Sử Dụng Công Thức Hạ Bậc | Tăng Giáp

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC > Ôn tập > Sử dụng công thức hạ bậc

Thảo luận trong 'Ôn tập' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

1. 

   moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 2/10/14 Bài viết: 160 Đã được thích: 46 Điểm thành tích: 28

   Khi giải các phương trình lượng giác mà bậc của $sin$ và $cos$ là bậc chẵn ta thường hạ bậc từ đó đưa về phương trình cơ bản. Ví dụ 4. Giải các phương trình lượng giác sau: a. ${\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = \frac{3}{2}.$ b. ${\sin ^2}3x – {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x – {\cos ^2}6x.$ c. ${\sin ^2}\left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right){\tan ^2}x – {\cos ^2}\frac{x}{2} = 0.$ d. ${\cos ^2}3x\cos 2x – {\cos ^2}x = 0.$ a. Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số $sin$ và tổng hai cung $\frac{{6x + 2x}}{2} = 4x$ mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích. $PT \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 4x = 0\\ \cos 2x = – \frac{1}{2} \end{array} \right.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}$, $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $(k ∈ Z).$ b. $PT \Leftrightarrow \frac{{1 – \cos 6x}}{x} – \frac{{1 + \cos 8x}}{2}$ $ = \frac{{1 – \cos 10x}}{2} – \frac{{1 + \cos 12x}}{2}$ $ \Leftrightarrow \left( {\cos 12x + \cos 10x} \right) $ $- \left( {\cos 8x + \cos 6x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 2\cos 11x\cos x – 2\cos 7x\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos 11x – \cos 7x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \cos x\sin 9x\sin 2x = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = k\frac{\pi }{9}$, $x = k\frac{\pi }{2}$ $\left( {k \in Z} \right).$ c. Điều kiện: $\cos x \ne 0.$ $PT \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {1 – \cos \left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)} \right]\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos x} \right)$ $ \Leftrightarrow \left( {1 – \sin x} \right){\sin ^2}x = \left( {1 + \cos x} \right){\cos ^2}x$ $ \Leftrightarrow \left( {1 – \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0.$ Đáp số: Kết hợp với điều kiện ta được: $x = \pi + k2\pi $, $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ d. $PT \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 6x}}{2}\cos 2x$ $ – \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 6x.\cos 2x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 8x + \cos 4x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}4x + \cos 4x – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 4x = 1 \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}$ $\left( {k \in Z} \right).$ Ví dụ 5. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $2{\sin ^2}2x + \sin 7x – 1 = \sin x.$ b. ${\cos ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1.$ c. $\left( {2 – \sqrt 3 } \right)\cos x – 2{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = 2\cos x – 1.$ d. $3{\tan ^3}x – \tan x + \frac{{3\left( {1 + \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ – 8{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} – \frac{x}{2}} \right) = 0.$ a. $PT \Leftrightarrow \sin 7x – \sin x$ $ – \left( {1 – 2{{\sin }^2}2x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 2\cos 4x.\sin 3x – \cos 4x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\sin 3x – 1} \right) = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}$, $x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}$, $x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}$ $(k∈Z).$ b. ${\left( {1 + \cos 2x} \right)^2} + {\left( {1 + \sin 2x} \right)^2} = 1$ $ \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x = – 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right) = – 1$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$ c. $PT \Leftrightarrow – \sqrt 3 \cos x + \sin x = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi $ $(k∈Z).$ d. $PT \Leftrightarrow 3{\tan ^3}x – \tan x$ $ + \frac{{3\left( {1 + \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} – 4\left( {1 + \sin x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \tan x\left( {3{{\tan }^2}x – 1} \right)$ $ + \left( {1 + \sin x} \right)\left( {3{{\tan }^2}x – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {3{{\tan }^2}x – 1} \right)\left( {\tan x + 1 + \sin x} \right) = 0$ Trường hợp 1: $\tan x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ Trường hợp 2: $1 + \sin x + \tan x = 0$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x\cos x = 0$ (phương trình đối xứng với $sin$ và $cos$). Giải phương trình này được: $x = \frac{\pi }{4} \pm \arccos \left( {\frac{{\sqrt 2 – 1}}{2}} \right) + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$

   Bài viết mới nhất

   • Chọn biểu thức lượng giác để đặt ẩn phụ05/12/2018
   • Giải phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ05/12/2018
   • Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi về phương trình tích05/12/2018
   • Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức)05/12/2018
   • Sử dụng công thức hạ bậc05/12/2018
   Last edited by a moderator: 21/3/24 moon, 5/12/18 #1

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,071 Bài viết: 12,735 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: duychien.saigonapp

Chủ đề mới nhất

• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài kí Ai đã đặt... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích truyện Vợ chồng... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài thơ tây tiến... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC > Ôn tập >