Phương Pháp Dùng Sơ đồ đoạn Thẳng Giải Toán Tiểu Học

Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng giải toán tiểu học

Phương pháp giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng, sử dụng sơ đồ đoạn thẳng là một trong những cách làm hiệu quả, trực quan trong việc dạy và giải toán tiểu học.

1. Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng là gì?

Đối với một bài toán có lời văn, ở bước tóm tắt đề toán, chúng ta dùng thường dùng sơ đồ, hình vẽ, kí hiệu, ngôn ngữ ngắn gọn để diễn tả trực quan các điều kiện của bài toán, giúp học sinh lược bỏ những yếu tố không cần thiết để tập trung vào bản chất toán học của đề bài.

Chúng ta sử dụng các đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán) để minh họa mối quan hệ (nhiều hơn, ít hơn, bằng nhau) giữa chúng. Ta phải chọn độ dài các đoạn thẳng và cần sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối liên hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải bài toán.

Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng được dùng để dạy các bài toán điển hình như:

• Tìm số trung bình cộng
• Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó
• Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó
• Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

Bài viết này sẽ đi vào một số ví dụ cụ thể để giúp các em biết cách giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.

2. Các bước giải bài toán bằng “PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG”

Bước 1: Tìm hiểu đề bài

Đọc kỹ bài toán (Phân tích xem bài toán cho gì, hỏi hoặc tính cái gì, thuộc loại nào? Cần tìm hiểu kỹ ý nghĩa đầu bài toán và ý nghĩa của từng lời)

Bước 2: Lập luận để vẽ sơ đồ

• Tóm tắt được bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng một cách cẩn thận, chính xác; từ đó suy nghĩ, tìm tòi phát hiện mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm.
• Khi vẽ sơ đồ phải chọn độ dài các đoạn thẳng và sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải một bài toán.
• Để có thể thực hiện những bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng thì nắm được cách biểu thị các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) các mối quan hệ (quan hệ về tổng, hiệu, quan hệ về tỉ số) là hết sức quan trọng. Vì nó làm một công cụ biểu đạt mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng.

Bước 3: Phân tích bài toán để tìm cách giải.

Ở đây, muốn trả lời câu hỏi bài toán thì phải biết những gì? Cần phải làm tính gì? Trong đó ta đã biết gì? Cái gì chưa biết, cái gì đã biết. Muốn tìm cái chưa biết thì lại phải biết gì? Cần làm gì?

Bước 4: Giải và kiểm tra các bước giải.

• Thực hiện các bước giải của bài giải. Thực hiện các phép tính theo trình tự được thiết lập để tìm đáp số; chú ý kiểm tra từng bước tính toán suy luận. tránh viết tắt, dùng kí hiệu tuỳ tiện.
• Đối với học sinh khá giỏi sau khi trình bày bài giải phải rút ra kinh nghiệm tìm ra cách giải khác; cố gắng tìm ra cách giải ngắn gọn và hay nhất.

Bước 5: Bài toán còn có cách giải nào khác?

Ra đề toán mới tương tự, khai thác bài toán bằng mở rộng và khái quát hoá (thường dùng cho học sinh khá, giỏi).

3. Ví dụ sử dụng sơ đồ đoạn thẳng giải toán tiểu học

Ví dụ 1. Một cửa hàng có số mét vải hoa nhiều hơn số mét vải xanh là $540$ m. Hỏi mỗi loại vải có bao nhiêu mét, biết rằng số mét vải xanh bằng $\frac{1}{4}$ số mét vải hoa?

Phân tích. Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình sau:

Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng này dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài toán:

• Số mét vải hoa nhiều hơn vải xanh là $540$ m (biểu thị quan hệ hai số hơn kém nhau một đơn vị)
• Số mét vải hoa nhiều gấp $4$ lần số mét vải xanh (biểu thị quan hệ so sánh số này gấp số kia một số lần)

Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số mét vải xanh bằng cách lấy $540$ chia cho $3$ (vì số mét vải xanh bằng $\frac{1}{3}$ của số $540$ m). Cũng nhờ sơ đồ gợi cho ta cách tìm số mét vải hoa bằng cách lấy số mét vải xanh tìm được đem cộng với $540$ m (hoặc gấp $4$ lần số mét vải xanh).

Lời giải.

Vì số mét vải xanh bằng $\frac{1}{4}$ số mét vải hoa và số mét vải xanh ít hơn số mét vải hoa là $540$ m nên số mét vải xanh là:

$540: 3 = 180$ (m)

Số mét vải hoa là:

$180 + 540 = 720$ (m)

Sau đây, chúng ta sẽ xem xét các dạng toán điển hình có thể sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng.

Ví dụ 2. Lớp 4A, 4B và 4C trồng được tất cả 105 cây, trong đó lớp 4A trồng được nhiều hơn lớp 4B là 10 cây nhưng lại trồng ít hơn lớp 4C 25 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?

Hướng dẫn.

Ta có sơ đồ sau:

Theo sơ đồ, 3 lần số cây lớp 4B (3 đoạn thẳng trong hình elip) chính bằng $$105 – 25 – 10 – 10 = 60$$

Vậy số cây lớp 4B là

$60: 3 = 20$ (cây)

Số cây lớp 4A là:

$20 + 10 = 30$ (cây)

Số cây lớp 4C là:

$30 + 25 = 55$ (cây)

3.1. Dạng toán “tìm số trung bình cộng”

Chi tiết cách tìm trung bình cộng, mời Thầy cô và các em xem tại bài CÁC BÀI TOÁN VỀ TRUNG BÌNH CỘNG LỚP 4

Ví dụ 1. Một tổ sản xuất ngày đầu làm được $50$ sản phẩm, ngày thứ hai làm được $60$ sản phẩm, ngày thứ ba làm được $70$ sản phẩm. Hỏi trung bình mỗi ngày tổ đó làm được bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn.

Bước 1: Đọc kỹ đề và tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng.

Bước 2: Nhìn trên sơ đồ để tìm quan hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết.

• Tìm tổng số sản phẩm của ba ngày.
• Tìm số trung bình cộng của ba số.

Bước 3: Trình bày lời giải

Số sản phẩm làm được trong ba ngày là:

$50 + 60 + 70 = 180$ (sản phẩm)

Trung bình mỗi ngày làm được số sản phẩm là:

$180: 3 = 60$ (sản phẩm)

Đáp số: $60$ sản phẩm.

Bước 4: Kiểm tra kết quả

$60 \times 3 = 50 + 60 + 70 = 180.$

Sai lầm học sinh có thể mắc phải: Học sinh nắm được dữ kiện của bài toán nhưng biểu thị bằng sơ đồ đoạn thẳng còn lúng túng.

Cách khắc phục: Giáo viên hướng dẫn cho học sinh vẽ sơ đồ:

• Số sản phẩm làm trong ngày đầu là một đoạn.
• Số sản phẩm làm trong cả 2 ngày là một đoạn dài hơn đoạn thẳng biểu thị ngày đầu.
• Số sản phẩm làm trong cả 3 ngày là một đoạn thẳng dài hơn đoạn thẳng biểu thị ngày 2.

Nhấn mạnh cho học sinh đây là bài toán tìm TBC của 3 ngày nên phải lấy tổng số sản phẩm làm được trong 3 ngày chia cho 3.

Ví dụ 2. An có 24 cái kẹo. Bình có 28 cái kẹo. Cường có số cái kẹo bằng trung bình cộng của 3 bạn. Hỏi Cường có bao nhiêu cái kẹo?

Hướng dẫn. Theo đề bài, chúng ta có sơ đồ sau:

Nhìn vào sơ đồ ta thấy:

• Hai lần trung bình cộng số kẹo của ba bạn là: 24+28=52 (cái)
• Trung bình cộng số kẹo ba bạn hay số kẹo của Cường là: 52:2=26 (cái).

Đáp số: 26 cái.

Mời Quý thầy cô và các em xem thêm dạng bài này tại đây: CÁC BÀI TOÁN VỀ TRUNG BÌNH CỘNG LỚP 4

3.2. Dạng tìm hai số khi biết tổng và hiệu hai số đó

Ví dụ. Tìm hai số khi biết tổng hai số bằng 456 và hiệu hai số là 24.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Đọc kỹ bài toán và tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng.

Bước 2: Nhìn trên sơ đồ để tìm quan hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết.

• Tìm hai lần số lớn (hoặc hai lần số bé).
• Tìm số lớn, số bé.

Bước 3: Trình bày lời giải

Số bé là:        $$(456 – 24): 2 = 216$$

Số lớn là:       $$216 + 24 = 240$$

Bước 4: Kiểm tra

216 + 240 = 456

240 -216 = 24

Khi giải dạng toán này, học sinh có thể không biết tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng và sai lầm trong cách tính. Ví dụ: Không tìm hai lần số bé mà lấy thẳng tổng chia 2 để tìm số bé rồi lại lấy số bé cộng hiệu ra số lớn.

Cách khắc phục: Phải tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng.

Dựa vào đoạn thẳng hướng dẫn học sinh lập kế hoặch giải từ đó rút ra qui tắc:

• Số bé  = (Tổng – Hiệu)
• Số lớn = Số bé + Hiệu

Chi tiết dạng toán này, mời thầy cô và các em xem tại bài Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4

3.3. Dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số

Ví dụ. Lớp 1A có 35 học sinh, trong số đó số học sinh nữ bằng $\frac{3}{4}$ số học sinh nam. Hỏi lớp 1A có bao nhiêu học sinh nữ và học sinh nam.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Đọc kỹ đầu bài và tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng.

Bước 2: Nhìn sơ đồ để tìm mối quan hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết.

• Tìm phần tương ứng với 35 học sinh.
• Tìm số học sinh nam và số học sinh nữ.

Bước 3: Giải

Tổng số phần bằng nhau là:

$3 + 4 = 7$ phần.

Giá trị một phần là:

$35: 7 = 5$ (học sinh)

Số học sinh nam là:

$5 \times 4 = 20$ (học sinh)

Số học sinh nữ là:

$35 – 20 = 15$ (học sinh)

Đáp số: $20$ học sinh nam  và $15$ học sinh nữ.

Sai lầm học sinh có thể mắc phải: Không biểu diễn được sơ đồ đoạn thẳng, không tìm được tổng số phần bằng nhau, khi tìm số lớn và số bé không nhân với số phần.

Cách khắc phục: Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài, tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng, dựa vào sơ đồ đoạn thẳng để phân tích bài toán, từ đó rút ra các bước khi giải bài toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số”:

• Đọc đề và tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng.
• Tìm tổng số phần đoạn thẳng bằng  nhau.
• Tìm giá trị ứng với một phần đoạn thẳng.
• Tìm số lớn và số bé.

3.4. Dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số”

Ví dụ. Mẹ hơn con 28 tuổi. Tìm tuổi mỗi người biết tuổi mẹ gấp năm lần tuổi con.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Đọc kỹ đầu bài và tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng.

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết dựa vào sơ đồ đoạn thẳng.

• Tìm số phần tương ứng với 28 tuổi.
• Tìm giá trị một phần (hay tuổi con)
• Tìm tuổi mẹ.

Bước 3: Giải

Hiệu số phần bằng nhau là:

$5 – 1 = 4$ (phần)

Tuổi con là:

$28: 4 = 7$ (tuổi)

Tuổi mẹ là:

$28 + 7 = 35$ (tuổi)

Đáp số: mẹ 35 tuổi, con 7 tuổi.

Sai lầm học sinh có thể mắc phải: Không biểu thị được bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng dẫn đến không tìm được hiệu số phần bằng nhau tương ứng với bao nhiêu, lời giải còn lủng củng, hay nhầm lẫn giữa tổng số phần và hiệu số phần.

Cách khắc phục: Hướng dẫn học sinh đọc đề và phân tích để xác định được dữ kiện và điều kiện bài toán, phân biệt hai dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số” và “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số”, rút ra các bước khi giải dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó:

• Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
• Tìm hiệu số phần đoạn thẳng bằng nhau.
• Tìm giá trị ứng với một phần đoạn thẳng.
• Tìm số lớn, số bé.

4. Bài tập sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

Bài 1. Một đội công nhân sửa chữa đường sắt, ngày thứ nhất sửa chữa được 15m đường, ngày thứ hai hơn ngày thứ nhất 1m ngày thứ ba hơn ngày thứ nhất 2m. Hỏi trung bình mỗi ngày đội công nhân ấy sửa chữa được bao nhiêu mét đường sắt?

Phân tích. Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình sau:

Nhìn sơ đồ này gợi cho ta cách tìm số mét của ngày thứ hai, số mét của ngày thứ ba. Từ đó tìm được đáp số của bài toán.

Lời giải.

Ngày thứ hai, đội công nhân sửa chữa được:

$15 + 1 = 16$ (m)

Ngày thứ ba, đội công nhân sửa chữa được:

$15 + 2 = 17$ (m)

Cả ba ngày, quãng đường đội công nhân sửa chữa được là:

$15 + 16 + 17 = 48$ (m)

Trung bình mỗi ngày đội công nhân sửa chữa được:

48: 3 = 16 (m)

Bài 2. Cùng một lúc Giang đi từ A đến B, còn Dương đi từ B đến A. Hai bạn gặp nhau lần đầu tại một điểm C cách A 3km, rồi lại tiếp tục đi. Giang đến B rồi quay lại A ngay, còn Dương đến A rồi cũng trở về B ngay. Hai bạn gặp nhau lần thứ hai tại một điểm D cách B 2km. Tính quãng đường AB và xem ai đi nhanh hơn.

Hướng dẫn. Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình sau:

Theo đầu bài thì Giang đi từ A đến B rồi quay lại D, còn Dương đi từ B đến A rồi cũng quay lại D, lúc đó hai bạn gặp nhau lần thứ hai ở D. Nhìn trên sơ đồ ta thấy, cho đến khi gặp nhau lần thứ hai ở D, cả Giang và Dương đã đi tất cả 3 lần quãng đường AB. Khi Giang và Dương gặp nhau lần thứ nhất ở C thì cả hai bạn đã đi được vừa đúng một lần quãng đường AB, trong khi đó Giang đi được đoạn AC dài 3 km. Do đó khi cả hai bạn đi tất cả ba lần quãng đường AB thì Giang đi được

$3\times 3=9$ (km)

Đoạn đường Giang đi được từ A đến B rồi tới D dài hơn quãng đường AB một đoạn BD dài $2$ km. Vì vậy quãng đường AB dài là

$9 – 2 = 7$ (km)

Khi gặp nhau lần thứ nhất thì Giang đi được 3km, do đó Dương đi được là

$7 – 3 = 4$ (km)

Trong cùng một thời gian kể từ lúc bắt đầu đi cho đến khi gặp nhau mà Dương đi được 4km, Giang đi được 3km, suy ra Dương đi nhanh hơn Giang.

Bài 3. Người ta lấy ra khỏi một kho đông lạnh 17 tấn cá Hỏi phải đưa vào kho đó bao nhiêu tấn cá để trong kho sẽ có số cá nhiều hơn số cá trước khi lấy là 8 tấn?

Bài 4. Hiện nay anh 11 tuổi, em 5 tuổi. Hãy tính tuổi mỗi người khi anh gấp 3 lần tuổi em.

Bài 5. Hà, Phương và Hiếu cùng tham gia trồng su hào. Hà và Phương trồng được 46 cây, Phương và Hiếu trồng được 35 cây. Hiếu và Hà trồng được 39 cây. Hỏi mỗi bạn trồng được bao nhiêu cây su hào?

Bài 6. Một thùng đựng dầu cân nặng cả thẩy 14kg. Người ta đổ ra một phần ba số dầu trong thùng thì cả thùng và số dầu còn lại nặng 10kg. Tính xem thùng không có dầu nặng mấy kilôgam?

Bài 7. Giang cùng với mẹ đi tẩu hỏa về quê. Đi được nửa quãng đường thì Giang chợt ngủ thiếp đi. Lúc thức giấc, Giang hỏi mẹ thì biết rằng còn phải đi một nửa của quãng đường mà Giang đã ngủ thì mới đến nơi. Hỏi quãng đường mà Giang ngủ thiếp đi bằng bao nhiêu phần quãng đường phải đi?

Bài 8. Hiệu của hai số bằng 12. Nếu gấp số lớn lên 3 lần thì số mới tạo thành sẽ hơn số bé 48 đơn vị. Tìm mỗi số đã cho.

Bài 9. Tổng ba số bằng 74. Nếu lấy số thứ hai chia cho số thứ nhất và lấy số thứ ba chia cho số thứ hai thì đều được thương là 2 và dư 1. Tìm mỗi số đó.

Bài 10. Trung bình cộng của hai số bằng 14. Biết rằng một phần ba số này bằng một phần tư số kia. Tìm hai số.

Bài 11. Cho ba số có trung bình cộng bằng 21. Tìm ba số đó, biết rằng số thứ ba gấp 3 lần số thứ hai, số thứ hai gấp 2 lần số thứ nhất.

Bài 12. Hai anh em đi hái nấm. Em hỏi “Anh hái được bao nhiêu nấm rồi? Có được nửa chục không?”. Anh trả lời: “Nếu lấy đi một nửa số nấm của anh rồi cho anh một cái nấm thì anh sẽ có nửa chục. Thế còn em hái được bao nhiêu nấm?”. Em trả lời: “Nếu lấy đi một nửa số nấm của em và lấy thêm một cái nữa thì em sẽ có nửa chục”.

Hỏi cả hai anh em hái được bao nhiêu nấm?