SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GÁC 1 Độ Và Rađian - 123doc

1. Độ và rađian

a) Đơn vị rađian

Đơn vị độ đã được sử dụng để đo góc từ rất lâu đời. Trong Toán học và Vật lí người ta còn dùng một đơn vị nữa để đo góc và cung, đó là rađian (đọc là ra-đi-an)

Trên hình 39 ta thấy độ dài cung nhỏ AM1 bằng 1 đơn vị, tức là bằng độ dài bán kính. Ta nói số đo của cung AM1 (hay số đo của góc ở tâm AOM1) bằng 1 rađian (viết tắt là 1 rad). Tổng quát:

Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.

b) Quan hệ giữa độ và rađian

Ta biết độ dài cung nửa đường tròn là R, nên trong hình 43 số đo của cung AA’(hay góc bẹt AOA’) là  rad (vì R = 1). Vì góc bẹt có số đo độ là 180 nên ta viết 180 =  rad

Suy ra: Chú ý:

Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn cung /2 được hiểu là cung /2 rad.

Bảng chuyển đổi thông dụng:

Câu hỏi 1. Sử dụng máy tính bỏ túi để đổi từ độ sang rađian và ngược lại. Nếu dùng máy tính CASIO fx-500MS ta làm như sau

(a) (b) 137

c) Độ dài của một cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là  rad và có độ dài là R. Vậy cung có số đo  rad của đường tròn bán kính R có độ dài l = R.

2. Số đo của một cung lượng giác

Ví dụ: Xét cung lượng giác AB trong hình 44a). Một điểm M di động trên đường tròn theo chiều dương. Khi M di động từ A đến B tạo nên cung ¼ đường tròn, ta nói cung này có số đo /2, sau đó đi tiếp một vòng tròn nữa (thêm 2), ta được cung lượng giác AB có số đo là /1 + 2 = 5/2

Tương tự, cung lượng giác AB trong hình 44b) có số đo là Cung lượng giác AC trong hình 44c) lại có số đo là

138

Từ các ví dụ nêu trong hình 44 ta thấy số đo của một cung lượng giác AM (A khác M) là một số thực am hay dương.

Kí hiệu số đo của cung AM là sđ AM

Câu hỏi 2. Cung lượng giác AD (h.45) có số đô là bao nhiêu? Ghi nhớ:

Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2. Ta viết:

Trong đó  là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M

Khi điểm cuối M trùng với điểm đầu A ta có

Người ta cũng viết số đo bằng độ. Công thức tổng quát của của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là

3. Số đo của một góc lượng giác

Ta định nghĩa:

Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng.

139

Câu hỏi 3. Tìm số đo của các góc lượng giác (OA, OE) và (OA, OP) trên hình 46 (điểm E là điểm chính giữa của cung A’B’, AP = 1/3 AB). Viết số đo này theo đơn vị rađian và theo đơn vị độ

Chú ý:

Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ này về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.

4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ AM = 

Ví dụ: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo lần lượt là

a) b) Giải a) b) 140 BÀI TẬP

1. Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không? Khi nào trường hợp này xảy ra?

2. Đổi số đo của các góc sau đây ra rađian a) 18o

b) 57o30’ c) -25o d) -125o45’

3. Đổi số đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây a)

b) c) d)

4. Một đường tròn có bán kính 20cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo

a) b) c)

5. Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo a)

b) c) d)

6. Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có số đo tương ứng là (trong đó k là một số nguyên tùy ý)

a) b) c)

7. Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ AM= … Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox trục Oy và gốc tọa độ. Tìm số đo của các cung AM1. AM2, AM3.

141

BÀI 2 - GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘ CUNGI – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG  I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG 

Câu hỏi 1. Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác của góc ,… Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM =  (h.48) Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của  và kí hiệu là sin  Hoành độ x = OH của điểm M gọi là cosin của  và kí hiệu là cos Nếu cos khác 0,

Nếu sin khác 0,

Các giá trị của sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung .

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục cosin 142

Chú ý:

1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác. 2. Nếu …. thì các giá trị lượng giác của góc  chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10

Câu hỏi 2.

2. Hệ quả

(1) sin và cos xác định với mọi  thuộc R. Hơn nữa, ta có: (2) Vì

(4) tan xác định với mọi …

Thật vậy, tan không xác định khi và chỉ khi cos = 0, tức là điểm cuối M của cung AM trùng với B hoặc B’ (h.48), hay …

(5) cot xác định với mọi …

(6) Dấu của các giá trị lượng giác của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM =  trên đường tròn lượng giác (h.49)

143

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt