Phương Trình Bậc Nhất đối Với Hàm Số Lượng Giác Và Cách Giải ...

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác và cách giải

1. Lý thuyết

Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác

sinx=sinα⇔x=α+2kπx=π−α+2kπk∈ℤcosx=cosα⇔x=α+2kπx=−α+2kπk∈ℤtanx=tanα⇔x=α+kπk∈ℤcotx=cotα⇔x=α+kπk∈ℤ

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Phương trình lượng giác sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử đưa về phương trình tích

Phương pháp giải:

Sử dụng các biến đổi thích hợp để xuất hiện nhân tử chung như công thức nhân đôi, công thức nhân ba...

- Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a

tan2a=2tana1−tan2a

- Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina – 4sin3a

cos3a = 4cos3a – 3cosa

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) cosx – 2sin2x = 0

b) 6sin4x + 5sin8x = 0

c) cos2x – sin2x = 0

Lời giải

a) cosx – 2sin2x = 0

⇔cosx−2.2.sinxcosx=0

⇔cosx1−4sinx=0

⇔cosx=01−4sinx=0⇔cosx=0sinx=14⇔x=π2+kπx=arcsin14+k2πx=π−arcsin14+k2πk∈ℤ

Vậy họ nghiệm của phương trình là x=π2+kπ;x=arcsin14+k2π; x=π−arcsin14+k2π;k∈ℤ

b) 6sin4x + 5sin8x = 0

⇔6sin4x+5.2.sin4xcos4x=0⇔2sin4x3+5cos4x=0

⇔sin4x=03+5cos4x=0⇔sin4x=0cos4x=−35⇔4x=kπ4x=±arccos−35+k2π⇔x=kπ4x=±14arccos−35+kπ2k∈ℤ

Vậy họ nghiệm của phương trình là x=kπ4;x=±14arccos−35+kπ2;k∈ℤ.

c) cos2x – sin2x = 0

⇔cos2x−2sinxcosx=0⇔cosxcosx−2sinx=0⇔cosx=0cosx−2sinx=0⇔x=π2+kπ k∈ℤ2sinx=cosx  *

Giải phương trình (*)

Trường hợp 1: cosx = 0. Thay vào (*) ta được sinx = 0

Ta thấy sin2x + cos2x = 02 + 02 = 0 (Vô lí) (Loại).

Trường hợp 2: cosx≠0⇔x≠π2+kπ; k∈ℤ

Chia hai vế của phương trình cho cosx, ta được

*⇒2.sinxcosx=1⇔tanx=12

⇔x=arctan12+kπ; k∈ℤ (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=π2+kπ;x=arctan12+kπ; k∈ℤ.

Ví dụ 2: Giải phương trình: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0.

Lời giải

Ta có: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0

⇔sinxcos3x−1+2cos3x−1=0⇔cos3x−1sinx+2=0⇔cos3x−1=0sinx+2=0⇔cos3x=1sinx=−2 ​(Loai)⇔3x=k2π⇔x=k2π3; k∈ℤ

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=k2π3; k∈ℤ.

Dạng 2: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

Phương pháp giải:

- Công thức biến đổi tổng thành tích

cosa+cosb=2cosa+b2cosa−b2

cosa−cosb=−2sina+b2sina−b2

sina+sinb=2sina+b2cosa−b2

sina−sinb=2cosa+b2sina−b2

- Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa.cosb=12cosa+b+cosa−b

sina.sinb=12cosa−b−cosa+b

sina.cosb=12sina+b+sina−b

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x

b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x

Lời giải

a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x

⇔12cos5x−2x−cos5x+2x=12cos4x−3x−cos4x+3x⇔cos3x−cos7x=cosx−cos7x⇔cos3x=cosx

⇔3x=x+k2π3x=−x+k2π⇔2x=k2π4x=k2π⇔x=kπx=kπ2⇔x=kπ2 k∈ℤ

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=kπ2 ; k∈ℤ.

b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x

⇔12sin5x+3x+sin5x−3x=12sin4x+2x+sin4x−2x⇔sin8x+sin2x=sin6x+sin2x⇔sin8x=sin6x

⇔8x=6x+k2π8x=π−6x+k2π⇔2x=k2π14x=π+k2π⇔x=kπx=π14+kπ7k∈ℤ

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=kπ; x=π14+kπ7; k∈ℤ.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin3x + sin2x = sinx

b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

Lời giải

a) sin3x + sin2x = sinx

⇔sin3x−sinx+sin2x=0⇔2cos3x+x2.sin3x−x2+sin2x=0⇔2cos2xsinx+2sinxcosx=0⇔2sinxcos2x+cosx=0⇔2sinx.2cos2x+x2.cos2x−x2=0⇔4sinx.cos3x2.cosx2=0

⇔sinx=0cos3x2=0cosx2=0⇔x=kπ3x2=π2+kπx2=π2+kπ⇔x=kπx=π3+k2π3x=π+k2π⇔x=kπx=±π3+k2πk∈ℤ

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=kπ; x=±π3+k2π; k∈ℤ.

b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

⇔2sinx+3x2cosx−3x2=2cos2x+4x2cos2x−4x2⇔2sin2xcos−x=2cos3xcos−x⇔sin2xcosx−cos3xcosx=0⇔cosxsin2x−cos3x=0

⇔cosx=0sin2x=cos3x⇔cosx=0sin2x=sinπ2−3x

⇔x=π2+kπ2x=π2−3x+k2π2x=π−π2+3x+k2π⇔x=π2+kπ5x=π2+k2π−x=π2+k2π

⇔x=π2+kπx=π10+k2π5x=−π2−k2π⇔x=π2+kπx=π10+k2π5k∈ℤ

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=π2+kπ; x=π10+k2π5;k∈ℤ.

Dạng 3: Sử dụng công thức hạ bậc

Phương pháp giải:

Công thức hạ bậc hai:

cos2a=1+cos2a2

sin2a=1−cos2a2

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sin2x + sin23x = 2sin22x.

Lời giải

Ta có: sin2x + sin23x = 2sin22x

⇔1−cos2x2+1−cos6x2=2.1−cos4x2⇔−cos2x−cos6x=−2cos4x⇔cos6x+cos2x−2cos4x=0⇔2cos6x+2x2cos6x−2x2−2cos4x=0⇔2cos4xcos2x−2cos4x=0⇔2cos4xcos2x−1=0

⇔cos4x=0cos2x=1⇔4x=π2+kπ2x=k2π⇔x=π8+kπ4x=kπk∈ℤ

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=π8+kπ4; x=kπ;k∈ℤ.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy họ nghiệm của phương trình là x=π10+kπ5; x=π4+kπ2; x=π2+kπ; k∈ℤ.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Nghiệm của phương trình cos2x – cosx = 0 thuộc khoảng 0<x<π là:

A. x=π6

B. x=π2

C. x=π4

D. x=-π2

Câu 2. Giải phương trình cos2x – sin2x = 0

A. x=π2+kπx=arctan13+kπ  k∈ℤ

B. x=π2+kπx=arctan14+kπ  k∈ℤ

C. x=π2+kπx=arctan15+kπ  k∈ℤ

D. x=π2+kπx=arctan12+kπ  k∈ℤ

Câu 3. Nghiệm của phương trình sin2x – sinx = 2 – 4cosx là:

A. x=−π4+k2πx=π3+kπk∈ℤ

B. x=−π3+k2πx=π3+k2πk∈ℤ

C. x=−π3+k2πx=π4+kπk∈ℤ

D. x=−π2+k2πx=π3+k2πk∈ℤ

Câu 4. Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos2x = 0 là:

A. x=kπ

B. x=kπ2

C. x=kπ8

D. x=kπ4

Câu 5. Nghiệm của phương trình cos3x – cos5x = sinx là:

A. x=kπx=π24+k2πx=5π24+kπ2    k∈ℤ

B. x=k2πx=π24+kπ2x=5π24+kπ2    k∈ℤ

C. x=kπx=π24+kπ2x=5π24+kπ2   k∈ℤ

D. x=kπ2x=π24+kπ2x=5π24+kπ2    k∈ℤ

Câu 6. Phương trình cos5x.cos3x = cos 4x.cos2x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sinx = cos x

B. cosx = 0

C. cos8x = cos6x

D. sin8x = cos6x

Câu 7. Phương trình cosx + 3cos2x + cos3x = 0 có nghiệm là:

A. x=−π16+kπ4k∈ℤ

B. x=±π6+k2πk∈ℤ

C. x=π4+kπ2k∈ℤ

D. x=π3+k2πk∈ℤ

Câu 8. Nghiệm của phương trình cos3x – cos4x + cos5x = 0 là:

A. x=π8+kπ4x=π3+k2π,k∈ℤ

B. x=π8+kπ4x=−π3+k2π,k∈ℤ

C. x=π8+kπ4x=±π3+k2π,k∈ℤ

D. x=π8+kπx=±π3+k2π,k∈ℤ

Câu 9. Phương trình 2sinx + cosx – sin2x – 1 = 0 có nghiệm là:

A. x=π6+kπx=5π6+kπx=kπ ,k∈ℤ

B. x=π6+k2πx=5π6+k2πx=k2π ,k∈ℤ

C. x=±π6+k2πx=k2π ,k∈ℤ

D. x=±π6+k2πx=kπ ,k∈ℤ

Câu 10. Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin23x – cosx = 0 là:

A. −π6+kπ3;k∈ℤ

B. π6+kπ3;k∈ℤ

C. kπ2;k∈ℤ

D. kπ4;k∈ℤ

Câu 11. Các nghiệm của phương trình sin2x + sin23x = cos2x + cos23x là:

A. x=±π4+k2π;k∈ℤ

B. x=−π4+kπ2,x=π8+kπ2;k∈ℤ

C. x=π4+kπ2,x=π8+kπ4;k∈ℤ

D. x=±π4+kπ2;k∈ℤ

Câu 12. Các nghiệm của phương trình cosxcos5x=12cos6x (với k∈ℤ) là:

A. x=π8+kπ

B. x=kπ2

C. x=kπ4

D. x=π8+kπ4

Câu 13. Họ nghiệm của phương trình sin2x + cos24x = 1 là:

A. x=kπ13x=kπ15k∈ℤ

B. x=kπ23x=kπ25k∈ℤ

C. x=kπ3x=kπ5k∈ℤ

D. x=kπ33x=kπ35k∈ℤ

Câu 14. Họ nghiệm của phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x là:

A. kπ4;k∈ℤ

B. kπ8;k∈ℤ

C. π8+kπ4;k∈ℤ

D. π8+kπ2;k∈ℤ

Câu 15. Phương trình sin23x – cos24x = sin25x – cos26x có các nghiệm là:

A. x=kπ12x=kπ4k∈ℤ

B. x=kπ9x=kπ2k∈ℤ

C. x=kπ6x=kπk∈ℤ

D. x=kπ3x=k2πk∈ℤ

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
B	D	B	D	C	C	C	C	B	B	C	D	C	A	B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải

Quy tắc đếm và cách giải các dạng bài tập

Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp và cách giải các dạng bài tập

Nhị thức Niu-tơn và cách giải các dạng bài tập