Tập Hợp | Diễn đàn Giảng Dạy Toán Cho SV HUS

Có thể bạn quan tâm

Cho $A$ và $B$ là hai tập hợp.

I) Các khái niệm tập hợp

1) $A\subset B$ nếu và chỉ nếu $\forall x\in A$ , ta phải chỉ ra rằng $x\in B$ .

2) $A=B$ nếu và chỉ nếu $A\subset B$ và $B\subset A$ . Do đó để chứng minh $A=B$ , ta phải làm hai bước.

a) Chứng minh $A\subset B$ , tức là chỉ ra rằng $\forall x\in A$ thì $x\in B$ .

a) Chứng minh $B\subset A$ , tức là chỉ ra rằng $\forall x\in B$ thì $x\in A$ .

3) Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

II) Các phép toán tập hợp

1) Hợp, giao của các tập hợp

$A\cup B=\{x \text{ sao cho }x\in A \text{ or }x\in B\}$

$A\cap B=\{x \text{ sao cho }x\in A \text{ and }x\in B\}$

Cho một họ các tập hợp $A_\alpha$ , với $\alpha\in I$ , trong đó $I$ là một tập chỉ số nào đó. Khi đó

$\cup_{\alpha\in I}A_\alpha=\{ x \text{ sao cho }x\in A_\alpha, \text{ voi } \alpha\in I \text{ nao do}\}$

và

$\cap_{\alpha\in I}A_\alpha=\{x \text{ sao cho }x\in A_\alpha, \forall \alpha\in I\}$ .

Chú ý:

a) $x\in \cup_{\alpha\in I}A_\alpha$ nếu $\exists\alpha_0\in I$ sao cho $x\in A_{\alpha_0}$

b) $x\in \cap_{\alpha\in I}A_\alpha$ nếu $x\in A_{\alpha}$ với mọi $\alpha\in I$ .

2) Phép trừ các tập hợp.

Hiệu của $A$ và $B$ , ký hiệu $A\setminus B=\{x\in A \text{ but }x\not \in B\}$

Nếu $A\subset B$ thì $B\setminus A$ được gọi là phần bù của $A$ trong $B$ . Ký hiệu $C^A_B$ .

3) Phép toán tập hợp có các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối.

Tính chất giao hoán nghĩa là có thể đổi thứ tự các tập hợp khi thực hiện phép toán.

Tính chất kết hợp nghĩa là có thể phá bỏ dấu ngoặc khi thực hiện cùng một phép toán giao hoặc hợp.

Tính chất phân phối “giống như là” quy tắc mở/phá bỏ dấu hoặc khi thực hiện đồng thời phép lấy hợp và giao.

4) Phép lấy phần bù thỏa mãn luật đối ngẫu De Morgan.

Nếu $A_\alpha \subset X$ với mọi $\alpha\in I$ thì để tính phần bù $X\setminus (\cup_{\alpha\in I}A_\alpha$ của họ các tập hợp $A_\alpha$ , ta có thể tính bằng cách lấy phần bù $X\setminus A_\alpha$ của của từng tập hợp trong họ, sau đó lấy giao các kết quả với nhau. Tức là,