Thứ ba - 05/04/2016 17:14 Mặt phẳng phức. Dạng lượng giác của số phức. Căn và luỹ thừa của số phức. Sự biểu diễn của số phức. Mặt phẳng phức. Mỗi số phức $z = a + bi,$ với $ a,b \in \mathbb{R} $ được biểu diễn bởi duy nhất một điểm $M\left( {a;b} \right)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Cùng với sự biểu diễn này thì mặt phẳng $Oxy$ được gọi là mặt phẳng phức. Trục hoành $Ox$ biễu diễn cho thành phần thực của $z$ nên được gọi là trục thực, trục tung $Oy$ biểu diễn cho thành phần ảo, được gọi là trục ảo. Bình luận 1. Từ đây ta cũng suy ra số phức $z = a + bi$ và liên hợp của nó là $z = a - bi$ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành; số phức $z = a + bi$ và số phức đối của nó là $-z = -a - bi$ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng qua gốc toạ độ. Học sinh hãy thử tự biểu diễn để kiểm chứng điều này. Môđun của số phức. Đại lượng $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ được gọi là môđun của $z$, ký hiệu $\left| z \right|$, và đại lượng này cũng chính là độ dài của đoạn thẳng $OM$. Do đó, $\left| z \right|$ đôi khi còn được gọi là độ lớn của số phức $z$. Ví dụ 1. Biễu diễn và tính mô-đun của số phức $z = 3 + 4i$. Giải. Ta có $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.$ Bằng định lý Pitago ta dễ dàng kiểm chứng $\left| z \right| = OM = 5.$ Số phức được viết dưới dạng $z = a + bi$ còn được gọi là dạng đại số của số phức. Sau đây là cách biểu diễn khác của số phức $z = a + bi$. Dạng lượng giác của số phức. Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi $\overrightarrow {OM} $ và chiều dương của trục $Ox$. Đặt $r = \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$ Khi đó ta có $$\left\{ \begin{gathered} a = r\cos \alpha \hfill \\ b = r\sin \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right..$$ Khi đó số phức $z$ được viết lại $$z = r\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right).$$ Góc $ \alpha $ được gọi là argument của số phức $ z $, ký hiệu $ \arg \left( z \right). $ Ví dụ 2. Số phức $z = 1 + \sqrt 3 i$. Ta hãy tìm dạng lượng giác của nó. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAM$ ta có $$\tan \alpha = \frac{{OM}}{{OA}} = \frac{{\sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3 \Rightarrow \alpha = {60^o}.$$ Mô đun của $ z $ là $$\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\sqrt 3 }^2}} = 2.$$ Từ đây ta có dạng lượng giác của $z$ là $$z = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right).$$ Một cách biến đổi khác để được dạng lượng giác của $z$ là $$z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right).$$ Bình luận 2. Theo như những gì ta đã đề cập ở Bình luận 1, do số phức $z$ và liên hợp số phức $z = r\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)$ có liên hợp của nó là ${\bar z}$ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành nên nếu $z = r\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)$ thì số phức liên hợp là $\bar z = r\left[ {\cos \left( { - \alpha } \right) + i\sin \left( { - \alpha } \right)} \right]$.
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Tổng số điểm của bài viết là: 4 trong 2 đánh giá
Xếp hạng: 2 - 2 phiếu bầu Click để đánh giá bài viết Tweet
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh
Sắp xếp theo bình luận mới Sắp xếp theo bình luận cũ Sắp xếp theo số lượt thích Mã an toàn
Những tin mới hơn
Nghiệm của phương trình bậc hai (21/04/2016)
Căn của số phức (19/04/2016)
Một vài tính chất cơ bản của môđun và argument (18/04/2016)
Bài viết cùng chuyên mục
Số phức (31/03/2016)
Chương trình
Đại số tổ hợp & Xác suất
Hình học giải tích không gian
Bất đẳng thức
Lượng giác
Tích phân
Hàm mũ & logarit
Khảo sát hàm số
Hình học không gian
Dãy số - Giới hạn của dãy số - Đạo hàm
Phép biến hình trong mặt phẳng
Hình học giải tích phẳng
Số phức
Toán chuyên đề
Đại số
Thư viện trực tuyến
Đề thi - Đáp án đại học
Sách giáo khoa toán
Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016
Kiến thức mới
06 02.2016
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong...
25 08.2016
Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng
Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng...
06 02.2016
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....
05 02.2016
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng. Tìm toạ độ hình...
05 02.2016
Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một...
Thư viện trực tuyến
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
10 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 12
Sách giáo khoa môn toán lớp 12. Sách bài tập môn toán lớp...
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 11
Sách giáo khoa toán lớp 11. Sách bài tập toán lớp 11.
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 6
Sách giáo khoa toán lớp 6. Sách bài tập toán lớp 6.
