Số Nguyên – Wikipedia Tiếng Việt

Cấu trúc đại số → lý thuyết nhómLý thuyết nhóm
Thuật ngữ cơ bản Nhóm con Nhóm con chuẩn tắc Nhóm thương Tích trực tiếp Tích nửa trực tiếp Đồng cấu nhóm hạt nhân ảnh tổng trực tiếp tích bện đơn hữu hạn vô hạn liên tục nhân cộng tính cyclic giao hoán nhị diện lũy linh giải được tác động Từ vựng dùng trong lý thuyết nhóm Danh sách các chủ đề trong lý thuyết nhóm
Nhóm hữu hạn Phân loại nhóm đơn hữu hạn cyclic thay phiên dạng Lie sporadic định lý Cauchy định lý Lagrange Định lý Sylow Định lý Hall p-nhóm Nhóm abel sơ cấp Nhóm Frobenius Nhân tử Schur Nhóm Mathieu M11 M12 M22 M23 M24 Nhóm Conway Co1 Co2 Co3 Nhóm Janko J1 J2 J3 J4 Nhóm Fischer F22 F23 F24 nhóm đối xứng Sn Nhóm bốn Klein V Nhóm nhị diện Dn Nhóm Quaternion Q Nhóm Dicyclic Dicn
Nhóm rời rạc Lưới Số nguyên ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) Nhóm tự do Nhóm mô đun PSL(2, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) SL(2, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) Nhóm số học Lưới Nhóm hyperbolic
Tô pô và nhóm Lie Solenoid Đường tròn Tuyến tính tổng quát GL(n) Tuyến tính đặc biệt SL(n) Trực giao O(n) Euclid E(n) Trực giao đặc biệt SO(n) Unita U(n) Unita đặc biệt SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Bảo giác Vi đồng phôi Vòng Nhóm Lie vô hạn chiều O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Nhóm đại số Nhóm đại số tuyến tính Nhóm khả quy Đa tạp giao hoán Đường cong elliptic
x t s

Đối với tin học, xem Số nguyên (khoa học máy tính).

Trong toán học, số nguyên được định nghĩa một cách thông dụng là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các số nguyên, trong khi 9.75, 5+1/2 và 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} không phải là số nguyên.

Tập hợp các số nguyên bao gồm 0, các số tự nhiên dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và các nghịch đảo phép cộng của chúng (là các số nguyên âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập hợp các số nguyên thường được biểu thị bằng chữ in đậm (Z) hoặc chữ lớn có viền ( Z ) {\displaystyle (\mathbb {Z} )} với chữ cái "Z" bắt nguồn từ tiếng Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là một tập hợp con của tập hợp các số hữu tỷ Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , đến lượt nó là một tập hợp con của tập hợp các số thực R {\displaystyle \mathbb {R} } . Giống như tập hợp các số tự nhiên, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là tập hợp vô hạn đếm được.

Các số nguyên tạo thành nhóm nhỏ nhất và vành nhỏ nhất chứa các số tự nhiên. Trong lý thuyết số đại số, các số nguyên đôi khi được coi là số nguyên hữu tỉ để phân biệt chúng với các số nguyên đại số tổng quát hơn. Trên thực tế, số nguyên (hữu tỉ) là số nguyên đại số mà cũng là số hữu tỉ.

Ký hiệu

[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng Z {\displaystyle \mathbb {Z} } có thể được dùng để biểu thị các tập hợp khác nhau, với cách sử dụng khác nhau giữa các tác giả khác nhau: Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} ,[2] Z + {\displaystyle \mathbb {Z} _{+}} hoặc Z > {\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}} đối với các số nguyên dương, Z 0 + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}} hoặc Z ≥ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }} cho các số nguyên không âm và Z ≠ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }} cho các số nguyên khác 0. Một số tác giả sử dụng ký hiệu Z ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}} cho các số nguyên khác 0, trong khi những người khác sử dụng nó cho các số nguyên không âm hoặc cho {–1, 1}. Ngoài ra, Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} được sử dụng để biểu thị tập các số nguyên modulo p[2] (tức là tập các lớp đồng dư của các số nguyên) hoặc tập các số nguyên p -adic.[1][6][7]. vì vậy nếu muốn sử dụng ký hiệu Z ≠ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }} hoặc ký hiệu Z ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}} thì phải định nghĩa lại trên đề kiểm tra, nếu trên đề không có định nghĩa thì xem như đề đó là sai. Có một số bài bài toán chứng minh quy nạp thường hay sử dụng để loại đi trường hợp khác không.Chúng ta phải căn cứ vào sách giáo khoa lớp 6 làm căn cứ, trong sách lớp 6 tập hợp số nguyên chỉ có kí hiệu là Z nên khi chúng ta cho đề mà có sử Z ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}} Z ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}

Tính chất

[sửa | sửa mã nguồn]

Giống như các số tự nhiên, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là tập hợp đóng với các phép toán cộng và nhân, tức là tổng và tích của hai số nguyên bất kỳ là một số nguyên. Tuy nhiên, với việc bao gồm cả các số nguyên âm (và quan trọng là 0), Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , không giống như các số tự nhiên, cũng là tập hợp đóng với phép trừ.[8]

Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị, vốn là vành cơ bản nhất, theo nghĩa sau: đối với bất kỳ vành đơn vị nào, đều có một phép đồng cấu duy nhất từ các số nguyên vào vành này. Thuộc tính phổ quát này, cụ thể là một đối tượng ban đầu trong loại vành, là đặc trưng cho vành Z {\displaystyle \mathbb {Z} } .

Z {\displaystyle \mathbb {Z} } không đóng với phép chia, vì thương của hai số nguyên (ví dụ: 1 chia cho 2) có thể không là số nguyên. Mặc dù các số tự nhiên là đóng với phép lũy thừa, nhưng các số nguyên thì không (vì kết quả có thể là một phân số khi số mũ là âm).

Bảng sau liệt kê một số tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân đối với bất kỳ số nguyên a, b và c:

Tính chất của phép cộng và phép nhân trên số nguyên

Phép cộng	Phép nhân
Tính đóng:	a + b là số nguyên	a × b là số nguyên
Tính kết hợp:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
Tính giao hoán:	a + b = b + a	a × b = b × a
Tồn tại phần tử đơn vị:	a + 0 = a	a × 1 = a
Tồn tại phần tử nghịch đảo:	a + (−a) = 0	Số nguyên duy nhất có phần tử nghịch đảo (gọi là đơn vị) là −1 và 1.
Thuộc tính phân phối:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không có ước số của 0:	Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, năm thuộc tính đầu tiên được liệt kê ở trên khẳng định rằng Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là một nhóm abel với phép cộng. Nó cũng là một nhóm cyclic, vì mọi số nguyên khác 0 đều có thể được viết dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tế, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } với phép cộng là nhóm tuần hoàn vô hạn duy nhất — theo nghĩa là bất kỳ nhóm tuần hoàn vô hạn nào đều là đẳng cấu với Z {\displaystyle \mathbb {Z} } .

Bốn thuộc tính đầu tiên được liệt kê ở trên cho phép nhân nói rằng Z {\displaystyle \mathbb {Z} } cùng với phép nhân là một monoid giao hoán. Tuy nhiên, không phải mọi số nguyên đều có nghịch đảo nhân (như trường hợp của số 2), có nghĩa là Z {\displaystyle \mathbb {Z} } với phép nhân không phải là một nhóm.

Tất cả các quy tắc từ bảng thuộc tính trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), khi được kết hợp với nhau, nói rằng Z {\displaystyle \mathbb {Z} } cùng với phép cộng và phép nhân là một vành giao hoán có phần tử đơn vị. Nó là nguyên mẫu của tất cả các đối tượng của cấu trúc đại số như vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong Z {\displaystyle \mathbb {Z} } cho tất cả các giá trị của biến, thì cũng là đúng trong bất kỳ vành giao hoán có đơn vị nào. Một số số nguyên khác 0 ánh xạ tới 0 trong một số vành nhất định.

Việc thiếu các ước số của 0 trong các số nguyên (thuộc tính cuối cùng trong bảng) có nghĩa là vành giao hoán Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là một miền nguyên.

Việc thiếu các phép nghịch đảo của phép nhân, tương đương với thực tế là Z {\displaystyle \mathbb {Z} } không phải là đóng với phép chia, có nghĩa là Z {\displaystyle \mathbb {Z} } không phải là một trường. Trường nhỏ nhất chứa các số nguyên dưới dạng một vành con là trường các số hữu tỉ. Quá trình xây dựng các số hữu tỉ từ các số nguyên có thể được bắt chước để tạo thành trường phân số của bất kỳ miền nguyên nào. Và ngược lại, bắt đầu từ trường số đại số (phần mở rộng của số hữu tỉ), vành số nguyên của nó có thể được trích xuất, bao gồm Z {\displaystyle \mathbb {Z} } như là vành con của nó.

Mặc dù phép chia thông thường không được định nghĩa trên Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , phép chia "với phần dư" được xác định trên chúng. Nó được gọi là phép chia Euclid, và có tính chất quan trọng sau: cho hai số nguyên a và b với b ≠ 0, tồn tại các số nguyên q và r duy nhất sao cho a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị giá trị tuyệt đối của b.[9] Số nguyên q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của phép chia a cho b. Thuật toán Euclid để tính ước số chung lớn nhất hoạt động với một chuỗi các phép chia Euclid.

Một lần nữa, trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, phần trên nói rằng Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là một vành Euclid. Điều này ngụ ý rằng Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là một vành ideal chính và bất kỳ số nguyên dương nào cũng có thể được viết dưới dạng tích của các số nguyên tố theo một cách cơ bản duy nhất.[10] Đây là định lý cơ bản của số học.

Thuộc tính lý thuyết thứ tự

[sửa | sửa mã nguồn]

Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là một tập hợp có thứ tự hoàn toàn không có giới hạn trên hoặc dưới. Thứ tự của Z {\displaystyle \mathbb {Z} } được định nghĩa là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số nguyên là dương nếu nó lớn hơn 0 và âm nếu nó nhỏ hơn 0. Số không (0) được định nghĩa là không âm cũng không dương.

Thứ tự của các số nguyên tương thích với các phép toán đại số theo cách sau:

1. Nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d
2. Nếu a < b và 0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, ta kết luận rằng Z {\displaystyle \mathbb {Z} } cùng với thứ tự trên là một vành có thứ tự.

Các số nguyên là nhóm abel có thứ tự hoàn toàn không tầm thường duy nhất có các phần tử dương được sắp xếp theo thứ tự hợp lý.[11] Điều này tương đương với tuyên bố rằng bất kỳ vành đánh giá Noether nào cũng là một trường — hoặc một vành định giá vô cùng quan trọng.

Xây dựng

[sửa | sửa mã nguồn]

Trong quá trình dạy học ở trường tiểu học, các số nguyên thường được định nghĩa một cách trực quan là các số tự nhiên (dương), số 0 và các số đối của các số tự nhiên. Tuy nhiên, kiểu định nghĩa này dẫn đến nhiều trường hợp khác nhau (mỗi phép toán số học cần được xác định trên mỗi tổ hợp các kiểu số nguyên) và khiến việc chứng minh rằng các số nguyên tuân theo các định luật số học khác nhau trở nên tẻ nhạt.[12] Do đó, trong toán học lý thuyết tập hợp hiện đại, một cấu trúc trừu tượng hơn[13] cho phép người ta xác định các phép toán số học mà không có bất kỳ phân biệt trường hợp nào thường được sử dụng để thay thế.[14] Do đó, các số nguyên có thể được xây dựng chính thức như các lớp tương đương của các cặp số tự nhiên có thứ tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là viết tắt của kết quả của phép trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị cùng một số, chúng ta xác định quan hệ tương đương ~ trên các cặp này với quy tắc sau:

( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}

chỉ khi

a + d = b + c . {\displaystyle a+d=b+c.}

Phép cộng và phép nhân các số nguyên có thể được định nghĩa theo các phép toán tương đương trên các số tự nhiên;[15] bằng cách sử dụng [(a,b)] để biểu thị lớp tương đương có (a,b) là thành viên, lớp này có:

[ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] := [ ( a + c , b + d ) ] . {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].} [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( c , d ) ] := [ ( a c + b d , a d + b c ) ] . {\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].}

Số đối (hoặc phép nghịch đảo của phép cộng) của một số nguyên có được bằng cách đảo ngược thứ tự của cặp:

− [ ( a , b ) ] := [ ( b , a ) ] . {\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)].}

Do đó phép trừ có thể được định nghĩa là phép cộng với nghịch đảo của phép cộng:

[ ( a , b ) ] − [ ( c , d ) ] := [ ( a + d , b + c ) ] . {\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].}

Thứ tự tiêu chuẩn trên các số nguyên được đưa ra với bất đẳng thức:

[ ( a , b ) ] < [ ( c , d ) ] {\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]} khi và chỉ khi a + d < b + c . {\displaystyle a+d<b+c.}

Dễ dàng xác minh rằng các định nghĩa này không phụ thuộc vào việc lựa chọn đại diện của các lớp tương đương.

Mọi lớp tương đương có một thành viên duy nhất có dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả hai cùng một lúc). Số tự nhiên n được xác định với lớp [(n,0)] (nghĩa là, các số tự nhiên được nhúng vào các số nguyên bằng cách ánh xạ gửi n tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao gồm tất cả các lớp còn lại và cho lớp [(0,0)] 2 lần do −0 = 0.

Do đó, [(a,b)] được ký hiệu là

{ a − b , nếu  a ≥ b − ( b − a ) , nếu  a < b . {\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{nếu }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{nếu }}a<b.\end{cases}}}

Nếu các số tự nhiên được xác định với các số nguyên tương ứng (sử dụng phép nhúng được đề cập ở trên), thì quy ước này không tạo ra sự mơ hồ.

Ký hiệu này phục hồi biểu diễn quen thuộc của các số nguyên là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

0 = [ ( 0 , 0 ) ] = [ ( 1 , 1 ) ] = ⋯ = [ ( k , k ) ] 1 = [ ( 1 , 0 ) ] = [ ( 2 , 1 ) ] = ⋯ = [ ( k + 1 , k ) ] − 1 = [ ( 0 , 1 ) ] = [ ( 1 , 2 ) ] = ⋯ = [ ( k , k + 1 ) ] 2 = [ ( 2 , 0 ) ] = [ ( 3 , 1 ) ] = ⋯ = [ ( k + 2 , k ) ] − 2 = [ ( 0 , 2 ) ] = [ ( 1 , 3 ) ] = ⋯ = [ ( k , k + 2 ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}}

Trong khoa học máy tính lý thuyết, các cách tiếp cận khác để xây dựng các số nguyên được sử dụng bởi các máy dò định lý tự động và các công cụ viết lại thuật ngữ. Số nguyên được biểu diễn dưới dạng các thuật ngữ đại số được xây dựng bằng cách sử dụng một vài phép toán cơ bản (ví dụ: zero, succ, pred) và, có thể, sử dụng các số tự nhiên, được giả định là đã được xây dựng (sử dụng phương pháp Peano).

Tồn tại ít nhất mười cách xây dựng các số nguyên có dấu.[16] Các cấu trúc này khác nhau theo một số cách: số lượng các phép toán cơ bản được sử dụng cho cấu trúc, số lượng (thường là từ 0 đến 2) và các loại đối số được các phép toán này chấp nhận; sự hiện diện hay vắng mặt của các số tự nhiên làm đối số của một số phép toán này và thực tế là các phép toán này có phải là hàm tạo tự do hay không, tức là cùng một số nguyên có thể được biểu diễn chỉ bằng một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật xây dựng các số nguyên được trình bày ở trên trong phần này tương ứng với trường hợp cụ thể trong đó có một cặp phép toán cơ bản duy nhất ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} nhận đối số là hai số tự nhiên x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} và trả về một số nguyên (bằng x − y {\displaystyle x-y} ). Thao tác này không tự do vì số nguyên 0 có thể được viết là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật xây dựng này được sử dụng bởi trợ lý chứng minh Isabelle; tuy nhiên, nhiều công cụ khác sử dụng các kỹ thuật xây dựng thay thế, đáng chú ý là những kỹ thuật dựa trên các cấu trúc tự do, đơn giản hơn và có thể được thực hiện hiệu quả hơn trong máy tính.

Máy tính

[sửa | sửa mã nguồn] Bài chi tiết: Số nguyên (khoa học máy tính)

Một số nguyên thường là một kiểu dữ liệu nguyên thủy trong các ngôn ngữ máy tính. Tuy nhiên, kiểu dữ liệu số nguyên chỉ có thể đại diện cho một tập hợp con của tất cả các số nguyên, vì máy tính thực tế có dung lượng hữu hạn. Ngoài ra, trong biểu diễn phép bù hai phổ biến, định nghĩa cố hữu của dấu phân biệt giữa "âm" và "không âm" thay vì "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc chắn máy tính có thể xác định được liệu một giá trị số nguyên có thực sự là số dương hay không.) Các kiểu dữ liệu xấp xỉ số nguyên có độ dài cố định (hoặc tập hợp con) được ký hiệu là int hoặc Integer trong một số ngôn ngữ lập trình (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các biểu diễn số nguyên có độ dài thay đổi, chẳng hạn như bignum, có thể lưu trữ bất kỳ số nguyên nào vừa với bộ nhớ của máy tính. Các kiểu dữ liệu số nguyên khác được triển khai với kích thước cố định, thường là một số bit là lũy thừa của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một số chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng

[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tập hợp các số nguyên bằng ℵ0 (aleph-null). Điều được dễ dàng chứng minh bằng việc xây dựng một song ánh, đó là một hàm đơn ánh và toàn ánh từ Z {\displaystyle \mathbb {Z} } đến N {\displaystyle \mathbb {N} } . Nếu như N 0 ≡ { 0 , 1 , 2 , . . . } {\displaystyle \mathbb {N} _{0}\equiv \{0,1,2,...\}} sau đó xem xét hàm sau:

f ( x ) = { 2 | x | , if  x ≤ 0 2 x − 1 , if  x > 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{if }}x\leq 0\\2x-1,&{\mbox{if }}x>0.\end{cases}}}

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như N ≡ { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \mathbb {N} \equiv \{0,1,2,3,...\}} thì ta xem xét hàm sau:

g ( x ) = { 2 | x | , if  x < 0 2 x + 1 , if  x ≥ 0. {\displaystyle g(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{if }}x<0\\2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0.\end{cases}}}

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị hạn chế trong Z {\displaystyle \mathbb {Z} } vậy thì mỗi và mọi phần tử của Z {\displaystyle \mathbb {Z} } có một và chỉ một phần tử tương ứng của N {\displaystyle \mathbb {N} } và theo định nghĩa của bình đẳng lực lượng thì hai tập hợp này có lực lượng bằng nhau.

Xem thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

• Số vô tỉ
• Số hữu tỉ
• Số nguyên tố
• Số tự nhiên
• Số đại số
• Số siêu việt
• Số thực
• Số phức
• Số siêu phức

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" từ MathWorld.
2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng tiếng Anh). 1 tháng 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2020.
3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2020.
4. ^ Miller, Jeff (29 tháng 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc lưu trữ ngày 31 tháng 1 năm 2010. Truy cập ngày 20 tháng 9 năm 2010.
5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc lưu trữ ngày 8 tháng 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 tháng 2 năm 2016.
6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008
7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2020.
9. ^ “The Definitive Higher Math Guide to Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng tiếng Anh). 24 tháng 2 năm 2019. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2020.
10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bản thứ 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem 20.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc lưu trữ ngày 6 tháng 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng 4 năm 2015.
12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc lưu trữ ngày 8 tháng 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 tháng 2 năm 2016.
13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc lưu trữ ngày 8 tháng 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 tháng 2 năm 2016.
15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bản gốc ngày 26 tháng 1 năm 2018. Truy cập ngày 25 tháng 1 năm 2018.

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn] Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Số nguyên.

• Số nguyên tại MathWorld.

Tiêu đề chuẩn	GND: 4134668-3 NDL: 00570428 NKC: ph135364

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s

x t s Hệ thống số
Đếm được	Tự nhiên (ℕ) Nguyên (ℤ) Hữu tỉ (ℚ) Constructible number Đại số (𝔸) Periods Computable number Definable real number Arithmetical numbers Số nguyên Gauss
Đại số chia	Thực (ℝ) Phức (ℂ) Quaternion (ℍ) Octonion (𝕆)
SplitComposition algebra	over ℝ: Split-complex number Split-quaternion Split-octonion over ℂ: Bicomplex number Biquaternion Bioctonion
Số siêu phức khác	Dual number Dual quaternion Hyperbolic quaternion Sedenion  (𝕊) Split-biquaternion Số Multicomplex
Các loại khác	Số đếm Vô tỉ Hyperreal number Levi-Civita field Surreal number Siêu việt Ordinal number p-adic Supernatural number Superreal number Số âm Số ảo
Các loại số List

x t s Số nguyên
0  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
200 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299
300 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399
400 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499
500 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599
600 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699
700 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799
800 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899
900 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999
≥1000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000