Quan Hệ Giữa Ba Cạnh Của Một Tam Giác. Bất ...

QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC.

BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC (PHẦN 3).

II/ Bài tập vận dụng (tiếp)

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức về độ dài

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức. Chú ý đến các phép biến đổi sau:

+ Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức:

\(a > b \Rightarrow a + c > b + c.\)

+ Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:

\(\left. \begin{array}{l}a < b\\c < d\end{array} \right\} \Rightarrow a + c < b + d.\)

Bài 8: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. So sánh AB + AC và 2AM.

Phương pháp giải:

+ Kẻ thêm hình: Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.

+ Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Bài 9: Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC

a) So sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA.

b) So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh IB + IA < CA + CB.

c) Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Bài 9: Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC

a) So sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA.

b) So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh IB + IA < CA + CB.

c) Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Trong ΔAMB, ta có:

MA + MB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)

Trong ΔAMC, ta có:

MA + MC > AC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Trong ΔBMC, ta có:

MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác) (3)

Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có:

MA + MB + MA + MC + MB + MC = AB + AC + BC

\( \Leftrightarrow \) 2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC

Vậy MA + MB + MC > (AB + AC + BC) / 2. (đpcm).

Bài 11: Cho tam giác ABC có AB > Ac, tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E. Chứng minh rằng: AB – AC > EB – EC.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức: Trong một tam giác, một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

Lời giải:

Vì AB > AC (gt) nên trên AB lấy điểm F sao cho: AF = AC.

Xét tam giác AEF và tam AEC có:

\(\begin{array}{l}\angle {A_1} = \angle {A_2}\,\,\left( {gt} \right)\\AF = AC\\AE\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta AEF = \Delta AEC\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow EF = EC.\end{array}\)

Xét tam giác BEF, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

BF < BE – EF, mà BF = AB – AF

Nên AB – AF < BE – EF

Mặt khác: AF = AC; EF = EC

Do đó: AB – AC < BE – EC. (đpcm).

Bài 12: Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

\(\frac{{AB + AC - BC}}{2} < AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}.\)

Phương pháp giải:

+ Áp dụng bất đẳng thức tam giác.

+ Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều.

Lời giải:

Xét tam giác ABD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AD > AB – BD     (1)

Xét tam giác ADC, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AD > AC – DC     (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:

2AD > AB + AC – (BD + DC)

Hay 2AD > AB + AC – BC

\( \Rightarrow AD > \frac{{AB + AC - BC}}{2}.\)

Chứng minh tương tự ta có:

AD < AB + BD và  AD < AC + DC

Suy ra: 2AD < AB + AC + (BD + DC)

Hay 2AD < AB + AC + BC

\( \Rightarrow AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}.\)

Vậy \(\frac{{AB + AC - BC}}{2} < AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}.\)  (đpcm).

Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai độ dài

Phương pháp:

+ Với ba điểm M, B, C bất kì ta có: \(BM + MC \ge BC.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn BC.

+ Như vậy, nếu độ dài đoạn BC không đổi thì tổng BM + MC nhỏ nhất bằng BC khi và chỉ khi M thuộc đoạn BC.

Bài 13: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

+ Vẽ thêm điểm phụ.

+ Áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Lời giải:

Giả sử C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d.

Vì C nằm giữa A và B nên ta có:

AC + CB = AB (1)

Lấy điểm C' bất kỳ trên d (C' ≠C)

Nối AC', BC'

Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác vào ∆ABC', ta có:

AC' + BC' > AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AC' + C'B > AC + CB.

Vậy C là điểm cần tìm.

Bài 14: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng một phía của d và AB không song song với d. Một điểm M di động trên d. Tìm vị trí của M sao cho |MA – MB| là lớn nhất.

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Lời giải:

Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại N.

Với điểm M bất kì thuộc d mà M không trùng với N thì ta có tam giác MAB. Do đó :

|MA – MB| < AB. khi M = N thì

|MA – MB| = AB.

Vậy |MA – MB| lớn nhất là bằng AB, khi đó M = N là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.

Dạng 5: Bài toán thực tế

Bài 15: Một tram biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại địa điểm A và B.

Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để xây dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là gần nhất.

Phương pháp giải:

+ Dựa vào định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

+ Với ba điểm A, B, C bất kì luôn có: AB + BC ≥ AC.

Lời giải:

Để độ dài đường dây là ngắn nhất thì C nằm trên đoạn thẳng AB, tức là:

AC + BC = AB.

Thật vậy, nếu C nằm ngoài đoạn thẳng AB thì ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác ABC. Theo định lý tổng hai cạnh trong tam giác ta có:

AC + BC > AB

Do đó AC + BC ngắn nhất khi C nằm giữa A và B.

Vậy vị trí đặt một cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn ngắn nhất là C nằm giữa A và B.

Bài 16: Ba thành phố A, B, C là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng AC = 30km, AB = 90km (hình dưới)

a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?

b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120 km.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức: Trong một tam giác, một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

Lời giải:

Theo đề bài AC = 30km, AB = 90km ⇒ AC < AB.

Trong ∆ABC có: CB > AB – AC (hệ quả bất đẳng thức tam giác)

⇒ CB > 90 – 30 = 60km

Nếu đặt tại C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B không nhận được tín hiệu.

b) Trong tam giác ABC có: BC < AC + AB (bất đẳng thức tam giác).

nên BC < 30 + 90 =120km

Nếu đặt tại C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 120km thì thành phố B nhận được tín hiệu.