Sử Dụng Vòng Tròn Lượng Giác Trong Vật Lý 12

Hôm nay, Toanhoc sẽ hướng dẫn sử dụng vòng tròn lượng giác để giải các bài vật lý 12, một trong những phương pháp hiệu quả để học tốt vật lý. Nếu bạn nào chưa biết hoặc chưa hiểu rõ có thể xem chi tiết dưới đây.

1. Vòng tròn lượng giác là gì?

Theo lý thuyết, một dao động điều hòa có phương trình x = Acos(ωt + φ) có thể biểu diễn bằng 1 vòng tròn lượng giác. Dựa vào hình học biểu diễn trên đường tròn kết hợp với công thức lượng giác ta có thể suy ra những đại lượng vật lý cần tìm như biên độ A, li độ x, thời gian t,… tùy theo dữ kiện cho và câu hỏi đặt ra.

Trước tiên bạn cần nhớ lại các bảng giá trị lượng giác ứng với góc đặc biệt đã được học ở bài trước:

2. Đường tròn lượng giác trong vật lý

Một dao động điều hòa có

• Phương trình li độ x = Acos(ωt + φ)
• Phương trình vận tốc v = – ωAsin(ωt + φ)
• Phương trình gia tốc a = – ω2x

sẽ được biểu diễn trên vòng tròn lượng giác có tâm O, bán kính A = OM

• Hình chiếu của M lên trục hoành Ox (điểm H) sẽ cho ta giá trị của li độ
• Hình chiếu của M lên trục tung Oy (điểm K) sẽ cho ta giá trị của vận tốc

Vì chất điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính A với tốc độ góc ω nên góc quét được xác định theo công thức:

φ = ω.Δt

Trong đó:

• Góc quét φ có đơn vị rad
• Tần số góc ω có đơn vị là rad/s
• thời gian quét là Δt có đơn vị là s

Lưu ý: Chiều quay của vecto luôn ngược chiều kim đồng hồ.

3. Bài tập minh họa

Bài tập 1. Hãy biểu diễn chất điểm trên vòng tròn lượng giác ứng với thời điểm t = 0, biết phương trình chất điểm là

a) x = 4cos(2πt)

b) x = 4cos(2πt + π/4)

c) x = 4cos(2πt – 5π/6)

với x  tính bằng cm và t tính bằng s.

Hướng dẫn giải

a) x = 4cos(2πt) => v = – 8π.sin(2πt)

Tại thời điểm $t = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ v = 0 \end{array} \right.$

Vật đang đi qua vị trí biên dương (x = 4 cm).

b) x = 4cos(2πt + π/4) => v = – 8π.sin(2πt + π/4)

Tại thời điểm $t = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2\sqrt 2 \left( {cm} \right)\\ v = – 8\pi .\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) < 0 \end{array} \right.$

c) x = 4cos(2πt – 5π/6) => v = – 8π.sin(2πt – 5π/6)

Tại thời điểm $t = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 4\cos \left( { – \frac{{5\pi }}{6}} \right) = – 2\sqrt 3 \left( {cm} \right)}\\ {v = – 8\pi .\sin \left( { – \frac{{5\pi }}{6}} \right) > 0} \end{array}} \right.$

Chú ý: Từ bài tập này ta đã biết cách biểu diễn chất điểm trên vòng tròn lượng giác ở thời điểm t = 0, với thời điểm t bất kì ta cũng làm tương tự bằng cách thay t vào phương trình li độ x và vận tốc v từ đó ta suy ra vị trí của nó trên đường tròn.

Bài tập 2. Chất điểm A của con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình x = 2cos(πt – π/3), trong đó li độ x tính bằng cm, thời gian t tính bằng s.

a) Hãy tìm thời điểm vật đi qua vị trí x = – ${\sqrt 3 }$ cm lần đầu tiên.

b) Hãy tìm khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = – 1 cm đến x = ${\sqrt 3 }$ theo chiều âm

Hướng dẫn giải

Theo đề:

• Phương trình li độ x = 2cos(πt – π/3)
• Phương trình vận tốc v = – 2π.sin(πt – π/3)

a) Thời điểm ban đầu: $t = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2\cos \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) = 1\left( {cm} \right)}\\ {v = – 2\pi .\sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) > 0} \end{array}} \right. \Rightarrow {M_0}$

Dựa theo hình vẽ ta thấy thời gian ngắn nhất ứng với chất điểm chuyển động từ M đến M’ theo cung M-A-B-M’.

Dựa theo vòng tròn lượng giác: β = φMOA + φAOB + φBOM’ = π/3 + π/2 + π/3 = 7π/6

Thời gian ngắn nhất cần tìm là $t = \frac{\beta }{\omega } = \frac{{\frac{{7\pi }}{6}}}{\pi } = \frac{7}{6}\left( s \right)$

b) Do chất điểm có li độ x = ${\sqrt 3 }$ theo chiều âm nên nó được biểu diễn bằng điểm M

Kẻ đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x = – 1, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm P và Q. Ta dễ thấy thời gian để chất điểm đi từ Q tới M sẽ ngắn hơn thời gian chất điểm đi từ P đến M (chiều đi theo ngược kim đồng hồ như phần chú ý đã nói)

Vậy, khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = – 1 cm đến x = ${\sqrt 3 }$ theo chiều âm ứng với góc

Dự theo vòng tròn lượng giác: β = φQOC + φCOA + φAOM = π/6 + π/2 + π/6 = 5π/6

Thời gian ngắn nhất cần tìm là $t = \frac{\beta }{\omega } = \frac{{\frac{{5\pi }}{6}}}{\pi } = \frac{5}{6}\left( s \right)$

Bài tập 3. Bạn hãy xem bài tập nâng cao ở video sau

Mong rằng, qua bài viết này bạn đã biết cách sử dụng thành thạo phương pháp vòng tròn lượng giác để giải nhanh các dạng bài toán vật lý liên quan tới dao động điều hòa. Phương pháp này này không chỉ giải được các bài dao động cơ mà nó còn giải được bài tập phần sóng cơ, dao động điện từ, hay điện xoay chiều. Nếu bạn quan tâm hãy quay lại Toanhoc để đón xem bài viết tới nhé.