Tài Liệu Bồi Dưỡng Về Số Học Lớp 6 - Số Chính Phương

I. Định nghĩa:

Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.

A : là số chính phương thì A = k2 (kN)

II. Tính chất:

1) Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng: 0;1; 4; 5; 6; 9; không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; 8.

2) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chức các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.

Chứng minh:

Giả sử A = k2 và k = ax.by.cz (a; b; c; là các số nguyên tố)

thì A = (ax.by.cz )2 = a2x.b2y.c2z (đpcm)

Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:

a. Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4

b. Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9

c. Số chính phương chia hết cho 5 phải chia hết cho 25

d. Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16

e. Tích của các số chính phương là một số chính phương

f. A = a.b, nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương.

3) Số lượng các ước của một số chính phương là lẻ. Ngược lại, một số có số lượng các ước là lẻ thì số đó là số chính phương

Chứng minh:

Nếu A = 1 thì A là số chính phương có một ước. Ta giả sử A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = ax.by.cz thì số lượng các ước của A là (x+1)(y+1)(z+1)

a) Nếu A là số chính phương thì x; y; z; là các số chẵn, nên x+1; y+1; z+1; là lẻ, do đó số lượng các ước của A là lẻ.;

b) Nếu số lượng các ước của A là lẻ thì (x+1)(y+1)(z+1) là lẻ

Do đó các thừa số x+1; y+1; z+1; đều là số lẻ,

Suy ra x; y; z; là các số chẵn.

Đặt x = 2x, y = 2y; z = 2z; (x; y; z; N) thì

A = (axbycz )2 nên A là số chính phương (đpcm)

 4) Nếu số A bao hàm giữa bình phương hai số tự nhiên liên tiếp thì A không thể là số chính phương. Nghĩa là : nếu n2 < a="">< (n+1)2="" thì="" a="" không="" là="" số="" chính="">