan x 2  tan x 2  3 = 1 4 Z 1+2tan 2x 2 +tan 4x 2 tan x 2  3 = 1 4 " 1 2 tan x 2  2 +2ln tan x 2 + 1 2  tan x 2  2 # +C  I 4 = Z dx sin 4 x = Z 1+cot 2 x  d(cotx) =  cotx+ 1 3 cot 3 x  +C  I 5 = Z dx sin 5 x = Z dx 2sin x 2 cos x 2  5 = Z dx 32 tan x 2  5 cos x 2  10 = 1 16 Z 1+tan 2x 2  4 d tan x 2  tan x 2  5 = 1 16 Z 1+4tan 2x 2 +6tan 4x 2 +4tan 6x 2 +tan 8x 2 tan x 2  5 d  tan x 2  = 1 16 " 1 4 tan x 2  4 2 tan x 2  2 +6ln tan x 2 +2  tan x 2  2 + 1 4  tan x 2  4 # +C  I 6 = Z dx sin 6 x = Z 1+cot 2 x  2 d(cotx) =  cotx+ 2 3 cot 3 x+ 1 5 cot 5 x  +C Chinh phöc Olympic To¡n 25 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC  I 7 = Z dx sin 7 x = Z dx 2sin x 2 cos x 2  7 = Z dx 2 7 tan x 2  7 cos x 2  14 = 1 2 6 Z 1+tan 2x 2  6 d tan x 2  tan x 2  7 = 1 64 " 1 6 tan x 2  6 3 2 tan x 2  4 15 2 tan x 2  2 +20ln tan x 2 + 15 2  tan x 2  2 + 3 2  tan x 2  4 + 1 6  tan x 2  6 +C   I 8 = Z dx sin 8 x = Z 1+cot 2 x  3 d(cotx) = Z 1+3cot 2 x+3cot 4 x+cot 6 x  d(cotx) =  cotx+cot 3 x+ 3 5 cot 5 x+ 1 7 cot 7 x  +C  I 9 = Z dx (sinx) 2n+1 = Z dx 2sin x 2 cos x 2  2n+1 = Z dx 2 2n+1 tan x 2  2n+1 cos x 2  4n+2 = 1 2 2n Z 1+tan 2x 2  2n d tan x 2  tan x 2  2n+1 = 1 2 2n " C 0 2n 2n tan x 2  2n ::: C n1 2n 2 tan x 2  2 +C n 2n ln tan x 2 + C n+1 2n 2  tan x 2  2 +:::+ C 2n 2n 2n  tan x 2  2n  +C  I 10 = Z dx sin 2n+2 x = Z 1+cot 2 x  n d(cotx) = Z h C 0 n +C 1 n cot 2 x+:::+C k n cot 2 x  k +:::+C n n cot 2 x  n i d(cotx) =  C 0 11 (cotx)+ C 1 n 3 cot 3 x+:::+ C k n 2k+1 (cotx) 2k+1 +:::+ C n n 2n+1 (cotx) 2n+1  +C X²t b i to¡n I = Z dx (cosx) n  I 1 = Z dx cosx = Z d x+  2  sin x+  2  = Z du sinu = Z du 2sin u 2 cos u 2 = Z du 2tan u 2 cos 2 u 2 = Z d tan u 2  tan u 2 = ln tan u 2 +C = ln tan  x 2 +  4  +C  I 2 = Z dx cos 2 x = Z d(tanx) = tanx+C Chinh phöc Olympic To¡n 26 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT„P CH V€ T× LI›U TON HÅC Ph¤m Vi»t Anh  I 3 = Z dx cos 3 x = Z d  x+  2  sin 3  x+  2  = Z du sin 3 u = Z du  2sin u 2 cos u 2  3 = Z du 8  tan u 2  3  cos u 2  6 = 1 4 Z 1+tan 2u 2  2 d tan u 2  tan u 2  3 = 1 4 " 1 2 tan u 2  2 +2ln tan u 2 + 1 2  tan u 2  2 # +C = 1 4 " 1 2  tan x 2 +  4  2 +2ln tan  x 2 +  4  + 1 2 h tan  x 2 +  4 i 2 # +C  I 4 = Z dx cos 4 x = Z 1+tan 2 x  d(tanx) = tanx+ 1 3 tan 3 x+C I 5 = Z dx cos 5 x = Z d x+  2  sin 5 x+  2  = Z du sin 5 u = Z du 2sin u 2 cos u 2  5 = Z du 32 tan u 2  5 cos u 2  10 = 1 16 Z 1+tan 2u 2  4 d tan u 2  tan u 2  5 = 1 16 Z 1+4tan 2u 2 +6tan 4u 2 +4tan 6u 2 +tan 8u 2 tan u 2  5 d  tan u 2  = 1 16 2 6 4 1 4  tan u 2  4 2  tan u 2  2 +6ln tan u 2 +2  tan u 2  2 + 1 4  tan u 2  4 3 7 5 +C  I 6 = Z dx cos 6 x = Z 1+tan 2 x  2 d(tanx) = tanx+tan 3 x+ 1 5 tan 5 x+C  I 7 = Z dx cos 7 x = Z d  x+  2  sin 7  x+  2  = Z du sin 7 u = Z du 2 7  tan u 2  7  cos u 2  14 = 1 2 6 Z  1+tan 2 u 2  6 d  tan u 2   tan u 2  7 = 1 2 6 Z 1+6tan 2 u 2 +15tan 4 u 2 +20tan u 2 +15tan 8 u 2 +6tan 10 u 2 +tan 12 u 2  tan u 2  7 d  tan u 2  = 1 64 " 1 6 tan u 2  6 3 2 tan u 2  4 15 2 tan u 2  2 +20ln tan u 2 + 15 2  tan u 2  2 + 3 2  tan u 2  4 + 1 6  tan u 2  6  +C Chinh phöc Olympic To¡n 27 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcNguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC  I 8 = Z dx cos 8 x = Z 1+tan 2 x  3 d(tanx)= R (1+3tanx 2 +3tanx 4 +tanx 6 )d(tanx) = tanx+tan 3 x+ 3 5 tan 5 x+ 1 7 tan 7 x+C  I 9 = Z dx cos 2n+1 x = Z d x+  2  sin 2n+1  x+  2  = Z du (sinu) 2n+1 = Z du  2sin u 2 cos u 2  2n+1 = Z du 2 2n+1  tan u 2  2n+1  cos u 2  4n+2 = 1 2 2n Z  1+tan 2 u 2  2n d  tan u 2   tan u 2  2n+1 = 1 2 2n Z C 0 2n +C 1 2n +C 1 2n tan 2u 2 +:::+C n 2n tan 2u 2  n +:::+C 2n 2n tan 2u 2  2n tan u 2  2n+1 d  tan u 2  = 1 2 2n " C 0 2n 2n tan u 2  2n ::: C n1 2n 2 tan u 2  2 +C n 2n ln tan u 2 + C n+1 2n 2  tan u 2  2 +:::+ C 2n 2n 2n  tan u 2  2n  +C  I 10 = Z dx cos 2n+2 x = Z 1+tan 2 x  n d(tanx) = Z  C 0 11 +C 1 n tan 2 x+:::+C k n tan 2 x  k +:::+C n n tan 2 x  n  d(tanx) =  C 0 n (tanx)+ C 1 n 3 tanx 3 +:::+ C k n 2k+1 (tanx) 2k+1 +:::+ C n n 2n+1 (tanx) 2n+1  +C Tâm l¤i. Qua c¡c b i to¡n vîi nhúng líi gi£i kinh khõng ð tr¶n ch­c ¢ l m b¤n åc cho¡ng rçi, tuy nhi¶n h¢y º þ nâ câ m§u chèt c£ nh². ¦u ti¶n l 2 d¤ng n y t÷ìng tü nhau n¶n m¼nh s³ ch¿ nâi mët d¤ng. C¡c b¤n h¢y chó þ tîi c¡c b i sè mô ch®n, m§u chèt ch¿ l sû döng cæng thùc theo tan v sin, cán nhúng b i sè mô l´ ta ·u sû döng c¡ch t¡ch sinx = 2sind x 2 cos x 2 â ch½nh l ch¼a kho¡ cõa c¡c b i to¡n tr¶n, líi gi£i khõng ch¯ng qua l bi¸n êi d i thæi chù khæng câ g¼ khâ kh«n c£! Chinh phöc Olympic To¡n 28 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcCh÷ìng 2 B i To¡n · Xu§t T½nh c¡c nguy¶n h m ho°c t½ch ph¥n sau B i 1.  3 Z  4 tan 4 xdx B i 2.  2 Z  4 cos 6 x sin 4 x dx B i 3.  4 Z 0 sin 2 x cos 6 x dx B i 4.  2 Z 0 sin2x 4cos 2 x dx B i 5.  4 Z 0 12sin 2 x 1+sin2x dx B i 6. I =  2 Z 0 sin 10 x+cos 10 xsin 4 xcos 4 x  dx B i 7. I =  3 Z  6 1 sinxsin  x+  6 dx B i 8. I =  2 Z 0 sin2x+sinx p 1+3cosx dx B i 9. I =  2 Z 0 sin2xcosx 1+cosx dx 29Nguy¹n Minh Tu§n TCH PH N H€M L×ÑNG GIC B i 10. I =  2 Z 0 sin2x p cos 2 x+4sin 2 x dx B i 11. I =  2 Z 0 cos3x sinx+1 dx B i 12. I =  2 Z 0 cos2x (sinxcosx+3) 3 dx B i 13. I =  4 Z 0 cos2x 1+2sin2x dx B i 14. I =  6 Z 0 sin3xsin 3 3x 1+cos3x dx Chinh phöc Olympic To¡n 30 h T¤p ch½ v t÷ li»u to¡n håcT i li»u tham kh£o [1] Tuyºn tªp c¡c chuy¶n · v kÿ thuªt t½nh t½ch ph¥n - Tr¦n Ph÷ìng [2] T i li»u Internet 31 Xem thêm Từ khóa: / Tài liệu / Tài liệu Đề xuất cho bạn Tài liệu Tải nhiều Xem nhiều de-minh-hoa-toan-lan-2-nam-2019 Đề Minh Họa Toán lần 2 năm 2019 33961 lượt tải mot-so-cau-hoi-trac-nghiem-tin-hoc-lop-11-co-dap-an Một số câu hỏi trắc nghiệm Tin học lớp 11 (có đáp án) 16094 lượt tải ngan-hang-cau-hoi-trac-nghiem-lich-su-lop-11-co-dap-an NGÂN HÀNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM LỊCH SỬ LỚP 11 - CÓ ĐÁP ÁN 9681 lượt tải tong-hop-toan-bo-cong-thuc-toan-12 Tổng Hợp Toàn Bộ Công Thức Toán 12 8530 lượt tải bai-tap-toa-do-khong-gian-oyz-muc-do-van-dung-co-dap-an-va-loi-giai-chi-tiet Bài tập tọa độ không gian Oxyz mức độ vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết 7111 lượt tải mot-so-cau-hoi-trac-nghiem-tin-hoc-lop-11-co-dap-an Một số câu hỏi trắc nghiệm Tin học lớp 11 (có đáp án) 154191 lượt xem bai-tap-toa-do-khong-gian-oyz-muc-do-van-dung-co-dap-an-va-loi-giai-chi-tiet Bài tập tọa độ không gian Oxyz mức độ vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết 115095 lượt xem de-luyen-tap-kiem-tra-mon-tieng-anh-lop-10-unit-6-gender-equality Đề luyện tập kiểm tra môn Tiếng Anh lớp 10 - Unit 6: Gender equality 103456 lượt xem de-luyen-tap-mon-tieng-anh-lop-10-unit-4-for-a-better-community-co-dap-an Đề luyện tập môn Tiếng Anh lớp 10 - Unit 4: For a better community (có đáp án) 81147 lượt xem de-on-tap-kiem-tra-mon-tieng-anh-lop-11-unit-4-caring-for-those-in-need-co-dap-an Đề ôn tập kiểm tra môn Tiếng Anh lớp 11 - unit 4: Caring for those in need (có đáp án) 79281 lượt xem 2018 © Loga - Không Ngừng Sáng Tạo - Bùng Cháy Đam Mê Loga Team

Từ khóa » Nguyên Hàm Tan^8x